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广东省2009届高三模拟试题分类汇总--立体几何


广东省 2009 届高三数学模拟试题分类汇总——立体几何
一、选择题 1、 (2009 揭阳)某师傅需用合板制作一个工作台,工作台 由主体和附属两部分组成,主体部分全封闭,附属部分是为了防 止工件滑出台面而设置的三面护墙, 其大致形状的三视图如右图 所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸,做成的工作台用去的合板 的面积为(制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计) ( )

D A. 40000cm2 C. 1600(22 ? 17)cm2 B 40800cm2
俯视图 20

80 80 正视图 侧视图

80

D. 41600cm2 )B

2、 (2009 广东五校)在下列关于直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? 的命题中,真命题是( (A)若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? (C)若 ? ? ? ? m ,且 l ? m ,则 l // ?

(B) l ? ? , ? // ? , l ? ? 若 且 则 (D) l ? ? , ? ? ? , l // ? 若 且 则

3、 (2009 番禺)一个几何体的三视图如右图,其中主视图和左视图都是边长为 1 的正三角 形,那么这个几何体的侧面积为( )A

A.

1 ? 2

B.

2 ? 2

C.

2 ? 4

D.

? 4
则下列命

4、 (2009 吴川)已知 α、β 是两个不同平面,m、n 是两条不同直线, 题不正确的是( )D ... A. ? // ? , m ? ? , 则 m ? ? B.m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.n∥α,n⊥β,则 α⊥β D.m∥β,m⊥n,则 n⊥β 5、 (2009 北江中学)如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯 视图,如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角 形, 主视图对应的四边形为正方形, 那么这个几何体的体积为 ( ) B A.

4 2 3

B.

4 3 3

C.

4 5 3

D.不确定

6、 (2009 北江中学)已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不 同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么n与? 相交;

④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是 ( ) D A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7、 (2009 珠海)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这 个几何体的体积是( C )

1 3 4 C. cm3 3
A. cm3

2 3 8 D. cm3 3

B. cm3

8、 (2009 潮州)设 x 、 y 、 z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形: ① x 、 y 、 z 均为直线;② x 、 y 是直线, z 是平面;③ z 是直线, x 、 y 是平面;④ x 、

y 、 z 均为平面。
其中使“ x ⊥ z 且 y ⊥ z ? x ∥ y ”为真命题的是 ( A ③ ④ B ① ③ C ② ③ )C D ① ②

9、 (2009 澄海)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四 个命题: ①若 m⊥ ? ,n∥ ? ,则 m⊥n; ②若 ? ∥ ? , ? ∥ ? ,m⊥ ? ,则 m⊥ ? ; ③若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n; ④若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? . 其中正确命题的序号是( )A A.①和② B.②和③

C.③和④

D.①和④

10、 (2009 韶关田家炳)设 m, n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,下列命题中, 其中正确的命题是( ) B. ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D. ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? m ? n ? ?

A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C. ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n

二、解答题 1、 (2009 广雅期中)已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的动点. (1) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2) 是否不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE ?证明你的结论; (3) 若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D ? AE ? B 的大小.

P

E
2 2 1

D

C
1 1 侧视图 1 俯视图 正视图

A

B

2、 (2009 广雅期中)如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三 角形, B E

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. C D A

F

3、 (09 广东四校理期末)如图所示,在矩形 ABCD 中,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将 △DEC 沿 CE 折起到△D′EC 的位置,使二面角 D′—EC—B 是直二面角. (1)证明:BE⊥C D′; (2)求二面角 D′—BC—E 的正切值.

D'

A

E

D C

B

4(09 广东四校文期末)如图:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ACB=90?.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= 3 . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)求三棱锥 A1-CDE 的体积.

AC=BC=AA1=2,∠

5、 (09 北江中学文期末)如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , E 、 F 为别为 PD 、

AB 的中点,且 PA ? AB ? 1 , BC ? 2 , (Ⅰ)求四棱锥 E ? ABCD 的体积; (Ⅱ)求证:直线 AE ∥平面 PFC

P E A F B C D

6、 (2009 广东东莞)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 0 ,且异 面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角等于 60 0 ,设 AA1 ? a . (1)求 a 的值; (2)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小. B1 A1

C1

A C B

1 AP ? 2 , 2 D 是 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将 ?PCD 沿 CD 折起,使得 PD ?
7、 (2009 广州海珠) 如图 6, 在直角梯形 ABCP 中, AP//BC, ? AB, AP AB=BC= 平面 ABCD,如图 7. (Ⅰ)求证:AP//平面 EFG; (Ⅱ) 求二面角 G ? EF ? D 的大小; (Ⅲ)求三棱椎 D ? PAB 的体积.
B G C

E

A

D

F
P E

P

图6
G F A

B

C

D

图7

8、 (2009 广州(一) )如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面

ABCD ,四边形 ABCD 是矩形, E 、 F 分别是 AB 、 PD 的
中点.若 PA ? AD ? 3 , CD ?

