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1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及其参考答案


1994 年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题及其参考答案(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题共 65 分)

一、选择题:本大题共 15 小题;第(1)—(10)题每小题 4 分,第(11)—(15)题每小题 5

分, 共 65 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
王新敞
奎屯 新疆

(1) 设全集 I={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4},则 A ? B ( (A) {0} (C) {0,1,4} (B) {0,1} (D) {0,1,2,3,4} ( ) )

(2) 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 (A) (0,+∞) (B) (0,2) (C) (1,+∞) (D) (0,1)

(3) 极坐标方程 ? ? cos? (A) 双曲线

?? ? ? ? ? 所表示的曲线是 ?4 ?
(C) 抛物线 (D) 圆

(

)

(B) 椭圆

(4) 设θ 是第二象限的角,则必有 (A) tg

( (B) tg

)

?
2

? ctg

?
2

?
2

? ctg

?
2

(C) sin

?
2

? cos

?
2

(D) sin

?
2

? cos

?
2

(5) 某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 3 小时,这种 细菌由 1 个可繁殖成 (A) 511 个 (B) 512 个 (C) 1023 个 (D) 1024 个 ( (B) y=sin2xcos4x (D) y=sin2xcos2x ) ( )

(6) 在下列函数中,以 (A) y=sin2x+cos4x (C) y=sin2x+cos2x

? 为周期的函数是 2

1

(7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为 (A) 32 3 (B) 28 3 (C) 24 3 (D) 20 3

(

)

(8) 设 F1 和 F2 为双曲线 则△F1PF2 的面积是 (A) 1

x2 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2=90° , 4
( )

(B)

5 2

(C) 2

(D)

5
( )

(9) 如果复数 z 满足│z+i│+│z-i│=2,那么│z+i+1│的最小值是 (A) 1 (B)

2

(C) 2

(D)

5

(10) 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选法共有 (A) 1260 种 (B) 2025 种 (C) 2520 种 (D) 5040 种 ( ) ( )

(11) 对于直线 m、n 和平面α 、β ,α ⊥β 的一个充分条件是 (A) m⊥n,m∥α ,n∥β (C) m∥n,n⊥β ,m ? α (B) m⊥n,α ∩β =m,n ? α (D) m∥n,m⊥α ,n⊥β


(12) 设函数 f(x)=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤0),则函数 y=f 1(x)的图像是

(

)

(13) 已 知 过 球面 上 A 、 B 、 C 三 点 的 截面 和 球心 的 距 离 等于 球 半 径的一 半 , 且 AB=BC=CA=2,则球面面积是 (A) ( )

16 π 9

(B)

8 π 3

(C) 4π

(D)

64 π 9
( )

(14) 函数 y=arccos(sinx) ? ?

2? ? ? ? ?x? ? 的值域是 3 ? ? 3 ? 5? ? ? ?
(C) ?

(A) ?

? ? 5? ? , ? ?6 6 ?

(B) ?0, ? 6

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

(D) ? , ? ?6 3 ?

?? 2? ?

(15) 定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数
2

h(x)之和,如果 f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么 (A) g(x)=x,h(x)=lg(10x+10 x+2)


(

)

1 1 [lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x] 2 2 x x (C) g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- 2 2 x x (D) g(x)=- ,h(x)=lg(10x+1)+ 2 2
(B) g(x)=

第Ⅱ卷(非选择题共 85 分)

二、填空题 (本大题共 5 小题,共 6 个空格;每空格 4 分,共 24 分.把答案填在题中横 线上) (16) 在(3-x)7 的展开式中,x5 的系数是 (17) 抛物线 y2=8-4x 的准线方程是 准线相切的圆的方程是 (18) 已知 sinθ +cosθ =
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(用数字作答) , 圆心在该抛物线的顶点且与其

1 ,θ ∈(0,π ),则 ctgθ 的值是_____________ 5

王新敞
奎屯

新疆

(19) 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2,圆锥顶点到直线 AB 的距离为 3 , AB 和圆锥的轴的距离为 1,则该圆锥的体积为_________
王新敞
奎屯 新疆

