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全国名校高中数学题库--解析几何


一、选择题 1.(辽宁理,4)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】 圆心在 x+y=0 上,排除 C、 D,再结合图象,或者验证 A、 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. B 【答案】B 2.(重庆理,1)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1 的位置关系为(
2 2

) D.相离
1 2 ? 2 2

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

【解析】圆心 (0, 0 ) 为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

,而 0 ?

2 2

? 1 ,选 B。

【答案】B 3.(重庆文,1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x ? ( y ? 2 ) ? 1
2 2



B. x ? ( y ? 2 ) ? 1
2 2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2
2

解法 1(直接法) :设圆心坐标为 ( 0 , b ) ,则由题意知 ( o ? 1) ? ( b ? 2 ) ? 1 ,解得 b ? 2 ,故圆的方程为
x ? ( y ? 2) ? 1 。
2 2

解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2 ) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故圆的方程为
x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排除 C。 【答案】A 4.(上海文,17)点 P(4,-2)与圆 x ? y ? 4 上任一点连续的中点轨迹方程是
2 2





A. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

C. ( x ? 4 ) ? ( y ? 2 ) ? 4
2 2

D. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

4? s ? x ? ? ?s ? 2 x ? 4 ? 2 【解析】设圆上任一点为 Q(s,t) ,PQ 的中点为 A(x,y) ,则 ? ,解得: ? ,代 ?2?t ?t ? 2 y ? 2 ?y ? ? 2 ?

入圆方程,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,整理,得: ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

【答案】A
1

5. (上海文,15)已知直线 l1 : ( k ? 3) x ? ( 4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与 l 2 : 2 ( k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 得值是 ( ) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2
3? k 4? k

A. 1 或 3

【解析】当 k=3 时,两直线平行,当 k≠3 时,由两直线平行,斜率相等,得: 5,故选 C。 【答案】C
( 6. (上海文,18)过圆 C :x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 的圆心,作直线分
2 2

=k-3,解得:k=

别交 x、y 正半轴于点 A、B, ? A O B 被圆分成四部分(如图) , 若这四部分图形面积满足 S ? ? S ? ? S ? ? S ||| , 则直线 AB 有( )

(A) 0 条

(B) 1 条

(C) 2 条

(D) 3 条

【解析】由已知,得: S IV ? S II ? S III ? S I , ,第 II,IV 部分的面 积是定值,所以, S IV ? S II 为定值,即 S III ? S I , 为定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线 AB 只有一条,故选 B。 【答案】B 7.(陕西理,4)过原点且倾斜角为 6 0 ? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为
2 2
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A. 3
2 2

B.2
2

C. 6
2

D.2 3

解 析 : x ? y ? 4 y ? 0 ? x ? y ? 2) ? 4, ( ? A ( 0 , 2 ) , O A = 2 , A 到 直 线 O N 的 距 离 是 1 ,? O N = 3 ? 弦 长 2 3

【答案】D 二、填空题 8. (广东文,13)以点(2, ? 1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是
| 2 ?1? 6 | 1?1 5 2

.

【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ?
25 2

?

,

所以圆的方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ?
2 2

【答案】 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2
2

9.(天津理,13)设直线 l1 的参数方程为 ? 为_______

?x ? 1? t ? y ? 1 ? 3t

(t 为参数) ,直线 l 2 的方程为 y=3x+4 则 l1 与 l 2 的距离

【解析】由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l 2 的距离为

|4? 2| 10

?

3 10 5



【答案】

3 10 5

10. (天津文, 若圆 x ? y 14)
2

2

? 4 与圆 x

2

? y

2

? 2 ay ? 6 ? 0 ( a ? 0 ) 的公共弦长为 2 3 , a=________. 则
1 a

【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?
1 a 1



|

|

利用圆心(0,0)到直线的距离 d ? 【答案】1

为 2 ?
2

2

3

? 1 ,解得 a=1.

11.(全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则
m 的倾斜角可以是

①1 5

?

②30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤75

?

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)
|3?1| 1?1
0

【解析】 两平行线间的距离为 d ? 解:

?

2 , l 由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 , 1 的倾斜角为 45 ,

o

o

所以直线 m 的倾斜角等于 30 【答案】①⑤

o

? 45

0

? 75 或 45

o

? 30

0

? 15 。
0

12.(全国Ⅱ理 16)已知 A C 、 B D 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M ? 1, 2 ? ,则四边形
2 2

A B C D 的面积的最大值为


2 2 2

【解析】设圆心 O 到 A C 、 B D 的距离分别为 d 1、 d 2 ,则 d 1 + d 2 ? O M 四边形 A B C D 的面积 S ? 【答案】5 13.(全国Ⅱ文 15)已知圆 O: x ? y
2 2

?3.
2 2

1 2

| A B | ? | C D |? 2 ( 4 ? d 1 ) ( 4 - d 2 ) ? 8 ? ( d 1 ? d 2 ) ? 5
2 2

? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成

的三角形的面积等于

3

【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 和
5 2

1 2

(x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5

,所以所求面积为
25 4

1 2

?

5 2

?5 ?

25 4



【答案】

14.(湖北文 14)过原点 O 作圆 x2+y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q, 则线段 PQ 的长为
2

2-


2

【解析】可得圆方程是 ( x ? 3 ) ? ( y ? 4 ) ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 P Q ? 4 . 【答案】4 15.(江西理 16) .设直线系 M : x co s ? ? ( y ? 2 ) sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2 ? ) ,对于下列四个命题:
A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上
C .对于任意整数 n ( n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上

D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是

(写出所有真命题的代号) .
1 c o s ? ? s in ?
2 2

【解析】因为 x co s ? ? ( y ? 2 ) sin ? ? 1 所以点 P (0 , 2 ) 到 M 中每条直线的距离 d ?

?1

即 M 为圆 C : x ? ( y ? 2 ) ? 1 的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线,
2 2

所以 A 错误; 又因为 ( 0 , 2 ) 点不存在任何直线上,所以 B 正确; 对任意 n ? 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确; M 中边能组成两个大小不同的正三角形 A B C 和 A E F ,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 B , C 三、解答题 16.(2009 江苏卷 18) (本小题满分 16 分)
2 2 2 2 在平面直角坐标系 x o y 中,已知圆 C 1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C 2 : ( x ? 4 ) ? ( y ? 5) ? 4 .

(1)若直线 l 过点 A ( 4 , 0 ) ,且被圆 C 1 截得的弦长为 2 3 ,求直 线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与圆 C 1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆
4

C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。
解 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4 ) ,即 kx ? y ? 4 k ? 0
4 ?(
2

由垂径定理,得:圆心 C 1 到直线 l 的距离 d ? 结合点到直线距离公式,得:
| ?3k ? 1 ? 4 k | k ?1
2

2 3 2

)

2

?1,

? 1,

化简得: 2 4 k ? 7 k ? 0 , k ? 0 , o r , k ? ?
2

7 24

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 24

( x ? 4 ) ,即 y ? 0 或 7 x ? 2 4 y ? 2 8 ? 0

(2) 设点 P 坐标为 ( m , n ) ,直线 l1 、 l 2 的方程分别为:
y ? n ? k ( x ? m ), y ? n ? ? 1 k ( x ? m ) ,即: k x ? y ? n ? k m ? 0 , ? 1 k x? y?n? 1 k m ? 0

因为直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由垂径定理,得: :圆心 C 1 到直线 l1 与 C 2 直线 l 2 的距离相等。
| ? 3k ? 1 ? n ? km | k ?1
2

|? ?

4 k

?5?n? 1 k
2

1 k

m |

故有:



?1

化简得: ( 2 ? m ? n ) k ? m ? n ? 3, 或 ( m ? n ? 8) k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?
?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 ( ? 3 , 1 3 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。
2 2
2 2

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年全国Ⅱ理 11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x-7y-4=0, 原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 A.3 答案 解析 A
l1 : x ? y ? 2 ? 0 , k 1 ? ? 1 , l 2 : x ? 7 y ? 4 ? 0 , k 2 ?
1 7

( D. ?
1 2

).

B.2

C. ?

1 3

,设底边为 l 3 : y ? kx

5

由题意, l 3 到 l 1 所成的角等于 l 2 到 l 3 所成的角于是有 再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。

k1 ? k 1 ? k1k

?

k ? k2 1 ? k2k

?

k ?1 k ?1

?

7k ? 1 7?3

2.(2008 年全国Ⅱ文 3)原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 A.1 答案 解析 D
d ? ?5 1? 2
2

( D. 5



B. 3

C.2

?

5。

3.(2008 四川4)将直线 y ? 3 x 绕原点逆时针旋转 9 0 ,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为
0

( A. y ? ?
1 3 x? 1 3

)

B. y ? ? D. y ?
1 3 x ?1

1 3

x ?1

C. y ? 3 x ? 3 答案 A

4.(2008 上海 15)如图,在平面直角坐标系中,? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、

D 的定圆所围成的区域(含边界) A、B、C、D 是该圆的四等分点.若点 P ( x, y ) 、点 P ? ( x ?, y ? ) 满足 ,
x ≤ x ? 且 y ≥ y ? ,则称 P 优于 P ? .如果 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q,那么所有这

样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( A. 答案 B. D
? y
2

) C. D.

5.(2007 重庆文)若直线 与圆 x 2 值为 A.- 3 或 3 答案 A

? 1 相交于

P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原点) ,则 k 的
( ) D. 2

B. 3

C.- 2 或 2

6.(2007 天津文)“ a ? 2 ”是“直线 a x ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 C 7. (2006年江苏)圆 ( x ? 1) ? ( y ?
2 2





B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 ) ? 1 的切线方程中有一个是

( D.y=0



A.x-y=0

B.x+y=0
6

C.x=0

答案

C

8. (2005 湖南文)设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作 为 A、 B 的值,则所得不同直线的条数是 A.20 答案 C
2 2

( B.19 C.18

) D.16

9. (2005 全国Ⅰ文)设直线 l 过点 ( ? 2 , 0 ) ,且与圆 x ? y ? 1 相切,则 l 的斜率是 工 A. ? 1 答案 C B. ?
1 2

( C. ?
3 3



D. ?

3

2 2 10.(2005 辽宁)若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1, ? 1) 平移后与圆 x ? y ? 5 相切,则 c 的值为

( ) A.8 或-2 答案 A

B.6 或-4
1 2

C.4 或-6

D.2 或-8

11.(2005 北京文) “m=

”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 ( ) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 答案 B 二、填空题

12. (2008 天津文 15, )已知圆 C 的圆心与点 P ( ? 2,1) 关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A , B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为_______. 答案
x ? ( y ? 1) ? 1 8
2 2
2 2

13.(2008 四川文 14)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的 最小值为_______. 答案
2
2 2

14.(2008 广东理 11)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 程是 答案 .
x ? y ?1? 0

15. (2007 上海文)如图, A, B 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 .两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A, B 点 , C 是 这 两 个 圆 的 公 共 点 , 则 圆 弧 AC , CB 与 线 段 AB 围 成 图 形 面 积 S 的 取 值 范 围
7
C

l

A

B

是 答案


? ? ? ? 0,2 ? ? 2? ?

16.(2007 湖南理)圆心为 (1, 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 1)
2 2



答案 (x-1) +(y-1) =2 17. ( 2006重庆理)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在 点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为___. 答案 a>1
?x ? y ? 2 ? 0 y ? 18.(2005 江西)设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?

.

答案

3 2

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1.(西南师大附中高 2009 级第三次月考)“a= 3”是“直线 a x ? 2 y ( )条件 B.充分而不必要 D.既不充分也不必要
?1? 0

与直线 6 x ? 4 y

?c ? 0

平行”的

A.充要 C.必要而不充分 答案 C

2.(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)直线 x+y+1=0 与圆 ? x ? 1 ? ? y
2

2

? 2 的位置关系是

A.相交 答案 C

B.相离

C.相切
? x ? ? 3 ? 2 co s ? ? y ? 4 ? 2 sin ?

( ) D.不能确定
? x ? 3 co s ? 与 ? ? y ? 3 sin ?

3.(西南师大附中高 2009 级第三次月考)两圆 ? 是 A.内切 答案 B B.外切

的位置关系 ( )

C.相离

D.内含

4. (西南师大附中高 2009 级第三次月考)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4 = 0(k > 0)上一动点,PA、 PB 是圆 C: x 2
? y ? 2 y ? 0 的两条切线,A、B
2

是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为 ( )

A.3 答案 D

B.

21 2

C. 2

2

D.2

8

5. (福建省南安一中、安溪一中、养正中学 2009 届高三期中联考)已知实系数方程 x2+ax+2b=0, 的一个根大于 0 且小于 1,另一根大于 1 且小于 2,则 1 A. ,1) ( 4 答案 A 1 B. ,1) ( 2
b?2 a ?1

的取值范围是 1 D. (0, ) 3





1 1 C. (- , ) 2 4

6.(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)点 ( 4, t ) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 的距离不大 于 3,则 t 的取值范围是 A.
1 3 ? t ? 31 3

( B. 0 ? t ? 1 0



C. 0 ? t ? 1 0 答案 C

D. t ? 0 或 t ? 1 0

7. (四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 ,设圆中过点 ( 2 , 5 ) 的
2 2

最长弦与最短弦分别为 A B 、 C D ,则直线 A B 与 C D 的斜率之和为( ) A. ? 1 B. 0 C. 1 D. ? 2 答案 B 8.(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 和圆 x ? y ? 2 y ? 0
2 2

的关系是 A.相离 答案 C
2

( B.相切或相交 C.相交 D.相切



9. (福建省宁德市 2009 届高三上学期第四次月考)过点 M (1, 2 ) 的直线 l 将圆(x-2) +y =9 分成 两段弧,当其中的劣弧最短时,直线 l 的方程是 A. x ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 答案 二、填空题 10.(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一 点 P ( 2 , 3) 向这个圆引切线,则切线长为 答案 2 11.(江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考)直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 ax ? 4 y ? b ? 0
9

2





B. y ? 1 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

D



关于点 A (1, 0 ) 对称,则 b=___________。 答案 2
2 2

12.(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)过点 C(6,-8)作圆 x ? y ? 25 的切线,切点为 A、B,那么 点 C 到直线 AB 的距离为___________________。 答案
5 2

13. (四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点 P(2,3)射到直线 x ? y ? ? 1 上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为 答案 4x-5y+1=0
1 2

.

14.(安徽省巢湖市 2009 届高三第一次教学质量检测)过 M ( ,1 ) 的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A、B 两点,当∠ACB 最小时,直线的方程为 答案
2x ? 4 y ? 3 ? 0

.

2007—2008 年联考题
一、选择题 1. (四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)已知点 A(3,2) ,B(-2,7) ,若直线 y=ax-3 与线段 AB 的交 点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1,则 a 的值为 ( ) A.3 B.-3 C.9 D.-9 答案 D 2.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)由直线 y ? x ? 1 上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线,则切线长的最小值为 A. 1 7 答案 A
? y
2

( C. 1 9 D. 2 5

)

B. 3 2

3.(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)圆 ? x ? 1 ? 2 较长弧长之比为 A.1∶2 答案 B

?1

被直线 x ?

y ? 0

分成两段圆弧, 则较短弧长与 ( D.1∶5 )

B.1∶3

C.1∶4

4.(广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试)直线 y ? x ? b 平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0 的周长,则 b ? A.3 答案 D ( D.-5
?



B.5

C.-3

5.(安 徽 省 合 肥 市 2008 年 高 三 年 级 第 一 次 质 检 )把 直 线 ? x ? y ? 2 ? 0 按 向量 a ? ( 2 , 0 ) 平 移 后 恰与
x ? y ? 4 y ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 ? 的值为
2 2





10

A.

2 2 2 2

或 2

B. ? 2 或 2

C. 答案

或? C

2 2

D. ?

2 2

或 2

6.(2007 岳阳市一中高三数学能力题训练) 若圆 ( x ? 3 ) ? ( y ? 5) ? r 上有且仅有两个点到直线 4x- 3y-2=0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围是 ( ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 答案 A 7. (2007 海淀模拟)已知直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有公共点,且公共点横、纵坐标均为整 数,那么这样的直线有( )条 A.66 B.72 C.74 D.78 答案 C 二、填空题 7.(甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试)光线从点 P(-3,5)射到直线 l:3x-4y+4=0 上,经过反射,其反射光线过点 Q(3,5) ,则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 . 答案 8
2 2 2

8.(河北省正定中学 2008 年高三第四次月考)圆 ? 是 答案

? x ? 1 ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

(? 为参数)的标准方程

,过这个圆外一点 P ? 2 , 3 ? 的该圆的切线方程是 (x-1)2+(y-1)2=1;x=2 或 3x-4y+6=0
2 2



9. (湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)与圆 x ? ( y ? 2 ) ? 1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有 ________条. 答案 4 10.(湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦长为 2 3 ,则 a= 答案 0 11. (江苏省泰兴市 2007—2008 学年第一学期高三调研)设直线 l 1 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 将直线 l 1 绕原点按逆时针方向旋转 90 得到直线 l 2 ,则 l 2 的方程是 答案 2x-y+2=0
?

2

2



12.(2007 石家庄一模)若 x ? 5 ≠kx+2 对一切 x≥5 都成立,则 k 的取值范围是________. 答案 k>1/10 或 k<2/5 13.(唐山二模)⊙M:x2+y2=4,点 P(x0,y0)在圆外,则直线 x0x+y0y=4 与⊙M 的位置关系是_____
11

答案 相交 三、解答题 14.(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)已知: 以点 C (t, O, A,与 y 轴交于点 O, B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求圆 C 的方程. 解 (1)? 圆 C 过原点 O ,? OC 设圆 C 的方程是
(x ? t) ? ( y ?
2 2

2 )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 t

? t )
2

2

?
2

4 t
2


4 t
2

2 t

? t

?

令 x ? 0 ,得 y 1 ? 0 , y 2 ?
? S ? OAB ? 1 2 OA ? OB ?

4 t 1 2

;令 y ? 0 ,得 x 1 ? 0 , x 2 ? 2 t
?| 4 t | ? | 2 t | ? 4 ,即: ? OAB 的面积为定值.

(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .
? k MN ? ? 2 ,? k oc ? ? 2 t ? 1 2 1 2

,? 直线 OC 的方程是 y ?

1 2

x.

t ,解得: t ? 2 或 t ? ? 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 ( 2 ,1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ? 2 x ? 4 的距离 d ?
9 5 ?

5 ,

5,

圆 C 与直线 y ? ? 2 x ? 4 相交于两点. 当 t ? ? 2 时,圆心 C 的坐标为 ( ? 2 , ? 1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ? 2 x ? 4 的距离 d ?
9 5 ?

5 ,

5

圆 C 与直线 y ? ? 2 x ? 4 不相交,
? t ? ? 2 不符合题意舍去.
? 圆 C 的方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1)
2 2

? 5.

15.(广东地区 2008 年 01 月期末试题) 已知点 A , B 的坐标分别是 ( 0 , ? 1) ,(0,1) ,直线 A M , B M 相交于 点 M,且它们的斜率之积为 ? (1)求点 M 轨迹 C 的方程;
12

1 2



(2) 若过点 D ? 2 , 0 ? 的直线 l 与 (1) 中的轨迹 C 交于不同的两点 E 、F ( E 在 D 、F 之间) 试求 ? O D E , 与 ? O D F 面积之比的取值范围( O 为坐标原点) . 解(1)设点 M 的坐标为 ( x , y ) , ∵ k AM ? k BM ? ?
x
2

1 2
2

,∴

y ?1 y ?1 1 ? ? ? . x x 2

整理,得

? y ? 1(x ? 0 ) ,这就是动点 M 的轨迹方程.

