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数列的求和公式


数列的求和公式
一、直接求和法(或公式法) 1.等差求和: S n ? n(a1 ? an ) ? na1 ? n(n ? 1) d
2 2

(q ? 1) ? na1 n 2.等比求和: S ? ? ? a1 (1 ? q ) ? a1 ? a n q (q ? 1) n ? 1? q ? 1? q

3.常用的求和

公式 (1)1 ? 2 ? 3 ? ……+n=
2 2 2 2 2 3 3 3 3 n( n ? 1) , (3)1 ? 2 ? 3 ? ……+n = ? n(n ? 1) ? 等. (2)1 ? 2 ? 3 ? ……+n = n(n ? 1)(2n ? 1) , ? ? 2 6 ? 2 ?

1..数列 1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前 n 项和 Sn>1 020,那么 n 的最小值是

二、倒序相加法 1、设 f(x)=

1 2 3 9 4x ,若 S=f( )+f( )+f( )+……+f( ),试求 S 的值。 x 10 10 10 10 4 ?2

2、已知 f(x)=

2x 1 1 1 试求 f( )+f( )+……+f( )+f(1)+f(2)+……f(2012)的值 x ?1 2012 2011 2

3:函数 f ( x) ?

1 ?m ? 0?, x1 , x2 ? R ,当 x1 ? x2 ? 1时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 。 2 4 ?m
x

(1)求 m 的值;

(2)已知数列 ?a n ?满足 an ? f (0) ? f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( n ? 1) ? f (1) ,求 an ;
n n n

(2)若 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,求 Sn

4.已知. g ( x) ?

a2x a ? a2x

1 2 n (1) 求 g ( x) ? g (1 ? x) 的值; (2) 记. an ? g ( n ? 1) ? g ( n ? 1) ? .....? g ( n ? 1) 求 an

(3) cn ?

2 a2 n ?1a2 n ?1

求前 n 项和

(4) 设

,求数列

的前 n 项和 Sn

三、裂项相消法 常见的拆项公式有: (1)
1 1 ? 1 (1 ? 1 ) ; ?1? 1 n(n ? 1) n n ? 1 (2) n(n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 (4) n ? 1 ? 1 ; ? [ ? ] ; n ( n ? 1)( n ? 2) 2 n ( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! (3)

1 求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S. n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

22 42 (2n) 2 2.求和 S n ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

3、已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? n 2 ? n ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;⑵令 bn ?
1 ,求数列{ b }的前 n 项和 T . n n a n a n ?1

4:设正项数列 ?a n ?的的前 n 项和 Sn 满足 S n ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ?

1 ?an ? 1?2 4

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。 an ? an?1

5. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , a1 ? 3, 前n项和为Sn ,{bn } 是 等 比 数 列 ,

b1 ? 1, 且b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960.
⑴求数列 {an }与{bn } 的通项公式; ⑵求证:

1 1 ? ? S1 S2

?

1 3 ? 对一切n ? N * 都成立. Sn 4

四、错位相减法 1 求 1? 3 ? 3? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? ? ? ?2n ?1?3 的和.
2 3 n

2:已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn =2 an ? 2 ,数列 ?bn ?中, b1 ? 1 ,点 P?bn , bn?1 ? 在 直线 x ? y ? 2 ? 0 上。 (1)求 ?a n ?, ?bn ?的通项公式;(2)设 cn ? an ? bn ,数列 ?cn ?的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 。

3、已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 12 ,且 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列. ⑴求 ?an ? 的通项公式;⑵记 bn ?

an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3n

4.已知 ?a n ?等差, 其前 n 项和 Sn ,?bn ?是等比, 且 a1 ? b1 ? 2 ,a4 ? b4 ? 27 ,S4 ? b4 ? 10 。 (1)求 ?a n ?和 ?bn ?的通项; (2)记 Tn ? anb1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn ,证明: Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn 。

五、分组求和法 1 求数列 1 ,2 ,3

1 3

1 9

1 1 ,4 , 27 81

的前 n 项和

2 已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn -an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前 n 项和.

六:已知 Sn 求 an 1 已知 Sn ? 3n2 ? 2n ,求 an 2 已知 Sn ? 2n ? 3 ,求 an

3.已知在正项数列{an}中,Sn 表示前 n 项和且 2

Sn

=an+1,求 an.

七:数列求和应用 1.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn} 的第二、三、四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? an?1 成立.求 c1+c2+c3+…+c2003 的值 b1 b2 b3 bn

2 错误! 未指定书签。 . 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ? a1an

? S1 ? Sn 对一切正整数 n

都成立. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an


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