6.

(Ⅰ)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ) 求点 F 到平面 PCE 的距离; (Ⅲ)求直线 FC 平面 PCE 所成角的正弦值.

9、 2009 广东揭阳) ( 如图, 已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是底面为正方形的长方体, AD1 A1 ? 60? , ?

AD1 ? 4 ,点 P 是 AD1 上的动点.
(1)试判断不论点 P 在 AD1 上的任何位置,是否都有平面
B

A

D C P

B1 PA1 垂直于平面 AA1 D1 ?并证明你的结论;
(2)当 P 为 AD1 的中点时,求异面直线 AA1 与 B1 P 所成角的余弦值; A1 (3)求 PB1 与平面 AA1 D1 所成角的正切值的最大值.
B1 C1 D1

10、 (2009 广东潮州期末)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形,

AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD ,PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N
分别为 PC , PB 的中点。 (1)求证: PB ? DM ; (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角; (3)求截面 ADMN 的面积。

11、 (2009 珠海期末)已知 PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? AD ? 2 , AC 与 BD 交于 E 点, BD ? 2 , BC ? CD , (1)取 PD 中点 F ,求证: PB // 平面 AFC 。 (2)求二面角 A ? PB ? E 的余弦值。

12、 (2009 中山期末)如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离.

A

D O C

B

E

答案: 1、解:(1) 由三视图可知,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC ? 底面 ABCD ,且 PC ? 2 . ????2 分

1 1 2 S正方形ABCD ? PC ? ?12 ? 2 ? , 3 3 3 2 即四棱锥 P ? ABCD 的体积为 . 3 (2) 不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE . 证明如下:连结 AC ,∵ ABCD 是正方形,∴ BD ? AC . ∵ PC ? 底面 ABCD ,且 BD ? 平面 ABCD ,∴ BD ? PC . 又∵ AC ? PC ? C ,∴ BD ? 平面 PAC . ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC . ∴不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE . (3) 解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DF ? AE 于 F ,连结 BF .
∴ VP ? ABCD ? ∵ AD ? AB ? 1 , DE ? BE ? 1 ? 1 ? ∴Rt△ ADE ≌Rt△ ABE , 从而△ ADF ≌△ ABF ,∴ BF ? AE . ∴ ?DFB 为二面角 D ? AE ? B 的平面角.
2 2

????4 分 ????5 分 ????6 分 ????7 分 ????8 分 ????9 分

P

2 , AE ? AE ? 3 ,
E
????12 分

在 Rt△ ADE 中, DF ? 又 BD ?

AD ? DE 1? 2 ? ? BF , AE 3

D F B

C

2 ,在△ DFB 中,由余弦定理得 A 2 2? ? 2 DF 2 ? BF 2 ? BD 2 1 3 cos ?DFB ? ? ?? , 2 2 DF ? BF 2 2? 3 ∴ ?DGB ? 120? ,即二面角 D ? AE ? B 的大小为 120? .

????13 分

????14 分

解法 2:如图,以点 C 为原点, CD,CB,CP 所在的直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角 坐标系. 则 D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1) ,从而

??? ? BE ? (0, ?1,1) . ????10 分 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ?? ?? ? n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ?? ??? ? ?n1 ?DA ? 0 ? y1 ? 0 ? 由 ? ?? ???? ,取 ?? n1 ?DE ? 0 ?? x1 ? z1 ? 0 ? ? ?? n1 ? (1, 0,1) . ????11 分 ?? ??? ? ? ?n2 ?BA ? 0 ? x2 ? 0 ? 由 ? ?? ??? ,取 ?? ? ? ?n2 ?BE ? 0 ?? y2 ? z2 ? 0 ? ?? ? n2 ? (0, ?1, ?1) . ????12 分

??? ? ???? ??? ? DA ? (0,1, 0) , DE ? (?1, 0,1) , BA ? (1, 0, 0) ,

z P

E D

x

C

A y

B

?? ?? ? n1 ?n2 ?1 1 cos ? ? ?? ?? ? ?? , ? 2 2? 2 n1 ? n2
∴? ?

