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山东省各地2015届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 立体几何 理


山东省各地 2015 高三上学期期末考试数学理试题分类汇编: 立体几何
一、选择题 1、 (济宁市 2015 届高三)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A、

4 5 3

B、

8 3

C、4 5

D、

4

3

2、(莱州市 2015 届高三)如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥,则这个几何体的侧视图是

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无两边相等的三角形 3、 (临沂市 2015 届高三)已知某几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.12 B.24 C.36 D.48 4、 (青岛市 2015 届高三)若圆台两底面周长的比是 1:4,过高的中点作平 行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是 A.1:16 B.39:129 C.13:129 D.3:27 5、 (泰安市 2015 届高三)已知 m, n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,则下列说法正确的是 A. m ? ? , n / / m ? n / /? C. m ? ? , n ? ? n / / m ? ? / / ? B. m ? ? , n ? m ? n ? ? D. n ? ? , n ? ? ? ? ? ?

6、 (滕州市第二中学 2015 届高三)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

1

A.

40 3

B.

80 3

C.40

D.80

7、 ( 淄 博 市 六 中 2015 届 高 三 ) 如 图 所 示 , 长 方 体 AC1 沿 截 面 AC 1 1MN 截 得 几 何 体 它的正视图、 侧视图均为图 (2) 所示的直角梯形, 则该几何体的体积为( DMN ? D1 AC 1 1学科网 , A. )

14 3

B.

10 3

C. 14

D.10

二、填空题 1、(德州市 2015 届高三)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为 120 等腰三角形,则该三棱锥的四个表面中,面积的最大值为_______. 的

2

2、(桓台第二中学 2015 届高三)半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,圆柱 的侧面积与球的表面积之比是_____ 3、 (济宁市 2015 届高三)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 的中点,那么异面直线 OE 与 AD1 所成角的余弦值等于____

4、(莱州市 2015 届高三)给出下列结论: ①函数 f ? x ? ? ln x ?

3 在区间 ? e,3? 上有且只有一个零点; x

②已知 l 是直线, ?、? 是两个不同的平面.若 ? ? ? , l ? ?,则l ? ? ; ③已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面.若 m ? ? , m ? n, 则n / /? ; ④在 ?ABC 中,已知 a ? 20, b ? 28, A ? 40 ,在求边 c 的长时有两解. 其中所有正确结论的序号是:_____ 5、 (泰安市 2015 届高三)棱长为 4 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是 ▲ .

6 、(潍坊市 2015 届高三)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 __________.

3

三、解答题 1、(德州市 2015 届高三)如图,在四棱锥 P - ABCD 中,PC 上底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, AB ? AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE-=2BE.

(I)求证:平面 EAC ? 平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P-AC-E 的余弦值为

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

2、(桓台第二中学 2015 届高三)四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与 底面垂直,底面 ABCD 是 ?ADC ? 60 的菱形, M 为 PB 的中点. (1)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; (2)求证: PA ? 平面 CDM ; (3)求二面角 D ? MC ? B 的余弦值. 3、 (济宁市 2015 届高三)如图,四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为矩形, 平面 PAD⊥平面 ABCD。 (I)求证:AB⊥PD; (II)若∠BPC=90?,PB=PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P-ABCD 的体积最大?并求此时直线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值。

4

4、(莱州市 2015 届高三)如图所示,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, DE ? 平面 ABCD, AF//DE,DE=2AF,BE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 (1)求证:AC//平面 EFB; (II)求二面角 F ? BE ? A 的大小

2 . 2

5、 (临沂市 2015 届高三)如图,在多面体 ABC ? A1B1C1 中,四边形 ABB1 A 1CB 是 1 是正方形, ?A 等边三角形, AC ? AB ? 1, B1C1 / / BC, BC ? 2B1C1 . (I)求证: AB1 / /平面AC 1 1C ; (II)若点 M 是边 AB 上的一个动点(包括 A,B 两端点),试确定点 M 的位置, 使得平面 CAC (锐角) 的余弦值是 1 1 所成的角 1 1 和平面 MAC

3 . 3

6、 (青岛市 2015 届高三)如图,ABCD 为梯形, PD ? 平面 ABCD,AB//CD, ?BAD=?ADC=90

o

DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a, PD ? 3a ,E 为 BC 中点,连结 AE,交 BD 于 O.
(I)平面 PBD ? 平面 PAE (II)求二面角 D ? PC ?E 的大小(若非特殊角,求出其余弦即可)

5

7、 ( 泰安市 2015 届高三 )如图所 示,在直 三棱 柱

ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? 2, AB ? 4, AC? BC? 3, D
为 AB 的中点,且 AB1 ? AC 1 (I)求证: AB1 ? A 1D ; (II)求二面角 A ? AC 1 ? D 的平面的正弦值.

8、 (滕州市第二中学 2015 届高三)在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求平面 A1DB 与平面 DBB1 夹角的余弦值. 9 、 ( 潍 坊 市 2015 届 高 三 ) 如 图 , 四 边 形 ACDF 为 正 方 形 , 平 面 ACDF ? 平 面 BCDE,BC=2DE=2CD=4,DE//BC, ?CDE ? 90 ,M 为 AB 的中点. (I)证明:EM//平面 ACDF; (II)求二面角 A ? BE ? C 的余弦值.

10、 (淄博市六中 2015 届高三)如图三棱柱 ABC ? 正三角形, AB ? BC 且 AB=BC。又三棱锥 A ? (1) 证明: AC ?

