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广东省佛山市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学试题


2014 学年度下学期期末考试高二级理科数学试题
命题人、审题人:吴 统胜,黄俊斌

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1、下面是关于复数 Z ? ?1 ? i 的四个命题:其中的真命题为(



p1 : z ? 2
( A) p2 , p3
2、复数<

br />
p2 : z 2 ? 2i

p3 : z ?

2

p4 : z 的虚部为 1
(C ) p? , p?

( B ) p1 , p2


( D) p? , p?

? 1 ? 3i 的共轭复数为( 1?i

(A) .2?i (B) .2?i (C) . 1 ? 2i (D) . 1 ? 2i 3、设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组 样本数据(xi,yi) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? y =0.85x-85.71,则 下列结论中不正确的是( ) (A).y 与 x 具有正的线性相关关系 能通过编辑域代码创建对象。 ,y) (C).若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg (D).若该大学某女生身高为 170cm,则其体重必为 58.79kg 4、盒中装有 6 件产品,其中 4 件一等品,2 件二等品,从中不放回地取产品,每次取 1 件, 取两次。已知第二次取得一等品,则第一次取得的是二等品的概率是( ) (A) 、 (B).回归直线过样本点的中心(错误!不

3 5

(B) 、

2 5

(C) 、

1 3

(D) 、

2 9

5、甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共 有( ) (A). 6 种 (B). 12 种 (C). 30 种 (D). 36 种 6、将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同, 则不同的排列方法共有( (A) .12 种 7、已知曲线 y ? (A) .1 ) (B) .18 种

(C) .24 种 )

(D) .6 种

1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
(B) .2 (C) .3
,

(D) .4

8 、设 函数 f ( x ) 在 R 上可 导, 其导 函数 为 f ( x) , 且函 数

y ? (1 ? x) f ' ( x) 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一
定成立的是( )

(A)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 9、 ( x ? 2)(
2

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( 2 x
(B)、-2
5

) (C)、3 (D)、7

(A)、5 10、 ? x ?

? ?

a ?? 1? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则 a 为( ) x ?? x?
(B)1 (C)-2 (D)-1 )

(A)2 11、由曲线 y ? (A)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
(B)4 (C)

10 3

16 3

(D)6

12、如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” , 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均 为

1 ? n≥2? , 每 个 数 是 它 下 一 行 左 右 相 邻 两 数 的 和 , 如 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? ,…, 1 2 2 2 3 6 3 4 12


1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 20 1 12 1 30 1 6 1 12 1 20 1 2 1 3 1 4 1 5

则第10行第4个数(从左往右数)为(

??????????????? 图2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,?,191,202,?, 999.则 (Ⅰ)4 位回文数有 个; (Ⅱ) 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有 个.

1 1260 1 (C). 504
(A).

1 840 1 (D). 360
(B).

14、甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,直至每人都已投 球 2 次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投 3 2

篮互不影响。则乙获胜的概率是__________ 15、某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N (1000,50 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命
2

超过 1000 小时的概率为 元件 1 元件 3 元件 2

16、在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos ? ? ? ? y ? 5 sin ?

( ? 为参数,

? 2 x ? 1? t ? ? ? 2 0 ? ? ? )和 ? ( t 为参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点坐标为 2 ?y ? ? 2 t ? ? 2

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、 (12 分)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ?y ? 3sin?

正半轴为极轴建立坐标系, 曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 , 正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

18、 (12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女 工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工 人进行技术考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望。w.w.w..c.o.m

19、 (10 分)已知 a , b, c 都是正实数,求证:.

(Ⅰ)

a2 ? 2a ? b ; b

a 2 b2 c2 ? ? ? a?b?c (Ⅱ) b c a
20 、 ( 12 分 ) 若 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 方 程 x2 ? an x ? an ? 0 有 一 个 实 数 根 为

Sn ?1, n ? N * .
(1)求 a1 , a2 ; (2)猜想数列 ?Sn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明.

?

?

21、 (12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 ? a ln x ? a ? R ? . x

(1)当 a ? ?1 时,试确定函数 f ? x ? 在其定义域内的单调性; (2)求函数 f ? x ? 在 ? 0, e? 上的最小值;

22、 (12 分) f ? x ? ? x ? a ? ln x ?a ? 0 ? . (1)若 a ? 1, 求 f ? x ? 的单调区间及 f ? x ? 的最小值;

(2)试比较

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 ?n ? 1??2n ? 1? ? ? ? ? 与 的大小. ?n ? N ? 且n ? 2 ? , 2 2 2 2?n ? 1? 2 3 n

2014 学年度下学期期末考试高二级理科数学试题答卷
座位号: 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13、 (Ⅰ) __________, (Ⅱ) ____________ 试室号: 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 17、(12 分) 14、 ________ 15、 _______ 16、 ________



姓名:



班级:

18、 (12 分)

线

考号:

19、 (10 分)

20、 (12 分)

21、 (12 分)

22、 (12 分)

2014 学年度下学期期末考试高二级理科数学试题答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. DDDB CAAD CBCB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、 (Ⅰ)90 ; (Ⅱ) 9 ? 10n . 14、

4 9

15、

3 8

16、 (2,1)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、 (12 分)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ?y ? 3sin?

