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数列求和


数列求和
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一、选择题 1.数列{1+2n-1}的前 n 项和为( ) A.1+2n B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n 2.(2013· 三门峡模拟)已知数列{an}的通项公式是 an= 项和为 10,则项数 n 为( A.11 B.99 ) C.120 D.121 1 n+ n+1 ,若前 n

>S2 010 S2 004 3.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=-2 012,2 010-2 004=6, 则 S2 013 等于( A.2 011 ) B.2 010 C.0 D.2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 4.已知数列{an}:2,3+3,4+4+4,…,10+10+10+…+10,…,那 1 么数列{bn}={ }的前 n 项和 Sn 为( ) anan+1 n 4n 3n 5n A. B. C. D. n+1 n+1 n+1 n+1 1 1 5.(2013· 洛阳模拟)已知数列{an}满足 an+1=2+ an-a2 n,且 a1= ,则该数 2 列的前 2 013 项的和等于( ) 3 019 A. 2 B.3 019 C.1 508 D.2 013 1 1 1 6.若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn=a a +a a +…+ anan+1 1 2 2 3 的结果可化为( ) 1 1 A.1-4n B.1-2n 2 1 2 1 C.3(1-4n) D.3(1-2n) 7. 数列{an}、 {bn}都是公差为 1 的等差数列, 若其首项满足 a1+b1=5, a1>b1, 且 a1,b1∈N*,则数列{abn}前 10 项的和等于( ) A.100 B.85 C.70 D.55 二、填空题 8.已知{an}是公差为-2 的等差数列,a1=12,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20| =________. 9.等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=________.

1 10.(2013· 西安模拟)数列{an}满足 an+an+1=2(n∈N*),且 a1=1,Sn 是数列 {an}的前 n 项和,则 S21=________. 11.(2013· 杭州模拟)已知 an=2n-1,则 10a1+9a2+8a3+…+3a8+2a9+a10 =________. 三、解答题 12.(2013· 南昌调研)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1- a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值.

13. (2013· 衢州模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a2=17, S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=ancos(nπ )+2n(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

14.(2013· 合肥模拟)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和, 求 Tn.

15.在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n+2 个数构成递增的等比数列, 将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tan an·tan an+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

16.(2013· 大连模拟)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

解析及答案
一、选择题 1-2n Sn=n+ =n+2n-1. 1-2 C ∵an= 1 n+ n+1 = n+1- n,

1. 【解析】 【答案】 2. 【解析】

∴Sn=a1+a2+…+an =( 2-1)+( 3- 2)+…+( n+1- n)= n+1-1.令 n+1-1=10, 得 n=120. 【答案】 3. 【解析】 C n(n-1) 设等差数列的公差为 d,则 Sn=na1+ d, 2

Sn d ∴ n =-2 012+(n-1)· 2, Sn d ∴数列{ n }是以-2 012 为首项,以2为公差的等差数列, S2 010 S2 004 d 由2 010-2 004=6 得 6×2=6,∴d=2. S2 013 2 ∴2 013=-2 012+(2 013-1)×2=0, 则 S2 013=0. 【答案】 C 4. 【解析】 1+2+3+…+n n an= =2, n+1

1 4 1 1 ∴bn= = =4(n- ), anan+1 n(n+1) n+1 1 1 1 1 1 ∴Sn=4[(1- )+( - )+…+( - )] 2 2 3 n n+1 1 4n =4(1- )= . n+1 n+1 【答案】 B 1 1 2 5. 【解析】 因为 a1=2,又 an+1=2+ an-an ,所以 a2=1, 1 ? ? ,n=2k-1 1 从而 a3=2,a4=1,…,即得 an=?2 (k∈N*). ? ?1,n=2k

