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高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 . 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习 理讲解


第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2015·滨州模拟]命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 答案 D 解析 该命题是全称命题,其否定是特称命题,即存在实数,它的平方不是正数,结合 选项知 D 正确. 2.[2015·偃师模拟]已知命题 p:? x0∈R,log2(3x0+1)≤0,则( A.p 是假命题,綈 p:? B.p 是假命题,綈 p:? C.p 是真命题;綈 p:? D.p 是真命题;綈 p:? 答案 B ) )

x∈R,log2(3 +1)≤0 x∈R,log2(3x+1)>0 x∈R,log2(3x+1)≤0 x∈R,log2(3x+1)>0
x x

x

解析 命题 p 为特称命题,故綈 p 为全称命题,又对? x 而言,3 +1>1,从而 log2(3 +1)>0 恒成立,故 p 为假命题.
3 2

3.[2015·唐山一模]命题 p:? x∈N,x <x ;命题 q:? a∈(0,1)∪(1,+∞),函数

f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0).则(
A.p 假 q 真 C.p 假 q 假 答案 A
3 2 2

) B.p 真 q 假 D.p 真 q 真

解析 ∵x <x ,∴x (x-1)<0,∴x<0 或 0<x<1,在这个范围内没有自然数,命题 p 为假 命题. ∵对? a∈(0,1)∪(1, +∞), loga1=0, 即 f(x)的图象过点(2,0), 命题 q 为真命题. 故 选 A. 4. 已知命题 p: (a-2) +|b-3|≥0(a, b∈R), 命题 q: x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, 给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧(綈 q)”是假命题; ③命题“(綈 p)∨q”是真命题; ④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题. 其中正确的是( ) A.②③ C.①③④ 答案 D 解析 命题 p、q 均为真命题,则綈 p、綈 q 为假命题.从而结论①②③④均正确,故选 D. B.①②④ D.①②③④
2 2

1

5.[2016·江西九校联考]已知直线 l1:ax+3y+1=0 与 l2:2x+(a+1)y+1=0,给出 3 命题 p:l1∥l2 的充要条件是 a=-3 或 a=2;命题 q:l1⊥l2 的充要条件是 a=- .对于以上 5 两个命题,下列结论中正确的是( A.“p∧q”为真 C.“p∨(綈 q)”为假 答案 C 解析 对于命题 p,因为当 a=2 时,l1 与 l2 重合,故命题 p 为假命题;当 l1⊥l2 时,2a 3 3 +3a+3=0,解得 a=- ,当 a=- 时,l1⊥l2,故命题 q 为真命题,綈 q 为假命题,故命 5 5 题 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,p∨(綈 q)为假命题,p∧(綈 q)为假命题,故选 C. 1 6.[2015·昆明三模]若“p:? x0∈[1,4],log x0≤a”是真命题,则实数 a 的最小值 2 是( ) A.0 C.-2 答案 C 1 解析 问题转化为 y=log x0 在 x0∈[1,4]上的取值范围,则 y∈[-2,0],∴a≥-2,∴ 2 B.1 D.-1 ) B.“p∨q”为假 D.“p∧(綈 q)”为真

a 的最小值是-2.故选 C.
π 7. [2015·揭阳一模]已知命题 p: 函数 y=sin4x 是最小正周期为 的周期函数, 命题 q: 2 函数 y=tanx 在?

?π ,π ?上单调递减,则下列命题为真命题的是( ? ?2 ?
B.(綈 p)∨q D.(綈 p)∨(綈 q)

)

A.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) 答案 D

2π π 解析 函数 y=sin4x 的最小正周期 T= = ,所以 p 是真命题;函数 y=tanx 在 4 2

?π ,π ?上单调递增,故 q 是假命题,所以綈 p 为假,綈 q 为真,从而(綈 p)∨(綈 q)为真, ?2 ? ? ?
故选 D. 8.[2016·南昌调研]下列说法错误的是(
2 2

)
2 2

A.命题“若 x -5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x -5x+6≠0” B.若命题 p:? x0∈R,x0+x0+1<0,则綈 p:? x∈R,x +x+1≥0 C.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥?