(20) 在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1, a2,…an,共 n 个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量:与其他 近似值比较,a 与各数据的差的平方和最小.依此规定,从 a1,a2,…,an 推出的 a=
王新敞
奎屯 新疆

三、解答题(本大题共 5 小题,共 61 分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) (21) (本小题满分 11 分) 已知 z=1+i. (1)设ω =z2+3 z -4,求ω 的三角形式;

(2)如果

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a,b 的值. z2 ? z ?1

(22) (本小题满分 12 分)
3

已 知 函 数 f(x)=tgx , x ∈ (0 ,

? ? ) . 若 x1 , x2 ∈ (0 , ) , 且 x1 ≠ x2 , 证 明 2 2

x ? x2 1 [f(x1)+f(x2)]>f( 1 ) 2 2
(23) (本小题满分 12 分) 如图,已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点. (1)证明 AB1∥平面 DBC1; (2)假设 AB1⊥BC1,求以 BC1 为棱,DBC1 与 CBC1 为面的 二面角α 的度数. (24) (本小题满分 12 分) 已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 顶点在原点,焦点在 x 轴 正半轴上.若点 A(?1,0) 和点 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上, 求直线 l 和抛物线 C 的方程. (25) (本小题满分 14 分) 设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有 的自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)令 bn ?

an ? 1 ? a n ?1 ? ??n ? N ? ,求 lim?b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ?. ? n ?? 2? a n ?1 ? ? an ?

1994 年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答

一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1. C 11.C 2. D 12.B 3. D 4. A 5. B 14.B 6. D 15.C 7. B 8. A 9. A 10. C

13.D

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)

4

16.-189 20.

17.x=3,(x-2)2+y2=1

18. ?

3 4

19.

2 2 ? 3

1 ?a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n

三、解答题 21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力. 解:(1)由 z=1+i,有 ω =z2+3 z -4 =(1+i)2+3 ?1 ? i ?-4 =2i+3(1-i)-4=-1-i, ω 的三角形式是 2 ? cos (2)由 z=1+i,有

? ?

5 5 ? ? ? i sin ? ? . 4 4 ?

z 2 ? az ? b ?1 ? i ?2 ?a?1 ? i ? ? b ? z2 ? z ?1 ?1 ? i ?2 ? ?1 ? i ? ? 1
=

?a ? b ? ? ?a ? 2?i
i

? ?a ? 2? ? ?a ? b?i
由题设条件知(a+2)-(a+b)i=1-i. 根据复数相等的定义,得 ?

?a ? 2 ? 1 ?? (a ? b) ? ?1

解得 ?

?a ? ?1, ?b ? 2.

22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力. 证明: tgx1+tgx2=

sin x1 sin x2 ? cos x1 cos x2

?

sin x1 cos x2 ? cos x1 sin x2 cos x1 cos x2
5

?

sin ?x1 ? x2 ? cos x1 cos x2 2 sin ?x1 ? x2 ? cos?x1 ? x2 ? ? cos?x1 ? x2 ?

?

∵x1,x2∈(0,

? ),x1≠x2, 2

∴2sin(x1+x2)>0,cos x1cosx2>0,且 0<cos (x1-x2)<1, 从而有 0<cos (x1+x2)+cos (x1-x2)<1+cos (x1+x2), 由此得 tgx1+tgx2> ?

x ? x2 2 sin ?x1 ? x2 ? 1 ,∴ ( tgx1+tgx2)>tg 1 , 2 2 1 ? cos?x1 ? x2 ?



