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2015年天津高考理科数学详细解析


2015 年天津卷数学(理工类)试卷分析
一、选择题: (1)全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? , A ? ?2,3,5,6? , B ? ?1,3, 4,6,7? ,则集合 A ? C? B (A) ?2,5? (B) ?3, 6? (C) ?2,5,6? (D) ?2,3,5,6,8? 考点定位:集合交并补的运算 难度系数:容易题 答案:(A) 为

?x ? 2 ? 0 ? (2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
(A)3(B)4(C)18(D)40 考点定位:简单线性规划 难度系数:容易题 答案: (C)

(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A) ?10 (B)6(C)14(D)18

开始

S=20,i=1

i=2i S=S-i 否 i>5?


输出 S

结束

考点定位:程序框图

难度系数:容易题 答案: (B) (4)设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 考点定位:充分条件、必要条件、充分必要条件、绝对值不等式、二次不等式 难度系数:容易题 答案: (A) (5) 如图, 在圆 O 中,M , N 是弦 AB 的三等分点, 弦 CD, CE 分别经过点 M , N .若 CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 , 则线段 NE 的长为 (A)

8 10 5 (B)3(C) (D) 3 3 2

D E O A M C
考点定位:圆幂定理中的相交弦定理 难度系数:容易题 答案: (A)

N

B

(6)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的 a 2 b2

?

?

一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 (C) ? ? ? 1 (B) ? ? 1 (D) ? ?1 28 21 21 28 3 4 4 3

考点定位:双曲线渐近线、焦点、抛物线准线

难度系数:容易题 答案: (D) ( 7 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x? ? 2
x?m

?1

( m

为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记

a? ( f l 0 o . g5

3 b ? )? , f

?2

l o? c ?g

a, b, c 2的大小关系为 5 f ,则 , m ?

(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 考点定位:偶函数定义、图像变换、指数函数图像、对数计算 难度系数:中档题 答案: (C)

(8)已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有

4 个零点,则 b 的取值范围是 (A) ?

7? ?7 ? ? ? 7? ?7 ? , ?? ? (B) ? ??, ? (C) ? 0, ? (D) ? , 2 ? 4? ?4 ? ? ? 4? ?4 ?

考点定位:分段函数、图像变换 难度系数:难题 答案: (D)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) i 是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,则实数 a 的值为 考点定位:复数 难度系数:容易题 答案: -2 (10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积 为 .

m3 .

考点定位:三视图 难度系数:容易题

答案:

8 ? 3
.

(11)曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为

考点定位:定积分 难度系数:中档题

答案:

1 6

(12)在 ? x ?

? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数为 4x ?

6

.

考点定位:二项式定理 难度系数:容易题

答案:

15 16 1 4

(13) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 ?ABC 的面积为 3 15 ,b ? c ? 2, cos A ? ? , 则

a 的值为

.

考点定位:三角形面积公式、正弦定理、余弦定理 难度系数:中档题 答案: 8

(14)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / / DC, AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? ,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且, BE ? ? BC , DF ?

??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ? 1 ???? DC , 则 AE ? AF 的最小值为 9?

.

考点定位:等腰梯形的性质、向量的三角形法则、向量积的运算、基本不等式 难度系数:中等题

答案:

29 18

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x ?
2 2

? ?

??

?, x?R 6?

(I)求 f ( x ) 最小正周期;

(II)求 f ( x ) 在区间 [ -

p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4

考点定位:三角函数公式应用、三角函数周期公式、三角函数最值问题 难度系数:容易题 答案:

f (x) ? sin 2 x ? sin 2 (x ? ) 6 1 1 ? ? (1 ? cos 2 x) ? [1 ? cos(2 x ? )] 2 2 3 1 1 3 ? (1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x) 2 2 2 1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6
(I) 最小正周期= (II)

?

T

?

=

2? ?? 2

x ? [?

? ?

? 5? ? 1 ? 1 3 , ] ? 2 x ? ?[? , ] ? sin(2 x ? ) ?[? , ] 3 4 6 6 3 2 6 2 4

16. (本小题满分 13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的 运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 考点定位:古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列数学期望与方差

难度系数:中档题 答案:(I)由已知,有

P( A) ?
所以事件 A 发生的概率为

2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 ? 4 C8 35

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4
k 4?k C5 C3 P?X ? k? ? (k ? 1,2,3,4) C84

所以随机变量 X 的分布列为

X P

1

2

3

4

3 3 1 7 7 14 1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? 14 7 7 14 2 1 14

17.