设二面角 D ? AE ? B 的平面角为 ? ,则
????13 分

2? 2? ,即二面角 D ? AE ? B 的大小为 . 3 3

????14 分

2、方法一: (1) 证法一:取 CE 的中点 G ,连 FG、BG .

B

1 ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? DE . ????1 分 2 ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , G ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . ????2 分 H 1 又 AB ? DE ,∴ GF ? AB . ????3 分 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ????4 分 C F ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . ????5 分 证法二:取 DE 的中点 M ,连 AM、FM . ∵ F 为 CD 的中点,∴ FM // CE . ????1 分 ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,∴ DE // AB . ????2 分 1 又 AB ? DE ? ME , 2 ∴四边形 ABEM 为平行四边形,则 AM // BE . ????3 分 ∵ FM、AM ? 平面 BCE , CE、BE ? 平面 BCE , ∴ FM // 平面 BCE , AM // 平面 BCE . 又 FM ? AM ? M ,∴平面 AFM // 平面 BCE . ????4 分 ∵ AF ? 平面 AFM , ∴ AF // 平面 BCE . ????5 分 (2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD . ????6 分 ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF . ????7 分 又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE . ????8 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ????9 分

E

A

M

D

∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????10 分(3) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ? CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ? 平面 CDE , ∴ FH ? 平面 BCE . ∴ ?FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. ????12 分 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,则 FH ? CF sin 45? ?

2 a, 2

BF ? AB 2 ? AF 2 ? a 2 ? ( 3a ) 2 ? 2a ,
R t△ FHB 中, sin ?FBH ?

FH 2 . ? BF 4

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

2 . 4

????14 分

方法二: 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,则

A ? 0, 0 ? ,C ? 2a, 0 ? , B ? 0, 0, a ? , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a .????2 分 0, 0,

?

? ?

?

?3 ? 3 a, a, 0 ? . ????3 分 ?2 ? 2 ? ? ??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 a, 0 ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? , (1) 证: AF ? ? a, ????4 分 ?2 ? 2 ? ? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ∵ AF ? BE ? BC , AF ? 平面 BCE ,∴ AF // 平面 BCE . ????5 分 2 ??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 a, 0 ? , CD ? ? a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? , (2) 证: AF ? ? a, ∵ ???? ?2 ? 2 ? ?
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ?

?

?

?

?

?

?

6分

??? ? ∴ AF ? 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????10 分 ? ? ??? ? ? ??? ? (3) 解:设平面 BCE 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得: ? x ? 3 y ? z ? 0, 2 x ? z ? 0 ,取 n ? 1, ? 3, 2 . ????12 分

∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ,∴ AF ? CD, AF ? ED .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

????8 分

?

?

?3 ? 3 a, a, ? a ? ,设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ,则 ?2 ? 2 ? ? ??? ? ? BF ?n 2a 2 . sin ? ? ??? ? ? ? ? 4 BF ? n 2a ? 2 2
又 BF ? ?

??? ?

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

2 . 4

????14 分

3、解: (1)∵AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形, 易知, ∠BEC=90°,即 BE⊥EC. 又∵平面 D′EC⊥平面 BEC,面 D′EC∩面 BEC=EC,

∴BE⊥面 D′EC,又 C D′? 面 D′EC , ∴BE⊥CD′; (2)法一:设 M 是线段 EC 的中点,过 M 作 MF⊥BC 垂足为 F,连接 D′M,D′F,则 D′M⊥EC. ∵平面 D′EC⊥平面 BEC, ∴D′M⊥平面 EBC, A ∴MF 是 D′F 在平面 BEC 上的射影,由三垂线定理得: D′F⊥BC B ∴∠D′FM 是二面 D′—BC—E 的平面角. 在 Rt△D′MF 中,D′M= ∴ tan ?D ?FM ?

D' E M F C

D

2 1 1 1 EC= ,MF= AB= 2 2 2 2

D?M ? 2, MF

即二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 . 法二:如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间 直角坐标系. 则 B( 2 ,0,0) ,C(0, 2 ,0) ,D′(0,

2 2 , ) 2 2

设平面 BEC 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ;平面 D′BC 的法向量为 n2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 )

BC ? ( ? 2 , 2 ,0), D ?C ? (0, ?n 2 ? BC ? 0 ? 由? ? ?n 2 ? D ?C ? 0 ?