?x+y?2”的充要条件 ? ? 2 ?

D.已知命题 p 和 q,若“p 或 q”为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 答案 D 解析 易知 A、B 正确;由 xy≥?

?x+y?2?4xy≥(x+y)2?4xy≥x2+y2+2xy?(x-y)2≤0 ? ? 2 ?

?x=y 知 C 正确;对于 D,命题“p 或 q”为假命题,则命题 p 与 q 均为假命题,所以 D 不正
2

确. 9.[2016·西城模拟]已知命题 p:函数 y=(c-1)x+1 在 R 上单调递增;命题 q:不等 式 x -x+c≤0 的解集是?.若 p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 要使函数 y=(c-1)x+1 在 R 上单调递增, 则 c-1>0,解得 c>1. 所以 p:c>1. 因为不等式 x -x+c≤0 的解集是?, 所以判别式 Δ =1-4c<0, 1 1 解得 c> ,即 q:c> . 4 4 因为 p 且 q 为真命题. 所以 p,q 同为真, 1 即 c> 且 c>1,解得 c>1. 4 所以实数 c 的取值范围是(1,+∞). 10. 给出下列命题: ①命题“? x≥2, x -2x+1<3”的否定为“? x<2, x -2x+1≥3”; ②“若 a>0,b>0,则 a+b>0”的否命题为“若 a≤0,b≤0,则 a+b≤0”;③若 p 是綈 q 的充分非必要条件,则綈 p 是 q 的必要非充分条件;④“a<b”是“am <bm ”的必要不充分 条件.其中是真命题的有________(把你认为正确命题的序号都填上). 答案 ③④ 解析 ①错误,命题的否定应为“? x≥2,x -2x+1≥3”;②错误,否命题应为“若
2 2 2 2 2 2 2

a≤0 或 b≤0,则 a+b≤0”;③正确,由已知可知“若 p,则綈 q”为真命题且“若綈 q,则 p”为假命题,利用原命题与其逆否命题的等价性可知:“若 q,则綈 p”为真命题且“若綈 p, 则 q”为假命题, 所以綈 p 是 q 的必要非充分条件; ④正确, 令命题 p: a<b, 命题 q: am2<bm2,
若 a<b,当 m=0 时,am =bm ,所以 p ? q;当 am <bm 时,显然 m ≠0,∴a<b,∴q? p,∴
2 2 2 2 2

p 是 q 的必要不充分条件.
11.已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=c 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x -2cx+1
x
2

?1 ? 在? ,+∞?上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围. ?2 ?
解 因为函数 y=c 在 R 上单调递减,所以 0<c<1.
x

即 p:0<c<1,因为 c>0 且 c≠1, 所以綈 p:c>1. 1 ?1 ? 2 又因为 f(x)=x -2cx+1 在? ,+∞?上为增函数,所以 c≤ . 2 2 ? ? 1 即 q:0<c≤ ,因为 c>0 且 c≠1, 2 1 所以綈 q:c> ,且 c≠1. 2 又因为“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,

3

所以 p 真 q 假或 p 假 q 真. ①当 p 真,q 假时,
? ? ? 1 ? 1 {c|0<c<1}∩?c| c> 且c≠1?=?c| <c<1?. 2 2 ? ? ? ? ? 1? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c| 0<c≤ ?=?. 2? ? ? ? ?1 综上所述,实数 c 的取值范围是?c? <c<1 ? ?2 ? ? ? ?. ? ?

?2x-2a?x≥2a?, ? x 12. 已知 a>0, 设命题 p: 函数 y=a 在 R 上单调递减, q: 函数 y=? ?2a?x<2a? ?

且 y>1 恒成立,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 a 的取值范围. 解 若 p 是真命题,则 0<a<1, 若 q 是真命题,则 y>1 恒成立, 即 y 的最小值大于 1, 而 y 的最小值为 2a,只需 2a>1, 1 ∴a> , 2 1 ∴q 为真命题时,a> . 2 又∵p∨q 为真,p∧q 为假, ∴p 与 q 一真一假, 1 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ; 2 若 p 假 q 真,则 a≥1, 故 a 的取值范围为?a
? ?

|0<a≤1 或a≥1?. 2 ?
[B 组·能力提升练] )
x x

?

