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2012高考数学知识点综合总结第一章-集 合


高中数学第一章-集合
榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com 考试内容: 考试内容: 集合、子集、补集、交集、并集. 逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求: 考试要求: 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包 含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充 分条件、必要条件及充要条件的意义.

§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构: 知识结构: 本 章 知 识 主 要 分 为 集 合、 简 单 不 等 式 的 解 法 (集 合 化 简 ) 、 简 易 逻 辑三 部 分 :

二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,记为 φ ? A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B. 如果 A ? B,B ? C,那么A ? C . [注]:①Z= {整数}(√)
Z ={全体整数} (×)
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②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,则集合 A 也是有限集.(×) (例:S=N; A= N + , 则 CsA= {0}) ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B,则 CBA= ? ,CAB = ? ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R CS(CAB) D C = 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. (注: AB = ? ) . C

} 二、四象限的点集.

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ?
?x + y = 3 ?2 x ? 3 y = 1

解的集合{(2,1)}.

②点集与数集的交集是 φ . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ) 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. ③n 个元素的非空真子 集有 2n-2 个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例:①若 a + b ≠ 5,则a ≠ 2或b ≠ 3 应是真命题. 解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. ② x ≠ 1且y ≠ 2, 解:逆否:x + y =3
∴ x ≠ 1且y ≠ 2

x + y ≠ 3.

x = 1 或 y = 2.

x + y ≠ 3 ,故 x + y ≠ 3 是 x ≠ 1且y ≠ 2 的既不是充分,又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若 x f 5,? x f 5或 x p 2 . 4. 集合运算:交、并、补.

交:A I B ? {x | x ∈ A, 且x ∈ B} 并:A U B ? {x | x ∈ A或x ∈ B} 补:C U A ? {x ∈ U , 且x ? A}
5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:

A ? A, Φ ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C ; A I B ? A, A I B ? B; A U B ? A, A U B ? B.
(2) 等价关系: A ? B ? A I B = A ? A U B = B ? C U A U B = U (3) 集合的运算律: 交换律: A I B = B I A; A U B = B U A. 结合律: ( A I B ) I C = A I ( B I C ); ( A U B ) U C = A U ( B U C )

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分配律:. A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ); A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) 0-1 律: Φ I A = Φ, Φ U A = A, U I A = A, U U A = U 等幂律: A I A = A, A U A = A. 求补律:A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U = =U = 反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) ) C ) ) C ) 6. 有限集的元素个数 定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式:

(1)card ( A U B) = card ( A) + card ( B) ? card ( A I B ) (2)card ( A U B U C ) = card ( A) + card ( B) + card (C ) ? card ( A I B) ? card ( B I C ) ? card (C I A) + card ( A I B I C )
(3) card( UA)= card(U)- card(A) ( )= (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 根轴法 ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式, 并将各因式 x 的系数化 “+” (为 ; 了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等 式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.

x1

x2

x3

x m-3

-

x m-2 x m-1

+

-

xm

+

(自右向左正负相间) 则不等式 a 0 x + a1 x
n n ?1

+ a 2 x n ?2 + L + a n > 0(< 0)(a0 > 0) 的解可以根据各区间的符号

确定. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +box>0(a>0)解的讨论.

?>0
二次函数

?=0

?<0

y = ax 2 + bx + c
( a > 0 )的图象

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一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

(a > 0)的根

ax + bx + c = 0
2

x1 , x2 ( x1 < x2 )

x1 = x2 = ?

b 2a

无实根

ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集

{x x < x 或x > x }
1 2

? b? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?
?

R

ax 2 + bx + c < 0
(a > 0)的解集

{x x

1

< x <x2}

?

2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(2) 转化为整式不等式 (组) 3.含绝对值不等式的解法

f ( x) f ( x) > 0 ? f ( x) g ( x) > 0; ≥ 0 ? ? f ( x) g ( x) ≥ 0 ? g ( x) ≠ 0 ? g ( x) g ( x)

(1)公式法: ax + b < c ,与 ax + b > c(c > 0) 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) (1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑 三 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或 q(记作“p∨q” );p 且 q(记作“p∧q” );非 p(记 作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 互 逆 原原原 逆原原 (1)“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相 若 p则 q 互 若 q则 p 否 为 反; 逆 互 互 (2)“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时 否 否 逆 为 否 为真,其他情况时为假; 互 逆否原原 (3)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时 否原原 若 ┐q则 ┐p 若 ┐p则 ┐q 互 逆 为假,其他情况时为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p;
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否命题:若┑P 则┑q;逆否命题:若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题; (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题. 5、四种命题之间的相互关系: 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题 ? 逆否命题) ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p ? q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件,记为 p?q. 7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从 而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

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