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西北师大附中物理奥赛教案专题一:功能关系和能量守恒


专题一:功能关系及能量守恒
白景曦 (西北师范大学第一附属中学 甘肃 兰州 730070) 一、能量守恒定律 1.内容:能量既不能消失也不能被创造,只能从一种形式转化为另一种形式,或者 从一个物体转移给另一个物体,在转化和转移的过程中,能的总量保持不变,这个规律就 叫做能量守恒定律。 2.理解:对于由多个物体组成的系统,某物体的能量减少,一定存在其它物体的能 量增加,且减少量和增加量一定相等,反之亦然。 ?E增 ? ?E减 。 二、功和能量的关系 1.内容:不同形式能的转化是通过做功实现的,功是能量转化的量度。不同形式的 能的转化,用不同的功来量度。 2.功能关系的表述

?( )动能定理:W总 ? ?Ek ?1 ?? 变化:WG ? ??EP ?( ? 2)重力做功与重力势能 ?? ?( ? 3)功能关系:W非 ? ?E,当W非 ? 0时,?E ? 0,机械能守恒。 ?( ? 力做功的特点: Q ? f ? s相 ?? 4)系统内一对滑动摩擦
3.摩擦力做功与能量转化 ⑴静摩擦力做功:举例——木块随传送带加速 ①静摩擦力可以对物体做正功,也可以对物体做负功,还可以不做功. ②在静摩擦力做功的过程中, 只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作 用) ,而没有机械能转化为其他形式的能. ③相互摩擦的系统内,一对静摩擦力所做功的总和等于零. ⑵滑动摩擦力做功:举例——木块在木板上滑动 ①滑动摩擦力可以对物体做正功,也可以对物体做负功,还可以不做功. ②滑动摩擦力做功的过程中, 能量转化有两个方向, 一是相互摩擦的物体之间机械能 的转移;二是机械能转化为内能. ③相互摩擦的系统内, 一对滑动摩擦力所做的总功是负值, 其绝对值等于滑动摩擦力 与相对位移 (在往复运动或曲线运动中为相对路程) 的乘积, 是机械能转化为内能的过程, 转化为内能的量值等于机械能的减少量,即: Q ? F滑 ? S 相对 例题 1:如 6-4-5 图所示,质量为 m 的小铁块 A 以水平速度 v0 冲上质量为 M、长 为 l、置于光滑水平面 C 上的木板 B,正好不从木板上掉下.已知 A、B 间的动摩擦因数
1

为 μ,此时长木板对地位移为 x,求这一过程中: ⑴木板增加的动能; ⑵小铁块减少的动能; ⑶系统机械能的减少量; 图 6-4-5 ⑶系统产生的热量. [解析]在此过程中摩擦力做功的情况: A 和 B 所受摩擦 力分别为 F、F′,且 F′=F=μmg,A 在 F 的作用下减速,B 在 F′的作用下加速;当 A 滑 动到 B 的右端时,A、B 达到一样的速度 v,就正好不掉下. 1 ⑴根据动能定理有:μmg· x= Mv2-0① 2 从上式可知 ΔEkB=μmgx. ⑵滑动摩擦力对小铁块 A 做负功,根据功能关系可知: ΔEkA=-μmg(x+l) 1 1 1 即-μmg(x+l)= mv2- mv02= m(v2-v02)② 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ⑶系统机械能的减少量:ΔE= mv0 - mv - Mv 2 2 2 由①②可知:ΔE=μmgl ⑷m、M 相对位移为 l,根据能量守恒:Q=μmgl 即: Q ? F滑 ? S 相对 4.作用力和反作用力的功 作用力和反作用力同时存在,作用力做功时,反作用力可能做功(可能做正功,也可 能做负功.) ,也可能不做功.不能认为作用力与反作用力大小相等,方向相反,就一定有 作用力与反作用力的功数值相等,且一正一负. 例题 2:下列关于作用力、反作用力的做功问题中,说法正确的是( D ) A.作用力做功,反作用力也必定做功 B.作用力做正功,反作用力一定做负功 C.作用力做功数值一定等于反作用力做功的数值 D.单纯根据作用力的做功情况不能判断反作用力的做功情况 [解析]要解答这个问题,可设想一个具体的例子.如图 6-1-23 所示,A、B 两磁铁 同名磁极相对,分别放在两辆小车上,同时释放后,在斥力作用下两车分开,作用力、反 作用力都做正功.两车质量相等时,位移相 N N S S 等,做功数值也相等.而两车质量不相等时, B A 位移不相等,做功数值也不相等.如按住 A 不动,只释放 B,则 A 对 B 的作用力做正功, 图 6-1-23 B 对 A 的反作用力不做功.因此可见,单纯 根据作用力的做功情况,不能确定反作用力做功的数值 及正负.故 D 正确. 例题 3:在水平地面上平铺 n 块砖,每块砖的质量 为 m,厚度为 h,如将砖一块一块的叠放起来,至少需 要做多少功?
2