A1B 1C 1 中,底面 ABC ? 侧面 AA1C 1C ,?AA1C 是
9 3 。 8

A1BC 的体积是

(2)求直线 BC 和面 ABA1 所成角的正弦。 A1B ;

6

参考答案 一、选择题 1、B 2、A 二、填空题 1、 15

3、A

4、B

5、D

6、A 7、A

2、1:2

3、

6 3

4、①④

5、32

6、9 ?

三、解答题 1、

7

2、(I)取 DC 的中点 O,由 Δ PDC 是正三角形,有 PO⊥DC. 又∵平面 PDC⊥底面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD 于 O. 连结 OA,则 OA 是 PA 在底面上的射影. ∴∠PAO 就是 PA 与底面所成角. ∵∠ADC=60°,由已知 Δ PCD 和 Δ ACD 是全等的正三角形, 从而求得 OA=OP= 3 .∴∠PAO=45°. ∴PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45°.

8

3、

9

4、

10

5、

11

12

6、(Ⅰ) 连结 BD

P

?BAD ? ?ADC ? 90

AB ? a, DA ? 3a学科网 ,所以 BD ? DC ? BC ? 2a
E 为 BC 中点,所以, DE ? 3a ? AD
因为 AB ? BE ? a , DB ? DB 所以 ?DAB 与 ?DEB 为全等三角形 所以 ?ADB ? ?EDB 所以 ?DAO 与 ?DEO 为全等三角形 所以在 ?DAE 中, DO ? AE ,即 AE ? BD ………………3 分 又因为 PD ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD 所以 AE ? PD ……………………………4 分 而 BD

D

C
O
B
E

A

z
P

PD ? D

D

C
O
B
13

所以 AE ? 平面 PBD ………………………5 分

A

E

x

因为 AE ? 平面 PAE 所以平面 PAE ? 平面 PBD ……………………6 分 (Ⅱ) 以 O 为原点,分别以 DA, DB, DP 所在直线 为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系如图 二面角 D ? PC ? E 即二面角 D ? PC ? B

AD ? 平面 DPC ,平面 DPC 的法向量可设为

n1 ? (1,0,0) ……………7 分
设平面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x, y,1) 所以 ?

? ?n 2 ? BC ? 0 ? ?n 2 ? PC ? 0

,而 B( 3a, a,0), C(0, 2a,0), P(0,0, 3a)

BC ? (? 3a, a,0), PC ? (0, 2a, ? 3a)
即: ?

? ?? 3ax ? ay ? 0 ? ?2ay ? 3a ? 0

,可求得 n2 ? ( ,

1 3 ,1) ………………………………10 分 2 2

n1 ? (1,0,0)
所以两平面 DPC 与平面 DBC 所成的角的余弦值

n1 ? n 2 ? 为 cos? n1 , n 2 ? ? | n1 || n 2 |
7、

1 2 ? 2 ………………………………12 分 2.1 4

14

8、 (1)连接 AB1 交 A1B 与点 E,连接 DE,则 B1C∥DE,则 B1C∥平面 A1BD……4 分 (2)取 A1C1 中点 F,D 为 AC 中点,则 DF⊥平面 ABC, 又 AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB 两两垂直, 建立如图所示空间直线坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0), B(0, 2 2 ,0),A1(-1,0,3)

设平面 A1BD 的一个法向量为 m ? (x, y, z ) ,

A1B ? (1, 2 2, ?3), A1D ? (1, 0, ?3)
15

? ? x ? 2 2 y ? 3z ? 0 ?m ? A1 B ? 0 ?? ? ? ?m ? A1 D ? 0 ? x ? 3z ? 0
取 x ? 3 ,则 z ? 1, y ? 0 ,? m ? ………………………8 分 ( 3,0,1) 设 平 面 A1DB 与 平 面 DBB1 夹 角 的 夹 角 为 θ , 平 面 DBB1 的 一 个 法 向 量 为

n ? (1, 0, 0) ,………………………………………………10 分

则 cos? ?

m?n m?n

?

3 10 10
3 10 。…………………12 分 10

∴平面 A1DB 与平面 DBB1 夹角的余弦值为 9、

10、 (1)证明:取 AC 的中点 O,? AB ? BC ,? BO ? AC ………………1 分 又 ?AA1C 是正三角形,?

A1O ? AC ,………………………………2 分

A1O ? 面A1BO ,BO ? 面A1BO ,A1O ? BO ? O ? AC ? 面A1BO ………………3 分
16

又 A1B ? 面A1BO ,?

AC ? A1B …………………………………4 分
V B ? AA C ?
1

(2)设 AC=a,则V A ? A1BC ?

1 3 2 1 9 3 ? a ? a ? ,? a ? 3 …6 分 3 4 2 8

? 建系如图,则 A(0,

3 3 3 , 0), B(0, 0, ),C(0, , 0) 2 2 2

A1(

3 3 3 3 3 , , 0), , 0, 0), A1C ? (? 2 2 2

AB ? (0, , ), AA1 ? (

3 3 2 2

3 3 3 3 3 , , 0),CB ? (0, ? , )…………8 分 2 2 2 2

? ?n ? AB ? 0 3 n ? ( x , y , 1 ), 由 , ?1, 1)……10 ? 设面 A1AB 法向量为 ,得 : n ? ( 3 ? n ? AA ? 0 1 ?
分 设 直 线 BC 和 面

ABA1









? ,则 sin ? ? cos ? CB ,n ? ?

3 7 3 ? 3 2 2

?

42 ……………………12 分 7

17


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