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2017年高考文科数学一轮 专题七 导数及其应用 听课手册


导数及其应用

1.[2015· 天津卷] 已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为 f(x) 的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为________. 2. [2015· 全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1))处的切线过点(2, 7), 则 a=________. 1 3.

[2015· 陕西卷改编] 函数 y=xex 在(-1,- )处的切线方程为________. e (x-1)2 4.[2015· 福建卷改编] 已知函数 f(x)=ln x- ,则函数 f(x)的单调递增区间为 2 ________. 5.[2014· 福建卷改编] 已知函数 f(x)=ex-2x,则函数 f(x)的极小值为________. 6.[2013· 江苏卷改编] 设函数 f(x)=ex-ax(其中 a 为正实数)在(1,+∞)上有最小值, 则 a 的取值范围为________. ln π ln 3 7.[2014· 湖北卷改编] 比较大小: ________ (π 为圆周率). 3 π 8.[2014·辽宁卷改编] 当 x∈(0,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

考点一

导数的几何意义 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:简单 热点:导数的几何意义

1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f(e)=________. (2)[2015· 全国卷Ⅱ] 已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+ 1 相切,则 a=________. [听课笔记]

[小结] 函数在某点的导数值就是对应曲线在该点的切线斜率,这是导数的几何意义, 所以与此有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数等. 式题 已知 f(x+1)=x-1+ex 1,则函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线 l 与坐标轴围成的


三角形的面积为( 1 A. 4

)

1 B. C.1 D.2 2 函数的单调性与极值、最值

考点二

题型:解答题 分值:5~10 分 难度:较难 热点:单调性与极值、最值 考向一 判断函数的单调性 1 2 已知函数 f(x)= ax2+2x-ln x. 2 (1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在区间[ ,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3 [听课笔记]

[小结] 对含有参数的函数,已知其单调性求参数范围,在利用导数求解时,要注意导 数等于 0 的情况,如本题第(2)问,函数 f(x)为增函数,则应是 f′(x)≥0,而不是 f′(x)>0,否 则参数 a 的取值范围会少一个值. 式题 已知函数 f(x)=aln x-ax(a∈R). (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调区间; 1 1 (2)若函数 y=f(x)的图像在点( ,f( ))处的切线的倾斜角为 135°,且对于任意的 t∈[1, 2 2 m 2],函数 g(x)=x3+x2[f′(x)+ ]在区间(t,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. 2

考向二 求函数的极值

1 3 已知函数 f(x)=2ax- -(2+a)ln x(a≥0). x (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a>0 时,讨论 f(x)的单调性. [听课笔记]

[小结] 利用导数研究函数的极值的一般步骤:对可导函数求出导数等于零的点 ,然后 判断在导数等于零的点的两侧导数的符号,确定其是否为极值点,是极值点时,再确定是极 大值点还是极小值点. 式题 已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 是 f(x)的极小值点 B.x=-1 是 f(x)的极小值点 C.x=1 是 f(x)的极大值点 D.x=-1 是 f(x)的极大值点 考向三 求函数的最值 4 已知函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,f(x)在 x= 2处取得极值,且曲线 y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+6y+7=0 垂直. (1)求 a,b,c 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)在[-1,3]上的最值. [听课笔记] )

[小结] 求函数在指定区间上的最值,一般步骤是先对函数求导,确定单调区间、确定 极值, 再将极值与所求区间的函数的端点值比较, 从而得出函数在该区间的最大值和最小值. 高考易失分题 6 利用导数求解函数最值的含参问题

范例 [2015· 全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.

失分分析 (1)讨论单调性时,对 a 分类不全,容易忽略 a=0 时的情况;(2)由于有参数 a,所以需要分类讨论函数 f(x)的最大值;(3)由不等式 ln a+a-1<0 求 a 的范围时,不懂得 通过构建函数 g(a)=ln a+a-1 去解决. a 高考预测 已知函数 f(x)= +ln x,其中 a∈R. x (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若不等式 f(x)≥1 在(0,e]上恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点三

导数与函数、不等式的综合问题 题型:解答题 分值:5~10 分 难度:较难 热点:不等式的证明与求参

考向一 利用导数证明不等式恒成立问题 (x-1)2 5 [2015· 福建卷改编] 已知函数 f(x)=ln x- . 2 (1)证明:当 x>1 时,f(x)<x-1; (2)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k(x-1). [听课笔记]

[小结] 利用导数方法证明不等式在给定区间上的恒成立问题,一般先将待证不等式如 f(x)≥g(x)的形式,转化为 f(x)-g(x)≥0 的形式,再设 h(x)=f(x)-g(x),进而转化为研究函 数 h(x)在指定区间上的最小值问题.不过由于不等式呈现的形式多样,具体求解时还要灵活 多变. ax-b 1 式题 已知函数 f(x)= 2 与函数 g(x)= ln x 在点(1,0)处有公共的切线. 2 x +1 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求证:g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.

