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新题库--第二章 第04节: 二次函数与二次方程,二次不等式(2)


二次函数与二次方程,二次不等式
题型 1 解不等式的综合问题

1.已知集合 A={x|1<|x-2|<2}, B={x|(x-a)(x-1)<0, a≠1},且 A∩B≠φ,试确定 a 的取值范围. 解: A={x|1<|x-2|<2}={x|0<x<1,或 3<x<4}. (1)当 a>

1 时,B={x|1<x<a}.∵A∩B=φ,∴a>3. (2)当 a<1 时,B={x|a<x<1}.∵A∩B≠φ, ∴a<1. 综上,a 的取值范围是{a|a>3 或 a<1}. 2.不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意 x∈R 恒成立,求 a 与 m 之间的关系. 解:原不等式可以整理为(a-m+1)x2+(a-m)x+(a-m)>0,对于 x∈R 恒成立. 当 a-m+1=0 时,原不等式化为-x-1>0 不恒成立,应舍去.

?a ? m ? 1 ? 0, 当 a-m+1≠0 时,必须有 ? ∴(a-m)[3(a-m+1)+1]>0. 2 ?? ? (a ? m) ? 4(a ? m ? 1)( a ? m) ? 0.
?a ? m ? 1 ? 0, ∴? ?a ? m ? 0.
∴a>m.

3.关于实数 x 的不等式 x ?

1 1 (a ? 1) 2 ≤ (a-1)2 与 x2-3(a+1)+2(3a+1)≤0(其中 a∈R)的解集依次为 A 与 2 2

B.求使 A ? B 的 a 的取值范围. 解:由 x ?

1 1 1 1 1 (a ? 1) 2 ≤ (a-1)2,得- (a-1)2≤x- (a+1)2≤ (a-1)2.解得 2a≤x≤a2+1. 2 2 2 2 2

∴A={x|2a≤x≤a2+1, a∈R}. 由 x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0,得(x-2)[x-(3a+1)]≤0. 当 3a+1≥2,即 a≥

1 1 时,得 B={x|2≤x≤3a+1}; 当 3a+1<2,即 a< 时,得 B={x|3a+1≤x≤2}. 3 3

(1)当 a≥

?2 ? 2a, 1 时,由 A ? B,得 ? 2 解得 1≤a≤3. 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1. ?3a ? 1 ? 2a, 1 时,由 A ? B ,得 ? 2 3 ?a ? 1 ? 2.
解得 a=-1.

(2)当 a<

∴使 A ? B 的 a 的取值范围是{a|1≤a≤3,或 a=-1}. 4.已知函数 f ( x) ?

x2 (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. ax ? b
(k ? 1) x ? k 。 2? x

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f ( x ) ? 解: (1)将 x1 ? 3, x 2 ? 4分别代入方程

x2 ? x ? 12 ? 0 , ax ? b

1

? 9 ? 3a ? b ? ?9 ?a ? ?1 x2 ? , 解得? ,? f ( x) ? ( x ? 2) 。 得? 16 2? x ?b ? 2 ? ? ?8 ? 4a ? b ?
(2)不等式即为

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ? 0 ,即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0. 2? x 2? x 2? x

①当 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??). ②当 k ? 2时, 不等式为 x ? 2) 2 ( x ? 1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??); ( ③ 当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) . 5.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解为 0<α<x<β,求不等式 cx2-bx+a>0 的解集。 解:因不等式 ax2+bx+c>0 的解为 0<α<x<β,所以 a<0,且方程 ax2+bx+c=0 的两根为 α、β。

b c c b >0, α·β= >0,所以 >0, <0,又 a<0,所以 c<0.由韦达定 a a a a b ? a 1 1 b ??? 1 1 1 1 ? (? ) ? (? ) . ∴ 方 程 理 x1+x2= ? ? a ? ? x ? (? ) ? (? ) ; x1·2= ? ? c ? ?? c c ? ? c ? ?? ? ? a a
所以 α+β=cx2-bx+a=0 的两根为 ?

1

?

,?

1

?

。由 0<α<β,∴

1

?

?

1

?

? 0 ,∴ ?

1

?

??

1

?

? 0 。∴不等式的解集

为{x|-

1

?

<x<-

1

?

}.

6.解下列关于 x 的不等式: (1)x2-(a2+a)x+a3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. 解: (1)原不等式化为(x-a)(x-a2)>0。 ①当 a2-a>0,即 a>1 或 a<0 时,原不等式的解为 x>a2 或 x<a.; ②当 a2-a<0,即 0<a<1 时,原不等式的解为 x<a2 或 x>a; ③当 a2-a=0,即 a=0 或 a=1 时,原不等式的解为 x≠a. (2)原不等式化为(ax-1)(x-1)<0. ①当 a=0 时,其解为 x>1; ③当 a>1 时,其解为 ②当 0<a<1 时,其解为 1<x<

1 ; a

1 <x<1; ④当 a=1 时,无解; a 1 1 ⑤当 a<0 时,不等式化为(x- )(x-1)>0,其解为 x< 或 x>1. a a
7.解不等式 56x2+ax-a2<0. 解:∵Δ=a2+4×56×a2=225a2≥0,方程 56x2+ax-a2=0 的解是 x1=-

a a , x2= , 7 8

∴当 a>0 时,原不等式变形为 56x2<0.∴原不等式的解集是 ф;

2

a a 当 a<0 时,原不等式的解集是 ? x | ? x ? ? ? . ? ? 7? ? 8
8.解关于x的不等式:(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R)。 解: (1)当m=-1时,原不等式变为x≥

1 。 (2)当m>-1时,∵△=12m-4.故有: 4 1 ; 2

①若△<0,即m>3时,恒有(m+1)x2-4x+1>0,此时不等式无解; ②若△=0,即m=3时,原不等式变形为(2x-1)2≤0,其解为:x=

③若△>0,即-1<m<3时,不等式有解为:

2? 3?m 2? 3? m . ?x? m ?1 m ?1 2? 3?m 2? 3? m ,或x≥ 。 m ?1 m ?1

(3)当m<-1时,△=12-4m>0恒成立,不等式有解:x≤

综上所得,原不等式的解集如下:m=-1时,{x|x≥

1 }; 4
m=3

m<-1时, {x|x≤ 时,{

2? 3?m 2? 3?m 2? 3? m 2? 3? m 或x≥ }; -1<m<3时, {x| ≤x≤ ; m ?1 m ?1 m ?1 m ?1
m>3时,φ。
2 ? 2 ? x ? 2ax ? ?a ? 1.(1) ? x 2 ? 2ax ? x ? a 2 ? a.(2) ?

1 }; 2

9.解关于x的不等式组: ?

解:原不等式组 ? ?

?a ? 1 ? x ? a ? 1, 1 1 令a-1=-a, a+1=-a, a-1=-a+1, a+1=-a+1,得a= , a=- , a=1, 2 a ?? a ? x ? ?a ? 1.

a=0。A的四个取值将数轴分成五个区间,分别讨论解集如下: (1)当a≤(2)当-

1 时,因a-1<a+1≤-a<-a+1,所以解集为φ; 2

1 <a≤0时,因a-1<-a<a+1≤-a+1,所以解集为{x|-a<x≤a+1}; 2 1 (3)当0<a≤ 时,因a-1≤-a<-a+1<a+1,所以解集为{x|-a<x<-a+1}; 2 1 (4)当 <a≤1时,因-a<a-1≤-a+1<a+1,所以解集为{x|a-1≤x<-a+1}; 2
(5)当 a>1 时,因-a<-a+1<a-1<a+1,所以解集为 φ。 10.解关于 x 的不等式:

x?a <0(a∈R) . x ? a2

解:原式 ?(x-a) (x-a2)<0,∴x1=a,x2=a2 当 a=a2 时,a=0 或 a=1,x∈ ? ; 当 a<a2 时,a>1 或 a<0,a<x<a2, 当 a>a2 时,0<a<1,a2<x<a, ∴当 a<0 时 a<x<a2; 0<a<1 时, 2<x<a; a>1 时, 当 a 当 a<x<a2; a=0 或 a=1 时, ? 。 当 x∈

3

11. 解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) ? 2 (其中 a ? 1 ). x?2

a( x ? 1) a( x ? 1) (a ? 2) x ? (a ? 4) 解: ?2? ?2 ?0 ? ?0? x?2 x?2 x?2 a?4 ?a ?2? (由 a ? 1 知 a ? 2 ? 0 ) ,又由 知: a?2 a?2 a?4 a?4 ? 2 ,则集合 A ? {x | 2 ? x ? }; 当 0 ? a ? 1 时, a?2 a?2
当 a ? 0 时,原不等式解集 A 为空集;

x?

a?4 a ? 2 ? 0, x?2

a?4 a?4 ? 2 ,则集合 A ? {x | ? x ? 2} a?2 a?2 x?2 12.设a<1,解关于x的不等式 2 >0。 ax ? a 2 x ? x ? a
当 a ? 0 时, 解:原不等式可化为:

( x ? 2) ? 0。 (ax ? 1)(x ? a)
x?2 x?2 >0,即 <0, ∴-2<x<0。 ?x x

(1)当a=0时,原不等式可化为:

(2)当0<a<1时,化为:

x?2 1 1 ? 0 ,此时-2<-a< , ∴-2<x<-a或x> 。 1 a a ( x ? )( x ? a ) a

(3)当a<0时,化为:

x?2 ? 0。 1 ( x ? )( x ? a ) a

1 1 1 时,有-2< <-a, ∴x<-2或 <x<-a。 2 a a 1 1 x?2 ②当a=- 时,化为: ? 0 ,∴x< 且x≠-2。 1 2 2 ( x ? 2)(x ? ) 2 1 1 1 ③当- <a<0时, <-2<-a,解得:x< 或-2<x<-a。 2 a a
①当a<综上所述,原不等式的解集:

1 1 1 1 不等式的解集{x|x<-2或 <x<-a};②a=- ,不等式的解集{x|x< 且x≠-2}; 2 a 2 2 1 1 ③- <a<0时,不等式的解集{x|x< 或-2<x<-a };④a=0时,不等式的解集{x|-2<x<0}; 2 a 1 ⑤0<a<1时,不等式的解集{x|-2<x<-a或x> }. a ax ? 1 ? 0. 13.解关于 x 的不等式 2 x ?x?2
①a<2 解:当=0 时,原不等式等价于 x ? x ? 2 ? 0, 解得 1 ? x ? 2. 当 a ? 0 时,原不等式化为:

4

1? 2 1? 1 ? ? ? x ? ?( x ? x ? 2) ? 0,即? x ? ?( x ? 1)(x ? 2) ? 0, 则当a ? 时, x ? ?1, 且x ? 2. a? a? 2 ? ?
当0 ? a ?

