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回归分析的基本思想及其初步应用2


回归分析的基本思想及 其初步应用(二)

复习1:现实生活中两个变量间的关系有哪 些呢? 不相关 1、两个变量的关系

函数关系 相关 关系
线性相关 非线性相关

求线性回归方程的一般步骤 1 画散点图

? ,a 2 求出 b ? 的值。
3 求回归直线方程
4

用回归直线方程解决应用问题,进行预报

?? b

? ( x ? X )( y
i ?1 i n i ?1

n

i

?Y )
?
2

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?(Xi ? X )

?x
i ?1

2 i

? ? ? Y ? bX a
? ?a ? ? bx ? y
线性回归方程必过样本点的中心

(x, y)

(三)描述两个变量之间线性相关关系的强 弱的相关系数
r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

(? x ? nx )(? y ? n y )
i ?1 2 i 2 i ?1 2 i 2

n

n

当r ? [0.75, 1], 表明两个变量正相关很强; 当r ? [?1, ?0.75], 表明两个变量负相关很强; 当r ? [?0. 25, 0.25], 表明两个变量相关性较弱。

例如: 对一作直线运动的质点的运动过程作了8次观 测,得到下表,试估计x=9s时的位置y的值。

时刻 x/s 位置观 测值 y/cm

1

2

3

4

5

6

7

8

5.54

7.52

10.02

11.73

15.69

16.12

16.98 21.06

25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 系列1

i

1
1 5.54 5.54 1

2
2 7.52 15.04 4

3
3 10.02 30.06 9

4
4 11.73 46.92 16

5
5 15.69 78.45 25

6
6 16.12 96.72 36

7
7 16.98 118.9 49

8
8 21.06 168.5 64 4.50 13.08 560.1 204

xi
yi

xi y i

xi2

由散点图可知两变量呈线性关系

?? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

?

2 i

? ? a ? Y ? bX
? ?a ? y ? ? bx ?

思考:在时刻x=9s时,质点运动位置 一定是22.6287cm吗?
线性回归模型

y ? bx ? a ? e
其中bx+a是确定性函数, e是随机误差

注:e产生的主要原因:
(1)所用确定性函数不恰当; (2)忽略了某些因素的影响; (3)观测误差。

我们可以用下面的线性回归模型来表示:

y=bx+a+e, (3)

?

y=bx+a+e,
E(e)=0,D(e)=

? .
2

(4)

其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。
在线性回归模型(4)中,随机误差e的方差 ? 越小,通过 回归直线 y ? bx ? a (5)预报真实值y的精度越高。
2

我们可以用下面的线性回归模型来表示:

y=bx+a+e, (3)

?

y=bx+a+e,
E(e)=0,D(e)=

? .
2

(4)

其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。
在线性回归模型(4)中,随机误差e的方差 ? 越小,通过 回归直线 y ? bx ? a (5)预报真实值y的精度越高。
2

? 与真实值y之间的误差的原因之一, 随机误差是引起预报值y 其大小取决于随机误差的方差。

? 为截距和斜率的估计值, ? 和b 另一方面,由于公式(1)和(2)中a 它们与真实值a和b之间也存在误差,这种误差是引起预报值 与真实值y之间误差的另一个原因。

? y

随机变量e的值无法确定,可求其估计值

?? y? y ? e
?i 称为相应于点?x y ? 的残差 e
i, i

残差的作用:
1 判断原始数据中是否存在可疑数据 2 通过残差来判断模型拟合的效果

例:关于x、y有如下数据

x
y

2
30

4
40

5
60

6
50

8
70

为了对两个变量进行统计分析,现有以下两

y ? 6.5x ? 17.5, y ? 7 x ? 17 种模型:
试比较哪一个模型拟合的效果更好.

在研究两个变量间的关系时,首先要根

据散点图来粗略的判断他们是否线性相关,
是否可以用线性回归模型来拟合数据,然后

可以通过残差来判断模型拟合的效果,判断
原始数据中是否存在可疑数据,把这个工作

称为残差分析.

我们还可以用相关指数来刻画模型的拟合效 2 n 果 1) 总偏差平方和: ? ( yi ? y )
i ?1

2 ? ( y ? y ) 2) 残差平方和: ? i i i ?1

n

3) 回归平方和=总偏差平方和-残差平方和
4)相关指数: R 2 ? 1 ?
2 ? ? ? ? yi ? yi i ?1 n n

? ?y
i ?1

i

?y

?

2

相关指数
2 ? ( y ? y ) ? i i n

R2=1-

i ?1
n

?( y
i ?1

2

i

? y)

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,同时说 2 R 明拟合效果越好; 的值越小,说明残差平方和越 大,同时说明拟合效果越差,R2越接近1,表示拟合 效果越好.

例:关于x、y有如下数据

x
y

2
30

4
40

5
60

6
50

8
70

为了对两个变量进行统计分析,现有以下两

y ? 6.5x ? 17.5, y ? 7 x ? 17 种模型:
试比较哪一个模型拟合的效果更好.

建立回归模型的基本步骤:
1.确定研究对象,明确解释变量,预报变量 2.画散点图

3.由经验确定回归方程的类型
4.按一定规则估计回归方程中的参数 5.得出结果分析残差图是否有异常,若存在异常, 则检查数据是否有误,或模型是否合适。 选变量 画散点图 选模型 估计参数 分析与预测

学以致用:
1、 在对两个变量X,Y进行线性回归分析时有 下列步骤:
①对所求出的回归方程作出解释,②收集数据(xi ,y i ) ③求线性回归方程,④求相关系数,⑤根据所搜集的数据绘 制散点图.如果根据可靠性要求能够作出变量X,Y具有线 性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是 ( ) A.①②⑤③④ C.②④③①⑤ B.③②④⑤① D.②⑤④③①

学以致用:
2、对于相关指数 ( )
2

R

2

,下列说法正确的是

A、 R 的取值越小,模型拟合效果越好

B、 R

2 的取值可以是任意大,且

R

2

取值越大拟合效果越好

C、 R 的取值越接近1,模型拟合效果越好 D、以上答案都不对 R
2

2

学以致用:
3、甲、乙、丙,丁四位同学各自对A,B两变量 的线性相关性做实验,并用回归分析方法分别求得 相关系数r与残差平方和m如下表:
甲 乙 丙 丁 r m 0.82 106 0.78 115 0.69 124 0.85 103

则哪位同学的实验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

学以致用:
4、 已知两个变量x和y之间有线性相关性,4次实 验得到样本如下:

x y

0 0

1 2

2 3.9

3 6.1

(1)则y对x的线性回归方程是___________ (2)相应于各样本点的残差 __,___,___.

ei

(i=1,2,3,4)分别是__,_

残差平方和是___________


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