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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(2)(函数1)


2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(二) (函数 1)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A = {x | 1 ≤ x ≤ 2} , B = { y | 1 ≤ y ≤ 4} ,则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是( ) B. f : x → y = 3 x ? 2 D. f : x → y = 4 ? x
2

A. f : x → y = x 2 C. f : x → y = ? x + 4

2.若函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为[-1,2],则函数 f ( x) 的定义域是 A. [ ?

5 ,?1] 2

B.[-1,2]

C.[-1,5]

D. [ ,2]

1 2

3,设函数 f ( x ) = ?

? x ? 1( x ≥ 1) ,则 f ( f ( f ( 2))) = 1 ( x < 1) ?
B.1 C.2 D. 2

A.0

4.下面各组函数中为相同函数的是 A. f ( x ) = B. f ( x ) =

( x ? 1) 2 , g ( x) = x ? 1 x 2 ? 1, g ( x) = x + 1 x ? 1
2

C. f ( x ) = ( x ? 1) , g ( x) = D. f ( x ) = 5.函数 y = 2 ? A.[0,2]

( x ? 1) 2

x2 ?1 , g ( x) = x+2

x2 ?1 x+2

? x 2 + 4 x ( x ∈ [0,4]) 的值域是
B.[1,2]
?1

C.[-2,2]

D.[- 2 , 2 ]

6.函数 y = f (x ) 有反函数 y = f

( x) ,将 y = f (x) 的图象绕原点顺时针方向旋转 90°后得

到另一个函数的图象,则得到的这个函数是
1

A. y = f

?1

( x)

B. y = ? f

?1

( x)

C. y = f

?1

(? x) D. y = ? f

?1

(? x)

7.将奇函数 y = f (x ) 的图象沿着 x 轴的正方向平移 2 个单位得到图象 C,图象 D 与 C 关于原 点对称,则 D 对应的函数是 A. y = ? f ( x ? 2) B. y = f ( x ? 2)
?1

C. y = ? f ( x + 2)

D. y = f ( x + 2)
?1

8.若函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 象 A.关于直线 y = x 对称 C.关于直线 y = x + 1 对称

( x) ,则函数 y = f ( x ? 1) 与函数 y = f

( x ? 1) 的图

B.关于直线 y = x ? 1 对称 D.关于直线 y = 1 对称

9.函数 f ( 2 x ? 3) 的图象,可由 f ( 2 x + 3) 的图象经过下述变换得到 A.向左平移 6 个单位 B.向右平移 6 个单位 个单位 10.设函数 y = f ( x ) 与函数 y = g ( x ) 的图象如右图所示, 则函数 y = f ( x ) ? g ( x ) 的图象可能是下面的 C.向左平移 3 个单位 D. 向右平移 3

y
f ( x)

y
g ( x)

O

x
y

O

x

y

y

y

O
A
11 .已知 f ( x ) =

x

O
B

x

O
C

x

O
D

x

2x + 3 , 函 数 y = g (x) 的 图象与函 数与 y = f x ?1

?1

( x + 1) 的 图象关 于直线

y = x 对称,则 g (11) 等于
A.

12.已知函数 f (x) 是定义在 ( ? 3 , 3 ) 上的奇函数,当 0 < x < 3 时, f (x) 的图象如图所示,则 不等式 f ( x) cos x < 0 的解集是

3 2

B.

5 2

C.

7 2

D.

21 8

2

A. ( ? 3 , ?

π
2

) ∪ ( 0 ,1) ∪ (

π
2

,3)

y

B. ( ? 3 , ? 1 ) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) C. ( ?

π
2

, ?1) ∪ ( 0 ,1) ∪ (

π
2

O

. 。
1 2 3 x

,3)



D. ( ? 3 , ? 题号 答案 1

π
2
2

) ∪ ( 0 ,1) ∪ (1, 3 )
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。
13.函数 y = log 2 ( x + 1) 的图象与 y = f (x ) 的图象关于直线 x = 1 对称,则 f (x ) 的表达式是

14. 设函数 f(x)的图象关于点 (1, 对称, 2) 且存在反函数 f 1(x),(4)=0, f 1(4)= f 则 15.若对于任意 a ∈ [-1,1], 函数 f(x) = x 2 + (a-4)x + 4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围 是 .





.