考向二 构建函数解决不等式证明问题 6 若 0<x1<x2<1,则( )

A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2 D.x1ex1<x2ex2 [听课笔记]

[小结] 构建可导函数比较大小体现了推理论证能力与运算技巧的结合 ,这种构建有以 下一些要求:(1)熟悉可导法则;(2)了解一些常见函数的导数,如 ln x,ex,xln x,xex 等; (3)进行必要的尝试. e6 e7 e8 式题 设 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c 的大小关系为( 36 49 64 A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 考向三 确定双变量不等式中参数值或范围 1-a 2 7 设函数 f(x)= x +ax-ln x(a∈R). 2 (1)当 a>1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (a2-1) (2)若对任意 a∈(3,4)及任意 x1,x2∈[1,2],恒有 m+ln 2>|f(x1)-f(x2)|成立, 2 求实数 m 的取值范围. [听课笔记] )

[小结] 确定不等式中的参数的范围,一般是先分离参数,即转化为 a≥f(x)(或 a≤f(x)) 的形式,再利用导数求出函数 f(x)的最大值或最小值,从而得出参数 a 的范围.

导数及其应用 ■ 核心知识聚焦 1.3 [解析] f′(x)=aln x+a.因为 f′(1)=3,所以 a=3. 2.1 [解析] 因为 f′(x)=3ax2+1,所以函数在点(1,f(1)),即点(1,2+a)处的切线的 2+a-7 斜率 k=f′(1)=3a+1.又切线过点(2, 7), 则经过点(1, 2+a), (2, 7)的直线的斜率 k= , 1-2 2+a-7 所以 3a+1= ,解得 a=1. 1-2 3.y=- 1 e 1 [解析] y′=(x+1)ex,当 x=-1 时,y′=0,即函数在点(-1,- )处的切 e

1 线斜率为 0,故所求切线方程为 y=- . e

? 1+ 5? 4.?0, ? 2 ? ?

-x2+x+1 1 [解析] f′(x)= -x+1= ,x∈(0,+∞). x x

? ?x>0, 1+ 5 由 f′(x)>0,得? 解得 0<x< . 2 2 ?-x +x+1>0, ?

? 1+ 5?. 故 f(x)的单调递增区间是?0, ? 2 ? ?
5.2-ln 4 [解析] f(x)=ex-2x,则 f′(x)=ex-2. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值, 且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4. 6.(e,+∞) [解析] 由 f′(x)=ex-a=0,得 x=ln a,当 x<ln a 时,f′(x)<0;当 x>ln a 时,f′(x)>0.又因为 f(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 ln a>1,得 a>e,即 a 的取值范围为(e, +∞). 7.< [解析] 构建函数 f(x)= 1-ln x ln x (x>0),则 f′(x)= . x x2

ln π ln 3 当 x>e 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减,又π >3>e,所以 f(π )<f(3),即 < . 3 π x2-4x-3 8.[-6,+∞) [解析] 当 0<x≤1 时,a≥ , x3 x2-4x-3 -x2+8x+9 令 f(x)= (0<x≤1),则 f′(x)= , 3 x x4 1-4-3 故 f(x)在(0,1]上单调递增,所以有 a≥f(x)max= =-6. 1 考点一 导数的几何意义

例1

1 - (1)-1 (2)8 [解析] (1)对 f(x)求导得 f′(x)=2f′(e)+ , 把 x=e 代入得 f′(e)=e 1 x

+2f′(e), - 解得 f′(e)=-e 1,∴f(e)=2ef′(e)+ln e=-1. 1 (2)对函数 y=x+ln x 求导得 y′=1+ ,函数在点(1,1)处的切线的斜率 k=y′|x=1=2, x 所以在点(1,1)处的切线方程为 y=2x-1,又该切线也为函数 y=ax2+(a+2)x+1 的切线,
? ?y=2x-1, 所以由? 得 ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以 Δ=a2-8a=0, 2 ?y=ax +(a+2)x+1 ?

