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线面平行、面面平行的判定


思考: 怎样判定直线与平面平行呢?
线面平行的判定定理:平面外的一条直线与
此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为:l ?α,m ?α,l∥m? l∥α

定理的本质:

线面平行的概念
例1:如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,回答下列问题: (1)在图 1中,哪些线段所在的直线与平面 ADD1A1 平行?
(2)在图 1中,哪些平面与 AB 所在的直线平行?
解:(1)在图 2 中,线段 BB1、BC、CC1、 C1B1、BC1 所在的直线与平面 ADD1A1 平行. (2)在图 2 中,平面 A1B1C1D1、CC1D1D 与 AB 所在的直线平行. 图1

证线面平行
例 2:已知:空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点,求证:EF∥平面 BCD.
证明:如图 2,连接 BD. 在△ABD 中, ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD. 又 EF ?平面BCD,BD ?平面BCD, ∴EF∥平面BCD. 证线面平行的关键是找线线平行(即在平 面内找到一条直线与该直线平行).如果已知中点,则可抓住中 位线得到线线平行. 图2

1.如图 3,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 是 PA 的中点.求证:PC∥平面 BDQ.
证明:连接AC,交BD 于O,连接QO.

∵ABCD为平行四边形,
∴O 为AC 的中点. 又Q 为PA 的中点, ∴QO∥PC. 图3

显然,QO?平面BDQ,PC ?平面BDQ,
∴PC∥平面BDQ.

2.已知 AB、BC、CD 是不在同一个平面内的三条线段,E、
F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点,求证:平面 EFG 和 AC 平行,也和 BD 平行.
证明:如图4, 在△ABC 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点, ∴AC∥EF,AC ?平面 EFG, EF?平面 EFG. 于是 AC∥平面 EFG. 同理可证,BD∥平面 EFG. 图4

思考: 1.平面 ? 内有一条直线与平面 ? 平行, ? , ? 平行吗?
2.平面 ? 内有两条直线与平面 ? 平行, ? , ? 平行吗?

面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直
线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
a?β,b?β,a∩b=P? ? ??β∥α. 用符号表示为: ? a∥α,b∥α ?

定理的本质:

证面面平行
例 3:如图 5,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1. 求证:平面 AD1B1∥平面 C1DB.

图5

证明:∵D1B1∥DB,D1B1?平面C1DB,DB?平面C1DB, ∴D1B1∥平面C1DB,同理 AB1∥平面C1DB, 又 D1B1∩AB1=B1,AB1、D1B1 同在平面AD1B1 内, ∴平面AD1B1∥平面C1DB.

1.如图 6,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、 F、G 分别为棱 AA1、A1B1、A1D1 的中点. 求证:平面 EFG∥平面 BC1D.

图6

证明:如图 7,连接 B1D1, 则有B1D1∥BD. ∵E、F、G 分别为 A1A、A1B1、A1D1 的中点, ∴FG∥B1D1. 则FG∥BD, ∴FG∥平面BC1D. 同理 EF∥DC1.∴EF∥平面BC1D. 又∵EF∩FG=F, ∴平面 EFG∥平面BC1D.

图7

2.如图 8,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 , E、F、G 分别

是 CC1、BC 和 DC 的中点,M、N、Q 分别是 AA1、A1D1 和 A1B1
的中点. 求证:平面 EFG∥平面 MNQ.

证明:∵FG∥BD∥B1D1∥NQ,
则 FG∥NQ,∴FG∥平面MNQ. 同理EF∥MN.

∴EF∥平面MNQ.
又∵EF∩FG=F,
∴平面EFG∥平面MNQ.

图8

1.直线 l 与平面α内无数条直线平行,则 l 与α的位置关系 是( D ) A.平行 C.平行或相交 B.相交 D.以上答案都不对

2.给出下列四个命题:
①若一条直线与一个平面内的一条直线平行, 则这条直线 与这个平面平行;

②若一条直线与一个平面内的两条直线平行, 则这条直线
与这个平面平行; ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那

么这条直线和这个平面平行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行, 则另一条也
与这个平面平行. 其中正确命题的个数是( A.0 个 B.1 个 B ) C.2 个 D.3 个

4.若 a、b 是异面直线,则下列命题中是假命题的是( D )
A.过 b 有一个平面与 a 平行 B.过 b 只有一个平面与 a 平行 C.过 b 有且只有一个平面与 a 平行 D.过 b 不存在与 a 平行的平面

5. P56: 2,P58:1--3

如图 9,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E

为 PB 的中点,O 为 AC、BD 的交点. (1)求证:EO∥平面 PCD ;
(2)图中 EO 还与哪个平面平行? (1)证明:∵在平行四边形ABCD 中,O 为AC、BD 的交点, ∴O 为 BD 的中点. 又∵在△PBD 中,E为PB 的中点, ∴EO∥PD. ∵EO?平面PCD,PD?平面PCD, ∴EO∥平面PCD. (2)解:图中EO 还与平面 PAD 平行. 图9

1.线面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言) 2.面面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言)



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