正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

解: (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) ---------------------------4 分 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) ------------------8 分 (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?

? x0 ? 2cos? (?为参数) ---------------------------------------------9 分 ? y0 ? 3sin?
2

t ? PA

2

? PB

? PC

2

? PD

2

2 2 ? 4x 0 ? 4y 0 ? 16

? 16 cos 2 ? ? 36 sin 2 ? ? 16 ? 32 ? 20 sin 2 ? ---------------------11 分 ? 0 ? sin 2 ? ? 1

52?-------------------------------------------------------------------------------------12 分 ? t 的范围是 ?32,

18、 (12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女 工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工

人进行技术考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望。
w.w.w..c.o. m

解: (I)因为甲组有 10 人,乙组有 5 人,从甲、乙两组中共抽取 3 人, 所以甲组抽取 2 人,乙组抽取 1 人------------------------------------------------------2 分 (II)记从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人为事件 A

P(A ) ?

1 1 C4 ? C6 8 ? 2 15 ------------------------------------------------------------------4 分 C 10

(III) ? 的可能取值为 0,1,2,3------------------------------------------------------------5 分

P(? ? 0) ?

1 2 C3 C4 6 ? ? 2 1 C10 C5 75 , 1 1 1 2 1 C4 C6 C3 C4 C2 28 , ? ? ? ? 2 1 2 1 C10 C5 C10 C5 75 2 1 C6 C2 10 ? ? , 2 1 C10 C5 75

P(? ? 1) ?

P(? ? 3) ?

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?
分布列 0 1 2

31 75 --------------------------------9 分
3

P(? )

6 75

28 75

31 75

10 75
--------------10 分

E(? ) ? 0 ?

6 28 31 10 8 ?1? ?2? ?3? ? -------------------------------------12 分 75 75 75 75 5

19、 (10 分)已知 a , b, c 都是正实数,求证:.

(Ⅰ)

a2 ? 2a ? b ; b

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a
2

证明: (Ⅰ)

? b ? 0, ?a ? b ? ? 0 ?

a2 a 2 ? 2ab ? b 2 ?a ? b ? ? ?2a ? b ? ? ? ? 0 --------------------------------3 分 b b b a2 ? ? 2a ? b b
2

当且仅当

a ? b 时,取“=”号.----------------------------------------------4 分

a2 b2 c2 ? 2a ? b , ? 2b ? c , ? 2c ? a -----------------7 分 (Ⅱ) :由(Ⅰ)可知 b c a


a 2 b2 c2 ? ? ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? a ? b ? c --------------------------9 分 b c a
a ? b ? c 时,取“=”号.--------------------------------- ------10 分

当且仅当

方法二(1):∵ a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b) 2 ? 0 ∴ a ? 2ab ? b ? b ? 0 ∴
2 2

a2 ? 2a ? b . b

当且仅当

a ? b 时,取“=”号.

? a ? 0, b ? 0, c ? 0,?
(2)

a2 a2 ?b ? 2 ? b ? 2a, b b

b2 b2 c2 c2 ?c ? 2 ? c ? 2b, ? a ? 2 ? a ? 2c c c a a
三式相加可得:

a 2 b2 c2 a ? b ? c ? ? ? a?b?c b c a 当且仅当 时,取“=”号

20 、 ( 12 分 ) 若 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 方 程 x2 ? an x ? an ? 0 有 一 个 实 数 根 为

Sn ?1, n ? N * .
(1)求 a1 , a2 ; (2)猜想数列 ?Sn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明.

?

?

解: (1)由题意得:

(a1 ? 1) 2 ? a1 (a1 ? 1) ? a1 ? 0 ? a1 ?

1 2 ,-------------------2 分

(a1 ? a 2 ? 1)2 ? a 2(a1 ? a 2 ? 1) ? a 2 ? 0 ? a 2 ?
(2)由 将

1 ---------------------4 分 6

(Sn ?1)2 ? an (Sn ?1) ? an ? 0 知 Sn 2 ? 2Sn ? 1 ? an Sn ? 0 ,
an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 代入 Sn 2 ? 2Sn ? 1 ? an Sn ? 0 得:
( ? )----------------------------------6 分

Sn Sn?1 ? 2Sn ? 1 ? 0 (n ? 2)
S1 ?

