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利用微积分解一道全国物理竞赛题


中学物理 

V o 1 . 2 8  N o . 0 3  

2 0 l O年 2月  

利 用 微 积 分 解 一 道 全 国物 理 竞 赛 题 
物理竞赛  
徐建年 
( 广西师范大学附属中学 广西 桂林 5 4 1 0 0 1 )  

全国中学生物理竞赛明

文规定 , 在处理竞赛问  题时 , 要学完 中学阶段全部初等数学 , 但可以不要求 
用微积分进行推导和运算 , 但近几年的一些试题 , 如  果用“   ” 求和的形式加 以推导 , 显得非常繁琐 , 如  能用微积分的观念来解决就显得轻而易举 , 如第 2 2   届全 国中学生物理预赛第九题就是一例 .  
原题  如 图 1 所示, 水 平放 置的金属 细 圆环半 

于磁 感应 强度 大小 为 B = k r 、 方 向竖直 向上 的恒定 

磁场 中, 式中 k为大于零的常量, , . 为场点到轴线的   距 离. 金 属 细 圆柱 与 圆环 用导线  连 接 . 不计棒 与  轴及与细圆柱端面的摩擦 , 也不计细圆柱、 圆环及导 
线的 电阻和感应 电流产 生的磁 场. 问沿垂 直 于棒 的  方向 以多大的 水 平 外 力作 用 于棒 的 A 端 才能使 棒 
以角速度 c o匀速 转动 .  

径 为 a, 竖 直放 置 的 金 属 细 圆柱 ( 其 半 径 比 n 小得 

注: (   +△  )  =  
( 缸 ) 。 .  

+3 z   △  +3  ( △ z)  +  

多) 的端面与金属 圆环的上表面在 同一平面 内, 圆  
柱 的细轴通 过 圆环 的 中心 0. 一质 量 为  , 电 阻为  R 的均 匀导体 细棒 被 圆环和 细 圆柱 端 面支撑 , 棒 的 


解 法一  ( 常规 方法 )   将整个 导 体棒 分 割成 个小 线 元 , 小 线元 端点 到  轴线 的距离 分别 为 r o ( =O ) , r 。 , r 2 , …, r 卜 l , r i , …,  

端有一 小孔套在 细 轴 0 上 , 另一 端 A 可绕轴 线 沿 

圆环作 圆周 运动 , 棒 与 圆环的摩擦 系数 为  . 圆环 处 

r   一 , , r   ( :a ) , 第i 个线元的长度为△   =r   —r 』 一 1 ,   当△  很小时 , 可以认为该线元上各 点的速度都为 
=c u  , 该 线 元 因 切 割 磁 感 应 线 而 产 生 的 电 动  势为 
△ E =B y   A r i= k r i  ̄ r   J △ r f= 愚   r 2 △     ( 1 )  

整个棒上的电动势为 

l  
e  石  石  e  岔   穹 

E=∑ △ E i =k o J ∑r  ̄ A r ;  
=l  
e  e  石 

( 2 )  
0  、  

=l  
e  石  e 

( 7 ) 制成 的偏振 观察 仪如 图 1 所示 .  
3 . 2 使 用 

3 . 2 . 1   演示 起偏 和检偏 现象  ( 1 ) 先 将偏振 观 察 仪 的端 盖 和 筒 身分 开 , 单 独 

筒身至适当的角度, 使透过筒身偏振片的光强度最  强; 然后继续转动筒身到 3 6 0 。 的过程 中, 可观察到  透 过筒 身偏振 片 的光亮 度 的变化规 律是 : 亮 一 较 暗 


亮 一 较暗 一 亮 , 这说 明反射 光 ( 或折 射光 ) 是偏 

用筒身底部对着窗外观察 , 不论怎样转动筒身 , 透过  偏振片的光强度不变化, 表明从窗 口进来 的光是 自   然光.   ( 2 ) 把端盖和筒身重新组合起来观察从窗户射  入的光 , 让筒身底部对着窗户 , 从端盖上观察 , 保持 
端 盖不动 , 把 筒身 从 0 o 旋转到 3 6 0 。 的过程 中 , 观 察 

振光 .  

需要说明的是 : 在演示起偏和检偏现象 , 当两偏  振片 的偏振 化方 向互 相 垂直 时 , 由于 没有 光透 过 端 
盖 的偏振片 , 故在 端 盖 的偏 振 片上 观 察 到的 是黑 暗 

的消光现象 ; 但是一般情况下 的反射光 ( 或折射光 )   是部分偏振光 , 所 以不会 出现消光现象 , 光亮度的  “ 较暗” 是指相对最暗.   手机在物理实验中的应用远不止这些 , 本文只  是抛砖引玉, 希望大家能用手机开发 出更多的物理  实验 , 让学生感受生活与物理的紧密联系 , 更好地体  现“ 从生活走向物理 , 从物理走向社会”的新课程教  育 理念 .  
?