nh

n块

解析:先画出草图,根据功能关系可得:只要找出砖叠放起来时增加的能量Δ E,就 可得到: W=Δ E
1 1 W ? ?E ? E末 ? E初 ? nmg ? nh ? n m g ? h 2 2

解得: W ? n(n ? 1 )mgh?

1 2

例题 4:推行节水工程的转动喷水“龙头” ,如图, “龙头”距地面 hm,其喷灌半径 可达 10hm,每分钟喷水 mkg,所用的水从地下 Hm 的深水井里抽取,设水以相同的速率 沿水平方向喷出,水泵的效率为? ,则水泵的功率 P 至少多大? 解析:水连续喷出,每分钟喷出的水可视为质点, 这些水从井底上升到“龙头”后以一定的速率喷出, 喷出后的水可认为做平抛运动,设每分钟喷水 mkg, 喷出时的速度为 v,则上升过程由功能关系得:
P ? 60?? ? mg(H ? h) ? 1 mv2 2
1 2 gt 2

h 10h

喷出过程由平抛运动规律得: 10h ? vt,h ? 解得: P ?
mg(H ? 26h) 60?

例题 5:某地强风的风速约为 v=20m/s,设空气的密度为 ? =1.3kg/m3,如果把通过横 截面积为 S=20m2 的风能转化为电能,转化效率为? =20%,试求此转化系统的电功率 P 是多大?(取一位有效数字) 解析:设空气在 t 秒内通过横截面 S 的质量为 m,则:
m ? ?V体 ? ? ? Sl ? ? ? S ? vt

根据能量守恒定律,得 在 t 秒内,质量为 m 的空气的动能与转化得到的电能的关系为:
1 1 E电 ? ?E k ? ? ? mv2 ? ??Sv3t 2 2

电功率为: P ?

E电 t

1 4 ? ??Sv3 =2×10 (W) 2

例题 6:如图,AB、CD 为两个对称斜面,其上部足够长, 下部 分别与一个 光滑的圆弧 面的两端相 切 ,圆弧圆 心角为 120°,半径 R 为 2.0m,物体在离弧底高 h=3.0m 处,以初速度 v0=4.0m/s 沿斜面运动,若物体与斜面间的动摩擦因数为 0.02, 则物体在斜面上(不包括圆弧部分)通过的总路程是多大?
3

A

D

120° B C

(g=10m/s2) 解析:由题意可知斜面倾角 ? ? 60 ,由物体在斜面上的运动条件判断,μ<tanθ ,
?

物体不可能停留在斜面上,由此可以判断物体最终在光滑圆弧面 BC 段做往复运动,即若 以轨道最低点为零势面,则最终物体的机械能为 mghB,由功能关系可以求解。
1 初态的机械能: E1 ? mgh? mv0 2 2 1 ? cos?) 末态的机械能: E 2 ? mghB ? mgR( f ? s ? E ? E 由功能关系得: 2 1 f ? ?mg cos? ,其中 s 为物体在斜面上往复运动通过的总路程。

解方程得:s=280m 例题 7:一长为 L 的细绳固定在 O 点,O 点离地面的高度大于 L,另一端系一质量为 m 的小球。开始时,绳与水平方向夹角为 30°,如图,求小球由静止释放后运动到最低 点时的速度和对绳子的拉力? m 解析: 分析小球的运动可知, 由 A 到 B 的过程中机械能守恒, 但整个过程中机械能并不守恒,因为在 B 点时,速度发生突变, O 30 ° 沿绳方向的分速度瞬时消失,只保留了切向的分速度,求由 B 到 ° C 过程又遵守机械能守恒定律。 由 A 到 B:机械能守恒, mgL ? 在 B 点: v1 ? v ? cos 30 °, 由 B 到 C:机械能守恒,有
1 1 mg(L ? L sin?) ? mv12 ? mvC 2 2 2
1 mv2 , 2

A O 30 ° °

B 30 ° ° v v2

解得最低点的速度为: vC ?

5gL 2

v 2 在最低点,由牛顿第二定律得: N ? mg ? m C L 7 解得: N ? mg 2

C

v1

4



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