2

(2)方法一 由题意知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ( k ? ?
x
2

1 2





将①代入

? y

2

? 1,

2

得 ( 2 k ? 1) x ? 8 k ? x ? ( 8 k ? 2 ) ? 0 ,
2 2 2 2

由 ? ? 0 ,解得 0 ? k ?
2

1 2



设 E ? x1 , y 1 ? , F ? x 2 , y 2 ?

2 ? 8k , ? x1 ? x 2 ? 2 ? 2k ? 1 ,则 ? 2 ? x x ? 8k ? 2 . 2 ? 1 2 2k ? 1 ?



令? ?

S ?OBE S ?OBF

,则 ? ?

| BE | | BF |

,即 B E ? ? ? B F ,即 x1 ? 2 ? ? ? x 2 ? 2 ? ,且 0 ? ? ? 1 .

??? ?

??? ?

?4 ? ( x ? 2) ? ( x2 ? 2) ? , 2 ? 1 ? 2k ? 1 由②得, ? 2 ? ( x1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? x1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? . 2 ? 2k ? 1 ? ?4 ? ?1 ? ? ? ? x 2 ? 2 ? ? 2 , ? ? 2k ? 1 即? 2 ?? ? x ? 2 ?2 ? . 2 2 ? 2k ? 1 ?
?
(1 ? ? )
2

?

?

2k ? 1
2

,即 k

2

?

4? (1 ? ? )
2

?

1 2



8

13

?0? k

2

?

1 2

且k ?
2

1 4

?0?

4? (1 ? ? )
2

?

1 2

?

1 2



4? (1 ? ? )
2

?

1 2

?

1 4



解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?
? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2

1 3 1 3

2 ? ? ? 1 且? ?


? ? 1? 3? ?1 ? ,1 ? . ?3 ?

∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2 , ? ? ? 方法二 由题意知直线 l 的斜率存在, ①

设 l 的方程为 x ? s y ? 2 ( s ? ? 2 )
x
2

将①代入

? y

2

? 1,

2

整理,得 ( s ? 2 ) y ? 4 sy ? 2 ? 0 ,
2 2

由 ? ? 0 ,解得 s ? 2 .
2

设 E ? x1 , y 1 ? , F ? x 2 , y 2 ?

4s ? y ? y2 ? ? 2 , ? 1 ? s ?2 ,则 ? 2 ?y y ? . 1 2 2 ? s ?2 ?



1

令? ?

S ?OBE S ?OBF

? 2 1 2

O B ? y1 O B ? y2

?

y1 y2

,且 0 ? ? ? 1 .

4s ? ? ? 1? y 2 ? ? 2 , ?? ? s ?2 将 y 1 ? ? y 2 代入②,得 ? 2 ?? y 2 ? . 2 2 ? s ?2 ?



??

? 1?

2

?

?

8s
2

2

s ?2

.即 s ?
2

2 ? ? ? 1?
2

2

6? ? ? ? 1
2


2 ? ? ? 1?
2 2

∵ s ? 2 且 s ? 4 ,∴
2 2

2 ? ? ? 1?
2

6? ? ? ? 1
1 3

? 2且

6? ? ? ? 1

? 4.

2 即 ? ? 6? ? 1 ? 0 且 ? ?


1 3
14

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?



? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2

2 ? ? ? 1 且? ?

1 3


? ? 1? 3? ?1 ? ,1 ? . ?3 ?

故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2 , ? ? ?

16. (江苏省泰兴市 2007—2008 学年第一学期高三调研)已知过点 A(0,1) ,且方向向量为
? 2 2 a ? (1, k )的 直 线 l 与 ? C : ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 1 ,相交于 M、N 两点.

(1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: A M ? A N ? 定 值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 O M ? O N ? 1 2, 求 k 的 值 . 解 (1)? 直 线 l 过 点 ( 0 , 1 ) 且 方 向 向 量 a ? (1, k ),
? 直 线 l的 方 程 为 y ? kx ? 1
2k ? 3 ? 1 k ?1
2

???? ???? ?

???? ???? ?

?



? 1, 得

4? 3

7

? k ?

4? 3

7

.
2

C的 一 条 切 线 为 A T , T 为 切 点 , 则 A T = 7 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 2 ? A M ? A N ? A M A N cos 0? ? A T ? 7 ? A M ? A N 为 定 值 .
(3) 设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) 将 y ? kx ? 1代 入 方 程 ( x - 2 ) + ( y - 3 ) = 1 得
2 2

?2?设 焦 点 的 ?

(1+k )x -4(1+k )x+7=0
1? k 1? k ???? ???? ? 4 k( 1 + k ) 2 ? O M ? O N ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? (1 ? k ) x 1 x 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 1 ? ? 8 ? 12 2 1? k
2 2

2

2

? x1 + x 2 =

4(1+k )

2

, x1 x 2 ?

7
4 k( 1 + k ) 1? k
2

?

? 4, 解 得 k ? 1

又 当 k ? 1时 , ? ? 0,? k ? 1 .

17.(2007 北京四中模拟一)在△ABC 中,A 点的坐标为(3,0) BC 边长为 2,且 BC 在 y 轴上的区间[-3, , 3]上滑动. (1)求△ABC 外心的轨迹方程; (2) 设直线 l∶y=3x+b 与 (1) 的轨迹交于 E, 两点, F 原点到直线 l 的距离为 d, 求 求出此时 b 的值. 解 (1)设 B 点的坐标为(0, y 0 ) ,则 C 点坐标为(0, y 0 +2) (-3≤ y 0 ≤1) , 则 BC 边的垂直平分线为 y= y 0 +1 ①y?
y0 2 ? 3 y0 (x ? 3 2
| EF | d

的最大值. 并

)

②由①②消去 y 0 ,得 y ? 6 x ? 8 .∵
2

15

? 3 ? y 0 ? 1 ,∴ ? 2 ? y ? y 0 ? 1 ? 2 .故所求的△ABC 外心的轨迹方程为: y
2 2 2 2

2

? 6 x ? 8(?2 ? y ? 2) .

(2)将 y ? 3 x ? b 代入 y ? 6 x ? 8 得 9 x ? 6 ( b ? 1) x ? b ? 8 ? 0 .由 y ? 6 x ? 8 及 ? 2 ? y ? 2 ,得
4 3 ? x ? 2 .所以方程①在区间 [ 4 3
? ? ? [ 6 ( b ? 1 )] 2 ? 4 ? 9 ( b 2 ? 8 ) ? 0, ? ? f ( 4 ) ? 9 ? ( 4 ) 2 ? 6 ( b ? 1 ) ? 4 ? b 2 ? 8 ? 0, ? 得 ? 3 3 3 ? 2 2 ? f ( 2 ) ? 9 ? 2 ? 6 ( b ? 1 ) ? 2 ? b ? 8 ? 0, ?4 ? 6 ( b ? 1) ? 2. ? ? 2 ?9 ?3

,2 ] 有两个实根.设 f ( x ) ? 9 x ? 6 ( b ? 1) x ? b ? 8 ,则方程③在 [
2 2

4 3



2 ] 上有两个不等实根的充要条件是:

4 ? b ? ?3

∵| x

1

? x 2 |?

[

2 3

( b ? 1 )]

2

? 4?

b

2

?8 9

?

2 3

? 2b ? 7

∴ | EF | ?

1? k

2

| x1 ? x 2 |?

2 3

10

?

? 2b ? 7

又原点到直线 l 的距离为 d ?

|b | 10



∴ | EF
d

|

?

20 3

? 2b ? 7 b
2

?

20 3

?

7 b
2

?

2 b

?

20 3

? 7(

1 b

?

1 7

) ?
2

1 7

∵ ? 4 ? b ? ? 3 ,∴ ?

1 3

?

1 b

? ?

1 4



∴当

1 b

? ?

1 4

,即 b ? ? 4 时, |

EF d

| max ?

5 3



第二节
第一部分

圆锥曲线
五年高考荟萃

2009 年高考题

2009 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
一、选择题 1.(2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线 的离心率等于( A. 3 ) B.2 C. 5
'

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双曲线

2

D. 6

【解析】设切点 P ( x 0 , y 0 ) ,则切线的斜率为 y | x ? x ? 2 x 0 .
0

16

由题意有

y0 x0

? 2 x0 又 y0 ? x0 ? 1
2

解得: x 0 ? 1,?
2

b a

? 2, e ?

1? (

b a

)

2

?

5.

【答案】C 2. (2009 全国卷Ⅰ理) 已知椭圆 C :
??? ? ??? ?
?????

x

2

? y ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l , A ? l , 点 线段 A F 交 C 于点 B ,
2

2

若 F A ? 3 F B ,则 | A F | =( A.
2

) C. 3 D. 3
??? ? ??? ?
2 3

B. 2

【解析】 过点 B 作 B M ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 F A ? 3 F B ,故 | B M | ?
2 2 2 3 2 3

.

又由椭圆的第二定义,得 | B F | ? 【答案】A 3.(2009 浙江理)过双曲线
x a
2 2

?

?

?| A F | ?

2 .故选 A

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右顶点 A 作斜率为 ? 1 的直线,该直线与双曲线的
??? ? 1 ???? B C ,则双曲线的离心率是 ( 2

两条渐近线的交点分别为 B , C .若 A B ? A. 2 B. 3

) D. 1 0

C. 5

【 解 析 】 对 于 A ?a, 0 ? , 则 直 线 方 程 为 x ? y ? a ? 0 , 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B , C ,
? a ab B? , ?a?b a?b
2

? a ab ,? ) 则有 ?,C ( a?b a?b ?
2

2 2 ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? 2a b 2a b ab ab ? 2 2 BC ? ( 2 ,? 2 ), A B ? ? ? , ,因 2 A B ? B C ,? 4 a ? b ,? e ? ? 2 2 a ?b a ?b ? a?b a?b?

5.

【答案】C 4. (2009 浙江文) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 在椭圆上, B F ? x 点 且
??? ?

轴, 直线 A B 交 y 轴于点 P .若 A P ? 2 P B ,则椭圆的离心率是( A.
3 2
??? ?

??? ?

) D.
1 2 1 2

B.

2 2
??? ?

C.

1 3

【解析】对于椭圆,因为 A P ? 2 P B ,则 O A ? 2 O F ,? a ? 2 c ,? e ?
17

【答案】D 5.(2009 北京理)点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A , B 两点,且
2

| P A ? | A B | ,则称点 P 为“

点” ,那么下列结论中正确的是 点” 点” 点” 点”





A.直线 l 上的所有点都是“ B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能 力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解,如图, 设 A ? m , n ? , P ? x , x ? 1? , 则 B ? 2m ? x, 2n ? x ? 2 ? , ∵ A, B在 y ? x 上 ,
2

∴?

?

n ? m

2 2

? 2n ? x ? 1 ? (2m ? x)

消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? ( 4 m ? 1) x ? 2 m ? 1 ? 0
2 2

(1)

∵ ? ? ( 4 m ? 1) ? 4 ( 2 m ? 1) ? 8 m ? 8 m ? 5 ? 0 恒成立,
2 2 2

∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A. 【答案】A 6.(2009 山东卷理)设双曲线 心率为( A.
5 4

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲线的离
2

). B. 5 C.
5 2

D. 5

【解析】 双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

b ? x b ? y ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? ,消去 y,得 x ? x ? 1 ? 0 有唯 a a a ? y ? x2 ? 1 ?
b

18

一解,所以△= ( ) ? 4 ? 0 ,
2

b

a

所以

b a

? 2 ,e ?

c a

?

a ?b
2

2

?

1? (

b a

) ?
2

5 ,故选 D.

a

【答案】D 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个 公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 7.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? a x ( a ? 0 ) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O
2

为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

). C. y ? 4 x
2

B. y ? ? 8 x
2

D. y ? 8 x
2

2 【解析】 抛物线 y ? a x ( a ? 0 ) 的焦点 F 坐标为 ( , 0 ) ,则直线 l 的方程为 y ? 2 ( x ?

a

a 4

) ,它与 y 轴的交

4

点为 A ( 0 , ? 【答案】B

a 2

) ,所以△OAF 的面积为

1 2

|

a 4

|?|

a 2

| ? 4 ,解得 a ? ? 8 .所以抛物线方程为 y ? ? 8 x ,故选 B.
2

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查 数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定 以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一. 8.(2009 全国卷Ⅱ文)双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3 ) ? y
2

2

? r ( r ? 0 ) 相切,则 r=
2

(

)

6

3

A. 3

B.2

C.3

D.6

【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识,由圆心到渐近线的距离等于 r,可求 r= 3 . 【答案】A 9.(2009 全国卷Ⅱ文)已知直线 y ? k ( x ? 2 )( k ? 0 ) 与抛物线 C: y ? 8 x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。
2

若 FA ? 2 FB ,则 k= (
1 3

)
2 3
2 3

A.

B.

C.

D.

2 3

2

【解析】本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0) ,由 F A ? 2 F B 及
2 3 2

第二定义知 x A ? 2 ? 2 ( x B ? 2 ) 联立方程用根与系数关系可求 k=

.

19

【答案】D 10.(2009 安徽卷理)下列曲线中离心率为 A.
x
2

6 2

的是
y
2

?

y

2

?1

B.
6 2

x

2

?

y

2

?1

C. x
2 2

2

2

4

?

?1

D. x

2

4

2

?

y

2

?1

4

6

4

10

【解析】由 e ? 【答案】B



c a

2 2

?

3 2

,1 ?

b a

3 b 1 ? , 2 ? ,选 B. 2 a 2

2

11.(2009 福建卷文)若双曲线

x a

2 2

?

y 3

2 2

? 1 ? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于(
3 2

)

A. 2
x a
2 2

B.
y
2

3

C.

D. 1
c a a ?3
2

【解析】 由

?

? 1可 知 虚 轴 b = 3, 而 离 心 率 e =

?

? 2 ,解得 a=1 或 a=3,参照选项

3

a

知而应选 D. 【答案】D 12.(2009 安徽卷文)下列曲线中离心率为的

是(.

( )

A. 【解析】依据双曲线 【答案】B
x a

B.
2 2

C.
y b
2 2

D. 可判断得. e ?
c a ? 6 2

?

? 1 的离心率 e ?

c a

.选 B。

13.(2009 江西卷文)设 F1 和 F 2 为双曲线 正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A.
3 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的两个焦点, 若 F1, F 2 , P (0 , 2 b ) 是

B. 2
?
6 c 2b 3 3

C.

5 2

D.3
c a

【解析】由 ta n 【答案】B

?

?

2 2 2 2 有 3 c ? 4 b ? 4 ( c ? a ) ,则 e ?

? 2 ,故选 B.

14.(2009 江西卷理)过椭圆
?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F 2 为右焦

点,若 ? F1 P F 2 ? 6 0 ,则椭圆的离心率为

20

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

【解析】因为 P ( ? c , ? 【答案】B

b

2

a

) ,再由 ? F1 P F 2 ? 6 0 有

?

3b a

2

? 2 a , 从而可得 e ?

c a

?

3 3

,故选 B

15.(2009 天津卷文)设双曲线 方程为( ) A. y ? ? 2 x

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线

B . y ? ?2 x

C.y ? ?

2 2

x

D. y ? ?

1 2

x

【解析】由已知得到 b ? 1, c ?
b a 2 2

3, a ?

c

2

?b

2

?

2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐近线方程为

y ? ?

x ? ?

x

【答案】C 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。 16.(2009 湖北卷理)已知双曲线 多有一个交点的充要条件是( A. K ? ? ? , ? ? 2 2? C. K ? ? ?
? ? 2 2 2? ? 2 ?
? ? a
2

x

2

?

y

2

? 1 的准线过椭圆

x

2

?

y b

2 2

? 1 的焦点, 则直线 y ? k x ? 2 与椭圆至

2

2

4

) B. K ? ? ? ? , ?
? ? 1? ?1 ? , ?? ? ?? ?2 2? ? ?

?

1 1?

,

D. K ? ? ? ? , ?
? ?
2 2
?3

?

? 2 2? , ?? ?? ? 2 ? ? 2

? ? ? ?

【解析】易得准线方程是 x 所以 c 2 联立 y
? a ?b ? 4?b ?1
2 2 2

? ?

? ?1 x
2

b

即b2
2

所以方程是

?

y

2

?1

4
? kx ? 2

3

可得

3 x + (4 k + 1 6 k ) x ? 4 ? 0 由 ? ? 0
2

可解得 A.

【答案】A 17.(2009 四川卷文、理)已知双曲线
x
2

?

y b

2 2

2

? 1 ( b ? 0 ) 的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ,其一条渐近线方

程为 y ? x ,点 P ( 3 , y 0 ) 在双曲线上.则 PF 1 ? PF A. -12 B. -2 C.

2

=( 0

) D. 4

21

【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y
2

2

? 2 ,于是两焦点坐标

分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P ( 3 ,1) 或 P ( 3 , ? 1) .不妨去 P ( 3 ,1) ,则 PF 1 ? ( ? 2 ?
PF 2 ? ( 2 ? 3 , ? 1) .

3 , ? 1) ,

∴ PF 1 ? PF 【答案】C

2

= (?2 ?

3 , ? 1)( 2 ?

3 , ? 1) ? ? ( 2 ?

3 )( 2 ?

3) ? 1 ? 0

18.(2009 全国卷Ⅱ理)已知直线 y ? k ? x ? 2 ? ? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、 B 两点, F 为 C 的
2

焦点,若 | F A |? 2 | F B | ,则 k ? (
1 3
2

)
2 3

A.

B.

2 3

C.

D.

2 3

2

【解析】设抛物线 C : y ? 8 x 的准线为 l : x ? ? 2 直线
y ? k ? x ? 2 ? ? k ? 0 ? 恒过定点 P ? ? 2 , 0 ? .如图过 A、 B

分 别作 A M ? l 于 M , B N ? l 于 N , 由 | F A |? 2 | F B | , 则 | A M |? 2 | B N | ,点 B 为 AP 的中点.连结 O B ,则 | O B | ?
?| O B |? | B F | 点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为

1 2

| AF |,

(1, 2

2)? k ?

2

2 ?0

1 ? (?2)

?

2 3

2

, 故选 D.

【答案】D 19.(2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C :
x
2 2

?

y b

2 2

a

? 1 ? a ? 0 , b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为

3 的直线

交 C 于 A、 B 两点,若 A F ? 4 F B ,则 C 的离心率为
m

(

) D.
9 5

A.