( 本 小 题 满 分

13

分 ) 如 图 , 在 四 棱 柱

ABCD - A1B1C1D1 中 , 侧 棱

A1 A ? 底面ABCD , AB ? AC , AB = 1 , AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN ? 平面ABCD ; (II)求二面角

D1 -AC - B1 的正弦值;

1 AE AB (III)设 E 为棱 1 1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 3 ,求线段 1 的长

考点定位:直线和平面平行和垂直的判定与性质、二面角、线面角、.空间向量的应用 难度系数:中档题 答案:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, ?2,0) ,

? 1 ? A1 (0,0,2), B1 (0,1,2), C1 (2,0,2), D1 (1, ?2,2) ,又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得 M ?1, ,1? , N (1, ?2,1) . ? 2 ?

(I)证明:依题意,可得 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量, MN ? ? 0, ? ,0 ? , 由此可得, MN ? n ? 0 ,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以 MN // 平面 ABCD (II) AD1 ? (1, ?2,2), AC ? (2,0,0) ,设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 ACD1 的法向量,则

?

???? ?

? ?

5 2

? ?

???? ? ?

???? ?

??? ?

??

?? ???? ? ?? ? ? x ? 2 y ? 2z ? 0 ?n1 ? AD1 ? 0 ,即 ? ,不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) , ? ? ?? ??? ?2 x ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0 ?? ? ???? ?? ? ???? ?n2 ? AB1 ? 0 ? 设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 的一个法向量,则 ? ?? ,又 AB1 ? (0,1,2) ,得 ? ??? ? ? ?n2 ? AC ? 0

?? ? ? y ? 2z ? 0 ,不妨设 z ? 1 ,可得 n2 ? (0, ?2,1) ? ?2 x ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 10 3 10 因此有 cos n1 , n2 ? ?? ?? ,于是 sin n1 , n2 ? , ? ?? 10 10 n1 ? n2
所以二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

3 10 . 10
, 从而 NE ? (?1, ? ? 2,1) , 又n ?0 ( 1 , )

( ,2 ,) ? (III)依题意, 可设 A 其中 ? ? [0,1] , 则 E0 1E ? ? A 1B1 ,
的一个法向量,由已知得

????

???? ?

??? ?

?

为平面 ABCD

??? ? ? ??? ? ? NE ? n 1 1 cos NE , n ? ??? ? ,整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 , ? ? ? NE ? n ( ?1)2 ? (? ? 2)2 ? 12 3
又因为 ? ? [0,1] ,解得 ? ?

7 ? 2,

所以线段 A 1E 的长为 7 ? 2 .

18. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足 an?2 ? qan (q 为实数,且q ? 1),n ? N* , a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n 的前 n 项和. , n ? N * ,求数列 {bn} a2 n?1

考点定位:等差中项定义、等比数列通项公式、错位相减法、奇偶项问题 难度系数:中档题 答案: (I) 由已知,有 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 ,即 a4 ? a2 ? a5 ? a3 , 所以 a2 (q ? 1) ? a3 (q ? 1) ,又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1q ,得 q ? 2 , 当 n ? 2k ? 1(n ? N *) 时, an ? a2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 当 n ? 2k (n ? N *) 时, an ? a2k ? 2k ? 2 2 ,
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? 所以 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? 2 2 , n为偶数. ?

(

) (

) (

) (

)

n ?1 2



n

19. (本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 3 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) ,离心率为 ,点 M 在椭圆上且位于 2 a b 3

第一象限,直线 FM 被圆 x +y = (I)求直线 FM 的斜率;

2

2

b2 4 3 截得的线段的长为 c, |FM|= . 4 3

(II)求椭圆的方程;

(III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围. 考点定位: 椭圆的标准方程、几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、无理不等式、复合函数 难度系数:(I)中档题 (II)难题 (III)难题 答案:(I)解:由已知有

c2 1 ? ,又由 a2 ? b2 +c2 ,可得 a2 ? 3c2 , b2 ? 2c2 . a2 3
2

? kc ? ? c ?2 ? b ?2 设直线 FM 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) .由已知,有 ? ? + ? ? ? ? ? ,解得 2 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

k?

3 . 3
(II)解:由(I)得椭圆方程为

x2 y2 3 ? ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? ? x ? c ? ,两个方程联立,消去 y,整 2 2 3c 2c 3
5 3

2 2 理 得 3x ? 2cx ? 5c ? 0 , 解 得 x ? ? c , 或 x ? c . 因 为 点 M 在 第 一 象 限 , 可 得 M 的 坐 标 为 ? c,

? ? ?

2 3 ? c? .有 3 ? ?