1 3 019 故 S2 013=1 007×2+1 006×1= 2 . 【答案】 6. 【解析】 A 1 1 an=2n-1,设 bn= =(2)2n-1, anan+1 则 Tn=b1+b2+b3+…+bn 1 1 1 2 1 =2+(2)3+…+(2)2n-1=3(1-4n). 【答案】 C 7. 【解析】 ∵an=a1+n-1,bn=b1+n-1, ∴abn=a1+bn-1=a1+(b1+n-1)-1=a1+b1+n-2=5+n-2=n+3, 4+13 ∴数列{abn}也是等差数列,其前 10 项和为 ×10=85. 2 【答案】 B 二、填空题 8. 【解析】 由题意知,an=12+(n-1)×(-2)=-2n+14, 令-2n+14≥0,得 n≤7, ∴当 n≤7 时,an≥0,当 n>7 时,an<0, ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|=(a1+a2+…+a7)-(a8+a9+…+a20) 7×6 20×19 =2S7-S20=2[7×12+ 2 ×(-2)]-[20×12+ 2 ×(-2)]=224. 【答案】 224 9. 【解析】 ∵an+2+an+1=anq2+anq=6an, ∴q2+q-6=0, 又 q>0,∴q=2, 1 由 a2=a1q=1 得 a1=2, 1 4 2(1-2 ) 15 ∴S4= =2. 1-2 15 【答案】 2 10. 【解析】 1 由 an+an+1=2=an+1+an+2,

∴an+2=an,则 a1=a21, ∴S21=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a20+a21) 1 =1+10×2=6. 【答案】 6 11. 【解析】 令 Sn=10a1+9a2+8a3+…+3a8+2a9+a10, 则 2Sn=10a2+9a3+…+4a8+3a9+2a10+a11, ∴-Sn=10a1-(a2+a3+…+a10)-a11

2(1-29) =-1 014- =-2 036. 1-2 ∴Sn=2 036. 【答案】 2 036 三、解答题 12. 【解】 (1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q, b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),即 q2-4q+2=0, 解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 得 aq2-4aq+3a-1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0, 1 将 0 代入(*)式,得 a=3. 13. 【解】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 ?a1+d=17, ? ?a1=19 ? 解得? 10×9 ?d=-2 10a1+ 2 d=100, ? ? ∴an=19+(n-1)×(-2)=21-2n. (2)bn=ancos(nπ)+2n=(-1)nan+2n, 当 n 为偶数时, Tn=b1+b2+…+bn=(-a1+2)+(a2+22)+(-a3+23)+…+ n (an+2 )
n n 2(1-2 ) n+1 =(-2)×2+ =2 -n-2, 1-2

当 n 为奇数时, Tn=b1+b2+…+bn=(-a1+2)+(a2+22)+(-a3+23)+…+ (-an+2n) =-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+ 2(1-2n) 1-2

n-1 =-19+2× 2 +2n+1-2=2n+1+n-22,
n+1 (n为偶数) ?2 -n-2, ∴Tn=? n+1 ?2 +n-22. (n为奇数)

14. 【解】 (1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1,(n>1,且 n∈N*) an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,n>1,

a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n, bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n, Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n) 4n-1 n(n+1) = 3 + 2 15.【解】 (1)设 t1,t2,…,tn+2 构成等比数列,其中 t1=1,tn+2=100,则 Tn=t1·t2·…·tn+1·tn+2, ① Tn=tn+2·tn+1·…·t2·t1, ② ①×②并利用 titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得 + + T2 …· (tn+1t2)· (tn+2t1)=102(n 2),Tn=10n 2. n=(t1tn+2)·(t2tn+1)· ∴an=lg Tn=n+2,n≥1. (2)由题意和(1)中计算结果,知 bn=tan(n+2)· tan(n+3),n≥1. 另一方面,利用 tan 1=tan[(k+1)-k]= 得 tan(k+1)· tan k=
n n+2

tan(k+1)-tan k , 1+tan(k+1)· tan k

tan(k+1)-tan k -1. tan 1

所以 Sn=∑ b =∑ tan(k+1)· tan k k=1 k k=3
n+2 tan(k+1)-tan k tan(n+3)-tan 3 =∑ [ - 1] = -n. k=3 tan 1 tan 1

16. 【解】

(1)设{an}的公差为 d.由已知得

?3a1+3d=6, ? ?8a1+28d=-4. 解得 a1=3,d=-1. 故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得,bn=n· qn-1,于是 Sn=1· q0+2· q1+3· q2+…+n· qn-1. 若 q≠1,将上式两边同乘以 q, qSn=1· q1+2· q2+…+(n-1)· qn-1+n· qn. 两 式 相 减 得 到 (q - 1)Sn = nq - 1 - q - q - … - q nqn+1-(n+1)qn+1 q-1 nqn+1-(n+1)qn+1 于是,Sn= . (q-1)2
n 1 2 n-1

qn-1 = nq - = q-1
n

若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1) , 2

n(n+1) ? ? 2 ,(q=1), 所以,Sn=? n 1 nq -(n+1)qn+1 ,(q≠1). ? (q-1)2 ?



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