6 5

B.
x
2 2

7 5

C.
2 2

5 8

【 解 析 】 设 双 曲 线 C:

?

y b

? 1 的 右 准 线 为 l , 过 A、 B 分 别 作 A M ? l 于 M , B N ? l 于 N ,
1 2

a

B D ? A M 于 D ,由直线 AB 的斜率为

3 ,知直线 AB 的倾斜角 6 0 ? ? ? B A D ? 6 0 ? , | A D | ?

| AB | ,

由双曲线的第二定义有
22

???? ??? ? ??? ? 1 1 ???? (| A F | ? | F B |) ? | A B | ? (| A F | ? | F B |) . e 2 2 ??? ? ??? ? 1 5 6 又? A F ? 4 F B ? ? 3 | F B |? | F B |? e ? . e 2 5 | A M | ? | B N |? | A D |? 1

【答案】A 20.(2009 湖南卷文)抛物线 y ? ? 8 x 的焦点坐标是(
2

) D. 4,0) (-

A. (2,0)
2

B. 2,0) (p 2

C. (4,0)
, 0 ) ? ( ? 2 , 0 ) ,故选 B.

【解析】由 y ? ? 8 x ,易知焦点坐标是 ( ? 【答案】B 21.(2009 宁夏海南卷理)双曲线
x
2

-

y

2

=1 的焦点到渐近线的距离为(

)

4

12

A. 2 3
x
2

B.2
y
2

C. 3

D.1
3?4?0 2

【解析】双曲线 【答案】A

-

=1 的焦点(4,0)到渐近线 y ?

3 x 的距离为 d ?

? 2 3,

4

12

22.(2009 陕西卷文) m ? n ? 0 ”是“方程 m x ? n y ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 “
2 2

A.充分而不必要条件 C.充要条件 【解析】将方程 m x ? n y ? 1 转化为
2 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x
2

1 m

?

y

2

1 n

? 1 , 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足

1 m

? 0,

1 n

? 0 , 所以

1 n

?

1 m

.

【答案】C 23.(2009 全国卷Ⅰ文)设双曲线 线的离心率等于( A. 3
x a
ax
2

x a

2 2



y b

2 2

= 1 ? a> 0, b> 0 ? 的渐近线与抛物线 y = x + 1 相切,则该双曲
2

) B.2
2 2

C. 5
y b
2 2

D. 6
bx a
2

【解析】由题双曲线



= 1 ? a> 0, b> 0 ? 的一条渐近线方程为 y ?

,代入抛物线方程整理得

? bx ? a ? 0 ,因渐近线与抛物线相切,所以 b

2

? 4a

2

? 0 ,即 c

2

? 5a

? e ?

5 ,故选择 C.

【答案】C
23

24.(2009 湖北卷文)已知双曲线 A.3 B.
5

x

2

?

y

2

? 1的准线经过椭圆

x

2

?

y b

2 2

?1

(b>0)的焦点,则 b=(

)

2

2

4

C.
a
2

3

D.

2

【解析】可得双曲线的准线为 x ? ?

? ? 1 ,又因为椭圆焦点为 ( ?

4 ? b , 0 ) 所以有
2

4?b

2

? 1 .即

c

b2=3 故 b= 3 .故 C.
【答案】C
2 27.(2009 天津卷理)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,

与抛物线的准线相交于 C, B F =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比
4 5
6

S ?BCF S ?ACF

=( )

A.

B.

2 3

C.

4 7

D.

1 2

C

4

2

F: (0.51 , 0.00 )

A

F
-5 5 10

x=-0.5
-2

B

-4

【解析】由题知
-6

S ? BCF S ? ACF

?

BC AC

xB ? ? xA ?

1 2xB ? 1 2 ? , 1 2xA ? 1 2

又 | BF | ? x B ?

1 2

? 2 ? xB ?

3 2

? yB ? ?

3

由 A、B、M 三点共线有

yM ? yA xM ? xA

?

yM ? yB xM ? xB



0?

2xA

3 ? xA

?

0? 3 ?

3 3 2

,故 x A ? 2 ,



S ? BCF S ? ACF

?

2xB ? 1 2xA ? 1

?

3?1 4?1

?

4 5

,故选择 A。

【答案】A
24

28.(2009 四川卷理)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l 2 : x ? ? 1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1
2

和直线 l 2 的距离之和的最小值是( A.2 B.3

) C.
11 5

D.

37 16

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。 【解析 1】直线 l 2 : x ? ? 1 为抛物线 y ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P 到抛物线的
2

焦点 F ( 1 , 0 ) 的距离,故本题化为在抛物线 y ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点 F ( 1 , 0 ) 和直线 l 2 的距离之和
2

最小,最小值为 F ( 1 , 0 ) 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,
d min ? |4? 0? 6| 5
| 3?1? 0 ? 6 | 3 ?4
2 2



? 2 ,故选择 A。

【解析 2】如图,由题意可知 d ? 【答案】A 二、填空题

? 2

29.(2009 宁夏海南卷理)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为 y ? 4 x ,
2

? y 1 ? 4 x1 ? A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , 则 有 x 1 ? x 2, ? 2 ? y2 ? 4 x2 ?
2

两 式 相 减 得 , y 1 ? y 2 ? 4 ? x1 ? x 2 ? , ?
2 2

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

4 y1 ? y 2

?1

? 直 线 l的 方 程 为 y-2=x-2,即 y=x

【答案】y=x 30.(2009 重庆卷文、理)已知椭圆
x a
a s in P F1 F 2 c s in P F 2 F1 P F2 s in P F1 F 2 P F1 s in P F 2 F1
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) ,若椭

圆上存在一点 P 使

?

,则该椭圆的离心率的取值范围为



【解析 1】因为在 ? P F1 F 2 中,由正弦定理得

?

25

则由已知,得

a P1 F 2

?

c P1 F1

,即 a P F1 ? c P F 2

设点 ( x 0 , y 0 ) 由焦点半径公式,得 P F1 ? a ? ex 0 , P F 2 ? a ? ex 0 则 a ( a ? ex 0 ) ? c ( a ? ex 0 ) 记得 x 0 ?
a (c ? a ) e (c ? a ) ? a ( e ? 1) e ( e ? 1)

由椭圆的几何性质知 x 0 ? ? a 则

a ( e ? 1) e ( e ? 1)

? ? a ,整理得

e ? 2 e ? 1 ? 0 , 解得 e ? ?
2

2 ? 1或 e ?

2 ? 1, 又 e ? (0,1) ,故椭圆的离心率 e ? ( 2 ? 1,1)

【解析 2】 由解析 1 知 P F1 ?
P F1 ? P F 2 ? 2 a 则 c a
2

c a

P F 2 由椭圆的定义知

P F 2 ? P F 2 ? 2 a即 P F 2 ?

2a

2

c?a





















P F2 ? a ? c , 则

2a

c?a

? a ? c,既 c ? 2c ? a
2

2

? 0 , 所以 e ? 2 e ? 1 ? 0 , 以下同解析 1.
2

【答案】 ? 2 ? 1,1 ?

31. (2009 北京文、 椭圆 理)
? F1 P F 2 的大小为
.w

x

2

?

y

2

9

2

? 1 的焦点为 F1 , F 2 , P 在椭圆上, | P F1 | ? 4 , | P F 2 | ? 点 若 则



.

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、 基本运算的考查. ∵ a ? 9, b ? 3 ,
2 2

∴c ?

a ?b
2

2

?

9?2 ?

7 ,

∴ F1 F 2 ? 2 7 , 又 P F1 ? 4, P F1 ? P F 2 ? 2 a ? 6 ,∴ P F 2 ? 2 ,
2 ?4 ? 2 7
2 2

又由余弦定理,得 c o s ? F1 P F 2 ?
?

?

?

2

2?2?4
?

? ?

1 2



∴ ? F1 P F 2 ? 1 2 0 ,故应填 2 , 1 2 0 .
3 2

32. 2009 广 东 卷 理 )巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 (

,且 G 上一点到 G

26

的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 【解析】 e ?
3 2


x
2

, 2 a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为

?

y

2

? 1.

36
2

9

【答案】

x

2

?

y

?1

36

9
2

33.(2009 四川卷文)抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离是 【解析】焦点 F (1,0) ,准线方程 x ? ? 1 ,∴焦点到准线的距离是 2. 【答案】2 34.(2009 湖南卷文)过双曲线 C:
x a
2 2

.

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的一个焦点作圆 x ? y ? a 的两条切线,
2 2 2

切点分别为 A,B,若 ? A O B ? 1 2 0 (O 是坐标原点) ,则双曲线线 C 的离心率为
? ? ? 【解析】? ? A O B ? 1 2 0 ? ? A O F ? 6 0 ? ? A F O ? 3 0 ? c ? 2 a , ? e ?

?

.

c a

? 2.

【答案】2 35.(2009 福建卷理)过抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点 F 作倾斜角为 4 5 的直线交抛物线于 A、B 两点,
2

?

若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________
? y ? 2 px 2 p ? 2 ? x ? 3 px ? ? 0 ,又 【 解析】 由题意可知过焦点的直线方程为 y ? x ? ,联立有 ? p 2 4 y ? x? ? ? 2
2

p

AB ?

(1 ? 1 )
2

(3 p ) ? 4 ?
2

p

2

?8? p ? 2 。

4

【答案】 2 36.(2009 辽宁卷理)以知 F 是双曲线
P F ? P A 的最小值为
x
2

?

y

2

? 1 的左焦点, A (1, 4 ) ,P 是双曲线右支上的动点,则

4

12



【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 37.(2009 宁夏海南卷文)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,

27

B 两点,若 P ? 2 , 2 ? 为 A B 的中点,则抛物线 C 的方程为 【解析】设抛物线为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y, 得:x2-kx=0, x 1 ? x 2 =k=2?2,故 y ? 4 x .
2



【答案】 y ? 4 x
2

38.(2009 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中, 有一个内角为 60 则双曲线 C 的离心率为 .

o



【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形,由条件知,这个三角形的两边直角分别是 b , c ( b 是 虚半轴长, c 是焦半距 ) ,且一个内角是 3 0 ,即得
c a 3 2
6 2
?

b c

? ta n 3 0 ,所以 c ?

?

3 b ,所以 a ?

2 b ,离心率

e ?

?

?

6 2

.

【答案】

39.(2009 年上海卷理)已知 F 1 、 F 2 是椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一

点,且 PF 1 ? PF 2 .若 ? PF 1 F 2 的面积为 9,则 b =____________.
? | PF 1 | ? | PF 2 | ? 2 a ? 【解析】依题意,有 ? | PF 1 | ? | PF 2 | ? 18 ,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9, ? 2 2 2 ? | PF 1 | ? | PF 2 | ? 4 c

故有 b=3。 【答案】3 三、解答题 40.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
2 2

3 2

,两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ,椭圆 G 上一点到 F 1 和

F 2 的距离之和为 12.圆 C k : x ? y ? 2 kx ? 4 y ? 21 ? 0 ( k ? R ) 的圆心为点 A k .

(1)求椭圆 G 的方程

28

(2)求 ? A k F1 F 2 的面积 (3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由.
x a
2 2

解(1)设椭圆 G 的方程为:

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 )半焦距为 c;

? 2a ? 12 ? a ? 6 ? ? 2 2 2 则? c , ? b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
x
2

所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 A K 的坐标为 ? ? K , 2 ?
SV A ? 1 2 ? F1 F 2 ? 2 ?
2

?

y

2

?1.

36

9

1 2
2

K

F1 F 2

?6 3?2 ? 6 3

(3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12 ? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12 ? ? 0 可知点(6,0)在圆 C k 外, 若 k ? 0 ,由 ( ? 6 ) ? 0 ? 12 ? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12 ? ? 0 可知点(-6,0)在圆 C k 外;
2 2

? 不论 K 为何值圆 C k 都不能包围椭圆 G.

41.(2009 浙江理) (本题满分 15 分) 已知椭圆 C 1 :
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的右顶点为 A (1, 0 ) ,过 C 1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 .

(I)求椭圆 C 1 的方程; (II) 设点 P 在抛物线 C 2 : y ? x ? h ( h ? R ) 上,C 2 在点 P 处的切线与 C 1 交于点 M , N . 当线段 A P 的
2

中点与 M N 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.
?b ? 1 ? ,? 解(I)由题意得 ? b 2 ?1 ?2 ? a ?
2 ?a ? 2 y 2 , 所求的椭圆方程为 ? x ? 1, ? b ?1 4 ?

(II)不妨设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), P ( t , t ? h ), 则抛物线 C 2 在点 P 处的切线斜率为 y ?
2
2 2 2

x?t

? 2 t ,直线 MN
2

的 方 程 为 y ? 2 tx ? t ? h , 将 上 式 代 入 椭 圆 C 1 的 方 程 中 , 得 4 x ? ( 2 tx ? t ? h ) ? 4 ? 0 , 即
4 ? 1? t
2

?

x ? 4 t ( t ? h ) x? ( t ?
2 2 2 4 2 2

h) ? 4 ?,0 为 直 线 MN 与 椭 圆 C 1 有 两 个 不 同 的 交 点 , 所 以 有 因
2

? 1 ? 1 6 ? ? t ? 2 ( h ? 2 )t ? h ? 4 ? ? 0 , ? ?

29

设线段 MN 的中点的横坐标是 x 3 ,则 x 3 ?

x1 ? x 2 2
t ?1 2

?

t (t ? h )
2

2 (1 ? t )
2



设线段 PA 的中点的横坐标是 x 4 ,则 x 4 ?
? 2 ? (1 ? h ) ? 4 ? 0 , h ? 1或 h ? ? 3 ; ?
2

,由题意得 x 3 ? x 4 ,即有 t ? (1 ? h ) t ? 1 ? 0 ,其中的
2

? t 当 h ? ? 3 时有 h ? 2 ? 0 , 4? h ? 0 ,因此不等式 ? 1 ? 1 6 ? ? t ? 2 (h ? 2 ) ? h ? 4 ? ? ?
2
4 2 2

0 不成立;因 此

h ? 1 , 当 h ? 1 时 代 入 方 程 t ? (1 ? h ) t ? 1 ? 0 得 t ? ? 1 , 将 h ? 1 t, ? ?
2

代 1 入 不 等 式

? 1 ? 1 6 ? ? t ? 2 ( h ? 2 ) t ? h ? 4 ? ? 0 成立,因此 h 的最小值为 1. ? ?
4 2 2

42.(2009 浙江文) (本题满分 15 分) 已知抛物线 C : x ? 2 p y ( p ? 0 ) 上一点 A ( m , 4 ) 到其焦点的距离为
2

17 4



(I)求 p 与 m 的值; (II) 设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t ( t ? 0 ) , P 的直线交 C 于另一点 Q , x 轴于点 M , 过 交 过点 Q 作
P Q 的垂线交 C 于另一点 N .若 M N 是 C 的切线,求 t 的最小值.

解(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程: y ? ?

p 2

,根据抛物线定义
p 2 17 4 1 2

点 A ( m , 4 ) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ?
? 抛物线方程为: x
2

?

,解得 p ?

? y ,将 A ( m , 4 ) 代入抛物线方程,解得 m ? ? 2
2

(Ⅱ)由题意知,过点 P ( t , t ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。
2 则 l PQ : y ? t ? k ( x ? t ) ,当 y ? 0 , x ?

?t

2

? kt k

,

则M (

?t

2

? kt k

,0 ) 。

联立方程 ?
?

? y ? t 2 ? k (x ? t) x
2

? y

,整理得: x ? kx ? t ( k ? t ) ? 0
2

即: ( x ? t )[ x ? ( k ? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t
? Q ( k ? t , ( k ? t ) ) ,而 QN ? QP ,? 直线 NQ 斜率为 ?
2

1 k

? l NQ : y ? ( k ? t )

2

1 ? 2 ? y ? ( k ? t ) ? ? [ x ? ( k ? t )] ? ? [ x ? ( k ? t )] ,联立方程 ? k k 2 ? x ? y ?
1 1 k (k ? t ) ? (k ? t)
2

整理得: x ?
2

1 k

x?

? 0 ,即: kx

2

? x ? ( k ? t )[ k ( k ? t ) ? 1] ? 0

30

[ kx ? k ( k ? t ) ? 1][ x ? ( k ? t )] ? 0 ,解得: x ? ?

k (k ? t) ? 1 k

,或 x ? k ? t

[ k ( k ? t ) ? 1]
? N (? k ( k ? t ) ? 1 [ k ( k ? t ) ? 1] , ) ,? K 2 k k
2

2

NM

? ?

k k

2

k (k ? t) ? 1

?

?t

2

? kt k

?

(k

2 2

? kt ? 1 ) ? k
2

2

k (t

? 1)

而抛物线在点 N 处切线斜率: k 切 ? y ?
2 2

x??

k ( k ? t ) ?1 k

?

? 2k (k ? t) ? 2 k

?

MN 是抛物线的切线,?
2 2

(k

? kt ? 1 ) ? k
2

2

k (t
?

? 1)

?

? 2k (k ? t) ? 2 k



整理得 k ? tk ? 1 ? 2 t ? 0
2

?? ? t

? 4 (1 ? 2 t ) ? 0 ,解得 t ? ?
2

2 3

(舍去) ,或 t ?

2 3

,? t min ?

2 3

43.(2009 北京文) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的离心率为

3 ,右准线方程为 x ?

3 3



(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x ? y ? 5 上,
2 2

求 m 的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
?a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 解(Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ?a ?

3 ,

2 2 2 ∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?

2

y

2

?1.

2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x 0 , y 0 ? ,
? 2 y ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2 m x ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
2

∴ x0 ?

x1 ? x 2 2

? m , y0 ? x0 ? m ? 2 m ,

2 2 ∵点 M ? x 0 , y 0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,

31

∴ m ? ? 2 m ? ? 5 ,∴ m ? ? 1 .
2 2

44.(2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的离心率为

3 ,右准线方程为 x ?

3 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P ( x 0 , y 0 )( x 0 y 0 ? 0 ) 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两点
2 2

A , B ,证明 ? A O B 的大小为定值.

【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
?a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ?a ?

3 ,

2 2 2 ∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?

2

y

2

?1.

2

(Ⅱ)点 P ? x 0 , y 0 ? ? x 0 y 0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,
2 2

圆在点 P ? x 0 , y 0 ? 处的切线方程为 y ? y 0 ? ?

x0 y0

?x ?

x0 ? ,

化简得 x 0 x ? y 0 y ? 2 .
? 2 y ?1 ?x ? 2 2 2 2 2 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 ? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 , 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
2

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x 0 ? 2 ,
2
2 2 2 ∴ 3 x 0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 1 6 x 0 ? 4 ? 3 x 0 ? 4 ? ? 8 ? 2 x 0 ? ? 0 ,

2

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? , 则 x1 ? x 2 ?
4 x0 3 x0 ? 4
2

, x1 x 2 ?

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4



??? ??? ? ? OA ?OB ∵ c o s ? A O B ? ??? ??? ,且 ? ? OA ? OB

32

??? ??? ? ? 1 O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? 2 ? 2 ? x 0 x1 ? ? 2 ? x 0 x 2 ? , y0 ? 4 ? 2 x 0 ? x1 ? x 2 ? ? x 0 x1 x 2 ? ? 2 ? x0 ?
2 2

? x1 x 2 ?

1

2 2 2 ? x0 ? 8 ? 2 x0 ? ? 8 x0 ?4 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 3 x0 ? 4 2 ? x0 ? 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4 ? ? ?

8 ? 2 x0

2

1

??

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4

?

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4

? 0.

∴ ? A O B 的大小为 9 0 . 【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1. (Ⅱ)点 P ? x 0 , y 0 ? ? x 0 y 0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,
2 2

?

圆在点 P ? x 0 , y 0 ? 处的切线方程为 y ? y 0 ? ?

x0 y0

?x ?

x0 ? ,

? 2 y ?1 ?x ? 2 2 化简得 x 0 x ? y 0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
2

?3x ?3x

2 0

? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0
2 2

① ②
2

2 0

? 4 ? y ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0
2 2

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x 0 ? 2 , ∴ 3 x 0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,
2

则 x1 x 2 ?