16.关于反函数给出下述命题: ①若 f (x ) 为奇函数,则 f (x ) 一定有反函数. ②函数 f (x ) 有反函数的充要条件是 f (x ) 是单调函数. ③若 f (x ) 的反函数是 g (x ) ,则函数 g (x ) 一定有反函数,且它的反函数是 f (x ) ④设函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 则点 Q (b, a ) 一定在 y = f
?1 ?1

( x) ,若点 P(a,b)在 y = f ( x) 的图象上,

( x) 的图象上.

⑤若两个函数的图象关于直线 y = x 对称,则这两个函数一定互为反函数. 其中错误的命题是 .. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17.判断 y = 1 ? 2 x 3 在(- ∞,+∞ )上的单调性,并用定义证明。

18.二次函数 f(x)满足 f ( x + 1) ? f ( x ) = 2 x, 且 f(0)=1. (1) 求 f(x)的解析式;
3

(2) 在区间 [ ?1,1] 上,y= f(x)的图象恒在 y = 2 x + m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 19. 已知函数 f ( x) =

x2 (a, 为常数) b 且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. 1) ( ax + b
( k + 1) x ? k . 2?x

求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f ( x ) <

20.如图,在单位正方形内作两个互相外切的圆,同时每一个圆又与正 方形的两相邻边相切,记其中一个圆的半径为 x,两圆的面积之和为 S, 将 S 表示为 x 的函数,求函数 S = f (x) 的解析式及 f (x ) 的值域.

21.设函数 f ( x ) = x +

1 ( x ∈ (?∞,0) ∪ (0,+∞)) 的图象为 C1 、 C1 关于点 A(2,1)的对称的 x

图象为 C 2 , C 2 对应的函数为 g (x ) , (Ⅰ)求函数 y = g (x ) 的解析式,并确定其定义域; (Ⅱ)若直线 y = b 与 C 2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点的坐标. 22.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f ( f ( x ) ? x 2 + x ) = f ( x ) ? x 2 + x . (Ⅰ)若 f (2) = 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) = a ,求 f ( a ) ; (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) = x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式.

2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(二) (函数(一) 参考答案 )
一、选择题 题号 答案 二、填空题
4

1 D

2 C

3 B

4 D

5 A

6 B

7 D

8 B

9 D

10 D

11 A

12 C

13. y = log 2 (3 ? x). ; 三、解答题

14.-2 ;

15.(-∞?1)∪(3,+∞) ; 16.①、②

17.证明 17.证明:任取 x1 , x2 ∈ R ,且 ?∞ < x1 < x2 < +∞
3 3 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = (1 ? 2 x13 ) ? (1 ? 2 x2 ) = 2( x2 ? x13 ) = 2( x2 ? x1 )( x2 + x2 x1 + x12 )

3 = 2( x2 ? x1 )[( x1 + x2 )2 + x2 x1 ] 4
因 为 x1 < x2 所 以 x2 ? x1 > 0 , 又 ( x1 + x2 ) +
2

3 x2 x1 > 0 , 所 以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 即 4

f ( x1 ) > f ( x2 )
故 f ( x) = 1 ? 2 x3 在(- ∞ ,+ ∞ )上为单调减函数。 或利用导数来证明(略) 18. 解: (1)设 f ( x) = ax 2 + bx + c ,由 f (0) = 1 得 c = 1 ,故 f ( x) = ax 2 + bx + 1 . 因为 f ( x + 1) ? f ( x ) = 2 x ,所以 a ( x + 1) 2 + b( x + 1) + 1 ? ( ax 2 + bx + 1) = 2 x . 即 2ax + a + b = 2 x ,所以 ?
2

?2a = 2 ?a = 1 ,∴ ? ,所以 f ( x) = x 2 ? x + 1 a + b = 0 ?b = ?1 ?
2

(2)由题意得 x ? x + 1 > 2 x + m 在 [ ?1,1] 上恒成立.即 x ? 3 x + 1 ? m > 0 在 [ ?1,1] 上恒成立. 设 g ( x ) = x 2 ? 3 x + 1 ? m ,其图象的对称轴为直线 x = 故只需 g (1) > 0 ,即 1 ? 3 × 1 + 1 ? m > 0 ,解得 m < ?1 .
2