?2 3 ? x2 y 2 4 3 ? ? 1. ,解得 c ? 1 ,所以椭圆的方程为 FM ? (c ? c) ? ? ? 3 c ? 0? ? ? 3 3 2 ? ? y (III)解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ? ,即 y ? t ? x ? 1? ? x ? ?1? , x ?1
2

2

? y ? t ( x ? 1), 6 ? 2 x2 ? 2 2 2 2 2 与椭圆方程联立 ? x 消 去 y , 整 理 得 2x ? 3t ( x ? 1) ? 6 .又由已知,得 t ? ? 2 ,解得 y 3( x ? 1)2 ? 1, ? ? ?3 2
? 3 ? x ? ?1 ,或 ?1 ? x ? 0 . 2
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y 2 2 2 ,即 y ? mx( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 m ? 2 ? . x x 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

? 3 ? 2

? ?

? 2 2 3? 2 2 ? ,得 m ? ? 2 ? 3 , 3 ? ?. x 3 ? ? ? 2 3? 2 2 m ? ?? , ? ,得 ? ? ?. ? 3 ? x2 3 ? ?

综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ? ?

2 3? ? 2 2 3? ??? ? 3 , 3 ? ?. 3 ? ? ? ?

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? n x ? xn , x ? R ,其中 n ? N * , n ? 2 . (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对于任意的正实数 x ,都 有 f ( x) ? g ( x) ; (III)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 1- n

考点定位: 导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式 难度系数:(I)中档题 (II)难题 (III)难题
' 答案:(I)解:由 f ( x ) = nx ? x ,可得 f ( x) = n ? nx
n

n ?1

n ?1 ? = n 1? x ,其中 n ? N ,且 n ? 2 .

?

?

下面分两种情况讨论: (1)当 n 为奇数时. 令 f ' ( x) =0,解得 x ? 1 ,或 x ? ?1 . 当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

? ??, ?1?
-

? ?1,1?
+

?1, ???
-

?

?

?

所以, f ( x ) 在 ? ??, ?1? , ?1, ?? ? 上单调递减,在 ? ?1,1? 内单调递增。 (2)当 n 为偶数时. 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递增; 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递减. 所以, f ( x ) 在 ? ??,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. ( II )证明:设点 P 的坐标为 ? x0 ,0? ,则 x0 ?

1 n
n ?1

' 2 , f ( x0 ) ? n ? n . 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线方程为

y ? f ' ( x0 ) ? x ? x0 ? , 即 g ( x) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) . 令 F ( x) ? f ( x) ? g ? x ? , 即 F ( x)? f ( x)? f ' ( x0 )( x ? x0 ) , 则
F ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' ( x0 ) .
由于 f ( x) ? ?nx
' n?1

? n 在 ? 0, ??? 上单调递减,故 F ' ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递减 .又因为 F ' ( x0 ) ? 0 ,所以当

x ? ? 0, x0 ? 时, F ' ( x) ? 0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时, F ' ( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 ? 0, x0 ? 内单调递增,在 ? x0 , ??? 上单调递
减,所以对于任意的正实数 x ,都有 F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对于任意的正实数 x ,都有 f ( x ) ? g ? x ? .
2 ( III ) 证 明 : 不 妨 设 x1 ? x2 . 由 ( II ) 知 g ? x? ? n ? n

?

??

x? 0x? . 设 方 程 g ? x ? ? a 的 根 为 x2' , 可 得

x2 ' ?

a ? x0 ,当 n ? 2 时,在 ? ??, ??? 上单调递减.又由(II)知 g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? a ? g ? x2 ' ? ,可得 x1 ? x2' . 2 n?n
类 似 地 , 设 曲 线 y ? f ? x ? 在 原 点 处 的 切 线 方 程 为 y ? h ? x ? , 可 得 h ? x? ? n x , 当 x ? ? 0, ??? ,

f ? x ? ? h ? x ? ? ?xn ? 0 ,即对于任意的 x ?? 0, ??? , f ? x ? ? h ? x ? .
设 方 程 h ? x ? ? a 的 根 为 x1' , 可 得 x1 ?
'

a . 因 为 h ? x ? ? nx 在 ? ??, ??? 上 单 调 递 增 , 且 n

h ? x1' ? ? a ? f ? x1 ? ? h ? x1 ? ,因此 x1' ? x1 .
由此可得 x2 ? x1 ? x2 ? x1 ?
' '

a ? x0 . 1? n
n ?1 1 ? 1 ? Cn ?1 ? 1 ? n ? 1 ? n ,故 2 ?

因为 n ? 2 ,所以 2 所以, x2 ? x1 ?

n ?1

? ?1 ? 1?

1 n n ?1

? x0 .

a ?2. 1? n



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