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2013届安徽省高三第一次教学质量检测数学理试题


2013 年安徽省淮北市第一次模拟考试



学(理工类)

本试题卷共 页,六大题 21 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用 0.5mm 的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.若集合 A={x| |x| ? 1},B={y| y=2x, x ? R }, A ? B ? ( ) A. ? B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} 2.设复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 1 ? i ,则复数 z ?

z1 在复平面内对应的点位于( z2
D.第四象限 )



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3.已知某个几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为( A、 ? ? 4 C.
2? ? 4 3

B. ? ? 4 3 D. ? ? 4 3

4.已知 {an } 是等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 ( )

s6 s ? 9 ,则 12 = s3 s6

A. 9 B. 18 C. 64 D. 65 5.已知甲袋中有 1 个黄球和 2 个红球,乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球,现随机地从甲袋中 取出二个球放入乙袋中, 然后从乙袋中随机取出一球, 则从乙袋中取出红球的概率是 ( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

5 9

D.

2 9
):

6.已知 AB 为圆 O 的一条弦,且 AB ? 2 ,则数量积 AB ? AO 是值为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 与圆的半径有关

7.已 知

a, b ? R ?,直线ax ? by ? 6

总 平 分 圆 ? y2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 , 则 x2


2a ? b ? a ? 5b 的最大值 为(

A. 6

B. 4

C. 3

D.

3

8.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? log a ( x ? b) 的图象可能是 ( )

A.

B.

C.

D.

9. 焦点在 x 轴上的双曲线 心率为( )

x2 y2 ? 2 ? 1 的两条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 相切,则双曲线的离 2 a b

A.

5

B.

5 2

C. 2

D.

2 5 5

10.方程 | sinx |? kx

(k ? 0) 有且仅有两个不同的非零实数解 ? , ? (? ? ? ) ,则以下有
) B. sin ? ? ?? cos ? D. sin ? ? ?? sin ?

关两根关系的结论正确的是( A. sin ? ? ? cos ? C. cos ? ? ? sin ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填写在答题卡对应题号的 位置上。答错位置,书写不清,均不得分。 11. (1 ? x ? x 2 )( x ? ) 6 展开式的常数项为 13. 存在x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是 14.定义 max ?a, b? ? ?

12.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 10 ,则输出 y 的值为

1 x



开始 输入x

y?

1 x ?1 2

x? y


?x ?2 ? a, a ? b ? ,设实数 x,y 满足约束条件 ? , ?y ?2 ?b, a ? b ?
.

| y ? x |? 1 是 输出y 结束

z ? max{4 x ? y,
3 x ? y} ,则 z 的取值范围是

15.定义在 R 上的连续函数 y ? f (x) 对任意 x 满足 f(3-x)=f(x)(x ? ) f / ( x) ? 0 , , 则下列结论正确的有 ① 函数 y ? f ( x ? ) 为偶函数,

3 2

3 2

② 若 x1 ? x 2且x1 ? x 2 ? 3 ,则 f(x1 ) ? f ( x 2 )

③ f( 2 ) ? f (sin14 0 ? cos14 0 )

④ 若 f ( ) f (5) ? 0 ,则 y ? f (x) 有两个零点

3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a、b、c , ?BAC ? 1050 , b=2,c= 2 (1)求 sinA. (2)若 BE ? ? BC , (? ? 0), ?BAE ? 45 ,试求 AE 的长.
O

17.(本小题满分12分)已知等差数列 {an } ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 的各项均为正 数,公比是 q ,且满足: a1 ? 3 , b1 ? 1 , b2 ? S 2 ? 12 , S 2 ? b2 q . (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)设 cn ? 3bn ? ? ? 2 , (? ? R ) ,若数列 {cn } 是递增数列,求 ? 的取值范围. 18.(本小题满分12分) 如图,ABCD 与 ABEF 是全等的直角梯形,AB ? AD,底面四边形 ADGF 为菱形,二面角 D ? AB ? F =1200,AD=2BC=4,AB=2, (1)求证:FD ? BG (2)求证:CE // DF (3)求点 A 到面 CEG 的距离
an 3

19.淮北市某小区为了解居民对"小区物业管理" 的满意 度,现随机抽取 20 人进行调查,满分 100 分调查 得分制 作为茎叶图如下:其中得分在 80 分以上则认为"满意",得分在 90 分以上则认为"非常满意" (1) 从被调查的 20 人中选取 3 人,求至少有一人"非常满意"的概率. (2) 从被调查的 20 人中选取 3 人均认为"满意",求恰有 1 人"非常满意"的概率. (3) 以这 20 人的调查情况来估计全市人民对"公交路线设置"的满意度,随机抽取 3 人记 其中"非常满意"的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

2 x 2 ? y ? 1, (a ? b ? 0) 2 b2 20.已知椭圆 a 在 x 轴上的顶点分别为 A , B ,且以坐标原点为圆心,

以椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,P 为椭圆上不同于 A、B 的一动点 . (1)若 K AP ? K BP ? M 三点共线。 21.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? (m ? 2) x
2

1 ,且短轴长为 2,求椭圆方程? 2 (2)连结 P 与原点 O 交椭圆于 Q,过 Q 作 QN ? PQ 交椭圆于 N,QM ? x 轴于 M,求证:P、N、

(m ? 2)

(1)若 f (x) 在 x ? 0 处取得极值,求 m 的值; (2)讨论 f (x) 的单调性; (3) 记an ? ln(1 ?