2 2 ,? ), 2 2
A

z D' E

?? 2 x 2 ? 2 y 2 ? 0 ? ? 2 2 y2 ? z2 ? 0 ? 2 ? 2 n1 ? n 2

D C y

B x

取x 2 ? 1, 得n 2 ? (1,1,1), ? cos ? n1 , n 2 ??
? tan ? n1 , n 2 ? =
? ?

| n1 | ? | n 2 |

?

3 3

2 ∴二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 .
2 2

4、解:(1)在 Rt△DBE 中,BE=1,DE= 3 ,∴BD= DE -BE

= 2 =

1 AB, 2

∴ 则 D 为 AB 中点, 而 AC=BC, ∴CD⊥AB 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴CD⊥AA1 又 AA1∩AB=A 且 AA1、AB ? 平面 A1ABB1 故 CD⊥平面 A1ABB1 6分 (2)解:∵A1ABB1 为矩形,∴△A1AD,△DBE,△EB1A1 都是直角三角形, ∴ S ?A1DE ? S A1 ABB1 ? S ?A1 AD ? S ?DBE ? S ?EB1 A1

1 1 1 3 =2× 2 -2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 2 2- 1- 2 1= 1 1 3 ∴ VA1-CDE =VC-A1DE = 3 × A1DE × S CD= 3 × 2 2 × 2 =1 ∴ 三棱锥 A1-CDE 的体积为1. 14 分
5、解: (1)取 AD 的中点 O,连接 EO,则 EO 是 ? PAD 的中位线,得 EO∥PA,故 EO ? 面 ABCD,

1 1 1 1 6分 S ABCD ? EO ? ? 1 ? 2 ? ? 3 3 2 3 1 (2) PC 的中点 G,连 EG,FG, 由中位线得 EG∥CD,EG= CD=AF, ? 四边形 AFGE 是平行四 取 2
EO 是四棱锥 E ? ABCD 的高, VE ? ABCD ?

AE ? 面PFC ? ? 边形, ? FG ? 面PFC ? ? AE ∥ 面PFC AE // FG ? ?
6、解法一: (1)? BC // B1C1 , 即 ?A1 BC ? 60 ,??(2 分)
0

6分

? ?A1 BC 就是异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角,
B1 E

A1

C1

? ?A1 BC 为等边三角形,???????????4 分
由 AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ? BC ?
0

连接 A1C ,又 AB ? AC ,则 A1 B ? A1C

F A C

2,

? A1 B ?

B 2 ? 1 ? a ? 2 ? a ? 1;???6 分 (2)取 A1 B 的中点 E ,连接 B1 E ,过 E 作 EF ? BC1 于 F ,连接 B1 F , B1 E ? A1 B , A1C1 ? B1 E ? B1 E ? 平面 A1 BC1 ? B1 E ? BC1 ??????8 分 又 EF ? BC1 ,所以 BC1 ? 平面 B1 EF ,即 B1 F ? BC1 , 所以 ?B1 FE 就是平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的平面角。????10 分
2

在 ?B1 EF 中, ?B1 EF ? 90 , B1 E ?
0

1? 2 2 , B1 F ? , 2 3

? sin ?B1 FE ?

B1 E 3 ? ?B1 FE ? 60 0 ,??????????13 分 ? B1 F 2

因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 0 。????14 分 说明:取 B1C1 的中点 D ,连接 A1 D ,????同样给分(也给 10 分) 解法二: (1)建立如图坐标系,于是 B(1,0,0) , B1 (1,0,1) , C1 (0,1,1) , A1 (0,0, a) ( a ? 0 )

B1C1 ? ( ?1,1,0) , A1 B ? (1,0,? a ) ,? B1C1 ? A1 B ? ?1 ????3 分
由于异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角 60 0 , 所以 B1C1 与 A1 B 的夹角为 120 0
0 即 | B1C1 | ? | A1 B | cos120 ? ?1 ?? ?? ?? ??

??

??

??

??

z
A1 C1

B1

1 ? 2 ? 1 ? a 2 (? ) ? ?1 ? a ? 1 ???6 分 2
C B

y

x

(2)设向量 n ? ( x, y , z ) 且 n ? 平面 A1 BC1 于是 n ? A1 B 且 n ? A1C1 ,即 n ? A1 B ? 0 且 n ? A1C1 ? 0 , 又 A1 B ? (1,0,?1) , A1C1 ? (0,1,0) ,所以 ?
?
?