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4

, y1 y 2 ?

2 x0 ? 8
2

3 x0 ? 4
2



∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,∴ ? A O B 的大小为 9 0 . (∵ x 0 ? y 0 ? 2 且 x 0 y 0 ? 0 ,∴ 0 ? x 0 ? 2, 0 ? y 0 ? 2 ,从而当 3 x 0 ? 4 ? 0 时,方程①和方程②的判别式
2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

?

均大于零). 45.(2009 江苏卷) (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 x o y 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦
x 轴上。

点 F 在

33

(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3) 设过点 M ( m , 0 )( m ? 0 ) 的直线交抛物线 C 于 D、 两点, E ME=2DM, D 和 E 两点间的距离为 f ( m ) , 记 求 f ( m ) 关于 m 的表达式。

46.(2009 山东卷理)(本小题满分 14 分) 设椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)过 M(2,

2 ) ,N (

6 ,1)两点,O 为坐标原点,

(I)求椭圆 E 的方程; (II) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O A ? O B ?若存 在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 解:(1)因为椭圆 E:
x a
2 2

??? ?

??? ?

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)过 M(2,

2 ) ,N (

6 ,1)两点,

34

2 1 ? 4 ? 1 ? 2 ?1 ? 2 2 2 ? a2 ? a2 ?a ? 8 x y ? ? b 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ? 1 ? 1 2 ? a2 ?b2 b 4 ? ?

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O A ? O B ,设该
? y ? kx ? m ? 2 2 ?x y ? ?1 ? 4 ? 8

??? ?

??? ?

圆 的 切 线 方 程 为

y ? kx ? m

解 方 程 组



x ? 2 ( kx ? m ) ? 8
2 2

, 即

(1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 8 ? 0 ,
2 2 2

则△= 1 6 k m ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 8) ? 8(8 k ? m ? 4 ) ? 0 ,即 8 k ? m ? 4 ? 0
2 2 2 2 2 2

2

2

4 km ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2k ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 2 ? 1 ? 2k ?
k (2 m ? 8)
2 2

,

y 1 y 2 ? ( k x1 ? m )( k x 2 ? m ) ? k x 1 x 2 ? k m ( x 1 ? x 2 ) ? m
2

2

?

1 ? 2k
2 2

2

?

4k m 1 ? 2k

2

2 2

?m

2

?

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

要 使

? ? ? ? ? ? ? ? O A ? O , B 使 x1 x 2? 需

y 1 ?y 0 , 即 2

2m ? 8
2

1 ? 2k
2

2

?

m ? 8k 1 ? 2k
2

? 0 , 所 以 3m ? 8k ? 8 ? 0 , 所 以
2 2

k

2

?

3m ? 8
2

8
y ? kx ? m

? m ? 2 8 2 6 2 6 2 2 2 ? 0 又 8 k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? ,所以 m ? ,即 m ? 或m ? ? ,因为直线 2 3 3 3 ?3m ? 8

为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为
m
2 2

r ?

m 1? k
2

,r ?
2

1? k

? 1?

m

2 2

3m ? 8 8

?

8 3

,r ?

2 6 3

,所求的圆为 x ? y ?
2 2

8 3

,此时圆的切线 y ? kx ? m

都满足 m ?

2 3

6

或m ? ?

2 3

6

,而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

2 3

6

与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的两个交

8

4

点为 (

2 3

6

,?

2 3

6

) 或 (?

2 6 3

,?

2 6 3

??? ? ??? ? 8 2 2 ) 满足 O A ? O B ,综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? ,使得该 3 ??? ? ??? ?

圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O A ? O B .

35

4 km ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2k 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 2 ? 1 ? 2k ?
4 km 1 ? 2k
2

所以 ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ( ?
2 2

) ? 4?
2

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

?

8 (8 k ? m ? 4 )
2 2

(1 ? 2 k )
2
2 2

2

,

| A B |?

( x1 ? x 2 ) ? ? y 1 ? y 2 ?
2

2

?

(1 ? k )( x 1 ? x 2 )
2

2

?

(1 ? k )
2

8 (8 k ? m ? 4 ) (1 ? 2 k )
2 2

?

32 4k ? 5k ? 1 ? ? 4 2 3 4k ? 4k ? 1
4 2

32 3

[1 ?

k
4

2 2

4k ? 4k ? 1

] ,

①当 k ? 0 时 | A B | ?

32 3

[1 ? 4k ?
2

1 1 k
2

] ?4
1 8

因为 4 k ?
2

1 k
2

? 4 ? 8 所以 0 ?

1 4k ?
2

1 k
2

? ?4

,

所以

32 3

?

32 3

[1 ? 4k ?
2

1 1 k
2

] ? 12 , ?4

所以

4 3

6 ? | A B |? 2 3 当且仅当 k ? ?

2 2

时取”=”.

② 当 k ? 0 时, | A B | ?

4 3

6

.

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

2 6 3

,?

2 6 3

) 或 (?

2 6 3

,?

2 6 3

),

所以此时 | A B | ?

4 3

6

,
4 3 6 ? | A B |? 2 3 即: | A B |? [ 4 3

综上, |AB |的取值范围为

6,2 3]

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直 线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系 数关系. 47. (2009 山东卷文)(本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( m x , y ? 1) ,向量 b ? ( x , y ? 1) , a ? b ,动点 M ( x , y ) 的轨迹为
36

?

?

?

?

E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?
1 4
O A ? O B (O 为坐标原点),并求出该圆的方程;

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且

(3)已知 m ?

1 4

,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,当 R 为何
2 2 2

值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解(1)因为 a ? b , a ? ( m x , y ? 1) , b ? ( x , y ? 1) , 所以 a ? b ? m x ? y ? 1 ? 0 ,
2 2

?

? ?

?

? ?

即mx ? y ? 1 .
2 2

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ? 1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?
1 4

时, 轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解方程组
2

4

? y ? kx ? t ? 2 2 2 2 2 2 得 x ? 4 ( kx ? t ) ? 4 ,即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 , ?x 2 ? y ?1 ? ? 4

要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 ( 4 k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4 k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4 k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 4k 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 2 ? 1 ? 4k ?
2

y 1 y 2 ? ( k x 1 ? t )( k x 2 ? t ) ? k x 1 x 2 ? k t ( x 1 ? x 2 ) ? t ?
2

k (4t ? 4)
2 2

1 ? 4k
2

2

?

8k t

2 2 2

1 ? 4k
2

?t ?
2

t ? 4k
2

2 2

1 ? 4k

,

要使 O A ? O B ,

??? ?

??? ?

需使 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,即
2 2

4t ? 4
2

1 ? 4k
2

2

?

t ? 4k 1 ? 4k
2

2

2

?

5t ? 4 k ? 4
2

1 ? 4k
2

2

? 0,

所以 5 t ? 4 k ? 4 ? 0 ,
2 2

即 5t ? 4 k ? 4 且 t ? 4 k ? 1 ,

即 4 k ? 4 ? 2 0 k ? 5 恒成立.
2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,
37

4

所以圆的半径为 r ?

t 1? k
2

,r ?
2

t

2 2

(1 ? k )
2

1? k

? 5

1? k
2

2

?

4 5

, 所求的圆为 x ? y ?
2 2

4 5

.

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ? 足OA ? OB .

2 5

5 ,与

x

? y ? 1 交于点 (
2

2 5

5 ,?

2 5

5 ) 或 (?

2 5

5 ,?

2 5

5 ) 也满

4

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?
2 2

4 5

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB .
1 4

(3) 当 m ?

时,轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k x?
2

t, 因 为 直 线 l 与 圆

4
t 1? k
2

2 2 2 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,
? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4 ( kx ? t ) ? 4 , 2 ? y ?1 ? ? 4

即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 ( 4 k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R ?t ? 2 ? 4?R 由①②得 ? , 2 R ?1 2 ?k ? 2 ? ? 4?R
2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? ? 1 ? 4k 由? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 2 ? 1 ? 4k ?

中 x 1 ? x 2 ,所以, x1 ?
2

4t ? 4
2

1 ? 4k

2

?

16 R ? 16
2

3R

2

,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y 1 ? 1 ?
2
2

1 4

x1 ?
2

4? R 3R
2

2

,所以 | O B 1 | ? x1 ? y 1 ? 5 ?
2 2 2 2

4 R
2 2

,
4 R
2

在直角三角形 OA1B1 中, | A1 B 1 | ? | O B 1 | ? | O A1 | ? 5 ?
2

4 R
2

?R

2

? 5?(

4 R
2

? R ) 因为

? R

2

? 4 当且仅

当R ?

2 ? (1, 2 ) 时取等号,所以 | A1 B1 | ? 5 ? 4 ? 1 ,即
2

38

当R ?

2 ? (1, 2 ) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组 法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 48.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)

3 x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a b 3
两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2 (Ⅰ)求 a,b 的值;
2

,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B
2 2
? ? ?

(Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP

? OA ? OB 成立?

若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有 关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处 理。 解(Ⅰ)设 F ? c , 0 ?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0 , O 到 l 的距离为
0?0?c 2
c a

?

c 2
3 3

, 故

c 2

?

2 2



c ?1

由 e ?

?

,得 a ?

3 ,b ?

a

2

?c

2

= 2

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2 x + 3 y =6. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). (ⅰ) 当 l 不垂直 x 轴时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) C 上的点 P 使 OP ? OA ? OB 成立的充要条件是 P点的坐标为( 且 2 ( x1 ? x 2 ) ? 3( y1 ? y 2 ) ? 6
2 2
2

2

x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2) ,

整理得 2 x 1 ? 3 y 1 ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 4 x 1 x 2 ? 6 y 1 y 2 ? 6
又 A 、 B 在 C 上,即 2 x 1 ? 3 y 1
2 2

2

2

2

2

? 6,2 x 2 ? 3 y 2

2

2

? 6



2 x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? 3 ? 0
2 2



将 y ? k ( x ? 1) 代入 2 x ? 3 y ? 6 , 并化简得

39

(2 ? 3k ) x
2

2

? 6 k x ? 3k
2

2

?6 ? 0
3k
2

于是 x 1 ? x 2 ?

6k

2 2

2 ? 3k

, x1 x 2 =

? 6
2

2 ? 3k
2 2

,

y 1 y 2 ? k ( x 1 ? 1 )( x 2 ? 2 ) ?
2

? 4k

2 ? 3k

代入①解得, k

2

? 2 ,此时 x 1 ? x 2 ?

3 2 3 2 k 2 )

于是 y 1 ? y 2 ? k ( x 1 ? x 2 ? 2 ) = ?
3 2 3 2 2 2

k 2

, 即 P ( ,?

因此, 当 k ? ? 2 时, P ( ,

2 2

) , l的方程为

2x ? y ?

2 ? 0;

当k ?

2 时, P (

,?

) , l的方程为

2x ? y ?

2 ? 0。

(ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由 OA ? OB ? ( 2 , 0 ) 知,C 上不存在点 P 使 OP ? OA ? OB 成立。
3 2 2 2
2 ? 0.

综上,C 上存在点 P ( , ?

) 使 OP ? OA ? OB 成立,

此时 l 的方程为 2 x ? y ?

49.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分)
2 已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A ( x A , y A ) 和 B ( x B , y B ) , x A ? x B . 且 记曲线 C 在点 A

和点 B 之间那一段 L 与线段 A B 所围成的平面区域 (含边界) D . 为 设点 P ( s , t ) 是 L 上的任一点, 且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 A B 的中点,试求线段 P Q 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 25

? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 1 5

2 解(1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ? 1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,

2 2

1

? s ,y ? 2

5 2

?t

设线段 P Q 的中点 M 坐标为 ( x , y ) ,则 x ?
C 上,

2

,即 s ? 2 x ?
2

1 2

,t ? 2 y ?

5 2

,又点 P 在曲线

∴2 y ?

5 2

? (2 x ?

1 2

) 化简可得 y ? x
2

2

? x?

11 8

,又点 P 是 L 上的任一点,
40

且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ?
2

1 2

? 2 ,即 ?

1 4

? x ? 5 4

5 4



11 8

(?

1 4

? x ?

).

y

xB xA
o

D
x

(2)曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 25

? 0 , 7 5

即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2 ) ?
2 2

49 25

,其圆心坐标为 E ( a , 2 ) ,半径 r ?
2 2 2

由图可知,当 0 ? a ?

2 时,曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 25

? 0 与点 D 有公共点;

当 a ? 0 时 , 要 使 曲 线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
|a ? 2? 2| 2 |a | 2 7 5

51 25

? 0 与点 D 有公共点,只需圆心 E 到直线

l : x ? y? 2 ? 0 的距离 d ?

?

?

,得 ?

7 5

2

? a ? 0 ,则 a 的最小值为 ?

7 5

2

.

50.(2009 安徽卷理) (本小题满分 13 分) 点 P ( x0 , y0 ) 在 椭 圆
x0 a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上 , x 0 ? a c o s ? , y 0 ? b s in ? , 0 ? ? ?

?
2

. 直 线 l2 与 直 线

l1 :

x?

y0 b
2

y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l 2 的倾斜角为 ? .

(I)证明: 点 P 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 与直线 l1 的唯一交点;

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列. 解析: 本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程, 直线和曲线的几何性质, 等比数列等基础知识。 考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。 证明 (I) (方法一)由
x0 a
2

x?

y0 b
2

y ?1得y ?

b
2

2

a y0
2 2

( a ? x 0 x ), 代入椭圆
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1,

得(

1 a
2

?

b x0 a y0
4

2

2 2

)x ?
2

2b x0 a y0
2

2

x?(

b

? 1) ? 0 .

y0

将?

? x0 ? a co s ? ? y 0 ? b s in ?

代入上式,得 x ? 2 a co s ? ? x ? a co s ? ? 0, 从而 x ? a co s ? .
2 2 2

41

?x y ? 2 ? 2 ?1 ? x ? x0 ? b 因此,方程组 ? a 有唯一解 ? ,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. ? y ? y0 ? x0 x ? y0 y ? 1 2 ? a2 b ?
2 2

(方法二)显然 P 是椭圆与 l1 的交点,若 Q ( a co s ? 1 , b sin ? 1 ), 0 ? ? 1 ? 2 ? 是椭圆与 l1 的交点,代入 l1 的方程
cos ? a x? s in ? b y ? 1 ,得 co s ? co s ? 1 ? sin ? sin ? 1 ? 1,

即 co s( ? ? ? 1 ) ? 1, ? ? ? 1 , 故 P 与 Q 重合。
x a
2 2

(方法三)在第一象限内,由

?

y b

2 2

? 1 可得 y ?

b a

a ? x , y0 ?
2 2

b a

a ? x0 ,
2 2

椭圆在点 P 处的切线斜率 k ? y ? ( x 0 ) ? ?
a
b x0 a y0
2 2

b x0 a ? x0
2 2

? ?

b x0 a y0
2

2

,

切线方程为 y ? ?

( x ? x0 ) ? y0 , 即

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1。

因此, l1 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质,P 是椭圆与直线 l1 的唯一交点。 (II) ta n ? ?
y0 x0 ? b a ta n ? , l1 的斜率为 ?

x0b y0a

2 2

, l 2 的斜率为 ta n ? ?

y0a x0b

2 2

?

a b

ta n ? ,

由此得 tan ? tan ? ? tan ? ? 0 , tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列。
2

51.(2009 江西卷文) (本小题满分 14 分) 如图,已知圆 G : ( x ? 2 ) ? y ? r 是椭圆
2 2 2

x

2

? y ? 1 的内接△ A B C 的内切圆, 其中 A 为椭圆的左顶点.
2

16

y M A B F

(1)求圆 G 的半径 r ; (2)过点 M (0 ,1 ) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E , F 两点, 证明:直线 E F 与圆 G 相切.

0

(1)解 设 B( 2 ? r , y 0) ,过圆心 G 作 G D ? A B 于 D , B C 交长轴于 H 由
GD AD ? HB AH

. G C
E

x



r 36 ? r
2

?

y0 6?r

,

42



y0 ?

r

6?r 6?r

(1)

而点 B( 2 ? r , y 0) 在椭圆上, y 0 ? 1 ?
2

(2 ? r ) 16

2

?
2 3 4 9

12 ? 4r ? r 16

2

? ?

( r ? 2 )( r ? 6 ) 16

(2)

2 由(1)、 (2)式得 1 5 r ? 8 r ? 1 2 ? 0 ,解得 r ?

或r ? ?

6 5

(舍去)

(2) 证明设过点 M (0 ,1 ) 与圆 ( x ? 2 ) ? y ?
2 2

相切的直线方程为: (3)

y ? 1 ? kx



2 3

?

2k ? 1 1? k
2

,即 3 2 k ? 3 6 k ? 5 ? 0
2

(4)

解得 k 1 ?

?9 ? 16

41

, k2 ?

?9 ? 16

41

将(3)代入

x

2

? y ? 1 得 (1 6 k ? 1) x ? 3 2 kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ?
2
2 2

32k 16k ? 1
2

16
3 2 k1 1 6 k1 ? 1
2

设 F ( x1 , k 1 x1 ? 1) , E ( x 2 , k 2 x 2 ? 1) ,则 x1 ? ?
k 2 x 2 ? k 1 x1 x 2 ? x1

, x2 ? ?

32k2 16k2 ? 1
2

则直线 F E 的斜率为: k E F ?

?

k1 ? k 2 1 ? 1 6 k1 k 2

?

3 4

于是直线 F E 的方程为: y ?
3 4 7 3

3 2 k1
2

2

1 6 k1 ? 1

?1 ?

3 4

(x ?

3 2 k1 1 6 k1 ? 1
2

)

即y ?

x?

3

?

7 3 9 16 ? 2 3

则圆心 ( 2 , 0 ) 到直线 F E 的距离 d ?

2 1?

故结论成立. 52.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 已知点 P1 ( x 0 , y 0 ) 为双曲线
x
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( b 为正常数)上任一

y

8b

点, F 2 为双曲线的右焦点,过 P1 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接
P1

P

P2

A

43
F1
O

F2

x

F 2 A 并延长交 y 轴于 P2 .

(1) 求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程;
( ( (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B 、 D 两点,在 E 上任取一点 Q x1 , y1) y1 ? 0 ) ,直线 Q B, Q D 分别交 y 轴于
M , N 两点.求证:以 M N 为直径的圆过两定点.

( 0 ( (1) 解 由已知得 F 2 3 b,) , A

8 3

b, y 0),则直线 F 2 A 的方程为: y ? ?

3 y0 b

( x ? 3b ) ,

令 x ? 0 得 y ? 9 y 0 ,即 P2 (0 , 9 y 0 ) ,
x ? x ? 0 ? x0 ? 2 x 2 2 2 2 ? x0 y 4x y ? ? 2 ? 02 ? 1 得: ? ? 1, ( 设 P x, y),则 ? ,即 ? y 代入 2 2 2 8b b 8b 2 5b y0 ? y0 ? 9 y0 ? ?y ? ? 5 y0 5 ? ? ? 2
x
2 2

即 P 的轨迹 E 的方程为

?

y

2 2

?1.

2b x
2 2

2 5b

(2) 证明 在

?

y

2 2

? 1 中令 y ? 0 得 x ? 2 b ,则不妨设 B (
2 2

2 b,) , D 2 b,) 0 ( 0 ,

2b

2 5b

于是直线 Q B 的方程为: y ?

y1 x1 ?
y1

(x ? 2b

2b ) ,

直线 Q D 的方程为: y ?