得 a=8 或 a=0(舍). + 变式题 A [解析] 由 f(x+1)=x-1+ex 1 知 f(x)=x-2+ex,则 f′(x)=1+ex,f′(0) =2.又 f(0)=-1,即切点坐标为(0,-1),所以切线 l 的方程为 y-(-1)=2(x-0),即 y= 1 2x-1,切线 l 与坐标轴的交点分别为( ,0)和(0,-1),所以切线 l 与坐标轴围成的三角形 2 1 1 1 的面积 S= × ×|-1|= . 2 2 4 考点二 导数的单调性与极值、最值

1 例 2 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=2x-ln x,则 f′(x)=2- .当 f′(x)>0 x 1 1 1 1 时,x> ;当 f′(x)<0 时,得 0<x< .∴函数 f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增. 2 2 2 2
2 1 1 ax +2x-1 (2)已知 f(x)= ax2+2x-ln x,则 f′(x)=ax+2- = . 2 x x

1 若 a=0,由 f′(x)>0,得 x> ,显然不合题意; 2

1 若 a≠0,∵函数 f(x)在区间[ ,2]上是增函数, 3 1 ∴f′(x)≥0 对 x∈[ ,2]恒成立, 3 1 即不等式 ax2+2x-1≥0 对 x∈[ ,2]恒成立, 3 1-2x 1 2 1 1 即 a≥ 2 = 2- =( -1)2-1 对 x∈[ ,2]恒成立, x x x x 3 1 故 a≥[( -1)2-1]max=3, x ∴实数 a 的取值范围为 a≥3. 变式题 解:(1)因为 a=-2,所以 f(x)=2x-2ln x(x>0), 2 2(x-1) 所以 f′(x)=2- = , x x 所以 f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). a 1 (2)f′(x)= -a,则由题可知 f′( )=a=-1, x 2 1 所以 f(x)=-ln x+x,f′(x)=1- , x m 所以 g(x)=x3+( +1)x2-x, 2 g′(x)=3x2+(m+2)x-1. 因为对于任意 t∈[1 , 2] , g(x) 在区间 (t , 3) 上不是单调函数 , 且 g′(0) =- 1 , 所以

?g′(t)<0, ? ?g′(3)>0,

?g′(1)<0, 32 15 所以?g′(2)<0,解得- <m<- , 3 2 ?g′(3)>0,
32 15 故实数 m 的取值范围是(- ,- ). 3 2 1 1 2 1-2x 例 3 解:(1)当 a=0 时,f(x)=- -2ln x?f′(x)= 2- = 2 (x>0). x x x x 由 f′(x)= 1-2x 1-2x 1 1 1 2 >0,解得 0<x< ,由 f′(x)= 2 <0,解得 x> ,∴f(x)在(0, )上是增函 x 2 x 2 2

1 数,在( ,+∞)上是减函数. 2 1 ∴f(x)的极大值为 f( )=2ln 2-2,无极小值. 2
2 1 1 1 2ax -(2+a)x+1 (2)f(x)=2ax- -(2+a)ln x?f′(x)=2a+ 2-(2+a) = . x x x x2

1 1 1 1 ①当 0<a<2 时,f(x)在(0, )和( ,+∞)上是增函数,在( , )上是减函数; 2 a 2 a

②当 a=2 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数; 1 1 1 1 ③当 a>2 时,f(x)在(0, )和( ,+∞)上是增函数,在( , )上是减函数. a 2 a 2 变式题 B [解析] f′(x)=(x+1)ex,令 f′(x)=0,得 x=-1, 当 x>-1 时,f′(x)>0;当 x<-1 时,f′(x)<0.故函数 f(x)在 x=-1 处取得极小值. 例 4 解:(1)∵函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,∴c=0. ∵f′(x)=3ax2+b, 且 f(x)=ax3+bx(a≠0)在 x= 2处取得极值, ∴6a+b=0. 1 又直线 x+6y+7=0 的斜率为- , 6 ∴f′(1)=3a+b=6,∴a=-2,b=12.故 a=-2,b=12,c=0. (2)由(1)知 f(x)=-2x3+12x,f′(x)=-6x2+12=-6(x- 2)(x+ 2),列表如下: x (-∞,- 2) (- 2, 2) ( 2,+∞) - 2 2 0 0 f′(x) - + - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2),单调递减区间是(-∞,- 2)和( 2,+∞). ∵f(-1)=-10,f( 2)=8 2,f(3)=-18, ∴f(x)在[-1,3]上的最大值是 8 2,最小值是-18. 高考易失分题 6 1 范例 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=