1 ? 时,x ? 或 ? 1 ? x ? 2. 2 a

当a ?

1 1 时, x ? , 且x ? ?1 . 2 a

当 a ? 0 时,原不等式等价于 ? x ?

? ?

1? ?( x ? 1)(x ? 2) ? 0. 则 a?
1 或 ? 1 ? x ? 2} 。 a

当 a ? ?1 , x | x ? 2, 且x ? 1}. 当 ? 1 ? a ? 0 时, {x | x ? 时{ 当 a ? ?1时,{x | x ? ?1或

1 ? x ? 2} a 2 ax ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. 14.当 x ? (1,2] 时,不等式 a?x x , 解:当 x ? a ? 0时,2ax ? a ? x,? a ? ? x且a ? 2x ? 1 2 2 ? x ? (1,2],? a ? ?1且a ? ,即 ? 1 ? a ? ; 3 3 x 当 x ? a ? 0时,2ax ? a ? x,? a ? ? x且a ? ,? x ? (1,2],? a ? ?2且a ? 1 ,∴不成立. 2x ? 1 2 综上, ? 1 ? a ? 为所求。 3
? ? ? ? 1 ? ? ? x ? , 2 ? a ? ,解关于 x 的不等式: b ? c ? 1 。 15.已知两个非零向量为 b ? ? a ? 1, (其中 a ? 0 ) ?,c ? ? x?2? ? ? x?2 ? ? ? ? a ? 1? x 2 ? a ? ? ? a ? 1? x ? 2 ? a ? a ? 2? x ? ? a ? 4? ? ?1? ?0。 解: b ? c ? ,由 b ? c ? 1 得 x?2 x?2 x?2 x?2 2 (1)当 a ? 2 时,原不等式 ? ? 0 ,∴ x ? 2 ; x?2 a?4 a?4 ?a (2)当 a ? 2 时, x1 ? ,而 a ? 0 ,于是有: , x2 ? 2 ,由于 ?2? a?2 a?2 a?2

a?4 ?a ① 当 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a ? 2 ? 0, ? 2 ,原不等式 ? a?2 a?2 a?4 ?a ② 当 ? 0 ,即 a ? 2 时, a ? 2 ? 0, ? 2 ,原不等式 ? a?2 a?2 ? a?4? 综上所得:当 0 ? a ? 2 时,不等式的解集为 ? 2, ?; ? a?2?
x?

x?

a?4 a ? 2 ? 0 ,∴ 2 ? x ? a ? 4 ; x?2 a?2

a?4 a ? 2 ? 0 ,∴ x ? a ? 4 或 x ? 2 。 x?2 a?2

a?4? ? 当 a ? 2 时,不等式的解集为 ? 2, ?? ? ;当 a ? 2 时,不等式的解集为 ? ??, ? ? ? 2, ?? ? 。 a?2? ?

16.解关于 x 的不等式 log a (3 ? ) ? 1.(a ? 0且a ? 1). 解:? 3 ?

2 x

2 3x ? 2 2 ? 0,? ? 0,? x ? 或x ? 0 。 x x 3 2 2 2 2 2 2 2 ? ,? 0 ? x ? }。 ① 当 0<a<1 时: 3 ? ? a ,∴ ,∵ x ? ,∴ {x | ? x ? x 3?a 3 3?a 3 3 3? a
5

2 (3 ? a ) x ? 2 ? a, 即 ? 0。 x x 2 2 或x ? 0 ; 当 a ? 3时, ? x ? 0。 当 a=3 时,x<0;当 1 ? a ? 3时, x ? 3? a 3?a 2 2 }。 ∴ 0 ? a ? 1时, {x | ? x ? 3 3?a 2 2 或x ? 0} ;当 a ? 3时, x ? 0 ;当 a ? 3时, ? x ? 0。 综上:当 1 ? a ? 3时, {x | x ? 3?a 3?a 2a 2 ?a ? 0? 17 解关于 x 的不等式: x x ? a ? 9 ?x ? a ?x ? a 解:当 x ? a时,不等式可转化为 ? , : ,即? 2 2 2 ?9 x?x ? a ? ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 3 ? 17 ?a ? x ? a b ?x ? a ?x ? a 当x ? a时, 不等式可化为: ? ,即? 2 , 2 2 ?ax(a ? x) ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 ? 2a 3 ? 17 ? a 2a a ?x ? 或 ? x ? a, 故不等式的解集为 ??, ? ? ? , ( a ?. 3 3 3 3 6 ? ?。
② 当 a>1 时: ? 3 ?
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a( x ? 1) >1(a≠1) x?2 (a ? 1) x ? (2 ? a) 解 原不等式可化为: >0。 x?2 a?2 1 a?2 ? 1? ? 1 ? 2 ,∴原不等式的 ①当 a>1 时,原不等式与(x- )(x-2)>0 同解 由于 a ?1 a ?1 a ?1 a?2 解为(-∞, )∪(2,+∞) a ?1 a?2 1 a?2 ? 1? ②当 a<1 时,原不等式与(x- )(x-2) <0 同解 由于 : a ?1 a ?1 a ?1 a?2 1 a?2 1 a?2 ? 1? ? 2 ,解集为( ? 1? ? 2 ,解集为 ? ; 若 a<0, ,2);若 a=0 时, a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a?2 1 a?2 ? 1? ? 2 ,解集为(2, 若 0<a<1, )。 a ?1 a ?1 a ?1 a?2 a?2 综上所述 当 a>1 时解集为(-∞, )∪(2,+∞);当 0<a<1 时,解集为(2, ); a ?1 a ?1 a?2 当 a=0 时,解集为 ? ;当 a<0 时,解集为( ,2) 。 a ?1 x?2 ? 1 ; ③ 2x 2 ? m x?1 ? 0 。 19 己知三个不等式:① 2x ? 4 ? 5 ? x ; ② 2 x ? 3x ? 2
18.解关于 x 的不等式
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(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围; (2)若满足的③ x 值至少满足①和②中的一个,求 m 的取值范围。 解 : 记 ① 的 解 集 为 A , ② 的 解 集 为 B , ③ 的 解 集 为 C 。 解 ① 得 A= ( -1 , 3 ) 解 ② 得 ; B= ?0,1) ? (2,4 ?,? A ? B ? ?0,1) ? (2,3) 。 (1)因同时满足①、②的 x 值也满足③,∴A ? B ? C。
6

设 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 1,由 f (x) 的图象可知:方程的小根小于 0,大根大于或等于 3 时,即可满足

因此 C ? (?1,4 ?. ?方程2x 2 ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而

? f (0) ? 0 ?? 1 ? 0 17 A ? B ? C,? ? ,即? ,? m ? ? 。 3 ? f (3) ? 0 ?3m ? 17 ? 0 (2)因满足③的 x 值至少满足①和②中的一个,?C ? A ? B, 而A ? B ? (?1,4 ?,

? ? f (?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? f (4) ? 4m ? 31 ? 0, 解之得 ? ? m ? 1 。 4 ? m ? ?? 1 ? ? 4 ? 4 ?
20. 已知 I ? R, A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, b ? {x | x ? 2ax ? a ? 0, a ? R} ? A ,求 a 的取值范围。
2 2

解:化简 A ? {x | 1 ? x ? 2} .设 y ? x ? 2ax ? a .
2 2 ①当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 时,即 0 ? a ? 1 时, B ? ?,满足 B ? A . 2 ②当 ? ? 0 时, a ? 0 或 a ? 1 .若 a ? 0 ,则 y ? x ,图象与 x 轴的交点的横坐标为 0,而 0 ? [1,2],故 a ? 0 2 2 应舍去.若 a ? 1 ,则 y ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ,图象与 x 轴的交点的横坐标为 1,1 ? [1,2],故 a ? 1 满足条件. 2 ③当 ? ? 0 时, y ? x ? 2ax ? a 的图象与 x 轴有两个交点.? B ? A ,? 方程 x 2 ? 2ax ? a ? 0 的两

?1 ? a ? 2, ?1 ? a ? 2, ?1 ? a ? 2, ?a ? 1或a ? 0, ?? ? 4a 2 ? 4a ? 0, ?a ? 1或a ? 0, ? 根位于 1,2 之间.? ? ?? ? ?a ? 1, ? a ? ф。 1 ? 2a ? a ? 0, f (1) ? 0, 4 ? ? ? ?4 ? 4a ? 4a ? 0. ? f (2) ? 0 ?a ? 3 ?
题型 2 二次函数的综合问题

x2 21.已知函数 f ( x) ? (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4. ax ? b
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f ( x ) ?

(k ? 1) x ? k 。 2? x

解: (1)将 x1 ? 3, x 2 ? 4, 分别代入方程

x2 ? x ? 12 ? 0, 得 ax ? b

? 9 ? 3a ? b ? ?9 ?a ? ?1 x2 ? ,? ? ,? f ( x) ? ( x ? 2) 。 ? 16 2? x ?b ? 2 ? ? ?8 ? 4a ? b ?
7

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k (2)不等式即为: ? , 可化为 ? 0 ,即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0. 2? x 2? x 2? x
①当 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??) ; ②当 k ? 2时, 不等式为 x ? 2) 2 ( x ? 1) ?,0解集为x ? (1,2) ? (2,??) ; ( ③ 当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) . 22. 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?ax ,其中 0 ? a ? 1 为常数. (1)解不等式 f ( x) ? o ; (2)试推断函数 f (x) 是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,说明理由. 解: (1)由 f ( x ? 0) 得, | x ? a |? ax,即 ? ax ? x ? a ? ax,

? ?x ? (a ? 1) x ? ?a, ? ? ?当0 ? a ? 1时, ? ? ?? ?(a ? 1) x ? a. ?x ? ? ?
(2) f ( x) ? ?

?a a ? a a a ?1 1 ? a ,. ). ,? 不等式的解集是 ( a 1? a 1? a . a ?1

?(1 ? a) x ? a( x ? a) ?? (1 ? a) x ? a( x ? a).