( x- 2b) ,

x1 - 2 b
2 b y1 - 2 b y1 ) , N 0, ( ) , 2b x1 - 2 b
2

( 则 M 0,

x1 ?

( 则以 M N 为直径的圆的方程为: x ? y -

2 b y1 x1 ?
x
2 2

)(y ?

2 b y1 x1 2b

)? 0

,

2b
y
2 2

令 y ? 0 得: x ?
2

2 b y1
2

2

2 2

x1 ? 2 b

( ,而 Q x1 , y 1)在

?

2b

2 5b

? 1 上,则 x1 ? 2 b ?
2 2

2 25

y1 ,

2

于是 x ? ? 5 b ,即以 M N 为直径的圆过两定点 ( ? 5 b , 0 ), (5 b , 0 ) . 53.(2009 天津卷文) (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 )( c ? 0 ) ,过点 E (

a

2

, 0 ) 的直线

c

44

与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F 2 B , | F1 A |? 2 | F 2 B | (Ⅰ求椭圆的离心率; (Ⅱ)直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F 2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在 ? AF 1 C 的外接圆上,求 的值。 解 (1)由 F1 A // F 2 B , | F1 A |? | F 2 B | ,得
| EF
2

n m

|

?

| F2 B | | F1 A |

?

1 2

,从而

| EF 1 |

a a

2

?c
2

c ?c c

?

1 2

2 2 ,整理得 a ? 3c ,故离心率 e ?

c a

?

3 3

(2)由(1)知, b ? a ? c ? 2 c ,所以椭圆的方程可以写为 2 x ? 3 y
2 2 2 2
2

2

? 6c

2

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

a

2

) 即 y ? k ( x ? 3c )

c

由已知设 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?

? y ? k ( x ? 3c ) ?2 x
2

? 3y

2

? 6c

2

消去 y 整理,得 ( 2 ? 3 k ) x ? 18 k cx ? 27 k c ? 6 c ? 0
2 2 2 2 2 2

依题意, ? ? 48 c (1 ? 3 k ) ? 0 , ?
2 2

3 3

? k ?

3 3

而 x1 ? x 2 ?

18 k

2 2

2 ? 3k

, x1 x 2 ?

27 k c

2

2

? 6c
2

2

2 ? 3k

,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点,

所以 x 1 ? 3 c ? 2 x 2 联立三式,解得 x 1 ?
9k c ? 2c
2

2 ? 3k

2

, x2 ?

9k c

2

2

? 2c
2

2

2 ? 3k
2 3 2c 2
2 2

,将结果代入韦达定理中解得 k ? ?

2 3 .

(3)由(2)知, x 1 ? 0 , x 2 ?

3c 2

,当 k ? ?

时,得 A ( 0 , 2 c ) 由已知得 C ( 0 , ? 2 c )

线段 AF 1 的垂直平分线 l 的方程为 y ? 的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ?
c 2

? ?
c 2

2 2

(x ?

c 2

), 直线 l 与 x 轴的交点 (

c 2

, 0 ) 是 ? AF 1 C 的外接圆

) ? y

? (

? c)

2

45

直线 F 2 B 的方程为 y ?

2 ? c 2 9c 2 (m ? ) ? n ? ? 2 ( x ? c ) ,于是点 H ( m , n ) 满足方程组 ? 2 4 ? ?n ? 2 (m ? c)

由 m ? 0 ,解得 m ?

5c 3

,n ?

2

2c 2

,故

n m

?

2 5

2

当k ?

2 3

时,同理可得

n m

?

2 5

2

.

54.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分)
2 过抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的对称轴上一点 A ? a , 0 ? ? a ? 0 ? 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N

向直线 l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N 1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记
p 2

时,求证: A M 1 ⊥ A N 1 ;

? A M M 1 、? A M 1 N 1 、? A N N 1 的面积分别为 S 1 、S 2 、S 3 ,是否存在 ? ,使得对任意的 a ? 0 ,

都有 S 22 ? ? S 1 S 2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。 解 依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? m y ? a , M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,

则有 M ( ? a , y 1 ), N ( ? a , y 2 ) 由?
?x ? my ? a ?y
2

? 2 px

消去 x 可得 y ? 2 m p y ? 2 a p ? 0
2

, ①

从而有 ?

? y1 ? y 2 ? 2 m p ? y1 y 2 ? ? 2 a p
2

于是 x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 2 a ? 2 ( m p ? a ) 又由 y 1 ? 2 p x1 , y 1 ? 2 p x 2 可得 x1 x 2 ?
2 2


2

( y1 y 2 ) 4p
2

?

(?2ap ) 4p
2

2

? a

2


p 2

(Ⅰ)如图 1,当 a ? 此时 M 1 ( ?
P

p 2

时,点 A (
P

p 2

, 0 ) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ?
2

, y 1 ), N 1 ( ? , y 2 ), 并 由 ①可得 y 1 y 2 ? ? p 2 2 uuuu v uuuv 证法 1: Q A M 1 ? ( ? p , y 1 ), A N 1 ? ( ? p , y 2 )

uuuu uuuv v 2 2 2 ? A M 1 ? A N 1 ? p ? y 1 y 2 ? p ? p ? 0, 即 A M 1 ? A N 1

46

证法 2:

Q K

AM 1

? ?

y1 p

,K

AN1

? ?

y2 p

,

? K AM ? K AN ?
1 1

y1 y 2 p
2

? ?

p p

2 2

? ? 1, 即 A M 1 ? A N 1 .

(Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? 4 S 1 S 3 成立,证明如下:
2

证法 1:记直线 l 与 x 轴的交点为 A1 ,则 O A ? O A1 ? a 。于是有
S1 ? S2 ? S3 ? 1 1 ? M M 1 ? A1 M 1 ? ( x 1 ? a ) y 1 2 2 1 2 1 ? M 1 N 1 ? A A1 ? a y 1 ? y 2

1 ? N N 1 ? A1 N 1 ? ( x 2 ? a ) y 2 2 2

47

? S 2 ? 4 S 1 S 3 ? ( a y 1 ? y 2 ) ? ( x1 ? a ) y 1 ? ( x 2 ? a ) y 2
2 2

? a [( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ] ? [ x 1 x 2 ? a ( x 1 ? x 2 ) ? a ] y 1 y 2
2 2 2

将①、②、③代入上式化简可得
a (4m p ? 8ap ) ? 2ap (2am p ? 4a ) ? 4a p (m p ? 2a )
2 2 2 2 2 2 2

上式恒成立,即对任意 a ? 0 , S 2 ? 4 S 1 S 3 成立
2

证法 2:如图 2,连接 M N 1 , N M 1 ,则由 y 1 y 2 ? ? 2 a p , y 1 ? 2 p x1 可得
2

K OM ?

y1 x1

?

2p y1

?

2 py2 y1 y 2

?

2 py2 ?2ap

?

y2 ?a

? K O N ,所以直线 M N 1 经过原点 O,
1

同理可证直线 N M 1 也经过原点 O 又 O A ? O A1 ? a 设 M 1 A1 ? h1 , N 1 A1 ? h 2 , M M 1 ? d 1 , N N 1 ? d 2 , 则
S1 ? 1 2 d 1 h1 , S 2 ? 1 2 ? 2 a ( h1 ? h 2 ) ? a ( h1 ? h 2 ), S 3 ? 1 2 d 2 h2 .

56.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y

2

b

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1、 F 2 ,离心率 e ?

2 2

,右准线方程为 x ? 2 。

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M 、 N 两点,且 F 2 M ? F 2 N ?
?c 2 ? ? ?a 2 解(I)由已知得 ? ,解得 a ? 2 ?a ? 2 ? c ?
????? ???? ? 2 26 3

,求直线 l 的方程。

2,c ? 1

∴ b?

a ?c
2

2

?1
x
2

∴ 所求椭圆的方程为

? y ?1 .
2

2

(II)由(I)得 F1 ( ? 1, 0 ) 、 F 2 (1, 0 )
? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,由 ? x 2 得y ? ? 2 2 ? y ?1 ? ? 2

48

设 M ( ? 1,
?????

2 2

) 、 N ( ? 1, ?

2 2
2 2

),

∴ F2 M ? F2 N ? ( ? 2 ,

???? ?

) ? (?2, ?

2 2

) ? ( ? 4 , 0 ) ? 4 ,这与已知相矛盾。

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M ( x1 , y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2



x1 ? x 2 ?

?4k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

2k ? 2
2

1 ? 2k
2k

2





y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2 ) ?

1 ? 2k

2



又∵ F 2 M ? ( x1 ? 1, y 1 ), F 2 N ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ∴
????? ???? ? F 2 M ? F 2 N ? ( x1 ? x 2 ? 2, y 1 ? y 2 )
????? ???? ? F2 M ? F2 N ? ? 8k ? 2 ? ? 2k ? ?? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2k ?
2 2 2

?????

???? ?



( x1 ? x 2 ? 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

2

?

?

2

26 3

化简得 4 0 k ? 2 3 k ? 1 7 ? 0
4 2

解得 k ? 1或 k ? ?
2 2

17 40

(舍 去 )

∴ ∴

k ? ?1

所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或 y ? ? x ? 1 .

57.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 3

,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点,当 l

的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

2 2

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 O P ? O A ? O B 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。
49

??? ?

??? ?

??? ?

解 (I)设 F ( c , 0 ) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

2 2



|0?0?c| 2

?

2 2

,解得 c ? 1 .又 e ?

c a

?

3 3

,? a ?

3,b ?

2.

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

x

2

?

y

2

3

2

? 1 .设 A ( x1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 )

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? m y ? 1 代入椭圆的方程中整理得 ( 2 m ? 3) y ? 4 m y ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。
2 2

由韦达定理有: y 1 ? y 2 ? ?

, .... ....① 2 2m ? 3 2m ? 3 ??? ? ??? ??? ? ? .假设存在点 P,使 O P ? O A ? O B 成立,则其充要条件为:
2

4m

, y1 y 2 ? ?

4

点 P 的 坐 标 为 ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ,点 P 在椭圆上,即
2 2 2 2

( x1 ? x 2 ) 3

2

?

( y1 ? y 2 ) 2

2

?1。

整理得 2 x1 ? 3 y 1 ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 4 x1 x 2 ? 6 y 1 y 2 ? 6 。 又 A、 B 在椭圆上,即 2 x1 ? 3 y1 ? 6, 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 .
2 2 2 2

故 2 x1 x 2 ? 3 y 1 y 2 ? 3 ? 0 ................ ................②
2 将 x1 x 2 ? ( m y1 ? 1)( m y 2 ? 1) ? m y 1 y 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 1 及①代入②解得 m ?
2

1 2

? y1 ? y 2 ?

2 2

或 ?

2 2

, x1 ? x 2 = ?

4m
2

2

2m ? 3
2

?2 ?

3 2

,即 P ( , ?
2

3

2 2

).

当m ?

2 2

时, P(

3 2

,?

2 2

), l : x ?

y ?1;

2 2 2

当m ? ?

2 2

时, P(

3 2

,

2 2

), l : x ? ?

y ?1.

58.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线段 MN
50

的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值范围。 解 (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为
x a
2 由题设条件知, a ? 8, b ? c , 所以 b ?
2

2 2

?
1 2

y b
2

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 焦距为 2 c ,

a ? 4.

故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

?1

.

8

4

(Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x ? ? 4, 所以点 P 的坐标 ( ? 4 , 0 ) , 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4 ) 。 如图,设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), 线段 MN 的中点为 G ( x 0 , y 0 ) ,

? y ? k ( x ? 4 ), ? 2 2 2 2 由? x2 y2 得 (1 ? 2 k ) x ? 1 6 k x ? 3 2 k ? 8 ? 0 . ? ?1 ? 4 ? 8
2 2 2 2

??①

由 ? ? (1 6 k ) ? 4 (1 ? 2 k )(3 2 k ? 8) ? 0 解得 ?
2 2 2 2

? k ?

.

??②

因为 x 1 , x 2 是方程①的两根,所以 x1 ? x 2 ? ?
x1 ? x 2 2
2 2

16k

2 2

1 ? 2k
4k

,于是

x0 ?

=?

8k

1 ? 2k
2 2

, y0 ? k ( x0 ? 4 ) ?

1 ? 2k

2

.

因为 x 0 ? ?

8k

1 ? 2k

? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,

51

又直线 F1 B 2 , F1 B1 方程分别为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为
? 4k ? y0 ? x0 ? 2, 即 ?1 ? 2k 2 ? ? ? ? y0 ? x0 ? 2 . 4k 8k
2 2 2

? ?

1 ? 2k

? 2,

8k ? ? ? 2, ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?

? 2 k ? 2 k ? 1 ? 0, ? 亦即 ? 2 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. ?
2

解得 ?

3 ?1 2

? k ?

3 ?1 2

,此时②也成立.

故直线 l 斜率的取值范围是 [ ?

3 ?1 2

,

3 ?1 2

].

59.(2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 已知 A,B 分别为曲线 C:
x a
2 2

+ y =1(y ? 0,a>0)与 x 轴
2

的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上 异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T.
A (1)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 ? B 的三等分点,试求出点 S 的坐标;

(II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在
a ,使得 O,M,S 三点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。

解 方法一 (Ⅰ)当曲线 C 为半圆时, a
? 1,

A 如图,由点 T 为圆弧 ? B 的三等分点得∠BOT=60°或 120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又 AB=2,故在△SAE 中,有 S B
? A B ? ta n 3 0 ? ? ? ? ? ,? s ( t , ? ? ? ); 2 3 3

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点 S 的坐标为 (1, 2 (Ⅱ)假设存在 a ( a
? 0)

3)

,综上,

S (1,

)或 S ( 1 , 2 3 )

,使得 O,M,S 三点共线.
? k (x ? a) .

由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故 B T ? O S . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 y
?x 2 ? y ?1 ? 2 2 2 2 2 4 2 2 得 (1 ? a k ) x ? 2 a k x ? a k ? a ? 0 由? a2 ? y ? k (x ? a) ?
2

设点 T ( x T , y T ),?

xT ? ( ? a ) ?

a k

2

2

?a
2 2

2

1? a k

,

52

故 xT

?

a ?a k
2

2 2

1? a k
2

,从而 y
, 2ak 1? a k
2

T

? k ( xT ? a ) ?

2ak 1? a k
2 2

.

亦即 T (

a ? a k
2

2 2

1? a k
2

2

).

2 2 ??? ? ?2a k 2ak ? B ( a , 0 ),? B T ? (( , )) 2 2 2 2 1? a k 1? a k

由?

?x ? a ? y ? k (x ? a)
? OS

得 s ( a , 2 a k ),? O S

??? ?

? ( a , 2 a k ).

由 BT

,可得 B T

2 2 2 2 ??? ??? ? ? ?2a k ? 4a k ?OS ? ? 0 2 1? a k2

即 ?2a 2k 2

? 4a k
2

2

? 0

? k ? 0 , a ? 0 ,? a ?

2

经检验,当 a

?

2

时,O,M,S 三点共线.

故存在 a

?

2

,使得 O,M,S 三点共线.

方法二: (Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 S M ? B T . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 y
?x 2 ? y ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 得 (1 ? a b ) x ? 2 a k x ? a k ? a ? 0 由? a2 ? y ? k (x ? a) ?
2

? k (x ? a)

设点 T ( x T , y T ) ,则有 x T 故 xT
? a ?a k
2 2 2

? (? a ) ?

a k

4

2

?a
2 2

2

1? a k

. 2ak a ?a k
2 2 2

a ? a k
2

, 从 而 y T ? k ( xT ? a ) ?
yT xT ? a ? ? 1 a k
2

1? a k
2
2

2

亦即T(

1? a k
2

?

2ak 1? a k
2 2

).

? B ( a , 0 ),? k B T ?
?x ? a ? y ? k (x ? a)

, 故 k SM ? a k

由?

得 S ( a , 2 a k ) , 所直线

SM 的方程为 y

? 2ak ? a k ( x ? a )
2

O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 2 a k
? a ? 0 , K ? 0 ,? a ? 2

? a k (? a )
2

.

故存在 a

?

2

,使得 O,M,S 三点共线.

60.(2009 辽宁卷文、理) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程;
53

3 2

) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。

(2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为 定值,并求出这个定值。 (Ⅰ)解 由题意,c=1,可设椭圆方程为
1 1? b
2

x

2 2

1? b

?

y

2 2

? 1。
3 4

4b

因为 A 在椭圆上,所以
x
2

?

9 4b
2

? 1 ,解得 b =3, b = ?
2 2

(舍去) 。

所以椭圆方程为

?

y

2

? 1.

4

3
3 2

(Ⅱ)证明 设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?
3 2

,代入

x

2

?

y

2

? 1得

4

3

( 3 + 4 k ) x + 4 k (3 ? 2 k ) x ? 4 (
2 2

? k ) ? 12 ? 0
2

设E( x E , y E ) F( x F , y F ) , .因为点A(1,
4( 3 ? k ) ? 12
2

3 2

)在椭圆上,

所以 x E ?
y E ? kxE ?

2 2 3 ? 4k
3 2 ?k 。



又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得
4( xF ? 3 ? k ) ? 12
2

2 2 3 ? 4k
3 2



y F ? ? kxF ?

?k。

所以直线 EF 的斜率 k E F ?

yF ? yE xF ? xE
1 2

?

? k ( xF ? xE ) ? 2k xF ? xE

?

1 2



即直线 EF 的斜率为定值,其值为



61.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 并说明轨迹是什么曲线。 解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a, c ,由已知得
OP OM

=λ ,求点 M 的轨迹方程,

54

?a ? c ? 1 , 解 得 a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7

所以椭圆 C 的标准方程为

x

2

?

y

2

?1

16

7

(Ⅱ)设 M ( x , y ) ,其中 x ? ? ? 4 , 4 ? 。由已知

OP OM

2

2

? ? 及点 P 在椭圆 C 上可得
2

9 x ? 112
2

16( x ? y )
2 2
2

? ? 。
2

整理得 (1 6 ? ? 9 ) x ? 1 6 ? y ? 1 1 2 ,其中 x ? ? ? 4 , 4 ? 。
2 2 2

(i) ? ?

3 4

时。化简得 9 y ? 1 1 2
2

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 3

( ? 4 ? x ? 4 ) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。

(ii) ? ?

3 4

时,方程变形为

x

2

112 16? ? 9
2

?

y

2

112 16?
2

? 1 ,其中 x ? ? ? 4 , 4 ?

当0 ? ? ? 当
3 4

3 4

时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 4 ? x ? 4 的部分。

? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 4 ? x ? 4 的部分;

当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆; 62.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的方程为
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,离心率 e ?

5 2

,顶点到渐近线的距离为

2 5 5



(1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若
??? ? ??? ? 1 A P ? ? P B , ? ? [ , 2 ] ,求 ? A O B 面积的取值范围。 3

方法一 解(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线
a x ? b y ? 0的 距 离 为 2 5 5
ab a ?b
2 2



所以

?

2 5 5

所以

ab c

?

2 5 5

55

? ab 2 5 ? ? 5 ? c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 由? ? 得 ?b ? 1 2 ?a ? 2 ?c ? 5 ?c ? a 2 ? b2 ? ? ?
y
2

所以曲线 C 的方程是

? x ?1
2

4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ? 2 x
( 设 A ( m , 2 m ), B ? n , 2 n ), m ? 0, n ? 0

由 A P ? ? P B得 P点 的 坐 标 为 (
y
2

uuu r

uur

m-? n 2(m+? n) , ), 1+? 1+?

