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《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第九章 双曲线


名师伴你行
2016级高考数学一轮复习课件

§9.6

双曲线

[高考调研 明确考向] 考纲解读 ?了解双曲线的定 义、几何图形和标 准方程,知道它的 简单几何性质. 考情分析 ?双曲线的定义,标准方程及几何 性质是命题的热点. ?题型多为客观题,着重考查渐近 线与离心率问题,难度中等偏低, 解答题很少

考查直线与双曲线的位 置关系,但个别省份也偶有考查.

知识梳理 1.双曲线的概念 1 ________等于 平面内到两定点F1,F2的距离之差的 □ 常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定 2 ______,两焦点间的距离叫□ 3 ______. 点叫双曲线的□

集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a、c为 常数且a>0,c>0}. 4 ______时,P点的轨迹是□ 5 __________; (1)当□ 6 ______时,P点的轨迹是□ 7 __________; (2)当□ 8 ______时,P点不存在. (3)当□ 2.双曲线的标准方程和几何性质

标准 方程

x2 y2 a2-b2=1 (a>0,b>0)

y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0)

图形

3.等轴双曲线 22 □ __________等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准

23 __________,渐近线 方程为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e= □ 24 ________. 方程为□

1 绝对值 答案: □ 双曲线

2 焦点 □ 3 焦距 □ 4 a<c □ 5 □

6 a=c □ 7 两条射线 □ 8 a>c □ 9 坐标轴 □

10 原点 □ 11 坐标轴 □ 12 原点 □ 13 (-a,0) □ 14 (a,0) □ 15 □ (0,-a) b 16 17 □ (0,a) □ y=±a x 2 a 18 □ y=±b x 24 y=± □ x c 19 □a 20 2a □

21 2b □ 22 实轴与虚轴 □ 23 □

名师微博 ●一条规律 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e= 的两条渐近线互相垂直(位置关系). ●两种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双 曲线定义,确定2a、2b或2c,从而求出a2、b2,写出双曲线 方程. 2 ?双曲线

(2)待定系数法:先确定焦点是在x轴上还是在y轴上,设 出标准方程,再由条件确定a2、b2的值,即“先定型,再定 x2 y2 量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 2 - 2 m n =λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.

●三个防范 (1)区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关 系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2. (2)双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1). x2 y2 b (3)双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±a y2 x2 a x,a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=± bx.

基础自测 1.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上, 若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是( A.28 C.14+8 2 B.14-8 2 D.8 2 )

解析:由双曲线定义知, |PF2|-|PF1|=4 2,|QF2|-|QF1|=4 2, ∴|PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=8 2. 又|PF1|+|QF1|=|PQ|=7, ∴|PF2|+|QF2|=7+8 2. ∴△PF2Q的周长为14+8 2.

答案:C

2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( A.2 C.4 B.2 2 D.4 2

)

2 2 x y 解析:双曲线2x2-y2=8的标准方程为 4 - 8 =1,所以

实轴长2a=4,故选C.

答案:C

x2 y2 3.设双曲线 a2- 9 =1(a>0)的渐近线方程为3x± 2y=0, 则a的值为( A.4 ) B.3 C.2 D.1

x2 y2 x y 解析:双曲线a2- 9 =1的渐近线方程为a± 3=0,整理得 3x± ay=0,故a=2,故选C.

答案:C

4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点 在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0,则它的离心率为 ( ) A. 5 5 B. 2 C. 3 D.2

y2 x2 解析:设双曲线方程为a2-b2=1, a 其中一条渐近线方程为y=bx, c2-a2 2 a 1 a ∴b=2= 2 2,即 a2 =e -1=4. c -a ∴e= 5.

答案:A

y2 x2 5.若双曲线16-m=1的离心率e=2,则m=________.

解析:由题意得a2=16,b2=m,∴c2=a2+b2=16+ m, 16+m c2 2 又e=2,由a2=e ,得 16 =4,∴m=48.

答案:48

考点一

双曲线定义的应用

[例1]

已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆

C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.

解析:设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+ |MC2|=r- 2, ∴|MC1|-|MC2|=2 2. 又C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8.∴2 2<|C1C2|.

2 ,

根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0)、C2(4,0) 为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14. x2 y2 ∴点M的轨迹方程是 2 -14=1(x≥ 2).

方法点睛

在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定

义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双 曲线的一支.