?0 ? a ? 1,?1 ? a ? 0,?1(1 ? a) ? 0, f ( x)在?a,??? 内在增函数, f ( x)在?? ?, a? 内是减函数.
? f ( x) min ? f (a) ? ?a 2 .
23.已知函数y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为R,求实数a的取值范围。 解:由对数的定义及题设条件(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 ①,对x∈R恒成立。∴当a2-1≠0时,应有

? 2 5 ?a ? 1 ? 0, 解之a<-1或a> 。 ? 2 2 3 ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0. ?
当a2-1=0时,若a=1,不等式①不是绝对不等式;若a=-1,则不等式①为1>0,为绝对不等式。 ∴符合题意的a的集合为(-∞, -1)∪( 24. 若函数 y= (a ? 1) x ? (a ? 1) x ?
2 2

5 , +∞)。 3

2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 a ?1
2 ≥0 恒成立。 a ?1

解:依题意,当 x∈R 时,(a2-1)x2+(a-1)x+ (1)当 a2-1=0,即当 ?

?a 2 ? 1 ? 0, 2 时有 a=1,此时有(a2-1)x2+(a-1)x+ =1. 可知当 x∈R 时, a ?1 ?a ? 1 ? 0

8

(a2-1)x2+(a-1)x+

2 ≥0 恒成立,∴a=-1. a ?1

?a 2 ? 1 ? 0, ? 2 ?a ? 1, ? (2)当 a2-1≠0,即当 ? 时,有 ? 解得 1<a≤9. 2 2 2 ?0 ?a 2 ? 10a ? 9 ? 0. ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? ? a ?1 ?
综上当 x∈R 时,使得函数 y 有意义的 a∈[1,9]. 25. 在直角坐标系上,有抛物 C:y=-x2+mx-1,式中 m 是实数,给出定点 A(3,0)、B(0,3),为了使抛物线 C 与线段 AB 有且仅有一个公共点,m 点取值范围是什么?
? y ? ? x 2 ? mx ? 1, ? x 2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0, ? 解:AB:x+y=3(x∈[0,3]). ? x ? y ? 3, ?? ? x ? [0,3] ? x ? [0,3] ?



把含参数的曲线转化为

含参数的方程进行讨论,求方程①在区间[0,3]有唯一解(包括重根)的条件.
?? ? (m ? 1) 2 ? 16 ? 0 ? (1)方程①在[0,3]有重根的条件是: ? ?m?3 m ?1 ? [0,3] ? x1 ? x 2 ? 2 ?

(2)令 f(x)=x2-(m+1)x+4,∵f(0)=4>0,当 f(3)=9-3(m+1)+4=0 时,得 m= 了有根 3 外,还有一个根
4 10 ∈[0,3],∴m= 不合要求. 3 3 10 . 3 10 . 3

10 10 ,而当 m= 时,方程①除 3 3

(3)∵只需 f(3)=9-3(m+1)+4<0,即 m>

综合(1)(2)(3) 、 、 ,可得 m 的取值范围是 m=3,或 m> 26.已知集合P=[

1 , 2],函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q。 2

(1)若P∩Q≠φ,求实数a的取值范围;

1 ,2]内有解,求实数a的取值范围。 2 1 2x ? 2 1 1 解: (1)P∩Q≠φ,则x∈[ ,2],不等式ax2-2x+2>0有解,即a> =-2· 2 +2· 。 2 2 x x x 1 1 1 2 1 令t= ∈[ ,2],-2t2+2t=-2(t- ) + , ∴t=2时,g(t)min=-4。∴a>-4。 x 2 2 2 1 2x ? 2 1 1 1 1 1 ?2 2 ?2 , (2) 由题意知, 2-2x+2=4。 ax 由[ , 2]上有解, 则a= 令 =t, 得h(t)=2(t+ )2- , 2 2 x x 2 2 x x 1 3 3 且t∈[ ,2], ∴h(t)∈[ , 12], ∴a∈[ , 12]. 2 2 2 2 2 27.已知直线y=kx-1与双曲线x -y =1的左支交于A、B两点,若另一条直线 l 经过点P(-2, 0)及线段AB的中 点Q,求直线 l 在y轴上的截距b的取值范围。
(2)若方程log2(ax2-2x+2)=2在[ 解:由 ?

? y ? kx ? 1, ? x ? y ? 1,
2 2

有两组解,且解中x<0,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0,有两个不同的负根,其充

9

?1 ? k 2 ? 0, ? ?? ? 0, ? ? 2 ? k ? ?1 。即k∈(- 2 , -1)为b=f(k)的定义域。 要条件是: ? x1 ? x 2 ? 0, ? ? x1 ? x 2 ? 0 ? k k , 2 又 l 过点P(-2, 0),AB中点Q,在y轴上的截距b。得P(-2, 0)、Q( 2 )、M(0, b)三点共线 k ?1 k ?1

?b=f(k)=

2 , k∈(- 2 , -1),即f(k)= 2k ? k ? 2
2

2 (-∞, -2)∪(2+ 2 , +∞)。 1 17 2( k ? ) 2 ? 4 8

28.方程x2+ax+a=0在(0, 1 ] 上有解,求a的取值范围。 解:设f(x)=x2+ax+a,

?? ? 0, ? f (0) ? 0, ? ? (1)若f(x)=0在(0, 1 ] 上有两解,则有 ? f (1) ? 0, ∴此不等式无解。 ? ?0 ? ? a ? 1. ? 2 ?
(2)若f(x)=0在(0, 1 ] 上有且仅有一解,则有 ? 综上所述得a的取值范围为[-

? f (0) ? f (1) ? 0, ?a(2a ? 1) ? 0, 1 解之得- ≤a<0。 ?? 2 ? f (0) ? 0 ?a ? 0,

1 ,0 ) 。 2

方法二:∵x∈(0, 1 ] , ∴x≠=-1,原方程可变为a= ?

x2 1 1 。 ?? ?? 1 1 1 1 2 1 x ?1 ? ( ? ) ? x 2 4 x2 x

∵0<x≤1, ∴

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ,∴a∈[- ,0) 。 ? 1 ? ( ? ) 2 ? ? (1 ? ) 2 ? ? 2 , 即0< 1 1 2 1 2 x x 2 4 2 4 2 ( ? ) ? x 2 4
1 a
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29.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 x1、x2 满足 0<x1<x2< (1)当 x∈[0,x1 ) 时,证明 x<f(x)<x1; (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明
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x0<

x1 2

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解 (1)令 F(x)=f(x)-x,∵x1,x2 是方程 f(x)-x=0 的根,∴F(x)=a(x-x1)(x-x2) ∵x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又 a>0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即 x<f(x)。
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当 x∈(0,x1)时,

∵x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)] 。∵0<x<x1<x2< ∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0,∴x1-f(x)>0,由此得 f(x)<x。 (2)依题意
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1 , a

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x0=-

b ,∵x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,即 x1,x2 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的根, 2a
10

ax x b a( x1 ? x2 ) ? 1 ax1 ? ax2 ? 1 b ?1 ,∴x0=- ,∵ax2<1,∴x0< 1 ? 1 ? ? 2a 2a 2a a 2a 2 30.设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M ,若 M ? [1,4] ,求实数 a 的取值范围
∴x1+x2=-
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解 设 f(x)=x -2ax+a+2,有 Δ=(-2a) -(4a+2)=4(a -a-2)。 (1)当 Δ<0 时,-1<a<2, M = ? ? [1,4] 。
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2

2

2

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(2)当 Δ=0 时,a=-1 或 2 当 a=-1 时, M ={-1} ? [1,4] ;当 a=2 时, M ={2} ? [1,4] (3)当 Δ>0 时,a<-1 或 a>2 设方程 f(x)=0 的两根 x1,x2,且 x1<x2,那么 M =[x1,x2] ,
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?? a ? 3 ? 0 ?18 ? 7a ? 0 ? f (1) ? 0, 且f (4) ? 0 ? M ? [1,4] ? 1≤x1<x2≤4 ? ? ,即 ? ,解得 a?0 ?1 ? a ? 4, 且? ? 0 ? ?a ? ?1或a ? 2 ?
∴M
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2<a<

18 。 7

? [1,4]时,a 的取值范围是(-1,

18 )。 7

31 已知对于自然数 a, 存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式, 它有两个小于 1 的正根, 求证: a≥5. 证:设二次三项式为:f(x)=a(x-x 1 )(x-x 2 ),a∈N.
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依题意知:0<x 1 <1,0<x 2 <1,且 x 1 ≠x 2 .∴有 f(0)>0,f(1)>0.又 f(x)=ax -a(x 1 +x 2 )x+ax 1 x 2 为整系数二次三项式,∴f(0)=ax 1 x 2 、f(1)=a· 1 )(1-x 2 )为正整数.故 f(0)≥1,f(1)≥1. (1-x 从而 f(0)·f(1)≥1. 另一方面, ①

2

且由 x 1 ≠x 2 知等号不同时成立,∴

由①、②得,a 2 >16.又 a∈N,所以 a≥5. 32.已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}与 B={x|x2-2ax+a+2≤0, a∈R}满足 B ? A,求 a 的取值范围. 解:根据题意有 A={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.记 f(x)=x2-2ax+a+2, 它的图象是一条开口向上的抛物线. (1)若 B=φ,显然有 B ? A,此时抛物线与 x 轴无交点.故△=4a2-4(a+2)<0. ∴-1<a<2. (2)若 B≠φ,再设抛物线与 x 轴交点的横坐标为 x1, x2 且 x1≤x2.欲使 B ? A,应有[x1, x2] ? [1, 4],观察图 1-3-2 便知,

?? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0, ? 2 ? f (1) ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 2 ? 0, 18 ? 需 ? f (4) ? 4 2 ? 2a ? 4 ? a ? 2 ? 0, 解得 2≤a≤ . 7 ? ? 2a ?1 ? ? ? 4. ? 2 ?
综合(1)(2)得 a 的取值范围是-1<a≤ 、

18 . 7

33. 已知两个方程 x2+4x+4a=0①和 x2+3x+6a=0②都有两个不同的实数根, 并且一个方程的任意一个根不 在另一个方程的两个根之间。试问满足上述的实数 a 是否存在?若存在,求出实数 a;如果不存在,请说 明理由。
11

解:方程①有两个不同的实根的充要条件是△=42-4×4a>0,即 a<1. 方程②有两个不同的实根的充要 条件是△′=32-4×6a>0,即 a<

3 3 。于是,当 a< 时,两个方程都有不同的实根。 8 8

? x1 ? ?2 ? 2 1 ? a , ? 3 ? 在 a< 的 条 件 下 , 方 程 ① 的 两 个 根 是 ? x ? ?2 ? 2 1 ? a . 并 且 x1<x2 , 方 程 ② 的 两 个 根 是 ? 2 8
? ?3? ? x3 ? ? ? ?x ? ? 3 ? ? 4 ? 9 ? 24a , 2 并且 x3<x4。要使一个方程的任意一个根不在另一个方程两个根之间,a 的值应满 9 ? 24a , 2

3 3 ? ? ?a ? , ?a ? , 足下列两组条件之一。 ? 8 或? 8 首先解 x2<x3 的情形: ? x 2 ? x3 ? x 4 ? x1 . ? ?
即 ? 2 ? 2 1? a ?