1 1 ) 且数列 {an } 前 n 项和为 s n ,求证: s n ? 2n , 3 2
ADCDB 13、“ 任意x ? R, , x 2 ? x ? 0 ”

参考答案:1~5 DCBDB 6~10 11、5 12、 ? 5
4

14、 16、解: (1)sinA=

15、① ②④

6? 2 4 (2)? S ?ABE ? S ?AEC ? S ?ABC 1 1 1 ? AB ? AE ? sin 450 ? AC ? AE ? sin 600 ? AB ? AC ? sin 1050 2 2 2 ? AE ? 1

17、解: (1) an ? 3n , b n ? 3n ?1 (2)

c n ? 3n ? ? ? 2 n ,? c n ?1 - c n ? 0,? 3n ?1 ? ? ? 2 n ?1 ? 3n ? ? ? 2 n

?? ? 2

3n ,? ? ? 3 2n

18、解:方法一: (1)? AB ? AD,AB ? AF, AD ? AF ? A

? AB ? 面ADGF 又 FD ? AG ? AB ? FD ? FD ? 面ABG,? FD ? BG
(2)取 AD、AF 的中点 M、N,连 CM、MN、NE CM//AB//NE,? MCEN 是平行四边形 ? CE // MN,而 MN // DF, ? CE // DF (若利用两个平行,则要证明 C、D、F、E 四点共面) (3)如图取 CE 中点 K,连结 BK、GK,过点 A 作 AH ? GK 由(1)可证 CE // DF , DF ? 面ABKG ? CE ? 面ABKG

? CE ? HA,? HA ? 面CEG ,? HA 长度是点 A 到面 CEG 的距离
利用相似三角形? HA ?

4 5 5

方法二:向量法可参考对应给分 19、解: (1)

P ? 1?
1 5

3 c16 28 ? 3 c20 57

(2) P ?

4 c7 c1 28 4 ? 3 c11 165

(3)

? ~ B(3, )

k , P (? ? k ) ? C3 ( ) k ( ) 3? k , ? ? E

1 5

4 5

3 5

20、解: (Ⅰ)设点 P(xO,yO) , b=c,a= 2b

? K AP ? K BP ?

y0 ? 0 y0 ? 0 y y 1 ? ? 2 0 2 ? 2 0 2 ?x0 ? a x0 ? a x0 ? a 2 x0 ? 2b
2 2

x0 y ? o2 ? 1 2 2b b 2 x ? ? y2 ? 1 2

2

2

? b ? 1, a ? 2

(2)设点 P(xO,yO) ,N(x1,y1) ,则点 Q(-xO,-yO) ,M(-xO,0)

? x0 2 2 ? yo ? 1 ? y ? y1 x ?x ? 2 两式作差得 0 ① ?? 2 ?? 0 1 x0 ? x1 2( y0 ? y1 ) ? x1 ? y 2 ? 1 1 ? 2 ? y ? y1 y 0 ② ? QN ? PQ ? K QN ? K PQ ? 0 ? ? -1 x0 ? x1 x0 y y1 ① 代入② 得 ? 0 ,? K MN ? K PM x0 ? x1 2 x0 2x 21.(1)? f / ( x) ? ? m ? 2, x ? 0 是 f (x) 的一个极值点,则 ? 1? x2 ? m ? 2 ,验证知 m=2 符合条件 (m - 2) x 2 ? 2 x ? (m ? 2) / (2)? f ( x) ? 1? x2

? f ( x)在?0,?? ? 单调递增,在 ?? ?,0 ? 单调递减;
?m ? 2 / 2)若 ? 时,当 m ? 1时,f ( x) ? 0 ?? ? 0

1)若 m=2 时,

? f ( x)在R 上单调递减…………………………………(4 分)
3
2


2



? 1 ? ? m ? 4m ? 3 ? 1 ? ? m ? 4m ? 3 1 ? m ? 2时,f / ( x) ? 0有 两 根 为 、 m?2 m?2
? f ( x)在( ? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 ? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 , ) 上单调减 m?2 m?2

f ( x)在(-?,

? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 ? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 ), ( ,??) 上单调增 m?2 m?2

? 综上所述,若 m ? 1时, f ( x)在R 上单调递减,

若 m=2 时, ? f ( x)在?0,?? ? 单调递增,在 ?? ?,0 ? 单调递减;

若 1 ? m ? 2时,

? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 ? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 , ) 上单调减 m?2 m?2 ? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 ? 1 ? ? m 2 ? 4m ? 3 f ( x)在(-?, ), ( ,??) 上单调增 m?2 m?2 f ( x)在(

? (3)由(2)知, m ? 1时, f ( x)在R 上单调递减,
当 x ? ?0,?? ?时,由f ( x) ? f (0) ? 0



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