透过端盖的光亮度的变化规律是 : 亮 一 暗 一 亮 一  暗一 亮, 由此演示 自然光的起偏和检偏现象 .  
3 . 2 . 2   验证 反射光 和 折射光 均为 偏振 光 

将偏振观察仪的端盖和筒身分开 , 单独用筒身  底部观察物体在 自然光照射下, 经平面镜反射所成  的像或经放大镜折射所成的像 : 保持端盖不动 , 旋转 

21  ?  

2 0 1 0年 2月  

V o 1 . 2 8  N o . 0 3  

中学物理 

由( r 十a t ) 。= r   +3 r   △ r+3 r ( A r )  +( a r )   ,   略去高阶小量( △ r )   及( Z X r )   , 可得  r   A r=   [ ( , - 十△ r ) 。 一r 。 ]   代入( 2 ) 式, 得 

导体棒 A端受到的摩擦力矩 
1  

M =寺  ,  
方向与导体棒的运动方向相反.   导体棒 A 端受到的外力矩 
=  

( 2 )  

E=  


∑( r ; 一 。 3   )  

( 3 )  

方向与导体棒运动方向相同.   而导体棒 A受到的安培力矩 M 求法可用微积  分将整个导体棒分割成几个小线元的 , 每个小线元  的长度 为 △ r   ( i =1 , 2 , 3 , …, 7 z ) 每个小 线元到轴 的  距离为 c o t i , 可 以改 为线元上各点 的速度为  =  
( 4 )  

告  [ ( r   一 r   ) + ( r i — r   ) + …+ ( r : 一 r : 一 。 ]  
( 3 )  

=   足 c 帔  .  

由全电路欧姆定律 , 导体棒通过的电流为 
J=   =  

z o ? - i , 该线元因切割磁感应线产生的电动势为 
△ E = By   A r f   k r    ̄ r i A r i   惫 叫 r 2 △    ,  

导体棒 受 到 的安 培力 方 向与棒 的运 动方 向 
相反 .  

写成微 分形式 
d E = 忌 c c J r 2 d r  

第 i 个 线元 △   受到 的安培力 为 
△ L   =B l z l f r ;= k r   I Z  ̄ r ;   ( 5 )  

( 4 )  

整个 导体棒 的 电动 势就是积 

作用于该线元 的安培力对轴线的力矩为 
△M  =  ?r i= 志  2 △  ,    

E  j : J f   。 0 扭   : = J f     0 如 r   d r : 丢 吉 J    。  
根据用合 电路 的欧姆定 律 , 导 体棒 的电流 

( 5 )  

作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为 

J = 簧=  
又小线元 △   受到 的安培力 


( 6 )  
( 7 )  

M =∑ 


=k I ∑r  ̄ , A r  

扣妻 = I   ( r ; 一   = { 一    .  
M =   ( 6 )  

B I A r  = k l r   A r  

作用 于该线元 的安培 力对轴成 的力矩 

即 

△ Mf =△   =k l r z △  
写成微 分形式 
d M =k l r   d r  

( 8 )  
( 9 )  

因棒 A 端对导体 圆环的正压力为去m g , 所以  

作用 于整个导 体棒 的安培力 矩就是 积分 

摩擦力为告  

, 对轴的摩擦力矩为 
1  
=  

M =I   d M =J I   k I r   d r   J   0     0  
( 7 )   =了 1 走  。=   9 R   。   ( 、   1 0 )  

z 譬 n  

其方 向与安 培力 矩相 同 , 均 为阻力矩 . 为使 棒在 

水平面内作匀角速转动 , 要求棒对于 0 轴所受的合  力矩为零 , 即外力矩 与阻力矩相等 , 设在 A 点施加 
垂 直于棒 的外 力为 ,, 则 有 
f a= M + M“   ( 8 )  



 

方 向与导体棒 的运 动方 向相 反 .  

由( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 1 0 ) 得导体棒 A 端受到垂直 
于棒 的外力 
f=  1   +   ( 1 1 )  

由( 6 ) 、 ( 7 ) 、 ( 8 ) 式得 
,:  

J— 9 R  t  2   |   g   解 法二  ( 微积 分法 )  

十一 1

( \   9 )  

从以 上 两种 解法比 较可以 看出, 利用“ ∑” 求  
解所 占篇 幅较 大 , 而用微积分 处理来 得 比较 简单 . 可 

由于 均 匀 细棒 O A 匀速转动, 合力矩为零. 即 

∑ M =0 , 或  


知, 今后若我们在竞赛中碰到求和问题, 应尽量化为  
“ 微积分” 问题来进行求解 , 这样可以极大的提高解 
题速 度 .  

M +  

( 1 )  

?

2 2 ?  


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