? 3 ? 9 ? 24a ,?1 ? 4 1 ? a ? ? 9 ? 24a ,即 4 1 ? a ? 9 ? 24a ? 1 , 2
2 2

两边平方,得 16-16a+9-24a+8 9 ? 33a ? 24a ? 1 , 8 9 ? 33a ? 24a <40a-24, 即 9 ? 33a ? 24a <5a-3. 当 a<
2

3 时,5a-3<0,从而不等式③无解。 8

下面再解 x4<x1 的情形:即

? 3 ? 9 ? 24a ? ?2 ? 2 1 ? a , ? 3 ? 9 ? 24a ? ?4 ? 4 1 ? a , 2

有 9 ? 24a ? ?1 ? 4 1 ? a .显然,不等式④无解。 结合以上各式,不存在满足题目要求的 a. 34.已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的两个 交点间距离为 8,f(x)=f1(x)+f2(x) (1)求函数 f(x)的表达式; (2)证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个实数解。

k (k ? 0) ,它的图象与直线 x 8 8 y=x 的交点分别为 A( k , k ),B(- k ,- , k ),由|AB|=8,得 k=8,∴f2(x)= .故 f(x)=x2+ 。 x x 8 8 8 8 8 8 (2)f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ ,即 =-x2+a2+ ,在同一坐标系内作出 f2(x)= 和 f3(x)=-x2+a2+ 的 x a x a x a
解: (1)由已知,设 f1(x)=ax2,则 f1(1)=1,得 a=1,∴f1(x)=x2.设 f2(x)= 大致图象, 其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线, 且位于第一、 三象限的双曲线,3(x) f 的图象是以(0,a2+

8 )为顶点,开口向下的抛物线。∴f2(x)与 f3(x)的图象在 a 8 8 ,当 a>3 时,f3(2)-f2(2)=a2+ -8>0,当 a>3 时, a a
12

第三象限有一个交点,即 f(x)=f(a)有一个负数解。 又∵f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+

f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解。∴方程 f(x)=f(a)有三

个实数解。 证法二:由 f(x)=f(a),得 x2+

8 2 8 8 8 =a + ,即(x-a)(x+a)=0,得方程的一个解 x1=a,方程 x+a=0 x a ax ax

化为 ax2+a2x-8=0,由 a>3,Δ=a4+32a>0,得:

? a 2 ? a 4 ? 32a ? a 2 ? a 4 ? 32a x2= ,x3= ,∴x2<0,x3>0,∴x1≠x2,且 x2≠x3,若 x1=x3,即 2a 2a
a=

? a 2 ? a 4 ? 32a 4 ,则 3a2= a ? 32a ,a4=4a,得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾,∴x1≠x3。 2a
故原方程 f(x)=f(a)有三个实数解。

35.已知函数 f ( x) ?| 1 ?

1 |,( x ? 0). x

(1)当 0 ? a ? b, 且 f (a) ? f (b) 时,求证: ab ? 1; (2)是否存在实数 a, b(a ? b) ,使得函数 y ? f (x) 的定义域、值域都是[ a, b ],若存在,则求出 a, b 的值,若不存在,请说明理由. (3)若存在实 a, b(a ? b) ,使得函数 y ? f (x) 的定义域为[ a, b ]时,值域为[ m a, m b ]( m ? 0 ) m ,求 的取值范围. 解: (1)
? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? ? x ? 0,? f ( x) ? ? ? 1 ? 1,0 ? x ? 1. ?x ?

? f (x) 在(0,1)上为减函数,在 (1,??) 上是增函数.

由 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,可得 0 ? a ? 1 ? b 和 1 ? 1 ? 1 ? 1 . 即 ? ? 2. ? 2ab ? a ? b ? 2 ab. a b a b 故 ab ? 1 ,即 ab ? 1. (2)不存在满足条件的实数 a,b. 若 存 在 满 足 条 件 的 实 数 a , b , 使 得 函 数 y ? f ( x) ?| 1 ? 1 | 的 定 义 域 、 值 域 都 是 [a , b] , 则
x

1

1

a ? 0.

? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? f ( x) ? ? ? 1 ? 1,0 ? x ? 1. ?x ?

①当 a, b ? (0,1) 时, f ( x ) ? 1 ? 1 在(0,1)上为减函数.故 ? f (a) ? b, ?
x
? f (b) ? a.

即 ? a ? 1 ? b, 解得 a=b. 故此时 ?
? ? 1 ? 1 ? a. ?b ?

?1

不存在适合条件的实数 a,b. ②当 a, b ? [1,??) 时, f ( x ) ? 1 ?

1 在 (1,??) 上是增函数.故 ? f (a) ? a, 即 ?1 ? 1 ? a, 此时 a,b 是方 ? a ? ? x ? ? f (b) ? b.
?1 ? 1 ? b. ? b ?

2 程 x ? x ? 1 ? 0 的根,此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数 a,b。

13

③当 a ? (0,1), b ? [1,??) 时,∵ 1 ? [a, b] ,而 f (1) ? 0 ? [a, b] ,故不存在适合条件的实数 a,b. 综上可知,不存在适合条件的实数 a,b. (3) 若存在实数 a, b(a ? b) , 使得函数 y ? f (x) 的定义域为[a, b]时, 值域为[ma, mb].则 a ? 0, m ? 0. ①当 a, b ? (0,1) 时,由于 f (x) 在(0,1)上是减函数,值域为[ma,mb], 即 ? a ?
?1 ? 1 ? m b,

? ? 1 ? 1 ? m a. ?b ?

此时 a、

b 异号,不合题意.所以 a,b 不存在. ②当 a ? (0,1) 或 b ? (1,??) 时,由(2)知 0 在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以 a,b 不存在, 故只有 a, b ? [1,??). ? f ( x) ?| 1 ? 1 | 在 (1,??) 上是增函数, ? ? f (a) ? m a, ? x ? f (b) ? m b.
? 即 ?1 ? a ? m a, ,a,b 是方程 ? 1 ? ?1 ? 1 ? m b. ? b ?

mx2 ? x ? 1 ? 0 的两个根.即关于 x 的方程 mx2 ? x ? 1 ? 0 有两个大于 1 的实根.设这两个根为 x1 , x2 . 则
x1 ? x 2 ? 1 1 ?? ? 0, , x1 ? x 2 ? . ? m m ? ?( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0,
?( x ? 1)(x ? 1) ? 0. 2 ? 1

即? ?

1 ? 4m ? 0, ?1 ? m ? 2 ? 0. ?

解得 0 ? m ?

1 . 故 m 的取值范围是 0 ? m ? 1 . 4 4

36.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c. (1)对于 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ). 求证:方程 f ( x) ? 根,且必有一个实根属于 ( x1 , x2 ) ; ( 2 ) 若 方 程 f ( x) ?

1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 有不等的两实 2

1 1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]在( x1 , x 2 ) 内 的 根 为 m, 且 x1 , m ? , x 2 成 等 差 数 列 , 设 2 2

x ? x0是f ( x) 的对称轴方程,求证: x0 ? m2 。
2 解:由 ax ? bx ? c ?

1 2 (ax12 ? bx1 ? c ? ax 2 ? bx 2 ? c) ,得 2

2 2ax2 ? 2bx ? a( x12 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? 0. a ? 0 ,故此方程的判别式 由 2 ? ? (2b) 2 ? 4 ? 2a[?a( x12 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 )] ? 2(2ax1 ? b) 2 ? 2(2ax2 ? b) 2 ? 0

? x1 ? x2 ,? 2ax1 ? b ? 2ax2 ? b, ? ? 0 ,即方程有两不等实根.
1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )], g ( x) 是二次函数,由 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ? f ( x 2 ) 1 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? [ f ( x1 ) ? ][ f ( x 2 ) ? ] ? ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]2 2 2 4
令 g ( x) ? f ( x) ?

? f ( x1 ) ? f ( x2 ),? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,? g ( x) ? 0 的根必有一个属于 ( x1 , x 2 )
(2)由题设,得 2 f (m) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即有
14

1 2 a(2m 2 ? x12 ? x 2 ) ? b(2m ? x1 ? x 2 ) ? 0, 又x1 , m ? , x 2 成等差数列,? x1 ? x2 ? 2m ? 1 2
2 2 即 2m ? x1 ? x2 ? 1,? b ? ?a(2m 2 ? x1 ? x2 ),
2 2 2m 2 ? x12 ? x2 x 2 ? x2 b 2 ?? ? m2 ? 1 ,? x1 ? x2 ,? x12 ? x2 ? 0 ,故 x0 ? m 2 . 2a 2 2

故 x0 ? ?

37.已知 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,当 x ? [?1,??] 时, f ( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围. 解: f ( x) ? ( x ? a) 2 ? 2 ? a 2 ,此二次函数图象的对称轴为 x ? a .当 a ? (??,?1) 时,结合图象知,

f ( x)在?? 1,? ??上单调递增, f ( x) min ? f (?1) ? 2a ? 3, ? 要使 f ( x) ? a 恒成立,只需 f ( x) min ? a ,
∴ 2a ? 3 ? a, 解得 ? 3 ? a ? ?1.



当 a ? ?? 1,???时,f ( x) min ? f (a) ? a ? a 2 ,由2 ? a 2 ? a, 解得 ? 1 ? a ? 1, 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? 3 ? a ? 1 方法二:由 f ( x) ? a 变形得 x 2 ? 2 ? a(2 x ? 1) 当 2 x ? 1 ? 0, 即 x ?