由(1)

1 2 3 , S2 ? S3 ? 4 2 3 ,由( ? )得

猜想:

Sn ?

n n ?1

---------------------------------------------------7 分

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时, S 1 ?

1 结论成立.------------------------------------------8 分 2

(ii)假设 n=k 时结论成立,即 S k ?

k k ?1

--------------------------------9 分

当 n=k+1 时,由( ? )得 S k ? 1 ? 故 n=k+1 时结论也成立.

1 k ?1 k ?1 ? ? ------------11 分 2 ? Sk k ? 2 (k ? 1) ? 1

综上,由(i) 、 (ii)可知

Sn ?

n n ? 1 对所有正整数 n 都成立.-----------------12 分

21、 (12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 ? a ln x ? a ? R ? . x

(1)当 a ? ?1 时,试确定函数 f ? x ? 在其定义域内的单调性; (2)求函数 f ? x ? 在 ? 0, e? 上的最小值; 解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? ,-----------------------------------1 分 当 a ? ?1 时, f ? x ? ?

1 1 1 x ?1 ? ln x ,则 f ? ? x ? ? ? 2 ? ? 2 ,---------2 分 x x x x

解不等式 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ; 解不等式 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 , 故函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0,1? ,单调递增区间为 ?1, ?? ? ;-------4 分 (2)? f ? x ? ?

1 1 a ax ? 1 ? a ln x ,? f ? ? x ? ? ? 2 ? ? ? ,------------------5 分 x x x x

当 a ? 0 时, ?x ? ? 0, e ? , f ? ? x ? ? 0 , 此时函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, 函数 f ? x ? 在 x ? e 处取得最小值,

1 1 ? ae ? a ln e ? ;---------------------------7 分 e e 1 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ? x ? ? , a 1 1 当 ? ? e 时,即当 ? ? a ? 0 , ?x ? ? 0, e ? , f ? ? x ? ? 0 , a e
即 f ? x ?min ? f ? e ? ? 此时函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, 函数 f ? x ? 在 x ? e 处取得最小值,

1 1 ? ae ? a ln e ? ;---------------------------9 分 e e 1 1 当 0 ? ? ? e ,即当 a ? ? 时, e a 1 1 当 0 ? x ? ? , f ? ? x ? ? 0 ,当 ? ? x ? e 时, f ? ? x ? ? 0 , a a 1 此时函数 f ? x ? 在 x ? ? 处取得极小值,亦即最小值, a
即 f ? x ?min ? f ? e ? ? 即 f ? x ?min ? f ? ?

? 1? ? 1? ? ? ?a ? a ln ? ? ? ? ?a ? a ln ? ?a ? ,------------11 分 ? a? ? a?

综上所述, f ? x ?min

1 ? 1 ? ae , a?? ? ? e e ?? ;----------------------------12 分 ??a ? a ln ? ?a ? , a ? ? 1 ? e ?

22、 (12 分) f ? x ? ? x ? a ? ln x

?a ? 0? .

(1)若 a ? 1, 求 f ? x ? 的单调区间及 f ? x ? 的最小值;

(2)试比较

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 ?n ? 1??2n ? 1? ? ? ? ? 与 的大小. ?n ? N ? 且n ? 2 ? , 2 2 2 2?n ? 1? 2 3 n

??)---------------------------1 分 解: (1) a ? 1, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x , x ? (0,
当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x, f
'

?x ? ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 0.
x x

? f ? x ? 在区间 ?1,?? ? 上是递增的 -----------------------------------------3 分
当 0 ? x ? 1 时, f(x ) ? 1 ? x ? ln x ,f (x ) ? ?1 ?
'

1

x

? 0

? f ? x ? 在区间 ?0,1? 上是递减的. -------------------------------------------5 分
故 a ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?0,1? , f ? x ?min ? f ?1? ? 0 (2) -------6 分

ln 22 ln 32 ln n2 ? n ? 1?? 2n ? 1? ? , ?n ? N 且n ? 2 ? ------------7 分 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 3 n 2 ? n ? 1?
ln x 1 ----------------9 分 ? 1? x x

以下证明: 由(1)可知,当 a ? 1, x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0, 即

?

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? 2 ?1? 2 ? ? ?1? 2 ? n ?1? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 3 n 2 3 n 3 n ? ?2

? 1 1 1 ? 1 1 ? ?1 1 1 1 ? n ?1? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? ? n ?1 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1? ? ? ? ?
= n ?1? ?

1 ? ?n ? 1??2n ? 1? ?1 . --------------------------------------12 分 ? ?? 2?n ? 1? ? 2 n ?1?

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