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一2012届高考考前一个月理数解答题训练(一)


解答题训练(一)限时 60 分钟
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 18. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin

?

x x ? x x , cos ), b ? (cos , 3 cos ) ,函数 f ( x) ? a ? b . 3 3 3 3

/>
(1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及
2

函数 f (x) 的值域.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 2 (n ? N ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且
*

点 P(bn , bn ?1 ) (n ? N ) 在直线 y ? x ? 2 上。
*

(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? an ? sin
2

n? n? ? bn ? cos 2 ( n ? N *) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2

20. (本小题满分 15 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是正方形,AF⊥平面 ABCD,DE//AF,AB= DE=2 (1)求证:BE⊥AC; (2)点 N 在棱 BE 上,当 BN 的长度为多少时,直线 CN 与平面 ADE 成 30? 角?

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21. (本小题满分 15 分) 设 t ? 1 ,点 A( ?t ,0),直线 AM、BM 的斜率之积为 ?t ,对于每一个 t ,记点 M 的轨迹 为曲线 C t . (1)求曲线 C t 的方程及焦点坐标; (2)设 O 为坐标原点,过点(0, ?t )的直线 l 与曲线 C t 交于 P、Q 两点,求△ OPQ 面积 的最大值 S (t ) ,并求 S (t ) 的值域.

22. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? m( x 2 ? 2 x)(m ? R) . (1)当 m ? ?1 时,求函数 f (x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

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解答题训练(一)参答
18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? a ? b ? sin
?

x x x x cos ? 3 cos cos 3 3 3 3

(2)令 2k? ?

2x ? ? 5? ? ? ? 2k? ? ,解得, 3k? ? ? x ? 3k? ? , (k ? Z ) . 2 3 3 2 4 4 5? ? 故函数 f (x) 的单调递增区间为 [3k? ? ,3k? ? ], (k ? Z ) .…………(7 分) 4 4 2 2 2 2 2 a ?c ?b a ? c ? ac 2ac ? ac 1 ? b 2 ? ac, cos x ? ? ? ? . 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? , ? ? cos x ? 1,? x ? , 0 ? ? ? ? 2 3 3 3 3 9 2x ? 3 3 ? 2x ? , ? 3 ?s in ( ? )? ? 1? ? sin ? sin( ? ) ? 1 , 3 3 2 2 3 3 3 3 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ]. 2 3 ? 综上所述, x ? (0, ], f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ] ..…………………(14 分) 2 3 ?

1 2x 3 2x 3 2x ? 3 . sin ? cos ? ? sin( ? ) ? 2 3 2 3 2 3 3 2

?

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 n ? 1, a1 ? 2 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ∴ an ? 2an?1 , ∴ an ? 2n ……………………………………………(4 分)
bn?1 ? bn ? 2 ,又 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 ……………..……………..……(8 分)
? 2n n为奇数 (2) cn ? ? ……………………..…..……………..……(10 分) ?? (2n ? 1) n为偶数 T2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ?b2n )

? 2 ? 23 ? ? ? 22 n?1 ? [3 ? 7 ? ? ? (4n ? 1)] ?

22 n?1 ? 2 ? 2n 2 ? n .………(14 分) 3

20. (本小题满分 15 分) (1)可证明 AC ? 平面 BDE,或空间向量证明.………(6 分) (2) D 为原点, 以 DA、 DC、 为 x, y, z 建立空间直角坐标系, DE 则 A(2,0,0)、B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2) . 设 N ( x, y, z) ,且 BN ? ? BE (0 ? ? ? 1) . 则 N (2 ? 2?,2 ? 2?,2? ) , ∴ CN ? (2 ? 2? ,?2? ,2? ) .

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平面 ADE 的法向量为 n ? (0,1,0) . 则 cos ? n, CN ?? 又 BE ? 2 3 ,
2? (2 ? 2? ) ? (2? ) ? (2? )
2 2 2

?

1 , 2

解得 ? ? 2 ? 1 .

∴ BN ? ?BE ? ( 2 ? 1) ? 2 3 ? 2 6 ? 2 3 .

即当 BN ? 2 6 ? 2 3 时,直线 CN 与平面 ADE 成 30? 角.………………(15 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)设 M ( x, y) ,则 得曲线的方程
y y ? ? ?t ( x ? ?t ) . x ?t x?t

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?t ) ,………………………………………..…(3 分) t2 t3

焦点坐标为(0, t ( t ? 1) )和(0, ? t ( t ? 1) ).……………………………..…(6 分) (2)设直线 l : y ? kx ? t , P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) .
2kt ? ? x1 ? x2 ? t ? k 2 ? y ? kx ? t ? 由? 2 得, (t ? k 2 ) x 2 ? 2ktx ? t 2 ? t 3 ? 0 ,则 ? . 2 3 tx ? y 2 ? t 3 ? ? x1 x2 ? t ? t2 ? t?k ?

S? ?

t 2 ? t ? tk 2 1 1 2kt 2 t2 ? t3 ? t2 ? t? | x1 ? x2 |? t ? ( ) ? 4? . (t ? k 2 ) 2 2 2 t ? k2 t ? k2
mt ? t 1 1 1 ? t 2 t ? ? ( ? )2 ? . 2 m m 2 4

设 t ? k 2 ? m ,则 S (t ) ? t 2 ? 当 1 ? t ? 2 时,S (t ) max ?

1 2 1 , t t(当且仅当 t ? k 2 ? 2 时取等号) 此时 ? S (t ) ? 2 2 . 2 2

当 t ? 2 时, S (t ) max ? t ? t 2 ? t , (当且仅当 t ? k 2 ? t 时取等号) ,此时 S (t ) ? 2 2 . 综上, S (t ) 的取值范围是(
1 , ??) .…………………………………….…(15 分) 2

22. (本小题满分 14 分) 解: (1)函数 f (x) 的定义域是 (?1,??) ,易证: ln(x ? 1) ? x 当 m ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x 2 ? 2 x , 则 f ?( x) ? ln(x ? 1) ? 2x ? 1 ? x ? 2x ? 1 ? ?( x ? 1) ? 0 ∴ f (x) 的单调递减区间是 (?1,??) .…………………………(6 分) (2)由题得: f (0) ? 0 .
f ?( x) ? ln(x ? 1) ? (1 ? 2m) ? 2mx ? x ? (1 ? 2m) ? 2mx ? (1 ? 2m)(x ? 1) .
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若m??

1 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f (x) 在 [0,??) 是减函数. 2

故此时 f ( x) ? f (0) ? 0 恒成立.………………………………….…………(9 分) 若?
1 ? m ? 0 , x ? 0 时,设 g ( x) ? ln(x ? 1) ? (1 ? 2m) ? 2mx . 2 1 1 ? 2m . ? 2m ,则 g ?( x) ? 0 得, x ? ? x ?1 2m 1 ? 2m 1 ? 2m ) 上递增,在 (? ,??) 上递减. 2m 2m

则 g ?( x) ?

即 g (x) 在 (0,? ∴ 当 x ? (0,?

1 ? 2m ) 时, f ?( x) ? g ( x) ? g (0) ? 1 ? 2m ? 0 . 2m

故此时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,不符合题意.………………….……………(12 分) 若 m ? 0 , x ? 0 时,
f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? m( x 2 ? 2 x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? 0 ,不符合.

综上所述:所求的 m 的取值是 m ? ?

1 .………………………………(14 分) 2

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