x ? x2 1 [f(x1)+f(x2)]>f( 1 ) 2 2

23.本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想 象能力和逻辑推理能力. (1)证明: ∵A1B1C1-ABC 是正三棱柱, ∴四边形 B1BCC1 是矩形. 连结 B1C 交 BC1 于 E,则 B1E=EC.连结 DE. 在△AB1C 中,∵AD=DC,∴DE∥AB1. 又 AB1 ? 平面 DBC1,DE ? 平面 DBC1,∴AB1∥平面 DBC1. (2)解:作 DF⊥BC,垂足为 F,则 DF⊥面 B1BCC1,连结 EF,则 EF 是 ED 在平面 B1BCC1 上的射影. ∵AB1⊥BC1, 由(1)知 AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则 BC1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α 的平面角. 设 AC=1,则 DC=

1 .∵△ABC 是正三角形,∴在 Rt△DCF 中, 2

DF=DC?sinC= 在 Rt△BEF 中,

1 3 ,CF=DC?cosC= .取 BC 中点 G.∵EB=EC,∴EG⊥BC. 4 4

EF2=BF· GF,又 BF=BC-FC=

3 1 ,GF= , 4 4

6

3 3 1 DF 3 ? 4 ? 1 .∴∠DEF=45°. ∴EF2= · ,即 EF= .∴tg∠DEF= 4 4 EF 4 3 4
故二面角α 为 45°. 24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何 的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力. 解法一:依题设抛物线 C 的方程可写为 y2=2px (p>0), 且 x 轴和 y 轴不是所求直线,又 l 过原点,因而可设 l 的方程为 y=kx (k≠0). ①

设 A'、B'分别是 A、B 关于 l 的对称点,因而 A'A⊥l,直线 A'A 的方程为

y??

1 ?x ? 1? k



由①、②联立解得 AA'与 l 的交点 M 的坐标为 ? ? 又 M 为 AA'的中点,从而点 A'的坐标为 x A'= 2? ?

1 k ? ? , ? 2 ?. 2 ? k ? 1 k ? 1?

1 ? k 2 ?1 ? , ? 1 ? ? 2 k 2 ?1 ? k ? 1?
2k ? ?k ? . ??0? ? 2 2 k ?1 ? k ?1?


y A'= 2?

同理得点 B'的坐标为 x B'=

16 k 8 k 2 ?1 , y = . B' k 2 ?1 k 2 ?1

?

?



又 A'、B'均在抛物线 y2=2px(p>0)上,由③得

2k ? k 2 ?1 ? ,由此知 k≠±1, ?? 2 ? ? 2p? 2 k ?1 ? k ? 1?


2

p?

2k 2 k 4 ?1



7

? 8 k 2 ?1 同理由④得 ? ? k 2 ?1 ?


?

?? ?

16k ? ? 2 p ? k 2 ?1 . ?

2

2 k 2 ?1 . p? 2 k ?1 k
2
2

从而

? ? 2?k ? 1? 2k = k ? 1 ?k ? 1?k
2
4
2

? ?

2



整理得 k2-k-1=0. 解得 k1 ?

1? 5 1? 5 ,k 2 ? . 2 2

但当 k ?

1? 5 5 时,由③知 x A? ? ? ? 0, 2 5 1? 5 . 2

这与 A'在抛物线 y2=2px(p>0)上矛盾,故舍去 k 2 ?

设k ?

1? 5 1? 5 ,则直线 l 的方程为 y ? x. 2 2 2 5 1? 5 代入⑤,求得 p ? . 5 2

将k ?

所以直线方程为

y?
抛物线方程为

1? 5 x. 2

y2 ?

4 5 x. 5

解法二:设点 A、B 关于 l 的对称点分别为 A'(x1、y1)、B'(x2,y2),则 |OA'|=|OA|=1,|OB'|=|OB|=8. 设由 x 轴正向到 OB'的转角为α ,则 x2=8cosα ,y2=8sinα . ①

因为 A'、B'为 A、B 关于直线 l 的对称点,而∠BOA 为直角,故∠B'OA'为直角,因此 x1=cos ?? ?

? ?

??