将 P 点的坐标代入 4

? x ? 1, 化 简 得 m n =
2

(1 ? ? ) 4?

2

因为 ? A O B ? 2? , ta n ( 又 OA ?
5m , O B ?
1 2 (? ? (1 ? 1

?
2

? ? ) ? 2 , ta n ? ?

1 2

, s in 2 ? ?

4 5

5n
1 2 (? ? 1 )?1

所以 S ? A O B ? 记 S (? ) ? 则 S ?( ? ) ?
1 2 1 2

O A ? O B ? s in 2 ? ? 2 m n ? ) ? 1, ? ? [ ) 1 3
2

?

?
1

, 2]

?

由 S ?( ? ) ? 0 得 ? ? 1 又 S(1)=2, S ( ) ?
3 1 8 3 , S (2) ? 9 4 1 3 8 3

当 ? ? 1 时, ? A O B 面积取到最小值 2 ,当当 ? ? 所以 ? A O B 面积范围是 [2 , ]
3 8

时, ? A O B 面积取到最大值

方法二(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线 a x ? b y ? 0的 距 离 为

2 5 5



?

ab a ?b
2 2

?

2 5 5



ab c

?

2 5 5
56

? ab 2 5 ? ? 5 ? c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 由? ? 得 ?b ? 1 2 ?a ? 2 ?c ? 5 ?c ? a 2 ? b2 ? ? ?
y
2

所以曲线 C 的方程是

? x ?1.
2

4

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k x ? m , 由题意知 k ? 2 , m ? 0
? y ? kx ? m ? y ? 2x ? y ? kx ? m ? y ? ?2 x m 2?k ?m 2?k
(
2 2

由?

得 A点 的 坐 标 为 (

,

2m 2?k 2m 2?k
?

),

由?

得 B点 的 坐 标 为 (

,

),

uuu r uur A P ? ? P B , 得 P点 的 坐 标 为 (

m 1? ?

1 2?k

?
2?k
2

),

2m 1? ?

(

1 2?k

?

?
2?k

)

将 P 点的坐标代入

y

2

4

? x ?1得
2

4m

4?k

?

(1 ? ? )

?

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m)
S ?AO B = S ?AOQ ? S ?BOQ

.
1 2 m ( xA ? xB )
2 2

? ? ?

1 2 1 2 1 2

OQ g xA ? m( m 2?k 1 ?

1 2

O Q g xB ? )? 1 g

m 2?k

4m

2 4?k

(? ?

?

)?1

63.(2009 四川卷文、理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y

2

b

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1、 F 2 ,离

心率 e ?

2 2

,右准线方程为 x ? 2 。

(I)求椭圆的标准方程;
57

(II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M 、 N 两点,且 F 2 M ? F 2 N ?
?c 2 ? ? ?a 2 解 (I)由已知得 ? ,解得 a ? 2 a ? ? 2 ? c ?

?????

???? ?

2

26 3

,求直线 l 的方程。

2,c ? 1

∴ b?

a ?c
2

2

?1
x
2

∴ 所求椭圆的方程为

? y ?1 .
2

2

(II)由(I)得 F1 ( ? 1, 0 ) 、 F 2 (1, 0 )
? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,由 ? x 2 得y ? ? 2 2 ? y ?1 ? ? 2
2 2
????? ???? ?

设 M ( ? 1,

) 、 N ( ? 1, ?

2 2
2 2

),

∴ F2 M ? F2 N ? ( ? 2 ,

) ? (?2, ?

2 2

) ? ( ? 4 , 0 ) ? 4 ,这与已知相矛盾。

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M ( x1 , y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2



x1 ? x 2 ?

?4k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

2k ? 2
2

1 ? 2k
2k

2





y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2 ) ?

1 ? 2k

2



又∵ F 2 M ? ( x1 ? 1, y 1 ), F 2 N ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ∴
????? ???? ? F 2 M ? F 2 N ? ( x1 ? x 2 ? 2, y 1 ? y 2 )
????? ???? ? F2 M ? F2 N ? ? 8k ? 2 ? ? 2k ? ?? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2k ?
2 2 2

?????

???? ?



( x1 ? x 2 ? 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

2

?

?

2

26 3

58

化简得 4 0 k ? 2 3 k ? 1 7 ? 0
4 2

解得 k ? 1或 k ? ?
2 2

17 40

(舍 去 )

∴ ∴

k ? ?1

所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或 y ? ? x ? 1

64.(2009 全国卷Ⅰ文) (本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 E : y ? x
2

与圆 M : ( x ? 4 ) ? y ? r ( r ? 0 )
2 2 2

相 交

于 A、B、C、D 四个点。 (Ⅰ)求 r 的取值范围 (Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 解: (Ⅰ)将抛物线 E : y ? x 代入圆 M : ( x ? 4 ) ? y ? r ( r ? 0 ) 的方程,
2 2 2 2

消去 y ,整理得 x ? 7 x ? 1 6 ? r ? 0
2

2

2

抛物线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4 ) ? y ? r ( r ? 0 ) 相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是: (1) 方程
2 2 2 2

有两个不相等的正根
? 49 ? 4 ( 16 ? r 2 ) ? 0 ? 5 ? ?r ? ? 或r ? ∴? x1 ? x2 ? 7 ? 0 即? 2 ?? 4 ? r ? 4 ? 2 ? ? x 1 ? x 2 ? 16 ? r ? 0
5 2 。

解这个方程组得

5 2

? r ? 4 r?(

15 2

, 4) .

(II)设四个交点的坐标分别为 A ( x1 ,

x1 ) 、 B ( x1 , ?

x1 ) 、 C ( x 2 , ?
15 2

x2 ) 、 D ( x2 ,

x2 ) 。

则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x 2 ? 7 , x1 x 2 ? 1 6 ? r , r ? (
2

, 4)

则S ?
?S
2

1 2

? 2 ? | x 2 ? x1 | (
2

x1 ?

x 2 ) ? | x 2 ? x1 | (

x1 ?

x2 )
2 2

? [( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]( x1 ? x 2 ? 2
2

x1 x 2 ) ? (7 ? 2 1 6 ? r )( 4 r ? 1 5 )

2 2 令 1 6 ? r ? t ,则 S ? (7 ? 2 t ) (7 ? 2 t )

下面求 S 的最大值。

2

方法 1:由三次均值有:
S
2

? (7 ? 2 t ) (7 ? 2 t ) ?
2

1 2

(7 ? 2 t )(7 ? 2 t )(1 4 ? 4 t )

?

1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 ( ) ? ?( ) 2 3 2 3

59

当且仅当 7 ? 2 t ? 1 4 ? 4 t ,即 t ?

7 6

时取最大值。经检验此时 r ? (
x1 ) 、 B ( x1 , ?

15 2

, 4 ) 满足题意。

方法 2:设四个交点的坐标分别为 A ( x1 , 则直线 AC、BD 的方程分别为
y ? x1 ? ? x2 ? x 2 ? x1 x1 ( x ? x 1 ), y ?

x1 ) 、 C ( x 2 , ?

x2 ) 、 D ( x2 ,

x2 )

x1 ?

x2 ?

x1

x2 ? x1

( x ? x1 )

解得点 P 的坐标为 ( x 1 x 2 , 0 ) 。 设t ?
x 1 x 2 ,由 t ? 16 ? r
2

及(Ⅰ)得 t ? ( 0 , )
4 1 2

1

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积 S ?

(2

x1 ? 2

x2 ) | x1 ? x2 |

则S

2

? ( x1 ? 2

x 1 x 2 ? x 2 )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] 将 x 1 ? x 2 ? 7 ,
2
2

x 1 x 2 ? t 代入上式,并令 f ( t ) ? S ,等
7 2

f (t ) ? (7 ? 2t ) (7 ? 2t ) ? ? 8t
2

3

? 28 t

2

? 98 t ? 343 ( 0 ? t ?

),

∴ f `( t ) ? ? 24 t ? 56 t ? 98 ? ? 2 ( 2 t ? 7 )( 6 t ? 7 ) ,
2

令 f `( t ) ? 0 得 t ?

7 6

,或 t ? ?

7 2

(舍去)

当0 ? t ?

7 6

时, f `( t ) ? 0 ;当 t ?

7 6

时 f `( t ) ? 0 ;当

7 6

? t ?

7 2

时, f `( t ) ? 0

故当且仅当 t ?

7 6

时, f ( t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,

故所求的点 P 的坐标为 ( , 0 ) 。
6

7

65.(2009 湖北卷文) (本小题满分 13 分) 如图,过抛物线 y =2PX(P﹥0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点, 自 M、N 向准线 L 作垂线,垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ)求证:FM1⊥FN1:
60
2

(Ⅱ)记△FMM1、 、△FM1N1、△FN N1 的面积分别为 S 是否成立,并证明你的结论。 (1) 证明 方法一 由抛物线的定义得
MF ? MM 1 , NF ? NN1 ,
? ? M F M 1 ? ? M M 1F , ? N F N 1 ? ? N N 1F

1、 2、 3 、 ,

S S ,试判断 S22=4S1S3

如图,设准线 l 与 x 的交点为 F1
Q M M 1 // N N 1 // F F1 ? ? F1 F M 1 ? ? M M 1 F , ? F1 F N 1 ? ? N N 1 F

而 ? F1 F M 1 ? ? M F M 1 ? ? F1 F N 1 ? ? N 1 F N ? 1 8 0 即 2 ? F1 F M 1 ? 2 ? F1 F N 1 ? 1 8 0
? ? F1 F M 1 ? ? F1 F N 1 ? 9 0
0 0

0

故 FM 1 ? FN1 方法二 依题意,焦点为 F (
p 2 , 0 ), 准线 l 的方程为 x ? ? p 2 p 2

( ( 设点 M,N 的坐标分别为 M x1 , y 1 ), N x 2 , y 2 ), 直线 MN 的方程为 x ? m y ?
M 1 (? p 2 , y 1 ), N 1 ( ? p 2 , y 2 ), F M 1 ? ( ? p , y 1 ), F N 1 ? ( ? p , y 2 )

,则有

p ? ?x ? my ? 由? 2 ? y 2 ? 2 px ?

得 y ? 2m py ? p ? 0
2 2

于是, y1 ? y 2 ? 2 m p , y1 y 2 ? ? p

2

????? ???? ? 2 2 2 ? F M 1 ? F N 1 ? p ? y 1 y 2 ? p ? p ? 0 ,故 F M 1 ? F N 1

(Ⅱ)解 方法一

S 2 ? 4 S 1 S 3 成立,证明如下:
2

设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则由抛物线的定义得
p 2 , | N N 1 |? | N F |? x 2 ? 1 2 ( x1 ? p 2 ) | y1 | p 2

| M M 1 | ? | M F | ? x1 ? S1 ? 1 2

,于是

? | M M 1 | ? | F1 M 1 | ?

61

S2 ? S3 ?
2

1 2 1 2

? | M 1 N 2 | ? | F F1 | ? ? | N N 1 | ? | F1 N 1 | ? 1 2
2

1 2 1 2

p | y1 ? y 2 | ( x2 ? p 2
2

) | y2 | 1 2 ( x1 ? p 2 ) | y1 | ? 1 2 ( x2 ? p 2 ) | y2 |

? S 2 ? 4 S1S 3 ? (

p | y 1 ? y 2 |) ? 4 ?

?

1 4

p [( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ] ? [ x 1 x 2 ?
2

p 2

( x1 ? x 2 ) ?

p

2

4

] | y1 y 2 |

p ? x ? m y1 ? ? 1 ? y1 ? y 2 ? 2 m p ? 2 将? 与? 代入上式化简可得 2 ? y1 y 2 ? ? p ?x ? my ? p , 2 ? 2 ? 2
p ( m p ? p ) ? p ( m p ? p ) ,此式恒成立。
2 2 2 2 2 2 2 2

故 S 2 ? 4 S 1 S 3 成立。
2

方法二

如图,设直线 M N M 的倾角为 ? , | M F |? r1 , | N F | ? r2

则由抛物线的定义得 | M M 1 |? | M F |? r1 , | N N 1 | ? | N F | ? r3
? M M 1 // N N 1 // F F1 , ? ?FM M 1 ? ? ,?FNN1 ? ? ? ?

于是 S 1 ?

1 2

r1 s in ? , S 3 ?
2

1 2

r2 s in ( ? ? ? ) ?
2

1 2

r2 s in ?
2

在 ? F M M 1 和 ? F N N 1 中,由余弦定理可得
| F M 1 | ? 2 r1 ? 2 r1 co s ? ? 2 r1 (1 ? co s ? ), | F N 1 | ? 2 r2 ? 2 r2 co s ? ? 2 r2 (1 ? co s ? )
2 2 2 2 2 2 2 2

由(I)的结论,得 S 2 ?
? S2 ?
2

1 2
2

| FM 1 | ? | FN1 | 1 4 ? 4 r1 ? r2 ? (1 ? c o s ? )(1 ? c o s ? ) ? r1 r2 s in ? ? 4 S 1 S 3
2 2 2 2 2

1 4

| FM 1 | ? | FN1 | ?
2

即 S 2 ? 4 S 1 S 3 ,得证。
2

66.(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 x O y 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (1)求椭圆 C 的方程‘

62

(2)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解(1)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {
a ? c ? 1, a ? c ? 7.

OP OM

? e (e 为椭圆 C 的离心率) ,

解得 a=4,c=3,

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

16

7

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y 1 ),其中 x ? ? ? 4, 4 ? . 由已知得
3 4

x ? y1
2 2

2 2

x ? y

? e .
2

而e ?

,故 1 6 ( x ? y 1 ) ? 9 ( x ? y ).
2 2 2 2



由点 P 在椭圆 C 上得 , y 1 ?
2

112 ? 7 x 16

2

,

代入①式并化简得 9 y ? 1 1 2 ,
2

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 3

( ? 4 ? x ? 4 ), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段.

67.(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与 它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于 点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。 解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) ? y ? 3︳x-2︳
2 2

由题设 当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ?
2 2

1 2

x , 化简得

x

2

?

y

2

? 1.

36
2

27

当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x ) ? y ? 3 ? x , 化简得 y ? 1 2 x
2 2

63

故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C 1 :
2

x

2

?

y

2

? 1 在直线 x=2 的右侧部分与

36

27

抛物线 C 2 : y ? 1 2 x 在直线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点) 所组成的曲线,参见图 1 (Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C 1 , C 2 的交点都是 A(2, 2 6 ) ,B(2, ? 2 6 ) , 直线 AF,BF 的斜率分别为 k A F = ? 2 6 , k B F = 2 6 . 当点 P 在 C 1 上时,由②知
PF ? 6 ? 1 2 x.



当点 P 在 C 2 上时,由③知
PF ? 3 ? x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k A F ,或 k≥ k B F ,即 k≤-2 都在 C
1

6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x1 , y 1 ) ,N( x , y )
2 2

上,此时由④知
1 2
x1

∣MF∣= 6 -

∣NF∣= 6 -

1 2

x
2

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 ? y ? k ( x ? 3) ? 2 由 ? x2 y ? ?1 ? ? 36 27

1 2

x1 )+ (6 -

1 2

x )=12 2

1 2

( x1 + x )
2

得 (3 ? 4 k ) x ? 2 4 k x ? 3 6 k ? 1 0 8 ? 0
2 2 2 2

则 x1 , y 1 是 这 个 方 程 的 两 根 , 所 以

x1 + x = 2

24k

2 2

3 ? 4k

*∣MN∣=12 -

1 2
2

( x1 + x )=12 2

12k

2 2

3 ? 4k

因为当 k ? 2 6 , 或 k ? 2 6时 , k ? 2 4 ,
1 2k
2 2

M N ? 1 2?

3 ? 4k

? 1 ? 2

1 2 1 k
2

?

?4

1 0 0 . 1 1

64

当且仅当 k ? ? 2 6 时,等号成立。 (2)当 k A E ? k ? k A N , ? 2 6 ? k ? 2 6 时,直线 L 与轨迹 C 的两个交点 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) 分别在
C 1 , C 2 上,不妨设点 M 在 C 1 上,点 C 2 上,则④⑤知, M F ? 6 ?
1 2 x1 , N F ? 3 ? x 2

设直线 AF 与椭圆 C 1 的另一交点为 E ( x 0 , y 0 ), 则 x 0 ? x1 , x 2 ? 2 .
MF ? 6 ? 1 2 x1 ? 6 ? 1 2 x 0 ? E F , N F ? 3 ? x 2? 3 ? 2 ? A F

所以 M N ? M F ? N F ? E F ? A F ? A E 。而点 A,E 都在 C 1 上,且
k A E ? ? 2 6 , 有(1)知 A E ?
100 11 ,所 以 MN ? 100 11

若直线 ? 的斜率不存在,则 x1 = x 2 =3,此时
M N ? 12 ? 1 2 ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? 100 11

综上所述,线段 MN 长度的最大值为

100 11 .

68.(2009 福建卷文) (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为
10 3

B ,点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, A S , B S 与直线 l : x ?

分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T ,使得 ? T S B 的面积为 定点 T 的个数,若不存在,说明理由
1 5

?若存在,确

65



方法一(I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A ( ? 2 , 0 ), 上顶点为 D (0,1),? a ? 2, b ? 1
x
2

故椭圆 C 的方程为

? y ?1
2

4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 A S 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) , 从而 M (
10 16k , ) 3 3

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由? x2 得 (1 ? 4 k ) x ? 1 6 k x ? 1 6 k ? 4 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 4

设 S ( x1 , y 1 ), 则 ( ? 2 ), x1 ?
2 ? 8k 1 ? 4k
2 2

16k ? 4
2

1 ? 4k

2

得 x1 ?

2 ? 8k 1 ? 4k

2 2

,从而 y 1 ?

4k 1 ? 4k
2

即S(

,

4k 1 ? 4k
2

), 又 B ( 2 , 0 )

1 10 ? ? y ? ? ( x ? 2) x ? ? ? ? ? 4k 3 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
? N( 10 3 ,? 1 3k )

故 | M N |?

16k 3

?

1 3k

又 k ? 0 ,?| M N | ?
16k 3 ?k ? 1 4 1

16k 3

?

1 3k

? 2
1 4

16k 3

?

1 3k

?

8 3

当且仅当

?

,即 k ?

时等号成立
8 3 1 4

3k

时,线段 M N 的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 M N 取最小值时, k ?
6 4 5 5

此时 B S 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , s ( , ),?| B S | ?

4 5
1 5

2

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ? T S B 的面积等于

,只须 T 到直线 B S 的距离等于

2 4

,所以 T 在平行

66

于 B S 且与 B S 距离等于 设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0
|t ? 2| 2 2 4

2 4

的直线 l 上。

则由

?

, 解得 t ? ?

3 2

或t ? ?

5 2

69.(2009 年上海卷理) (本题满分 16 分) 已知双曲线 c :
x
2

v 2 ? y ? 1, 设过点 A ( ? 3 2 , 0 ) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k )

2

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >
2 2

时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。

(1)解 双曲线 C 的渐近线 m :

x 2

?

2 y ? 0 ............2 分

?

直线 l 的方程 x ?

2y ?3 2 ? 0

?

直线 l 与 m 的距离 d ?

3 2 1? 2

?