1 时, ③式为 x 2 ? 2 ? 0 恒成立,此时 a ? R ; 2 1 2
2 x2 ? 2 ? 1 ? ? x ?2? ? ? a 恒成 ? a 恒成立,其中 x ? ? ? ,?? ?, 即 ? ? ? 2x ?1 ? 2 ? ? 2 x ? 1 ? min

当 2 x ? 1 ? 0,即x ? ? 时 ,③式为

? x2 ? 2 ? ? 1 ? 立,这样就转化到了求 x ? ? ? ,?? ? 时函数 g ( x ) ? ? ? 2 x ? 1 ? 的最小值问题,可得 a ? 1. 当 2 x ? 1 ? 0 ,即 ? ? 2 ? ? ? ? x2 ? 2 ? 1 x2 ? 2 1? ? ? 1 ? ? 时,③式为 ? a 恒成立,即 ? ? 2 x ? 1 ? ? a 恒成立.其中 x ? ?? 1,? 2 ? ,这样就转化到了 ? 2 2x ?1 ? ? ? ? min
求 x ? ?? 1,?

? ?

x2 ? 2 1? 的函数 g ( x) ? 的最大值的问题,可得 a ? ?3 .综合以上知, ? 3 ? a ? 1 . ? 2x ?1 2?
2

方 法 三 : 由 已 知 x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在 ?? 1,??? 。 上 恒 成 立 , 即 ? ? 4a 2 ? 4(2 ? a) ? 0, 或

?? ? 0 ? ,解得 ? 3 ? a3 ? 1 。 ? a ? ?1 ? f (?1) ? 0. ?
38 设函数 f(x)定义在 R 上,对任意 m、n 恒有 f(m+n)=f(m)· f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1 (1)求证 f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)求证 f(x)在 R 上单调递减; (3)设集合 A={ (x,y)|f(x2)· 2)>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-g+2)=1,a∈R},若 A∩B= ? ,求 a 的取 f(y
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值范围 解 (1) 令 m>0, 得 f(m)=f(m)· n=0 f(0) ∵f(m)≠0, ∴f(0)=1。 m=m, 取 n=-m, (m<0)得: f(0)=f(m)f(-
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15

m),∴f(m)=

1 。∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1。 f (?m)

(2)任取 x1,x2∈R,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)· 1) f(x =f(x1)[1-f(x2-x1)] 。∵f(x1)>0,1-f(x2-x1)>0,∴f(x1)>f(x2),∴函数 f(x)在 R 上为单调减函数。 (3)由 ?

? f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1) ?x 2 ? y 2 ? 1 ,由题意此不等式组无解,数形结合得 , 得? ? f (ax ? y ? 2) ? 1 ? f (? ) ?ax ? y ? 2 ? 0

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|2| a ?1
2

≥1,解得 a2≤3。∴a∈[- 3 , 3 ] 。

39 已知函数 f(x)=
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2 x 2 ? bx ? c (b<0)的值域是[1,3] 。 x2 ?1

(1)求 b、c 的值; (2)判断函数 F(x)=lgf(x),当 x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论; (3)若 t∈R,求证 lg
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7 1 1 13 ≤F(|t- |-|t+ |)≤lg 5 6 6 5

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解 (1) 设 y=
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2 x 2 ? bx ? c ,则(y-2)x2-bx+y-c=0 x2 ? 1




∵x∈R,∴①的判别式 Δ≥0,即

b2-4(y-2)(y-c)≥0,即 4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0,
2 2

由条件知,不等式②的解集是[1,3] ,

?1 ? 3 ? 2 ? c ? ∴1,3 是方程 4y -4(2+c)y+8c+b =0 的两根,∴ ? 。 8c ? b 2 ,∴c=2,b=-2,b=2(舍) 1? 3 ? ? 4 ?
(2)任取 x1,x2∈[-1,1] ,且 x2>x1,则 x2-x1>0,且(x2-x1)(1-x1x2)>0, ∴f(x2)-f(x1)=-

2 x2 1 ? x2
2

? (?

2x 1 ? x1
2

)?

2( x2 ? x1 )(1 ? x1 x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2

>0,∴f(x2)>f(x1),∴lgf(x2)>lgf(x1),即 F(x2)

>F(x1),∴F(x)为增函数。

1 1 1 1 1 1 1 (3)记u ?| t ? | ? | t ? |,| u |?| (t ? ) ? (t ? ) |? , 即- ≤u≤ ,根据 F(x)的单调性知: 6 6 6 6 3 3 3 1 1 7 1 1 13 F(- )≤F(u)≤F( ),∴lg ≤F(|t- |-|t+ |)≤lg 对任意实数 t 成立。 3 3 5 6 6 5
40.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m、n∈[-1,1] ,m+n≠0 时

f ( m) ? f ( n ) >0 m?n
(2)解不等式

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(1)用定义证明 f(x)在[-1,1]上是增函数;
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f(x+

1 1 )<f( ); 2 x ?1
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(3)若 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1,1] ,a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围 解 (1)任取 x1<x2,且 x1,x2∈[-1,1] ,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
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=

f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) · 1-x2)。∵-1≤x1<x2≤1,∴x1+(-x2)≠0,由已知 (x >0, x1 ? x 2 x1 ? x 2
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又 x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在[-1,1]上为增函数

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1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? ?1 (2) ∵f(x)在[-1,1]上为增函数,∴ ? ? 1 ? x ?1 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ?1 ?

解得

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{x|-

3 ≤x<-1}。 2

(3)由(1)可知 f(x)在[-1,1]上为增函数,且 f(1)=1,对 x∈[-1,1] ,恒有 f(x)≤1,∴要 2 2 f(x)≤t -2at+1 对所有 x∈[-1,1] ,a∈[-1,1]恒成立,即 t -2at+1≥1 成立,故 t2-2at≥0。 记 g(a)=t2-2at,对 a∈[-1,1] ,g(a)≥0,只需 g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于 0, g(-1)≥0,g(1)≥0,解得,t≤-2 或 t=0 或 t≥2 ∴t 的取值范围是 {t|t≤-2 或 t=0 或 t≥2}
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41 设 f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)=
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7 1 3 ,问是否存在 a、b、c∈R,使得不等式 x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切 2 2 2
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实数 x 都成立,证明你的结论 解
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7 7 1 3 3 3 , a+b+c= , x2+ =2x2+2x+ ? x =-1, f(x)≤2x2+2x+ 推得 f(-1)≤ 得 令 由 由 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 5 f(x)≥x2+ 推得 f(-1)≥ ,∴f(-1)= ,∴a-b+c= ,故 2(a+c)=5,a+c= 且 b=1, 2 2 2 2 2 5 ∴f(x)=ax2+x+( -a) 2 5 1 依题意 ax2+x+( -a)≥x2+ 对一切 x∈R 成立,∴a≠1 且 Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0,得(2a-3)2≤0, 2 2 3 ∴f(x)= x2+x+1。 2 3 2 3 3 易验证 x +x+1≤2x2+2x+ 对 x∈R 都成立 ∴存在实数 a= ,b=1,c=1,使得不等式 2 2 2 1 3 x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切 x∈R 都成立 2 2
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由 f(1)=

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42 已知函数 f(x)=x2+px+q,对于任意 θ∈R,有 f(sinθ)≤0,且 f(sinθ+2)≥2 (1)求 p、q 之间的关系式; (2)求 p 的取值范围; (3)如果 f(sinθ+2)的最大值是 14,求 p 的值 并求此时 f(sinθ)的最小值 解 (1)∵-1≤sinθ≤1,1≤sinθ+2≤3,即当 x∈[-1,1]时,f(x)≤0;当 x∈[1,3]时,f(x)≥0, ∴当 x=1 时,f(x)=0 ∴1+p+q=0,∴q=-(1+p)。 (2)f(x)=x2+px-(1+p),当 sinθ=-1 时,f(-1)≤0,∴1-p-1-p≤0,∴p≥0 (3)注意到 f(x)在[1,3]上递增,∴x=3 时,f(x)有最大值 即 9+3p+q=14,9+3p-1-p=14,∴p=3 此时,f(x)=x2+3x-4,即求 x∈[-1,1]时 f(x)的最小值
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又 f(x)=(x+

3 2 25 )- ,显然此函数在[-1,1]上递增 2 4
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∴当 x=-1 时 f(x)有最小值:

f(-1)=1-3-4=-6 43 设函数 f(x)=ax 满足条件
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当 x∈(-∞,0)时,f(x)>1;当 x∈(0,1 ] 时,不等式
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f(3mx-1)>f(1+mx-x )>f(m+2)恒成立,求实数 m 的取值范围 解 由已知得 0<a<1,由 f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2),x∈(0,1 ] 恒成立
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2 ? ?3mx ? 1 ? 1 ? mx ? x 在 x∈(0,1 ] 恒成立 ?? ?1 ? mx ? x 2 ? m ? 2 ?

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? ?2 x ? 1 ? x 整理,当 x∈(0,1)时, ? 恒成立,即当 ?m( x ? 1) ? x 2 ? 1 ?
2

17

? 1 ? x2 2 ?m ? ? ?2mx ? 1 ? x ? 2x x∈(0,1 ] 时, ? 恒成立,且 x=1 时, ? 恒成立, 2 ?m( x ? 1) ? x 2 ? 1 ?m ? x ? 1 ? ? x ?1 ?


1? x2 1 ? x2 1 ? x2 在 x∈(0,1 ] 上为减函数,∴ <-1,∴m< 恒成立 ? m<0 2x 2x 2x
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x2 ? 1 12 x2 ? 1 x2 ? 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,在 x∈(0,1 ] 上是减函数,∴ <-1 m> 恒成立 ? m>-1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
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? 1 ? x2 ?m ? ? 2x ∴当 x∈(0,1)时, ? 恒成立 ? m∈(-1,0) 2 ?m ? x ? 1 ? x ?1 ?