1.下列四个命题中是真命题的是(

①存在 x∈(0,+∞),使不等式 2 <3 成立;②不存在 x∈(0,1),使不等式 log2x<log3x 成立;③对任意的 x∈(0,1),不等式 log2x<log3x 成立;④对任意的 x∈(0,+∞),不等式 1 log2x< 成立.

x

A.①③ C.②③ 答案 A

B.①④ D.②④

1 解析 ①中取 x=1 即可满足;②中取 x= 即可使不等式成立;画图可知③为真命题; 32 ④中取 x=4,不等式不成立.故选 A. 2.[2014·课标全国卷Ⅰ]不等式组?
?x+y≥1, ? ? ?x-2y≤4

的解集记为 D.有下面四个命题:

4

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2, p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3, p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( A.p2,p3 C.p1,p2 答案 C 解析 画出不等式组?
?x+y≥1, ? ? ?x-2y≤4

) B.p1,p4 D.p1,p3

的可行域 D 如图阴影部分:两直线交点 A(2,-1),

设直线 l0 的方程为 x+2y=0.由图象可知,? (x,y)∈D,x+2y≥0.故 p1 为真命题,p2 为真 命题,p3,p4 为假命题.

3.[2016·衡水调研]直线 x=1 与抛物线 C:y =4x 交于 M,N 两点,点 P 是抛物线 C 准 → → → 线上的一点,记OP=aOM+bON(a,b∈R),其中 O 为抛物线的顶点. → → (1)当OP与ON平行时,b=________; (2)给出下列命题: ①? a,b∈R,△PMN 不是等边三角形; → → ②? a<0 且 b<0,使得OP与ON垂直; ③无论点 P 在准线上如何运动,a+b=-1 恒成立. 其中,所有正确命题的序号是________. 答案 (1)-1 (2)①②③ → → 解析 (1)∵OM=(1,2),ON=(1,-2), → → → ∴OP=aOM+bON=(a+b,2a-2b). → → ∵OP∥ON,∴2a-2b+2(a+b)=0,
5

2

∴a=0.∵抛物线的准线为 x=-1,点 P 在准线上, ∴P 点的横坐标为-1,∴a+b=-1,∴b=-1. (2)对于①,假设是等边三角形,则 P(-1,0),|PM|=2 2,|MN|=4,|MN|≠|PM|,这 → → → → 5 与假设矛盾,∴假设不成立,原结论正确;对于②,OP与ON垂直,OP·ON=0,得到 a= b, 3 ∴②正确;③显然成立. 4.[2015·天水模拟]已知函数 f(x)=ax+b 1+x (x≥0),且函数 f(x)与 g(x)的图象 关于直线 y=x 对称,又 g(1)=0,f( 3)=2- 3. (1)求 f(x)的表达式及值域; (2)问是否存在实数 m,使得命题 p:f(m -m)<f(3m-4)和 q:g?
2 2

?m-1?>3满足复合命题 p ? ? 4 ? 4

且 q 为真命题?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解 (1)由 g(1)=0,f( 3)=2- 3可得 a=-1,b=1,
2

故 f(x)= 1+x -x(x≥0), 由于 f(x)= 在[0,+∞)上递减, 2 1+x +x 1

所以 f(x)的值域为(0,1]. (2)存在.因为 f(x)在[0,+∞)上递减, 4 2 故 p 真? m -m>3m-4≥0? m≥ 且 m≠2; 3

?3? 1 ?1? 3 又 f? ?= ,即 g? ?= , ?4? 2 ?2? 4
故 q 真? 0<

m-1 1
4

< ≤1? 1<m<3. 2

?4 ? 故存在 m∈? ,2?∪(2,3)满足复合命题 p 且 q 为真命题. ?3 ?

6


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