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湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 4.5自感磁场的能量竞赛试题


湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 4.5 自感磁场的能量竞赛 试题

?? / ?t??I / ?t 。根据法拉第电磁感应定律,可得自感到电动势
?自 ? ? L ?I ?t

式中 L 为比例系数,仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关,称为自感系 数。在国际单位制中,自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增 加时,自感电动势与原有电 流的方向相反;当电流减小时,自感电动势与原有电流的 方向 相同。要使任何回路中的电流发生改变,都会引起自感应对电流改变的反抗,回路的自感系 数越大,自感应的作用就越强,改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电 磁惯性”大小的量度。 (2)典型的自感现象 及其规律 如图 4-5-1 所示电路 由 电感线圈 L 和灯泡 A, 以及电阻 R 和灯泡 B 组成 L R A B K O t I1

I感

图 4-5-1

图 4-5-2

1

两个支路连接在一个电源两端。A、B 灯泡相同,当 K 闭合瞬时,L—A 支路中,由于 L 的自 感现象,阻碍电流增大,所以 A 不能立即发光,而是逐渐变亮,而 B 立即正常发光。当稳定 后,电流不再变化时,L 只在电路中起一个电阻的作用。流过 L—A 支路的电流 I 1 ,此时 L 中贮存磁场能为

W ?

1 2 LI 1 2 (在后介绍)

当 K 断开瞬间,L 中电流要减小,因而会产生自感电动势ε ,在回来 L—A—B—R 中产 生感应电流,从能量观点来看,L 释放线 圈中磁场能,转变成电能消耗在回路中,所以 A、 B 灯泡应是在 K 断开后瞬间逐渐熄灭,其回路中电流时间变化如图 4-5-2 所示。 4.5.2、磁场的能量 见图 4-5-3,当 K 闭合后,回路中电流ι 将从零不断增加,而自 R L

感系数为 L 的线圈中将产生自感电动势 增加, ? 和

?自 ? ?

?i ?t 阻碍电流的

K

?

?自 合起来产生电流通过电阻 R
??L ?i ? Ri ?t ?i ?t

图 4-5-3

? ? Ri ? L


式中 i 是变化的,方程两边乘以 i? t 并求和图 5-2-1

??i?t ? ? Ri ?t ? ? Li?i
2

显然,方程的左边是电源输出的能量,而方程右边第一项是在电阻 R 上产生的焦耳热, 那剩下的一项显然也是能量,是储存在线圈中的磁场能,下面我们求它的更具体的表达式: K 刚闭合时, i =0,而当电路稳定后,电流不再 y

I?
变化,自感电动势变为零,稳定电流

? R (忽略电
O

?i

I

i
2

图 4-5-4

源内阻),

? Li?i 这个求和式的求和范围从 0 到 I,令,y= i 并以 i 为横作标,y 为纵坐标

做一坐标系,则 y= i 在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标 i 处取 ? ?i , ?i 很小, 可认为对应的 y 为常量,窄条面积 ?S ? y?i ? i?i ,把从 0 到 I 的所有窄条面积加起来

? y?i ? ?i?i 即为 y= i 与 i 轴所夹三角形面积,故
? y?i ? ? i?i ? 2 I
代入

1

2

? Li?i 可知储存线圈内的能量。
W? 1 2 LI 2

从公式看, 能量是与产生磁场的电流联在一起的, 下面我们求出直螺线管的自感系数从 而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为 l,截面积为 S,故绕有 N 匝线圈,管内为真空。 当线圈中通有电流 I 时,管内磁场的磁感应强度

B ? ? 0 nI ,通过 N 匝线圈的磁通量

N N2 ? ? NBS ? N? 0 IS ? ? 0 IS l l
与 ? ? LI 相比较,可得

L ? ?0

N2 S l

L ??
将代 代入磁场能量式

0

N B Bl ? S I? ?0 n ?0 N l ,
2

1 N ? Bl ? 1 B ? W? n S? ? ?2n v 2 l ? ? N ? ?
2 2 2 0 0 0

单位体积的磁场能量为

B2 2n 0

1 1 ?0 E 2 与电场的能量密度 2 相比较,公式何等相似。从电学、磁学公式中,我们知道 ? 0
对应于

n0 ,公式的相似来源于电场,磁场的对称性。

3

磁场的能量密度公式告诉我们,能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场,就有 B , 就有能量。 另外, 公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来, 但对所有磁场的均适用。

?

典型例题 例 1、 如图 4-5-5 所示的电路中, 电池的电动势 ? ? 12V , 内阻 R1 A K B R3 L R2

r ? 1?; R1 ? 2?, R2 ? 9?, R3 ? 15?, L ? 2H , 开始时

??r

电键 K 与 A 接通。将 K 迅速地由 A 移至与 B 接通,则线圈 L 中可产生的最大自感电动势多大?

图 4-5-5
分析:K 接在 A 点时,电路中有恒定电流 I,当 K 接至 B 瞬间时,线圈中自感所产生的感应 电动势应欲维持这一 电流,此瞬时电流 I 就是最大值, 维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。 解:L 为纯电路,直流电阻不计,K 接在 A 时,回路稳定时电流 I 为

I?

2 ? 1A R1 ? R2 ? r

当 K 接到 B 点时,线圈中电流将逐渐减小至零,但开始时刻,电流仍为 I ? 1 A ,根据 欧姆定律,维持这电流的瞬时自感电动势为

? L ? I ( R2 ? R3 )
? 24V
以后电 流 变小,自感电动势也减小直至零。 例 2、由半径 r1 ? 1 毫米的导线构成的半径 r2 ? 10 厘米的圆形线圈处于超导状态,开始 时线圈内通有 100 安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足 10 安培,试粗略估 算此线圈电阻率的上限。 解:线圈中电流 I (t ) 的减小将在线圈内导致自感电动势,故
4
?6

? ? ?L
(1) 式中 L 是线圈的自感系数

?I ? IR ?t

L?

? I

在计算通过线圈的磁统量 ? 时,以导线附近即 r1 处的 B 为最大,而该处 B 又可把线圈 当成无限长载流导线所产生的,即

B(r1 ) ?

n0 I 2?r1
(r1 )?r22 ? n0 r22 I (t ) 2r1

?< B

2 ? n0 r2 L? I < 2r1

(2)

R??


2?r2 2r ? ? 22 2 ?r1 r1

(3)

把式(2)和式(3)代入式(1),得

? <
?3

?

? 0 r1 r2 ?I 4 I ?t

(4)

把 r1 ? 10 米, r2 ? 10 米, I ? 100 安培及

?1

?
代入式(4)得

?I 10?6 ? 3.2 ?10?14 ?t < 365? 24? 3600 安 培/秒

? < 1.0 ?10?26 欧姆/米
这 就是超导线圈电阻率的上限。

5


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