? ?2mx ? 1 ? x 当 x=1 时, ? , ?m( x ? 1) ? x 2 ? 1 ?
2

?m ? 0 即是 ? ∴m<0 ?0 ? 1



∴①、②两式求交集 m∈(-1,0),使 x∈(0,1 ] 时,

f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,即 m 的取值范围是(-1,0) 44.若 1<x≤2,不等式 ax2-2ax-1<0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:方法一: (从函数图象与不等式解集入手,不等式在(1, 2 ] 上恒成立,即 f(x)=ax2-2ax-1 的图象在 x∈(1, 2 ] 恒在 x 轴下方。) 当 a=0 时,不等式变为-1<0 恒成立; 当 a≠0 时,设 f(x)=ax2-2ax-1,对称轴 x=1,结合二次函数图象:①当 a>0 时,只需 ? a>0。②当 a<0 时,只需 f(1)≤0,即 0≥a≥-1. 综上可得 a≥-1. 解法二: (因不等式恒成立,所以不等式对应的函数在(1, 2 ] 上的最大值恒小于 0,从而转化为二次函 数在闭区间上的最值问题。) 设 f(x)=ax2-2ax+1,当 a=0 时,f(x)=-1,满足不等式 f(x)<0。 当 a>0 时,f(x)对称轴为 x=1,结合二次函数图象,(1, 2 ] 为 f(x)的增区间,∴f(x)max=f(2)=-1<0, ∴a>0 成立; 当 a<0 时,f(x)对称轴为 x=1,区间(1, 2 ] 为 f(x)的减区间。∴f(x)max=f(1)=-a-1≤0. ∴a≥-1, ∴-1≤a<0. 综上所述:a≥-1。 45.已知函数 f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)-1 和-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.

? f (1) ? 0, 可得 ? f (2) ? 0.

?? 4 ? a ? c ? ?1, 解:由-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,可得 ? ?? 1 ? 4a ? c ? 5.
设 9a-c=A(a-c)+B(4a-c),则有 A+4B=9 和-A-B=-1,解得 A=-

5 8 5 8 , B= ,∴9a-c=- (a-c)+ (4a-c). 3 3 3 3
18

5 5 20 8 8 40 ≤- (a-c)≤ , - ≤ (4a-c)≤ ,相加得-1≤9a-c≤20. ∴f(3)的取值范围为[-1, 20]. 3 3 3 3 3 3 f (2) ? f (1) ? , ?a ? ? f (1) ? a ? c, f (2) ? f (1) f (2) ? 4 f (1) ? 3 解法二:由 ? 可得 ? 则 f(3)=9a-c=9 ? 3 3 ? f (2) ? 4a ? c, ?c ? f (2) ? 4 f (1) . ? 3 ? 8 5 8 8 5 5 40 20 = f (2) ? f (1). 由-1≤f(2)≤5,得- ≤ f(2)≤ .由-4≤f(1)≤-1,得 ≤- f(1)≤ . 3 3 3 3 3 3 3 3 8 5 相加得-1≤ f(2)- f(1)≤20. ∴f(3)的取值范围为[-1, 20]. 3 3


? x ? y ? ?4, ? x ? y ? ?1, ? 解法三:令 a=x, c=y, z=9x-y,则问题转化为在 ? 的条件下,求目标函数 z=9x-y 的取值范 ?4 x ? y ? ?1, ?4 x ? y ? 5 ?
围. 由图 1-3-1 可知, x=3, y=7 时, 当 z=9x-y 取到最大值 20. x=0, y=1 时, 当 z=9x-y 取到最小值-1.∴f(3)的取值范围为[-1, 20]. 46.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a, b, c均为实数),且同时满足下列条件: ①f(-1)=0; ②对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;

( x ? 1) 2 ③当x∈(0, 2)时,有f(x)≤ 。 4
(1)求f(1); (2)求a, b, c的值; (3)当x∈[-1, 1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m是实数)是单调函数,求m的取值范围。 解: (1)由f(-1)=0,得a-b+c=0. ①,令x=1,有f(1)-1≥0和f(1)≤

( x ? 1) 2 ,∴f(1)=1. 4

1 ③ 则由题意可得,对任意实数x, 2 1 1 都有f(x)-x≥0,即ax2- x+c≥0对任意实数x恒成立。于是a>0且△≤0,即有ac≥ . ④ 故c>0. 2 16 1 1 1 1 1 由③、④得a+c≥2 ac ≥2× ? ,则a=c= ,故a=c= , b= . 4 4 2 4 2 1 2 1 1 1 2 (3)由(2)可得g(x)=f(x)-mx= x +( -m)x+ = [x +(2-4)x+1],又x∈[-1, 1]时,函数g(x)是单调 4 2 4 4 2 ? 4m 的,所以||≥1,解之,有m≤0或m≥1. 故m的取值范围是m≤0或m≥1. 2
(2)由(1)可知a+b+c=1. ② 联立(1) (2)可有b=a+c= ∴原不等式解集为:{x|-5≤x<0}∪{x|0≤x≤-1+
2

14 14 }={x|-5≤x≤-1+ }. 2 2

47. 已知抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ?1) x ?1(m ? R) (1)当 m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点? (2)若关于 x 的方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 的两个不等实根的倒数平方和不大于 2,求 m 的取值
2

19

范围. (3)如果抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且△ABC 的面积等于 2,试确定 m 的值。 解: (1)据题意,须 m ? 1 ,且 ? ? 0 ,即 (m ? 2) ? ? 4(m ? 1) ? 0 ,得 m 2 ? 0 ,? m ? 0 且 m ? 1 . (2)在 m ? 0 ,1 的条件下, x1 ? x 2 ?

m?2 1 1 1 ,且 x1 x 2 ? ,得 ? ? m ? 2. 1? m 1? m x1 x 2

?

1 1 ? 2 ? (m ? 2) 2 ? 2(m ? 1) ? 2 ,得 m 2 ? 2m ? 0 , ?0 ? m ? 2 ,? m 的取值范 2 x1 x2

为: 0 ? m ? 1或1 ? m ? 2 .

(3)由

1 4 4 1 m | x1 ? x 2 | ? | y c |? 2 得 ? ? | ?1 |? 2 .得 | m |? 4 | m ? 1 | ,解得: m ? 或 . 2 3 5 2 m ?1 1 2 13 x + 的定义域和值域分别为[a, b]和[2a, 2b],求a, b的值。 2 2

48.设函数f(x)=-

解:定义域[a, b]是动态的,由于值域的确定要依赖于区间[a, b]的位置的确定,须就[a, b]位置作分类 讨论。 (1) a>0, f(x)在[a, b]上为减函数, ? 则

?a 2 ? 4b ? 13 ? f (a) ? 2b ? , ? 2 即 , 两式相减, 得(a-b)(a+b)+4(b-a)=0。 ?b ? 4a ? 13 ? f (b) ? 2a ?

∵a≠b, ∴ ?

?a ? b ? 4
2

?a ? 1 。 ,? ? ?a ? 4b ? 13 ?b ? 3
?b ? ?2 ? 17 ? f (a) ? 2a ? ,解得 ? ,又b<0,b=-2- 17 ,且a<b ?a ? ?2 ? 17 ? f (b) ? 2b ?

(2)b<0, f(x)在[a, b]上为增函数,∴ ? 故无解。

?a ? 0 ? 13 ? f (a) ? 2a ? ?b ? (3) ?b ? 0 时,则 ? ,∴ ? 。 4 ? f (0) ? 2b ?b ? ? a ?a ? ?2 ? 17 ? ?

13 ? ?a ? 0 ?b ? 4 ? f (b) ? 2a ? ? ?? (4)若 ?b ? 0 ,∴ ? ,与a<0矛盾。 ? f (0) ? 2b ?b ? ? a ?a ? 39 ? ? 64 ?

?a ? ?2 ? 17 ?a ? 1 ? 综合得, ? 或? 。 13 ?b ? 3 ?b ? 4 ?
49. 已知函数 f ( x) ? log3

m x2 ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为[0,2],求 m,n 的值。 x2 ?1
20

m x2 ? 8 x ? n m x2 ? 8 x ? n 解 : 函 数 f ( x) ? lo g 的 定 义 域为 R,说 明 中 ,x 可 以 取任 意 实数 ,设 3 x2 ?1 x2 ?1

??

m x2 ? 8 x ? n ? ( ? ? m) x 2 ? 8 x ? ( ? ? n ) ? 0 . 2 x ?1

? 方程中的 x ? R,?设 ? ? m ? 0 ,即 ? ? m 时,有 ? ? (?8) 2 ? 4 ? (? ? m)(? ? n) ? 0 ,即有

? 2 ? (m ? n)? ? (mn ? 16) ? 0 .
又? f ( x) ? log3 ? 的值域为[0,2],? ? ? [1,9] ,? 关于 ? 的方程

n? ? 2 ? (m ? n)? ? (mn ? 16) ? 0 的两根为 1 和 9.? 有?m ?? 16 1 ? 9 9 ,解得 m ? n ? 5 . ?mn ? 1? ?
下面检验当 ? ? m ? 0 时是否成立:若 ? ? m ? 0 ,即 ? ? m ,? m ? n ? 5,? ? ? m ? n ? 5 .此时

x?

? ?n
8

? 0 ,而 x ? 0 ? R .? ? ? m ? 0 时, m ? n ? 5 也成立。综上可知: m ? n ? 5 .

50. 已知函数 y ?

mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R.

(1)求实数 m 有取值范围; (2)当 m 变化时,若 y 的最小值为 f(m),求函数 f(m)的值域。 解: (1)当 m ? 0 时, y ? 2 2 ,定义域为 R. 当 m ? 0 时, y ? 应满足 ? ?

mx2 ? 6mx ? m ? 8 定义域为 R,

m?0 ,解得 0 ? m ? 1 ,? 0 ? m ? 1 。 ?? ? 0

(2)当 m ? 0 时, ymin ? 2 2 ? f (m) ;当 0 ? m ? 1 时, ymin ? f (m) ? 8(1 ? m) ,

? f (m) ? 8(1 ? m) , (0 ? m ? 1) 。? f (m) ?[0,2 2 ] 。
51. 若关于x的方程(2-2-|x-3|)2=3+a有实数根,求实数a的取值范围。 解:从函数的观点看,原题可转化为求函数 a=(2-2-|x-3|)2-3(x∈R)的值域。令 t=2-|x-3|,则 0<t≤1。 ∵a=f(t)=(t-2)2-3 在区间(0, 1 ] 上是递减函数。∴f(1)≤f(t)<f(0). 即-2≤f(t)<1。故所求实数 a 的取值范围是 -2≤a<1. 52.已知二次函数 f(x)=ax2+bx 满足 f(1+x)=f(1-x),方程 f(x)=x 有两个相等的实根。 (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)在定义域为[m, n]上对应的值域为[2m, 2n],求 m, n 的值。 解: (1)f(x)=ax2+bx, f(1-x)=f(1+x). 则 f(x)的对称轴为(b-1)2=0, ∴b=1, a=-

b =1。又 f(x)=x 即 ax2+(b-1)x=0 有等根,则 2a

1 1 2 , ∴f(x)=x +x. 2 2 1 1 1 1 1 (2)f(x)=- x2+x=- (x-1)2+ , ∴f(x)的最大值为 。又 f(x)在 x∈[m, n]上的最大值为 2n, 则 2n≤ , 2 2 2 2 2
21

∴n≤

? f ( m) ? 2 m 1 1 。∴f(x)在[m, n]上为增函数,得 ? ,∴m, n 是 f(x)=2x 的两个不等实根。∴- x2+x=2x. 4 2 ? f ( n) ? 2n

∴x2+2x=0, x1=-2, x2=0. ∴m=-2, n=0. 53. 已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为 A, B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值 解
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?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?0 ? x ? 6 由? 且 x≠0,故 0<x< 6 ,又∵f(x)是奇函数, 得? ? 3 ? x 2 ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6 ?

∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又 f(x)在(-3,3)上是减函数,∴x-3>3-x2,即 x2+x-6>0,解得 x>2 或 x<-3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 },∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 }, 又 g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-

1 2 13 ) - 知 g(x)在 B 上为减函数,∴g(x)max=g(1)=-4 2 4
2

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54.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (Ⅲ)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围. 解:(Ⅰ)设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,则

? x0 ? x ? 2 ? 0, ? x0 ? ? x, ? 即? ∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上, ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?
∴ ? y ? x ? 2x,即y ? ?x ? 2x, 故g ? x ? ? ?x ? 2x 。
2 2 2
2 (Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?1 , 可得2x ? x ?1 ? 0 。 x ? 1 时,2 x ? x ? 1 ? 0 , 当 此时不等式无解 当

2

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x ? 1 时, 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ?

1 ? 1? ∴原不等式的解集为 ? ?1, ? 2 ? 2?
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(Ⅲ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1 ,
? ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? . 1? ? 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 1? ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 综上,? ? 0.
55
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已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为(1,3). (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x) 的解析式;

22

(2)若 f (x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解: (1)? f ( x) ? 2 x ? 0的解集为 1,3). f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)(x ? 3),且a ? 0.因而 (

f ( x) ? a( x ? 1)(x ? 3) ? 2x ? ax2 ? (2 ? 4a) x ? 3a.

① ② ∵方程②有两个相等的根,

由方程 f ( x) ? 6a ? 0, 得ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0.

1 5 1 1 2 6 3 由于 a ? 0, 舍去 a ? 1.将a ? ? 代入①得 f (x) 的解析式 f ( x) ? ? x ? x ? . 5 5 5 5
2 ∴ ? ? [?(2 ? 4a)]2 ? 4a ? 9a ? 0 ,即 5a ? 4a ? 1 ? 0, 解得 a ? 1或a ? ? .

(Ⅱ)由 f ( x) ? ax ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ?
2

1 ? 2a 2 a 2 ? 4 a ? 1 ) ? , a a

? a 2 ? 4a ? 1 a 2 ? 4a ? 1 ?? ? 0, .由 ? 及 a ? 0, 可得f ( x)的最大值为? a a ?a ? 0, ?
解得 a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0. 故当 f (x) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围 是 (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0). 56.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ( a ? R, a (I)当0< a < . ? 0)

1 5 时, f (sin x) ( x ? R)的最大值为 ,求 f ( x ) 的最小值. 2 4

(II)如果 x ?[0,1]时,总有| f ( x ) | ? 1 .试求 a 的取值范围. (III)令 a ? 1 ,当 x ? ?n, n ? 1? n ? N ? 时, f ?x ? 的所有整数值的个数为 g ?n ? ,求证:数列 ? 的前 n 项的和 Tn ? 7

?

?

? g ?n ?? n ? ? 2 ?

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1 1 5 ? ?1 ,故当 sin x ? 1 时 f ( x) 取得最大值为 , 知? 2 2a 4 5 1 1 2 1 2 即 f ?1? ? a ? 1 ? ,? a ? ? f ? x ? ? x ? x ? ? x ? 2? ? 1, 所以 f ( x ) 的最小值为 ? 1 ; 4 4 4 4
解: (I)由 0 ? a ?
2 2 (II)由 f ?x ? ? 1得 ax ? x ? 1, ? 1 ? ax ? x ? 1 对于任意 x ? ?0,1? 恒成立,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 使

2 ? 1 1 ?1 1? 1 a? 2 ? ?? ? ? ? ? ? x ? x 2? 4 x f ?x? ? 1成立;当 x ? 0 时,有 ? 2 ?a ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ?1 ? ? 1 ? ? ? 4 x2 x ? x 2? ?

① ②

对于任意的 x ? ?0,1? 恒成立;

23

1 1 ?1 1? ? x ? ?0,1?? ? 1 ,则 ? ? ? ? ? 0 ,故要使①式成立,则有 a ? 0 ,又 a ? 0 ? a ? 0 ; x 4 ? x 2?
又??

2

1 ?1 1? ? ? ? ? ?2 ,则有 a ? ?2 ,综上所述: ? 2 ? a ? 0 ; 4 ? x 2?
1 , 开口向上, f ?x ? 在 ?n, n ? 1? 故 2

2

(III) a ? 1 时, f ?x? ? ax2 ? x , 当 则此二次函数的对称轴为 x ? ? 上为单调递增函数,且当 x ? n, n ? 1 时, f ?n?, f ?n ? 1? 均为整数, 故 g ?n? ? f ?n ? 1? ? f ?n? ? 1 ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n 2 ? n ? 1 ? 2n ? 3
2

?n ? N ?,则数列 ? g2?n?? 的通项 ? ?
?

?

n

?

公式为

2n ? 3 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ,故 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? , n 2 2 2 2 2 2n 1 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? n ?1 , ② 又 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2 2 2 2 2n 2



由①—②得 Tn ?

1 2

2n ? 7 5 1 1 ? 2n ? 3 7 2n ? 7 ? 1 ?7 ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? ? n?1 ,? Tn ? 7 ? 2n 2 2 2 2 ? 2 2 ?2

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1 ? ? x ? x , x ? [?2,?1), ? 1 ? 57. 已知函数 f ( x) ? ?? 2, x ? [?1, ), 2 ? 1 1 ? ? x ? x , x ? [ 2 ,2]. ?
(Ⅰ)求 f(x)的值域; (Ⅱ)设函数 g(x)=ax-2,x∈[-2,2].若对于任意 x1∈[-2,2],总存在 x0∈[-2,2],使得 g(x0)=f(x1) 成立,求实数 a 的取值范围. 解: (I)当 x ? [?2,?1)时, f ( x) ? x ? 当 x ? [?1, )时, f ( x) ? ?2 ;

1 5 在[?2,?1) 上是增函数, 此时 f ( x) ? [? ,?2); x 2

1 2

1 1 3 3 在[ ,2]上是增函数 , 此时 f ( x) ? [? , ] . x 2 2 2 5 3 3 ∴f(x)的值域为 [? ,?2] ? [? , ] 。 2 2 2 5 3 3 (II) (1)若 a=0,g(x)=-2,对于任意 x1∈[-2,2],f(x1)∈ [? ,?2] ? [? , ] ,不存在 2 2 2
当 x ? [ ,2]时, f ( x) ? x ? x0∈[-2,2],使得 g(x0)=f(x1)成立. (2)若 a>0,g(x)=ax-2 在[-2,2]是增函数,g(x) ∈[-2a-2,2a-2]. 任给 x1∈[-2,2], f(x1) ∈ [?

1 2

5 3 3 ,?2] ? [? , ] ,若存在 x0∈[-2,2],使得 g(x0)=f(x1)成立, 2 2 2

24

5 ? ? 2a ? 2 ? ? , ? 5 3 3 ? 2 则 [? ,?2] ? [? , ] ? [?2a ? 2,2a ? 2].? ? 3 2 2 2 ?2 a ? 2 ? . ? 2 ?

?a ?

7 . 4

5 ? ?2 a ? 2 ? ? 2 , ? (3)若 a<0,g(x)=ax-2 在[-2,2]是减函数,g(x) ∈[2a-2,-2a-2]. 同理可得 ? ?? 2 a ? 2 ? 3 . ? 2 ?
7 7 7 ? a ? ? . 综上,实数 a 的取值范围是 ( ?? ,? ] ? [ ,?? ). 4 4 4
58 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? b ? c) 的 图 象 上 有 两 点 A(m1 , f (m1 )) 、 B(m2 , f (m2 )) 满 足

a 2 ? ( f (m1 ) ? f (m2 ))a ? f (m1 ) f (m2 ) ? 0, f (1) ? 0.
(Ⅰ)求证: b ? 0 ; (Ⅱ)求证: f (x) 的图象被 x 轴截得的线段长的取值范围是 [2,3) ; (Ⅲ)问能否得出 f (m1 ? 3), f (m2 ? 3) 中至少有一个数为正数?证明你的结论. 解: (I)? f (m1 ) 、 f (m2 ) 满足 a 2 ? [ f (m1 ) ? f (m2 )]a ? f (m1 ) f (m2 ) ? 0,

即[a ? f (m1 )][a ? f (m2 )] ? 0.? f (m1 ) ? ?a或f (m2 ) ? ?a, ∴ m1或m2是方程f ( x) ? ?a 的一个实根,
? ? ? 0, b 2 ? 4a(a ? c).(a ? c) 2 ? 4a(a ? c) ? ?3a 2 ? 2ac ? c 2 ? 0,? (3a ? c)(a ? c) ? 0. ? f (1) ? 0,? a ? b ? c ? 0, a ? b ? c, a ? 0, c ? 0,? 3a ? c ? 0,? a ? c ? 0,?b ? 0,? b ? 0.
(II)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0两根为x1 、 x2 ,? f (1) ? a ? b ? c ? 0,∴方程 f ( x) ? 0 的一个根为

c c . 又 ? a ? 0, c ? 0,? ? 0,? a ? b ? c且b ? ?a ? c ? 0, a a c ? a ? ?a ? c ? c,? ?2 ? ? ?1,2 ?| x1 ? x 2 |? 3. a c (Ⅲ)设 f ( x) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? a ( x ? 1)( x ? ). 由已知 f (m1 ) ? ?a或f (m2 ) ? ?a. a c c c m1 ? 3 ? ? 3 ? 1. 不妨设 f (m1 ) ? ?a则a (m1 ? 1)( m1 ? ) ? ?a ? 0, ∴ ? m1 ? 1 a a a b 1 b 2 ,? a ? b ? 0, ∴ ? ? ? ? 0,? f ( x)在[1,?? ) 上 为 ∵ f ( x) ? ax ? bx ? c的对称轴为 x ? ? 2a 2 2a
1,另一根为 增函数,∴ f (m1 ? 3) ? f (1) ? 0,? f (m1 ? 3) ? 0. 同理当 f (m2 ) ? ?a时, 有f (m2 ? 3) ? 0, ∴ f (m2 ? 3)或f (m1 ? 3) 中至少有一个为正数.