?? ? ? =sinα ,y1=sin ?? ? ? =-cosα , ② 2? 2? ?
8

由题意知 x1>0,x2>0,故α 为第一象限角. 因为 A'、B'都在抛物线 y2=2px 上,将①、②代入得 cos2α =2p?sinα ,64sin2α =2p?8cosα . ∴8sin3α =cos3α , ∴2sinα =cosα , 解得

sin ? ? 1 5

1 5

, cos? ? 2 5

2 5



将 sin ? ?

, cos? ?

代入 cos2α =2psinα 得

p?

cos2 ? 2 5 , ? 2 sin ? 5

∴抛物线 C 的方程为 y ?
2

4 5 x. 5

因为直线 l 平分∠B'OB,故 l 的斜率

? 1 ?? ?? ?? ? ? k ? tg ?? ? ? ? ? ?? ? tg ? ? ? 2? 2 ?? ?2 4? ?

?? ? sin ?? ? ? cos? 1? 5 2? ? ? ? ? ? ? 1 ? sin ? 2 ? 1 ? cos?? ? ? 2? ?
∴直线 l 的方程为 y ?

5 ?1 x. 2

25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析 问题与解决问题的能力. 解:(1)由题意,当 n=1 时有

a1 ? 2 ? 2S1 ,S1=a1, 2



a1 ? 2 ? 2a1 , 2
a1=2.

解得

9

当 n=2 时有

a2 ? 2 ? 2S 2 ,S2=a1+ a2,a1=2 代入,整理得 2
(a2-2)2=16.

由 a2>0,解得 当 n=3 时有

a2=6.

a3 ? 2 ? 2S 3 ,S3=a1+ a2+ a3,将 a1=2,a2=6 代入,整理得 2
(a3-2)2=64.

由 a3>0,解得 a3=10. 故该数列的前 3 项为 2,6,10. (2)解法一:由(1)猜想数列{an}有通项公式 an =4n-2. 下面用数学归纳法证明数列{ an }的通项公式是 an =4n-2 (n∈N). ①当 n=1 时,因为 4?1-2=2,又在(1)中已求出 a1=2,所以上述结论成立. ②假设 n=k 时结论成立,即有 ak=4k-2.由题意,有

ak ? 2 ? 2S k , 2
将 ak=4k-2 代入上式,得 2k=

2S k ,解得 Sk=2k2.

由题意,有

a k ?1 ? 2 ? 2S k ?1 ,Sk+1=Sk+ak+1, 2

将 Sk=2k2 代入,得 ?

? a k ?1 ? 2 ? 2 ? =2(ak+1+2k2),整理得 ak ?1 -4 ak+1+4-16 k2=0. ? 2 ?

2

由 ak+1>0,解得 ak+1=2+4k.所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2. 这就是说,当 n=k+1 时,上述结论成立. 根据①、②,上述结论对所有的自然数 n 成立. 解法二:由题意,有

an ? 2 1 ? 2S n ?n ? N ? ,整理得 Sn= (an+2)2, 8 2

1 (an+1+2)2, 8 1 ∴an+1= Sn+1-Sn = [(an+1+2)2-(an+2)2], 8
由此得 Sn+1 = 整理得(an+1+ an)( an+1-an-4)=0,
10

由题意知 an+1+an≠0,∴an+1-an=4. 即数列{ an }为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4.∴an =a1+(n-1)d=2+4(n-1), 即通项公式为 an =4n-2. (3)解:令 cn=bn-1,则

cn ?

? an 1 ? a n ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? a a n n ? 1 ? ?

?
?

1 ?? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ?? ? 1? ? ? ? 1?? ? 2? ?? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ??
1 1 ? , 2n ? 1 2n ? 1

b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn = ?1 ? ? ? ?

? ?

1? ?1 1? 1 ? ? 1 ? ? ??? ? ? ? 3? ? 3 5? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? 1?

1 . 2n ? 1

∴ lim?b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ? ? lim?1 ?
n ??

? n ?? ?

1 ? ? ?1 2n ? 1 ?

11


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