变式训练1 (2013· 泉州调研)已知△ABP的顶点A、B分 x2 y2 别为双曲线C: - =1的左、右焦点,顶点P在双曲线C 16 9 |sinA-sinB| 上,则 的值等于( sinP 4 A. 5 5 C.4 ) 7 B. 4 D. 7

解析:在△ABP中,由正弦定理得 |sinA-sinB| ||PB|-|PA|| 2a a 4 = = = = . sinP |AB| 2c c 5

答案:A

考点二

求双曲线的标准方程

[例2]

根据下列条件,求双曲线的标准方程:

x2 y2 (1)与双曲线 9 - 16 =1有共同的渐近线,且过点(-3, 2 3); x2 y2 (2)与双曲线16- 4 =1有公共焦点,且过点(3 2,2).

x2 y2 4 解析:方法一:(1)双曲线 9 - 16 =1的渐近线为y=± 3 x, 4 可判定点(-3,2 3 )在两直线y=±3 x所分区域中包含x轴 的区域内,所以焦点在x轴上.

x2 y2 设双曲线的方程为a2-b2=1, ?b 4 ?a=3, 由题意,得? 2 2 ? - 3 ? ? 2 3 ? ? 2 - 2 =1, b ? a 4x2 y2 所以双曲线的方程为 9 - 4 =1. 9 解得a =4,b2=4.
2

x2 y2 (2)设双曲线方程为a2-b2=1.由题意易求c=2 5. ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2, ∴a2=12,b2=8.a2=30(舍)b2=-10(舍). x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8

x2 y2 方法二:(1)设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0), 9 16 1 将点(-3,2 3)代入得λ= , 4 x2 y2 1 4x2 y2 所以双曲线方程为 9 -16=4,即 9 - 4 =1. x2 y2 (2)设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得k=4(k=-14舍去), x2 y2 所以双曲线方程为 - =1. 12 8

方法点睛

①当焦点位置不确定时,方程可能有两种形

式,求方程时应分类讨论,或者将方程设为mx2+ny2=1(mn <0).②已知双曲线的渐近线方程bx± ay=0,求双曲线方程 时,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0).根据其他条件确 定λ的值.若求得λ>0,则焦点在x轴上;若求得λ<0,则焦 点在y轴上.

变式训练2

x2 y2 (2013· 郑州调研)已知双曲线 a2 - b2 =1(a>

0,b>0)的一条渐近线方程是y= 3 x,它的一个焦点与抛物 线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为__________.

b 解析:∵双曲线的渐近线为y= 3x,∴a= 3,① ∵双曲线的一个焦点与y2=16x的焦点相同,∴c=4.② ∴由①②可知a2=4,b2=12. x2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 4 12

x2 y2 答案: - =1. 4 12

考点三

双曲线的几何性质的应用

[例3]

中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有 13 ,椭圆的长半轴与双曲线

共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2

实半轴之差为4,离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.

解析:(1)由已知:c= 13,设椭圆长、短半轴长分别为 a、b, 双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,则 ?a-m=4, ? ? 13 13 7· =3·m . ? ? a 解得a=7,m=3,∴b=6,n=2. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为49+36=1,双曲线方程为 9 - 4 =1.

(2)不妨设F1,F2分别为左右焦点,P是第一象限的一个 交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10, |PF2|=4. 又|F1F2|=2 13, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 ∴cos∠F1PF2= 2|PF ||PF |
1 2

102+42-?2 13?2 4 = =5. 2×10×4

方法点睛

在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线

的渐近线方程,简化解题过程.同时要熟练掌握以下三方面 内容:①已知双曲线方程,求它的渐近线;②求已知渐近线 b 的双曲线的方程;③渐近线的斜率与离心率的关系,如k= a c2-a2 = a = c2 2 2-1= e -1. a

变式训练3 设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点 为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双 曲线的离心率为( A. 2 B. 3 )

3+1 5+1 C. 2 D. 2

x2 y2 解析:设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),F(c,0), b b B(0,b),则kBF=-c,双曲线的渐近线方程为y=± ax, bb 2 2 2 2 ∴- c · =- 1 ,即 b = ac , c - a = ac ,∴ e -e-1=0, a 5+1 1± 5 解得e= 2 .又e>1,∴e= 2 .

答案:D

考点四

直线与双曲线的位置关系

[例4]

x2 已知椭圆C1的方程为 4 +y2=1,双曲线C2的左、

右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的 左、右焦点. (1)求双曲线C2的方程; (2)若直线l:y=kx+ 2 与双曲线C2恒有两个不同的交点A → → 和B,且OA· OB>2(其中O为原点),求k的取值范围.

x2 y2 解析:(1)设双曲线C2的方程为a2-b2=1, 则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1, x2 2 故C2的方程为 3 -y =1. x2 2 (2)将y=kx+ 2代入 3 -y =1, 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得

2 ? ?1-3k ≠0, ? 2 2 2 ? Δ = ? - 6 2 k ? + 36 ? 1 - 3 k ? = 36 ? 1 - k ?>0, ?

1 2 ∴k ≠ 且k <1,① 3
2

设A(x1,y1),B(x2,y2), -9 6 2k 则x1+x2= 2,x1x2= 2. 1-3k 1-3k ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2

3k2+7 = 2 . 3k -1 → → 又∵OA· OB>2,得x1x2+y1y2>2, 3k2+7 -3k2+9 ∴ 2 >2.即 2 >0. 3k -1 3k -1 1 2 解得3<k <3.② 1 2 由①②,得3<k <1.
? 故k的取值范围为? ?-1,- ? ? ? 3? ? ? 3 ? ∪ . , 1 ? ? ? 3? ?3 ?