3 ,所以 g ( x ) 在 [ ?1,1] 上递减. 2

19.解: . (1)将 x1 = 3, x 2 = 4 分别代入方程

x2 ? x + 12 = 0 得 ax + b

? 9 = ?9 ? ? a = ?1 x2 ? 3a + b 解得 ? , 所以 f ( x ) = ( x ≠ 2). ? 2? x ?b = 2 ? 16 = ? 8 ? 4a + b ?

x2 (k + 1) x ? k x 2 ? (k + 1) x + k (2)不等式即为 < , 可化为 <0 2? x 2? x 2?x 即 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? k ) > 0.
①当 1 < k < 2, 解集为x ∈ (1, k ) ∪ (2,+∞).
5

②当 k = 2时, 不等式为( x ? 2) 2 ( x ? 1) > 0解集为x ∈ (1,2) ∪ (2,+∞); ③ 当k > 2时, 解集为x ∈ (1,2) ∪ (k ,+∞) . 20.解:设另一个圆的半径为 y,则 2 x + x + 20.

2 y + y = 2 ? ( 2 + 1)( x + y ) = 2

? x+ y =

2 2 +1

= 2? 2,

∴ S = f ( x ) = π ( x 2 + y 2 ) = π [ x 2 + ( 2 ? 2 ? x) 2 ]
= π [2 x 2 ? 2(2 ? 2 ) x + (6 ? 4 2 )] = π [2( x ? 2? 2 2 ) + (3 ? 2 2 )] , 2

因为当一个圆为正方形内切圆时半径最大,而另一圆半径最小, 所以函数的定义域为

3 1 ? 2≤x≤ 2 2

因为

2? 2 3 1 ∈ [ ? 2, ], 所以 Smin = π (3 ? 2 2); 因为 2 2 2

3 1 3 f ( ? 2) = f ( ) = (3 ? 2 2), 2 2 2 3π 3π 所以 S max = (3 ? 2 2) ,所以函数 S = f (x) 的值域为 [π (3 ? 2 2 ), (3 ? 2 2 )] . 2 2 1 1 21. (Ⅰ)设 p (u , v ) 是 y = x + 上任意一点,∴ v = u + ① 21. x u
设 P 关于 A(2,1)对称的点为 Q ( x, y ),∴ ?

?u + x = 4 ?u = 4 ? x ?? 代入①得 ?v + y = 2 ?v = 2 ? y

1 1 ? y = x?2+ 4?x x?4 1 ∴ g ( x) = x ? 2 + ( x ∈ (?∞,4) ∪ (4,+∞)); x?4 2? y = 4?x+

?y = b ? 2 (Ⅱ)联立 ? 1 ? x ? (b + 6)x + 4b + 9 = 0, ?y = x ? 2 + x ? 4 ? ∴ ? = (b + 6) 2 ? 4 × (4b + 9) = b 2 ? 4b = 0 ? b = 0 或 b = 4,
(1)当 b = 0 时得交点(3,0)(2)当 b = 4 时得交点(5,4). ;
6

22.解: (1)因为对任意 x ∈ R ,有 f ( f ( x) ? x + x) = f ( x) ? x + x ,
2 2

所以 f ( f (2) ? 2 + 2) = f (2) ? 2 + 2
2 2

又由 f (2) = 3 ,得 f (3 ? 2 + 2) = 3 ? 2 + 2 f,即 f (1) = 1 .
2 2 2 2 若 f (0) = a ,则 f ( a ? 0 + 0) = a ? 0 + 0 ,即 f ( a ) = a .

(2)因为对任意 x ∈ R ,有 f ( f ( x ) ? x + x ) = f ( x ) ? x + x .
2 2

又因为有且只有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) = x0 .所以对任意 x ∈ R ,有 f ( x ) ? x + x = x0 .
2

在上式中令 x = x0 ,有 f ( x0 ) ? x0 + x0 = x0 ,
2

又因为 f ( x0 ) = x0 ,所以 x0 ? x0 = 0 ,故 x0 = 0 或 x0 = 1 .
2

若 x0 = 0 ,则 f ( x ) ? x 2 + x = 0 ,即 f ( x ) = x 2 ? x 但方程 x0 ? x0 = x0 x 有两上不同实根,与题设条件矛质,故 x0 ≠ 0 .
2

若 x0 = 1 ,则有 f ( x ) ? x 2 + x = 1 ,即 f ( x ) = x 2 ? x + 1 易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为 f ( x ) = x 2 ? x + 1 ( x ∈ R )

7


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