6

(2)证明 方法一设过原点且平行与 l 的直线 b : k x ? y ? 0
3 2 k 1? k
2

则直线 l 与 b 的距离 d ?

当k ?

2 2

时,d ?

6

又双曲线 C 的渐近线为 x ?

2y ? 0

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, ? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离为

6 。

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 。 (2)方法二 双曲线 C 的右支上存在点 Q ( x 0 , y 0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

67

? kx ? y ? 3 2 0 0 ? ? 则? 2 1? k ? ? x 0 ? 2 y 0 ? 2, ( 2 )

6 , (1)

由(1)得 y 0 ? k x 0 ? 3 2 k ? 设t ? 3 2k ?
2 2

6? 1? k

2



6? 1? k

2

当k ?

,t ? 3 2k ?

6? 1? k

2

?0

将 y0 ? kx0 ? t
2 2

代入(2)得 (1 ? 2 k ) x 0 ? 4 ktx 0 ? 2 ( t ? 1) ? 0
2 2 2

(*)

?k ?

, t ? 0 ,? 1 ? 2 k

2

? 0 , ? 4 k t ? 0 , ? 2 ( t ? 1) ? 0
2

? 方程(*)不存在正根,即假设不成立

故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6 70.(2009 上海卷文) (本题满分 16 分)
0 已知双曲线 C 的中心是原点,右焦点为 F ? 3, ? ,一条渐近线 m: x + 2 y ? 0 ,设过点 A ( ? 3 2 , 0 ) 的直线

l 的方向向量 e ? (1, k ) 。
(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值;
2 2

v

(3) 证明:当 k ?

时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 .

(1)解 设双曲线 C 的方程为 x ? 2 y ? ? ( ? ? 0 )
2 2

?? ?

?
2

?3 ,解得 ? ? 2 ,双曲线 C 的方程为

x

2

? y ?1
2

2

(2)解 直线 l : kx ? y ? 3 2 k ? 0 ,直线 a : k x ? y ? 0
| 3 2k | 1? k
2

由题意,得

?

6 ,解得 k ? ?

2 2

(3)证明 方法一 设过原点且平行于 l 的直线 b : k x ? y ? 0

68

则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2 |k | 1? k
2

, 当k ?

2 2

时, d ?

6

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0
? ?

双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 (3)方法二 假设双曲线 C 右支上存在点 Q ( x 0 , y 0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,
? | kx ? y ? 3 2 k 0 0 ? ? 2 则? 1? k ? 2 2 ? x0 ? 2 y0 ? 2 6 (1) (2)
6 ? 1? k
2

由(1)得 y 0 ? kx 0 ? 3 2 k ? 设t ? 3 2k ?
2 2

6 ? 1? k

2



当k ?

时, t ? 3 2 k ?

6 ? 1? k

2

? 0;

t ? 3 2k ?

6 ? 1? k

2

?

6? 3k
2

2k ? 1
2 2

? 0
2

?
2

1? k

将 y 0 ? k x 0 ? t 代入(2)得 (1 ? 2 k ) x 0 ? 4 ktx 0 ? 2 ( t ? 1) ? 0
2

?k ?

2 2

,t ? 0 ,

? 1 ? 2k

2

? 0, ? 4 kt ? 0, ? 2 ( t ? 1) ? 0
2

? 方程 (* ) 不存在正根,即假设不成立,

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 71.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ?
4 3 3

,离心率 e ?

3 2

, M 是椭圆上的动点.

(Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3 ), (0, 3 ) ,求 M C ? M D 的最大值; (Ⅱ)如题图,点 A 的坐标为 (1, 0 ) , B 是圆 x ? y ? 1 上的点, N 是点 M 在 x 轴上的射影,点 Q 满足
2 2

69

条件: O Q ? O M ? O N , Q A ?B A ? 0 .求线段 Q B 的中点 P 的轨迹方程;

????

???? ?

????

??? ??? ? ?



(Ⅰ)由题设条件知焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为

x a

2 2

?

y b
3 2

2 2

? 1 (a >b> 0 ).

设c ?

a ? b ,由准线方程 y ?
2 2

4 3 3

得.由 e ?

3 2



c a

?

,解得 a = 2 ,c =

3 ,从而 b = 1,

椭圆方程为 x ?
2

y

2

?1 .

4 y
2

又易知 C,D 两点是椭圆 x ?
2

? 1 的焦点,所以, M C ? M D ? 2 a ? 4

4 MC ? MD 2

从而 M C ? M D ? (

) ? 2 ? 4 ,当且仅当 M C ? M D ,
2 2

即点 M 的坐标为 ( ? 1, 0 ) 时上式取等号, M C ? M D 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M ( x m , y m ), B ( x B , y B )
70

???? ???? ???? ? Q ( x Q , y Q ) .因为 N ( x N , 0 ), O M ? O N ? O Q ,故
xQ ? 2 x N , y Q ? y M ,

xQ ? y Q ? ( 2 x M ) ? y
2 2 2

y

? 4



因为 Q A ? B A ? 0 ,
(1 ? x Q ? y Q ) ? (1 ? x N ? y n ) ? (1 ? x Q )(1 ? x N ) ? y Q y N ? 0 ,

??? ??? ? ?

所以 x Q x N ? y Q y N ? x N ? x Q ? 1 .



记 P 点的坐标为 ( x P , y P ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 2 x P ? x Q ? x P , 2 y P ? y Q ? y P 由因为 x N ? y N ? 1 ,结合①,②得
2 2

xP ? yP ?
2 2

1 4
2

(( x Q ? x N ) ? ( y Q ? y N ) )
2 2 2 2

?

1 4 ?

( x Q ? x N ? y Q ? y n ? 2 ( x Q x N ? y Q y N ))
2

1 4

(5 ? 2 ( x Q ? x N ? 1))

?

3 4

? xP 1 2 ) ? y ?1
2 2

故动点 P 的估计方程为 ( x ?

72.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分) 已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 x ? (Ⅰ)求该双曲线的方程; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 ( ? 5 , 0 ) , B 是圆 x ? ( y ?
2

5 5

,离心率 e ?

5.

5 ) ? 1 上的点,点 M 在双曲线右支上,
2

求 M A ? M B 的最小值,并求此时 M 点的坐标;

71

解 (Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(a ? 0, b ? 0) ,

设c ?

a ? b ,由准线方程为 x ?
2 2

5 5



a

2

?

5 5

,由 e ?

5得

c a

?

5

解得 a ? 1, c ?

5

从而

c

b ? 2 ,? 该双曲线的方程为 x ?
2

y

2

?1.

4

(Ⅱ)设点 D 的坐标为 ( 5 , 0 ) ,则点 A、D 为双曲线的焦点, | M A | ? | M D |? 2 a ? 2
| 所以 | M A | ? | M B |? 2? | M B |? | M D≥
C (0,

2 | B D | , ? B 是圆 x ? ( y ? ?
2

5 ) ? 1 上的点,其圆心为
2

5 ) ,半径为 1,故 | B D |≥ | C D | ? 1 ? 10 ? 1

10 ? 1

从而 | M A | ? | M B |≥ 2 ? | B D |≥

当 M , B 在线段 CD 上时取等号,此时 | M A | ? | M B | 的最小值为 1 0 ? 1
? 直线 CD 的方程为 y ? ? x ?

5 ,因点 M 在双曲线右支上,故 x ? 0

由方程组 ?

?4x ? y ? 4 ?
2 2

?y ? ?x ? ?

解得 x ?

?

5 ?4 3

2

,y ?

4 5 ?4 3

2

5

所以 M 点的坐标为 (

?

5 ?4 3

2

,

4 5 ?4 3

2

).

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 湖北卷 10)如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞

72

向月球,在月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆 轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 变点第二次变轨进入仍以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞 行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2 c 1 和 2 c 2 分别表示椭轨 道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2 a 1 和 2 a 2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ① a 1 ? c1 ? a 2 ? c 2 ; 其中正确式子的序号是 A. ①③ 答案 B
???? ????? ?

② a 1 ? c1 ? a 2 ? c 2 ;

③ c1 a 2 ? a 1 c 2 ;



c1 a1



c2 a2

. )

( B. ②③ C. ①④ D. ②④

2.(2008 江西理 7)已知 F1 、 F 2 是椭圆的两个焦点,满足 M F1 ? M F 2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围是 A. (0,1) 答案 C
x a
2 A. ( 2, )
2 2

( B. ( 0 , ]
2 1


2 2 ,1)

C. ( 0 ,

2 2

)

D. [

3.(2008 全国Ⅱ理 9)设 a ? 1 ,则双曲线

?

y

2 2

( a ? 1)

? 1 的离心率 e 的取值范围是 (



B. ( 2, 5 )

5) C. ( 2,

D. ( 2, 5 )

答案

B
2

4.(2008 海南理 11)已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与 点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为 A.( 答案
1 4

( D.(1,-2)



,-1) A

B.(

1 4

,1)

C.(1,2)

5.(2008 辽宁理 10)已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距
2

离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A. 答案
17 2

( C. 5 D.
9 2



B. 3 A
x m
2 2

6.(2008 天津文 7)设椭圆

?

y n

2 2

? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )的右焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦
2

73

点相同,离心率为
x
2

1 2

,则此椭圆的方程为
x
2

(
y
2

)

A.

?

y

2

?1

B.

?

?1

12 x
2

16 y
2

16 x
2

12 y
2

C.

?

?1

D.

?

?1

48

64

64

48

答案

B
3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,

7.(2007 重庆文)已知以 F1(2,0) F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? , 则椭圆的长轴长为 A. 3 答案
2

( B. 2
6

) D. 4
2

C. 2

7

C
x a
2 2

8.(2007 浙江文)已知双曲线

?

y b

2 2

?1

( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1、F2,P

是准线上一点,且 PF1⊥PF2,|PF1| ? |PF2 |=4ab,则双曲线的离心率是 A. 2 答案 B
x a
2





B.

3

C.2

D.3

2 2

9.(2007 天津文)设双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为

3 ,且它的一条准线与

抛物线 y ? 4 x 的准线重合,则此双曲线的方程为
x
2


x
2



A.

?

y

2

?1

B.

?

y

2

?1

12 x
2

24 2y 3
2

48 x
2

96 y
2

C. 答案

?

?1

D.

?

?1

3

3

6

D
x
2

10. (2006 上海春季 15) 若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A
2

k ?3

?

y

2

k ?3

? 1 表示双曲线”

( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

11.(2005 年上海理 15) 过抛物线 y

? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,

它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条

( B.有且仅有两条
74



C.有无穷多条 答案 B 解析
k x
2
2 2

D.不存在

y

2

? 4 x 的焦点是(1,0),设直线方程为 y ? k ( x ? 1 ) k ? 0 (1),将(1)代入抛物线方程可得
2

? (2k
? 4

? 4) x ? k

2

? 0 ,x 显然有两个实根,且都大于 0,它们的横坐标之和是

2k

k

2

? 5 ? 3k

2

? 4 ? k ? ?

2 3

3

,选 B.

二、填空题 12.(2008 湖南理 12)已知椭圆
x a
5 5
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的右焦点为 F,右准线为 l ,离心率

e=

. 过顶点 A(0,b)作 AM ? l ,垂足为 M,则直线 FM 的斜率等于
1 2

.

答案

13.(2008 江苏 12)在平面直角坐标系中,椭圆
?a

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O

为圆心, a 为半径的圆,过点 ? 答案
2 2

? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?
2



14.(2008 全国Ⅰ理 15)在 △ A B C 中, A B ? B C , c o s B ? ? 椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e ? 答案
3 8

7 18

.若以 A, B 为焦点的



15.(2008 浙江理 12)已知 F1、 F 2 为椭圆

x

2

?

y

2

25

9

? 1 的两个焦点,过 F 1 的直线交椭圆于

A、B 两点.若 F 2 A ? F 2 B ? 12 ,则 AB =______________. 答案 8
x a
2 2

16.(2008 上海春季 7) 已知 P 是双曲线

?

y

2

? 1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线方

9

程为 3 x ? y ? 0 . 设 F1、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点. 若 P F 2 ? 3 ,则 P F1 ? 答案 5
2

.

17.(2007 山东理)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点,A 是抛物线上
75

的一点, F A 与 x 轴正向的夹角为 6 0 ? ,则 O A 为
21 2

??? ?

??? ?



答案

p

18.(2007 上海春季 6) 在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 y 2 ? 4 x 上的点 P 到该抛物线的 焦点的距离为 6,则点 P 的横坐标 x ? 答案 5 .

19.(2006 上海理 7) 已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长 的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 答案
2 16 ? y 4
2

.

?1

20.(2005 江西理)以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | P A | ? | P B | ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 O P ? P 的轨迹为椭圆;
2 ③方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

??? ?

??? ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? ( O A ? O B ), 则动点 2

④双曲线

x

2

?

y

2

? 1与椭圆

x

2

? y

2

? 1 有相同的焦点.

25

9

35

其中真命题的序号为 答案 ③④

(写出所有真命题的序号)

三、解答题 21.(2008 全国Ⅰ理 21)双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2, 经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1、l2 于 A, B 两点.已知 O A 、A B 、O B 成等差数 列,且 B F 与 F A 同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 A B 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解: (Ⅰ)设 O A ? m ? d , A B ? m , O B ? m ? d 由勾股定理可得: ( m ? d ) ? m ? ( m ? d )
2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

76

得: d ?

1 4

m , ta n ? A O F ?

b a

, ta n ? A O B ? ta n 2 ? A O F ?

AB OA

?

4 3

2

b a
2

由倍角公式?

?

4 3

,解得

b a

?

1 2

,则离心率 e ?

5 2



?b? 1? ? ? ?a?

(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

a b

( x ? c ) ,与双曲线方程

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 联立

将 a ? 2b , c ?
2

5 b 代入,化简有

15 4b
2

x ?
2

8 5 b

x ? 21 ? 0

4 ?

?a? 1? ? ? ?b ?

x1 ? x 2 ?

? ?a? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ? ? ? ?b ? ? ? ? ?
2

将数值代入,有 4 ?

?? 3 2 5b 5 ?? ?? 15 ??
x
2

2 ? 2 8b ?4 ? ? 5 ?

2

? ? ,解得 b ? 3 ? ?

故所求的双曲线方程为

?

y

2

? 1。

36

9

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1. (广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)曲线 y ? 1 ? (x ? [-2,2])与直线 y ? k ( x ? 2 ) ? 4 两个公共点时,实效 k 的取值范围是 A. ( 0 , 答案
5 12 )
4? x
2


5 , 3 ]



B. ( , )
3 4

1 3

C. (

5 12

, ?? )

D. (

12 4

D

2.(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)若椭圆经过点 P 3)且焦点为 F1(-2,0), F2 (2,0), (2, , 则这个椭圆的离心率等于 ( ) A. 2 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 2

答案 C 3.(湖北省武汉市第四十九中学 2009 届高三年级十月月考)图中共顶点 的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为 e1﹑ e 2﹑ e 3﹑ e 4 , 其大小关系为
77





A. e1 ? e 2 C. e1 ? e 2 答案

? e3 ? e 4 ? e 4 ? e3

B. e 2 D. e 2

? e1 ? e 3 ? e 4 ? e1 ? e 4 ? e 3

C
x a
2 2

5.(辽宁省大连市第二十四中学 2009 届高三高考模拟)已知双曲线

?

y b

2

2

? 1 (a>0,b>0)的右焦点为

F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A. (1,2) 答案 D
x a
2 2

B. (-1,2)

C. (2,+∞)

D. [ 2 , ?? )

6.(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)设双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的离心率为

3 ,且它

的一条准线与抛物线 y
x
2

2

? 4 x 的准线重合,则此双曲线的方程为(
x
2


x
2

A.

?

y

2

?1

B.

?

y

2

?1

C.

x

2

?

2y 3

2

?1

D.

?

y

2

?1

12

24

48

96

3

3

6

答案

D
2

7.(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)已知抛物线 C 的方程为 x ? 直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 A. ? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ?? ? C. ?? ? ,? 2 2 ? ? ?2 2 ,?? 答案 D
x a
2 2

1 2

y ,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的

(
2 ? ? 2 ??? , ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

)

B. ? ? ? , ?
? ?

?

?

D. ?? ? ,? 2 ? ?

?

2 ,??

?

8.(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)设双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右焦点分别是 F1 、

F 2 ,过点 F 2 的直线交双曲线右支于不同的两点 M 、 N .若△ M N F1 为正三角形,则该双曲线的离心

率为 A. 6 答案 B B. 3

( C. 2

) D.
3 3

9 .( 江 西 省 崇 仁 一 中 2009 届 高 三 第 四 次 月 考 ) 从 双 曲 线
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? 0, b ? 0 ?

的左焦点 F 引圆

x ? y ? a 的切线,切点为 T ,延长 F T 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 F P 的中点,O 为坐标

原点,则 M O ? M T 与 b ? a 的大小关系为(
78



A、 M O ? M T ? b ? a C、 M O ? M T ? b ? a 答案 B

B、 M O ? M T ? b ? a D、不确定

10.(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考) 已知圆的方程 x ? y ? 4 ,若抛物线过定 点 A(0,1) 、B(0,-1)且以该圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是( ) A.
x
2

2

2

?
2

y

2

? 1( y ? 0 )
2

B.

x

2

?
2

y

2

? 1( y ? 0 )
2

3

4 ? y ? 1( x ? 0 )

4

3 ? y ? 1( x ? 0 )

C. 答案

x

D.

x

3

4

4

3

D

二、填空题 11. (安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)对于曲线 C∶ 命题: ①由线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中所有正确命题的序号为______. 答案 ③④ 12.(福建省莆田第四中学 2009 届第二次月考)离心率 e ? 是 答案
x
2

x

2

4? k

?

y

2

k ?1

=1,给出下面四个

5 2

5 3

,一条准线为 x=3 的椭圆的标准方程

.
? 9y
2

?1
x
2

5

20
? y
2

13.(四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)P 是双曲线 点,F 是双曲线的右焦点,已知 A(3,1),则 PA ? PF 的最小值是 答案
26 ? 2 3

? 1 的右支上一动

3

.

14.(2009 年郓城实验中学· 理科)已知 F1、F2 是椭圆

x a

2 2

?

y

2 2

(10 ? a )

=1(5<a<10)的两个焦

点,B 是短轴的一个端点,则△ F1BF2 的面积的最大值是 答案
100 9
79

3

15.(2009 年浙江省宁波市文)若抛物线 y ? ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点与双曲线
2

x

2

? y ? 1 的左
2

3

焦点重合,则 p 的值 答案 4

.

16.(东北区三省四市 2009 年第一次联合考试)过抛物线 y

2

? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于

A、B 两点,则
答案 1

1 AF

?

1 BF





三、解答题 17.(2009 届山东省实验中学高三年级第四次综合测试)直线 y=kx+b 与曲线 x ? 4 yy ? 4 ? 0 交于 A、
2 2

B 两点,记△AOB 的面积为 S(O 是坐标原点) .
(1)求曲线的离心率; (2)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (3)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程. 解 (1)曲线的方程可化为:
x
2

A

O B

x

? y

2

? 1,

4

∴此曲线为椭圆, a ? 4 , a ? 2 , c ? 4 ? 1 ? 3 , c ?
2 2

3 ,

∴此椭圆的离心率 e ?

c a

?