方法点睛

一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0),①

x2 y2 双曲线C: 2- 2=1,② a b 把①代入②,得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

b (1)当b -a k =0,即k=±a 时,直线l与双曲线的渐近线
2 2 2

平行,直线与双曲线C相交于一点,如图所示.

b (2)当b -a k ≠0,即k≠± a时,
2 2 2

Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线相交; Δ=0?直线与双曲线相切; Δ<0?直线与双曲线相离.

5 变式训练4 (2013· 桂林调研)已知离心率为 2 的双曲线C 的中心在坐标原点,左、右焦点为F1、F2在x轴上,双曲线C → → 的右支上存在一点A,使AF1· AF2=0且△F1AF2的面积为1. (1)求圆双曲线C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点(E、F 不是左右顶点),且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D, 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y2 解析:(1)由题意设双曲线的标准方程为 a2 - b2 =1(a> 0,b>0), a2+b2 c 5 由已知得e= = = ,解得a=2b. a a 2

→ → ∵AF1· AF2=0且△F1AF2的面积为1, 1 ∴S△F1AF2=2|F1A|· |F2A|=1,|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2. 又|F1A|-|F2A|=2a, ∴(|F1A|-|F2A|)2=4c2-4=4a2.∴b=1,a=2, x2 2 ∴双曲线C的标准方程为 4 -y =1.

y=kx+m, ? ? 2 2 2 2 (2)联立?x 得 (4 k - 1) x + 8 kmx + 4 m +4=0. 2 -y =1, ? ?4 1 显然k≠± ,否则直线l与双曲线C只有一个交点. 2 Δ=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)>0,即4k2-m2-1<0. km ? ?x1+x2=- 82 , 4 k - 1 ? 设E(x1,y1),F(x2,y2),则? 2 4 m +4 ?x x = , 2 1 2 ? 4k -1 ?

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, ∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0), → → ∴DE· DF=0,即(x1-2,y1)· (x2-2,y2)=0. ∴(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0.
2 4 m +4 -8km 2 即(k +1) 2 +(km-2) 2 +m2+4=0. 4k -1 4k -1

化简整理得3m2+16km+20k2=0.

10 ∴m1=-2k,m2=- 3 k,且均满足4k2-m2-1<0. 当m1=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线过定点 (2,0),与已知矛盾.
? 10? 10 当m2=- k时,直线l的方程为y=k?x- 3 ?, 3 ? ? ?10 ? 直线过定点? 3 ,0?. ? ? ?10 ? ∴直线l过定点,定点坐标为? 3 ,0?. ? ?

思想方法(十六) [试题]

数形结合与分类讨论思想的应用 5 )2+y2=

(2011· 广东,14分)设圆C与两圆(x+

4,(x- 5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切. (1)求C的圆心轨迹L的方程;
?3 5 4 5? ? (2)已知点M ? ,F( , ? 5 5 ? ? ?

5 ,0),且P为L上动点,求

||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.

规范解答:(1)依题意得两圆的圆心分别为F1(- 0),F2(

5 ,

5 ,0),从而可得|CF1|+2=|CF2|-2或|CF2|+2=

|CF1|-2,(2分) 所以||CF2|-|CF1||=4=2a<|F1F2|=2 5=2c. 所以圆心C的轨迹是以原点为中心,焦点在x轴上,且实 轴长为4,焦距为2 5的双曲线.(4分) 因此a=2,c= 5,b2=c2-a2=1. x2 2 故C的圆心轨迹L的方程为 4 -y =1.(6分)

(2)过M、F的直线l方程为y=-2(x- 5),(7分) x2 2 6 5 14 5 联立方程 -y =1可得x1= ,x2= . 4 5 5 设直线l与L的交点为
?6 5 ?14 5 2 5? 2 5? ? ? ? ? T1? , T ,- , 2? ? ?.(9分) 5 5 15 15 ? ? ? ?

如图可知,T1在线段MF外,T2在线段MF上,(10分)

故||MT1|-|FT1||=|MF|=2,||MF2|-|FT2||≤|MF||=2,即 P在MF上时满足.(11分)

若P点不在MF上,则 ||MP|-|FP||<|MF|<2.(12分) 综上可知||MP|-|FP||只有点P在T1处取得最大值,即
?6 5 2 5? ? ? ||MP|-|FP||的最大值为2,此时点P的坐标为? ,- ?. 5 5 ? ?

(14分)

点评:与双曲线有关的最值问题在处理时,多结合图形 分析其几何特征,对于不确定问题要注意分类讨论.本题中 第(2)问因为P点是双曲线上一动点,而M、F为定点,直线 MF与双曲线的交点也为定点,故数形结合确定两定点与M、 F关系,从而分类讨论P点位置求解最值.


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