25

59. 设集合 A=[-1, 1], B=[-

2 2 , ],函数 f(x)=2x2+mx-1。 2 2
9 。 8

(1)设不等式f(x)≤0的解集为C,当C ? (A∪B)时,求实数m的取值范围; (2)当m∈A, x∈B时,证明|f(x)|≤

解: (1)A∪B=[-1, 1], ∵C ? (A∪B),且△=m2+8>0,∴2x2+mx-1=0的两根在[-1,1]上,即f(x)的图

? ? f (?1) ? 0, ?2 ? m ? 1 ? 0, ? ? 像与x轴交点在[-1,1]上。∴ ? f (1) ? 0, ? ?2 ? m ? 1 ? 0, ? -1≤m≤1。∴当-1≤m≤1时,f(x)≤0的解集 ? ?? 4 ? ? m ? 4 m ?? 1 ? ? ? 1 ? 4 ?
为C ? (A∪B)。

1 ,∴|f(x)|=|2x2+mx-1|≤|2x2-1|+|mx|=1-2x2+|mx| 2 1 9 9 1 9 ≤1-2x2+|x|=-2|x|2+|x|+1=-2(|x|- )2+ ≤ 。当且仅当|x|= 时,等号成立。∴|f(x)|≤ 。 4 8 8 4 8
(2)∵m∈A, x∈B ? |m|≤1, x2≤ 60. 给定函数F(x)=ax2+bx+c,以及G(x)=cx2+bx+a,其中|F(0)|≤1, |F(1)|≤1, |F(-1)|≤1,证明:对于|x|≤1有: (1)|F(x)|≤

5 ; 4

(2)|G(x)|≤2。

F (1) ? F (?1) ? 2 F (0) ? F (?1) ? F (1) , b= , 2 2 F(1) ? F(?1) ? 2 F(0) 2 F (1) ? F (?1 ) x ? ∴F(x)=ax2+bx+c, ? x+F(0) 2 2 x( x ? 1) x( x ? 1) ? ? F (1) ? ? F (?1) ? (1 ? x 2 ) ? F (0). 2 2
解: (1)∵F(0)=c, F(1)=a+b+c, F(-1)=a-b+c. ∴a=

?

x( x ? 1) x( x ? 1) ? | F (1) | ? ? | F (?1) | ? | 1 ? x 2 | ? | F (0) | 2 2 x( x ? 1) x( x ? 1) ? ? | 1 ? x 2 | ,∵-1≤x≤1, ∴0≤1+x≤2, 0≤1-x2≤1, 2 2
|x| |x| 1 5 5 5 (1+x)+ (1-x)+(1-x2)=-x2+|x|+1=-(|x|- )2+ ≤ . ∴|F(x)|≤ 。 2 4 4 4 2 2

?

∴|F(x)|≤

(2)|G(x)|= F (0) x 2 ?

F (1) ? F (?1) F (1) ? F (?1) ? 2 F (0) x? 2 2

? ( x 2 ? 1) F (0) ?
? 1? x2 ?

x ?1 1? x x ?1 1? x F (1) ? F (?1) ?| x 2 ? 1 | ? ? 2 2 2 2

1? x 1? x ? ? 2 ? x2 ? 2 . 2 2
2

61. 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), f ( x) 的导数为 f ?(x) . 若 | f (0) |? 1, f ?(0) ? 0, f (1) ? 0. 则:

26

(1)求 f (x) 的解析式; (2)对于任意的 x1 , x2 ? [0,1] ,求证:① | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 2 | x2 ? x1 | ; ② | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 1 .

?| c |? 1, ? 解: (1)由 f ( x) ? ax2 ? bc ? c ,得 f ' ( x) ? 2ax ? b. 由已知,得 ?b ? 0, ?a ? b ? c ? 0, ? ?a ? 1 ?a ? ?1, ? ? 解得 ?b ? 0 或 ?b ? 0, 又? a ? 0,? f ( x) ? x 2 ?1. ?c ? ?1 ?c ? 1. ? ?
2 2 (2)① f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 , | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) |?| x2 ? x1 | · x2 ? x1 | . |

| | 由 x1 , x2 ?[0,1],得0 ? x1 ? x2 ? 2.? x2 ? x1 | ·x2 ? x1 |? 2 | 2 x2 ? x1 |, 即 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 2 | x2 ? x1 | .
2 2 2 2 2 2 2 2 ②? x1 x2 ?[0,1],? x1 , x2 ?[0,1], ??1 ? x2 ? x1 ?,| x2 ? x1 ? 1 |, ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| x2 ? x1 |? 1 . |

62.已知 a,b,c 是实数,函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,-1≤x≤1 时|f(x)|≤1 (1)证明 |c|≤1; (2)证明 当-1 ≤x≤1 时,|g(x)|≤2; (3)设 a>0,有-1≤x≤1 时, g(x)的最大值为 2,求 f(x) 解 (1) 由条件当=1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,取 x=0,得|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1 (2) 依题设|f(0)|≤1 而 f(0)=c,所以|c|≤1 当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数,于是 g(- 1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1) ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,因此得|g(x)|≤2。(-1≤x≤1) 当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数,于是 g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1)。 ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2 综上所述,当-1≤x≤1 时,都有|g(x)|≤2 方法二 ∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,∵f(x)=ax2+bx+c, ∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,根据绝对值不等式性质得 |a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2, ∵g(x)=ax+b,∴|g(± 1)|=|± a+b|=|a± b|≤2,函数 g(x)=ax+b 的图象是一条直线,因此|g(x)|在[-1,1] 上的最大值只能在区间的端点 x=-1 或 x=1 处取得,于是由|g(±1)|≤2 得|g(x)|≤2, (-1<x<1 )
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(3)∵a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当 x=1 时取得最大值 2,即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2 ① ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1 ∵当-1≤x≤1 时,f(x)≥-1,即 f(x)≥f(0),由二次函数
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的性质,直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴,∴-
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b <0 ,即 b=0 2a

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由①得 a=2,所以 f(x)=2x2-1 63 已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程 f(x)=x 的两实数根为 x1,x2。 (1)如果 x1<2<x2<4,设函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证 x0>-1; (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求 b 的取值范围 解 (1)设 g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且 x>0 ∵x1<2<x2<4,∴(x1-2)(x2-2)<0, 即 x1x2<2(x1+x2)-4,
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? x0 ? ?

b 1 b ?1 1 1 1 1 ? ? (? ? ) ? ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 2a 2 a a 2 2 2 1 1 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? ? (2 ? 4) ? 2 ? ?1. 2 2
(2) 由方程 g(x)=ax2+(b-1)x+1=0,可知 x1·2= x

1 >0,所以 x1,x2 同号。? a


① 若 0<x1<2,则 x2-x1=2,∴x2=x1+2>2,∴g(2)<0,即 4a+2b-1<0。 又(x2-x1)2=

(b ? 1) 2 4 ? ? 4 ,∴2a+1= (b ? 1) 2 ? 1 ,(∵a>0)代入①式得, a a2
② 解②得:b<

2 (b ? 1) 2 ? 1 <3-2b,

1 。 4
③ ④
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② 若 -2<x1<0,则 x2=-2+x1<-2,∴g(-2)<0,即 4a-2b+3<0。 又 2a+1= (b ? 1) 2 ? 1 ,代入③式得:2 (b ? 1) 2 ? 1 <2b-1 综上,当 0<x1<2 时,b<
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解④得:b>

7 4

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1 7 ;当-2<x1<0 时,b> 4 4

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64 己知 a ? 0,函数f ( x) ? ax ? bx2 。
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(1) 当b

? 0时,若对任意 x ? R都有f ? x ? ? 1, 证明: a ? 2 b ;

时 (2) 当b ? 1 ,证明:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ;

时, (3) 当0 ? b ? 1 讨论:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件。
证: (1)依题意,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 1.? f ( x) ? ?b( x ?

a 2 a2 ) ? , 2b 4b

?f(

? ?x ? ?1,即ax ? bx2 ? ?1; 又?b ? 1, a ? 2 b , 对任意x ? ?0,1?, 可知 1 1 ax ? bx2 ? 2 b x ? bx2 ? (2 b x ? bx2 )max ? 2 b ? ? b ? ( ) 2 ? 1,即ax ? bx2 ? 1 ? ?1 ? f ( x) ? 1 b b 必要性:对任意 x ? ?0,1?, f ( x) ? 1,? f ( x) ? ?1,? f (1) ? ?1,

a a2 )? ? 1,? a ? 0, b ? 0 ? a ? 2 b . 2b 4b 2 2 (2)充分性:?b ? 1, a ? b ? 1, 对任意x ? ?0,1?, 可推出: ax ? bx ? b( x ? x ) ? x

即a ? b ? ?1? a ? b ? 1; 又? b ? 1? 0 ?
即 a ? 1 ? 1,? a ? 2 b , 故b ? 1 ? a ? 2 b 。 b

1 ? 1 ? ? 1,由f ?x ? ? 1知f ? ? ?1 b ? b?

(3)? a ? 0,0 ? b ? 1 , 对任意x ? ?0,1?, f ( x) ? ax ? bx 时 即 f ( x) ? ?1; 又由f ( x) ? 1, 知f (1) ? 1,即a ? b ? 1,即a ? b ? 1 。 而当 a ? b ? 1时, f ( x) ? ax ? bx ? (b ? 1) x ? bx ? ?b( x ?
2 2

综上,对任意的 x ? ?0,1?, f ( x) ? 1 的充要条件是 ? 1 ? a ? 2 b 。 b
2

? ?b ? ?1 ,

? 0 ? b ? 1,?

b ?1 ? 1. 在?0,1?上, y ? (b ?1) x ? bx2是增函数, 故在x ? 1时取得最大值 1. 2b
28

b ? 1 2 (b ? 1) 2 ) ? 。 2b 4b

f ( x) ? 1. ?当a ? 0,0 ? b ? 1 , 对任意x ? ?0,1?, f ( x) ? 1 时 的充要条件是 ? b ? 1。 a

29


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