3 2



(2)设点 A 的坐标为 ( x1 , b ) ,点 B 的坐标为 ( x 2 , b ) ,
x
2



4

? y ? 1 ,解得 x1, 2 ? ? 2 1 ? b
2

2


2 2

所以 S ?

1 2

b | x1 ? x 2 | ? 2 b 1 ? b
2 2

2

? b ?1? b ? 1

当且仅当 b ?

时, S 取到最大值 1.

? y ? kx ? b ? 2 2 2 (3)由 ? x 2 得 ( 4 k ? 1) x ? 8 kb x ? 4 b ? 4 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 4

? ? 1 6 ( 4 k ? b ? 1)
2 2



80

|AB|= 1 ? k

2

| x1 ? x 2 | ?

1? k

2

1 6 ( 4 k ? b ? 1)
2 2

4k ? 1
2

? 2



又因为 O 到 AB 的距离 d ?

|b | 1? k
2

?

2S | AB |

? 1 ,所以 b ? k ? 1
2 2



③代入②并整理,得 4 k 4 ? 4 k 2 ? 1 ? 0 解得, k ?
2

1 2

,b ?
2

3 2

,代入①式检验,△>0 ,

故直线 AB 的方程是
y ? 2 2 x? 6 2

或y ?

2 2

x?

6 2

或y

? ?

2 2

x?

6 2

或y ? ?

2 2

x?

6 2
2 2



18.(2009 年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试)设椭圆 M :

x a

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心

率为

2 2

, 点 A ( a , 0 ), B ( 0 , ? b ), 原 点 O 到 直 线 A B 的 距 离 为

2 3 3



(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设点 C 为( ? a ,0) ,点 P 在椭圆 M 上(与 A 、 C 均不重合) ,点 E 在直线 P C 上,若直线 P A 的 方程为 y ? kx ? 4 ,且 C P ? B E ? 0 ,试求直线 B E 的方程. 解 (Ⅰ)由 e ?
2

??? ??? ? ?

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a

2

? 1?

b a

2 2

?

1 2

得a ?

2b
x a y ?b

由点 A ( a ,0) B (0, ? b )知直线 A B 的方程为 , 于是可得直线 A B 的方程为 x ? 因此
|0? 0?
2

?

? 1,

2y ?

2b ? 0

2b |
2

?

2b 3
2

?

2 3 3
2

,得 b ?

2 ,b ? 2 ,a ? 4 ,
2 2

1 ? ( 2)

所以椭圆 M 的方程为

x

?

y

?1

4

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A 、 B 的坐标依次为(2,0) (0 , ? 2 ) , 、 因为直线 P A 经过点 A ( 2 , 0 ) ,所以 0 ? 2 k ? 4 ,得 k ? 2 , 即得直线 P A 的方程为 y ? 2 x ? 4

81

因为 C P ? B E ? 0 ,所以 k C P ? k B E ? ? 1 ,即 k B E ? ?

??? ??? ? ?

1 kCP

设 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,则

y0 x0 ? 2

?

y0 x0 ? 2

?

y0
2

2

x0 ? 4

? ?

2 4

? ?

1 2

? 2 kCP

得?

1 kCP

? 4 ,即直线 B E 的斜率为 4

又点 B 的坐标为 (0 , ? 2 ) ,因此直线 B E 的方程为 y ? 4 x ?

2
2

19. (福建省龙岩市 2009 年普通高中毕业班单科质量检查)已知抛物线 C: y ? 2 px ( p ? 0 ) 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? b 与抛物线 C 交于两点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,且 | y 1 ? y 2 |? a ( a ? 0 ,且 a 为 常数).过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交抛物线于点 D,连结 AD、 (1)求证: a k ? 16 (1 ? kb ) ;
2 2

BD 得到 ? ABD .

(2)求证: ? ABD 的面积为定值.

解 (1)依题意得: 4 ?
2

p 2

? 5 ,解得 p ? 2 .

所以抛物线方程为 y ? 4 x .

(2)由方程组 ?

? y ? kx ? b, ? y ? 4 x,
2

消去 x 得: ky ? 4 y ? 4 b ? 0 .(※)
2

依题意可知: k ? 0 . 由已知得 y 1 ? y 2 ?
4 k

, y1 y 2 ?

4b k

.

2 2 由 y 1 ? y 2 ? a ,得 ( y1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? a ,



16 k
2

?
2

16b k
2

? a ,整理得 1 6 ? 1 6 kb ? a k .
2

2

2

所以 a k ? 1 6 (1 ? kb ) . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 A B 中点 M ( 所以点 D (
1 k
2

2 ? bk k
2

,

2 k

),

,

2 k

),

依题意知 S ? A B D ?

1 2

DM

y1 ? y 2 ?

1 2

?

1 ? bk k
2

?a.

又因为方程(※)中判别式 ? ? 1 6 ? 1 6 kb ? 0 ,得 1 ? kb ? 0 .
82

所以 S ? A B D ? 所以 S ? A B D ?

1 2

?

1 ? bk k
2

? a ,由(Ⅱ)可知 1 ? b k ?

a k 16

2

2



1 2

?

a

2

?a ?

a

3

.

16

32

又 a 为常数,故 S ? A B D 的面积为定值.

2007—2008 年联考题
一、选择题 1.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试四)设 F1,F2 是椭圆 且 PF 1 : PF 2 ? 4 : 3 ,则 ? PF 1 F 2 的面积为 A.4 答案 B
x a
2 2 2 2

4x 49

?

y

? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,

6

( C. 2 2

) D. 4 2

B.6

2.(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知倾斜角 ? ? 0 的直线 l 过椭圆

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0) 的

? APB 右 焦 点 F 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 , P 为 右 准 线 上 任 意 一 点 , 则 ( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 答案 C 3. (江西省五校 2008 届高三开学联考)从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最 大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率 e 的取值范围是 ( )



A. [ 答案

5 3

,

3 2

]

B. [

3 3

,

2 2

]

C. [

5 3

,

2 2

]

D. [

3 3

,

3 2

]

A
x a
2 2

4.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)以椭圆 点,且被椭圆的右准线分成弧长为 ( ) A.
2 3
2 :1

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的右焦点为圆心的圆经过原

的两段弧,那么该椭圆的离心率等于
3 2

B. B

6 3

C.

4 9

D.

答案

5. (北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知双曲线 C 1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、 右焦点分别为 F1 、

F 2 ,抛物线 C 2 的顶点在原点,它的准线与双曲线 C 1 的左准线重合,若双曲线 C 1 与抛物线 C 2 的交点 P

满足 P F 2 ? F1 F 2 ,则双曲线 C 1 的离心率为(


83

A. 2 答案 B

B. 3

2 3 C. 3

D.2 2

6. (北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a>0, b>0) 的两个焦点为 F 1 、F 2 ,

点 A 在双曲线第一象限的图象上,若△ AF 1 F 2 的面积为 1,且
tan ? AF 1 F 2 ? 1 2

, tan ? AF 2 F1 ? ? 2 ,则双曲线方程为
12 x 5
2

(
2

)
2

A. 答案

5x 12

2

?

y

2

?1

B.

? 3y

2

?1

C. 3 x ?
2

12 y 5

?1

D.

x

2

?

5y 12

?1

3

3

B
1 2 x 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,
2

7. (北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)已知 P 为抛物线 y ? 点 A 的坐标是 ( 6 , A.8
17 2 ) ,则 PA ? PM 的最小值是



) D.
21 2

B.

19 2

C .10

答案 B 8.(2007 岳阳市一中高三数学能力训练)已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为 y=±
b a

x,(a ,b>0), 若双曲线上有一点 M(x0,y0), 使 b|x0|<a|y0|,则双曲线的焦点 ( B.在 y 轴上 D.当 a>b 时在 y 轴上



A. 在 x 轴上 C.当 a>b 时在 x 轴上 答案 B

9.(2007 唐山二模)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x=-1,AM⊥l 于 M,|AM|=λ ,|AO|= (λ ≥0) ,则 A 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 答案 C 10.(2007 石家庄一模)已知 F 为双曲线
x a
2 2

1 2



C.抛物线

D.圆

-

y b

2 2

=1(a,b>0)的右焦点,点 P 为双曲线右支上一点,以线

段 PF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 答案 B 11.(2007 湖北八校联考)P 为双曲线
x a
2 2

D.不确定

-

y b

2 2

=1(a,b>0)右支上一点,F1,F2 分别是左右焦点,且焦距

为 2c,则△F1PF2 的内切圆圆心的横坐标为( ) A.a B.b C.,c 答案 A 12.(2007 全国联考)如图,南北方向的公路 l ,A 地在公路正东
84

D.a+b-c

2 km 处,B 地在 A 东偏北 300 方向 2 3 km 处,河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等。现要在曲线 PQ 上一处建 一座码头,向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、到 B 修建费 用都为 a 万元/km,那么,修建这条公路的总费用最低是( )万元 A.(2+ 3 )a C.5a 答案 B.2( 3 +1)a D.6a C
x
2

13. (2007 武汉 4 月调研)已知点 P 是椭圆 C: 原点,则 ||
PF 1 | ? | PF | OP | ||

?

y

2

8
2

4

? 1 上的动点,F1、F2 分别是左右焦点,O 为坐标

的取值范围是(


?1 2 ? ? , ?2 2 ? ? ?

A.[0, 答案

2 2

]

B. ?0 , 2 ?

C. ?

D.[0, 2 ]

D
x
2

14.(2007 黄冈模拟)设 P(x,y)是曲线 C: A.小于 10 答案 C 二、填空题 B.大于 10

+

y

2

=1 上的点,F1(-4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|( D.不小于 10

)

25

9

C.不大于 10

15.(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆

上一点,且∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,则椭圆的离心率 e= 答案 3-1
x a
3 x ? 2 y ? 0 ,则 a=__________.
2 2

.

16. ( 北 京 市 海 淀 区 2008 年 高 三 统 一 练 习 一 ) 若 双 曲 线

?

y

2

?1

9

?a

? 0 ? 的一条渐近线方程为

答案

2
x
2

17. (福建省南靖一中 2008 年第四次月考)过椭圆 此椭圆的另一焦点,则 ? A B F 2 的周长为 答案 24

?

y

2

36

25

? 1 的 焦 点 F 1 作直线交椭圆于 A、B 两点,F2 是

.
x a
2 2

18. ( 福 建 省 泉 州 一 中 高 2008 届 第 一 次 模 拟 检 测 ) 若 双 曲 线
( x ? 2) ? y
2 2



y b

2 2

=1 的 渐 近 线 与 方 程 为

? 3 的圆相切,则此双曲线的离心率为



答案

2
85

19. (福建省漳州一中 2008 年上期期末考试)双曲线
???? ???? ?

x

2

?

y

2

9

16

? 1 的两个焦点为 F1、 F 2 ,点 P 在该双曲线

上,若 P F1 ? P F 2 ? 0 ,则点 P 到 x 轴的距离为 答案
16 5

.

20. (湖北省黄冈市 2007 年秋季高三年级期末考试)已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的
2

射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) ,则当 | a | ? 4 时, | P A | ? | P M | 的最小值是 答案
a ? 9 ?1
2



21.(2007 届高三名校试题)椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则

9

25

当 m 取最大值时,点 P 的坐标是 答案 (-3,0)或(3,0)

.

22.(2007 届高三名校试题)A 的坐标是(-2,0) B 是圆 F: x ? 2 ) ? y , (
2

2

? 1 上的动点(F 为圆心) ,

线段 AB 的垂直平分线交直线 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为 答案
x
2



1 4

?

y

2

15 4

?1

23.(2007 北京四中模拟二)椭圆

x log

2

?
a

y

2

? 1 的离心率为

1 2

,则 a=________

8

9

答案

9

16

三、解答题 24. (河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检)双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、 右焦点分别为

F1、F2,O 为坐标原点,点 A 在双曲线的右支上,点 B 在双曲线左准线上,
F 2 O ? AB , OF 2 ? OA ? OA ? OB .

(1)求双曲线的离心率 e; (2)若此双曲线过 C(2, 3 ) ,求双曲线的方程; (3)在(2)的条件下,D1、D2 分别是双曲线的虚轴端点(D2 在 y 轴正半轴上) ,过 D1 的直线 l 交双 曲线 M、N, D 2 M ? D 2 N , 求直线 l 的方程。 解(1) F 2 O ? AB , ? 四边形 F2 ABO 是平行四边形
86

OA ( OF 2 ? OB ) ? 0 , 即 OA ? BF ? OA ? BF
2

2

? 0

,

∴四边形 F2 ABO 是菱形. ∴ | AB |? | F 2 A |? | F 2 O |? c . 由双曲线定义得 | AF 1 | ? 2 a ? c , e ?
?e
2?e

| AF 1 | | AB |

?

2a ? c c

?

2 e

? 1,

? 2 ? 0,

? e ? 2 ( e ? ? 1舍去 )

(2) e ? 2 ?

c a

,
2 2 2 2

? c ? 2a,b

2

? 3 a ,双曲线方程为
2

x a

?

y 3a

? 1,

把点 C ( 2 , 3 ) 代入有
x
3

4 a
2

?

3 3a
2

? 1.? a

2

? 3,

∴双曲线方程

?

y

2

? 1.

3

9

(3)D1(0,-3) 2(0,3) ,D ,设 l 的方程为 y ? kx ? 3 , M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 )
? y ? kx ? 3 ? 2 2 2 ? ( 3 ? k ) x ? 6 kx ? 18 ? 0 则由 ? x 2 y ? ?1 ? 9 ? 3

因 l 与与双曲线有两个交点,
?k ? ? 3.
? 6k 3? k
2

? x1 ? x 2 ?

, x1 ? x 2 ?

? 18 3? k ? 18 3? k
2 2

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 6 ?

, y1 ? y 2 ? k x1 x 2 ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? 9
2

? D 2 M ? ( x 1 , y 1 ? 3 ), D 2 N ? ( x 2 , y 2 ? 3 ), D 2 M ? D 2 N ,

? x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 ? 3( y 1 ? y 1 ) ? 9 ? 0
? ? 18 3? k
2

?9?3

? 18 3? k
2

? 9 ? 0 .即 k

2

? 5,
5x ? 3 .
87

? k ? ? 5 . 故所求直线 l 方程为 y ?

5 x ? 3或 y ? ?

25.(湖北省八校高 2008 第二次联考)已知 A,B 是抛物线 x 2 零向量 O A ,
??? ? ??? ? OB

? 2 py ? p ? 0 ?

上的两个动点, O 为坐标原点,非

满足

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB



(Ⅰ)求证:直线 A B 经过一定点; (Ⅱ)当 A B 的中点到直线 y ? 2 x
? 0

的距离的最小值为

2 5 5

时,求 p 的值.

(1)证明 则
2

?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O A? O B ? O ? A O B OA ? OB , ?

.设 A,B 两点的坐标为( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) ,

x1 ? 2 p y 1 , x 2 ? 2 p y 2 .
2

经过 A,B 两点的直线方程为 ( x 2 由 y1
? x1
2

? x1 )( y ? y 1 ) ? ( y 2 ? y 1 )( x ? x1 ).
x2
2

2p

, y2 ?

x2

2

2p

,得 ( x 2
x 2 ? x1 2p

? x1 )( y ? y 1 ) ? (

?

x1

2

2p

2p

)( x ? x1 ).

? x1 ? x 2 ? y ? y 1 ?

( x ? x1 )

. 令x
2

? 0
2

,得 y ?
? 0

y1 ?

x 2 ? x1 2p

( ? x1 )

,

? y ? ?

x1 x 2 2p

.

? O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0,

从而 x1 x 2
y ? 2p

?

x1 x 2 4p
2

.

? x1 x 2 ? 0

(否则,

??? ??? ? ? OA,OB

有一个为零向量),

? x1 x 2 ? ? 4 p

2

.

代入①,得

,?

AB

始终经过定点 ? 0 , 2 p ? .

(2)解 设 AB 中点的坐标为( x , y ), 则 x1 ? x 2 又? 即
y ?
2

? 2 x , y1 ? y 2 ? 2 y ,

? x1 ? x 2 ? 2 p y 1 ? 2 p y 2 ? 2 p ( y 1 ? y 2 )
2 2

.
? 4 py

x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? ( x 1 ? x 2 ) ? 8 p
2 2 2

2

,

? 4x ? 8 p
2

2



1 p

x ?2p
2


? 0

AB 的中点到直线 y ? 2 x
1
2

的距离 d
1 ?

?

y ? 2x 5

.
1 ? p 5 (x ? p) ? p
2

x ? 2 p ? 2x 5

(x ? p) ? p
2

将①代入,得 d

?

p

p 5

.

因为 d 的最小值为

2 5 5

,?

p 5

?

2 5 5

,? p ? 2

.
1 2

26. (江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量 v=(1,
y
2

)为方向向量的直线 l 过点(0,

5 4

),抛物线 C:

? 2 px (p>0)的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线上.

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设 A、B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m,直线 OB 与直线 m 交于点 N,若
OA ? OB ? p
2

? 0 (O 为原点,A、B 异于原点),试求点 N 的轨迹方程.

88

解 (Ⅰ)由题意可得直线 l: y ?

1 2

x?

5 4

① ②

过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ? 2 x 解①②得 x ? ?
1 2



∵抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上. ∴?
p 2 ? ? 1 2
2

?2,p ? 2

∴抛物线 C 的方程为 y

? 4x .

(Ⅱ)设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , N ( x , y ) , 由 OA ? OB ? p
2

2

? 0 ,得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 4 ? 0 .
2

又 y1 ? 4 x1 , y 2 ? 4 x 2 . 解得 y 1 y 2 ? ? 8 直线 ON: y ?
y2 x2 x ,即 y ?
4 y2



x



由③、④及 y ? y 1 得, 点 N 的轨迹方程为 x ? ? 2 ( y ? 0 ) .
y

27.(2007 湖南示范)如图,已知抛物线的方程为 x 2 ? 2 py ( p ? 0 为常数 ) , 过点 M(0,m)且倾斜角为 ? ( 0 ? ? ?
?
2 ) 的直线交抛物线于
2

B A M O x

A(x1,y1) B(x2,y2)两点,且 x1 x 2 ,
(1)求 m 的值

? ?p

(2) (文)若点 M 分 AB 所成的比为 ? ?

1 2

,求直线 AB 的方程

(理)若点 M 分 AB 所成的比为 ? ,求 ? 关于 ? 的函数关系式。



⑴设 AB 方程为 y=kx+m 代入 x2=2py 得 x ? 2 pkx ? 2 pm ? 0
2 2



由 x1 x 2 ? ? p 得 ,

-2pm=-p2∴2m=p,即 m ?

p 2
2t ? t (2t ? t )
2

⑵(文)设 | AA 1 | ? | AM | ? t ,则 | BB 1 |? | BM | ? 2 t ∴ tan ? ?

? ?t
2

2 4

89

故 AB 方程为 y ?

2 4

x?

p 2

(理) ? ?

AM MB

?

| AA 1 | | BB 1 |

y1 ? ? y2 ?

p 2 ? tan ? ? x 1 ? p 由①得 p tan ? ? x 2 ? p 2
tan ? ( p tan ? ? p sec ? ) ? p tan ? ( p tan ? ? p sec ? ) ? p

x 1 ? p tan ? ? p sec ? x 2 ? p tan ? ? p sec ? ? ?

?

sec ? ? tan ? sec ? ? tan ?

?

1 ? sin ? 1 ? sin ?



90


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