?

?

?

?? ?

?

?? ?

?

?? ?

?

?? ?

??

??

? ?x ? z ? 0 ,不妨设 n ? (1,0,1) ??8 分 ?y ? 0

同理得 m ? (1,1,0) ,使 m ? 平面 BB1C1 , (10 分) 设 m 与 n 的夹角为 ? ,所以依 m? n ?| m | ? | n | ? cos? ,
? ?

? ?

?

?

? 2 ? 2 ? cos? ? 1 ? cos? ?
? ?

1 ? ? ? 60 0 ,??????12 分 2

m ? 平面 BB1C1 , n ? 平面 A1 BC1 ,
因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 0 。????14 分 说明:或者取 BC 的中点 M ,连接 AM ,于是 AM ? ( , 7、解:(Ⅰ) 证明:方法一)连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO.
??
?? 1 1 ,0) 显然 AM ? 平面 BB1C1 2 2

1 // 1 CD ,同理 GO? CD ,? EF?// GO 2 2 ?四边形 EFOG 是平行四边形,? EO ? 平面 EFOG. ??3 分
∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,? EF?
//

又在三角形 PAC 中,E,O 分别为 PC,AC 的中点,?PA//EO??4 分

EO ? 平面 EFOG,PA ? 平面 EFOG, ??5 分
?PA//平面 EFOG,即 PA//平面 EFG. ??6 分
方法二) 连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO. ∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,? EF? 又 CD? AB ,? EF?
// // //

1 // 1 CD ,同理 GE ? PB 2 2

1 AB 2

EG ? EF ? E, PB ? AB ? B,?平面 EFG//平面 PAB, ??4 分
又 PA ? 平面 PAB,? PA // 平面 EFG. ??6 分 方法三)如图以 D 为原点,以 DA, DC , DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则有关点及向量的坐标为:

P?0,0,2?, C ?0,2,0?, G ?1,2,0?, E ?0,1,1?, F ?0,0,1?, A?2,00 ?.

AP ? ?? 2,0,2?, EF ? ?0,?1,0?, EG ? ?1,1,?1? ??2 分

设平面 EFG 的法向量为 n ? ? x, y, z ?

?n ? EF ? 0 ?? y ? 0 ?x ? z ? ?? ?? ?? . 取 n ? ?1,0,1? .??4 分 ?n ? EG ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? y ? 0 ?
∵ n ? AP ? 1 ? ?? 2? ? 0 ? 0 ? 1 ? 2 ? 0,? n ? AP ,??5 分 又 AP ? 平面 EFG.? AP//平面 EFG. ??6 分 (Ⅱ)由已知底面 ABCD 是正方形? AD ? DC ,又∵ PD ? 面 ABCD

? AD ? PD 又 PD ? CD ? D

? AD ? 平面 PCD,?向量 DA 是平面 PCD 的一个法向量, DA = ?2,0,0? ??8 分
又由(Ⅰ)方法三)知平面 EFG 的法向量为 n ? ?1,0,1? ??9 分

? cos DA, n ?

DA ? n DA ? n

?

2 2 2

?

2 . ??10 分 2

结合图知二面角 G ? EF ? D 的平面角为 45 0. ??11 分 (Ⅲ) VD ? PAB ? VP ? DAB ?

1 S ?ABD ? PD ??13 分 3

1 1 4 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? . ??14 分 3 2 3
8、解法一: (I)取 PC 的中点 G,连结 EG,FG,又由 F 为 PD 中点,

1 ?2 分 CD . 2 1 又由已知有 AE // CD,? FG= AE. // = 2 ∴四边形 AEGF 是平行四边形. ? AF // EG. ?4 分
则 F G //

又AF

平面 PCE,EG ? 平面PCE. ? AF // 平面PCE ????5 分

(II)? PA ? 平面ABCD,

? 平面PAD ? 平面ABCD. 由ABCD是矩形有CD ? AD. ? CD ? 平面PAD. ? AF ? CD 又PA ? AD ? 3, F是PD的中点, ? AF ? PD. ? PD ? CD ? D, ? AF ? 平面PCD. 由EG // AF ,

? EG ? 平面PCD. ? 平面PCD内, 过F作FH ? PC于H , 由于平面PCD ? 平面PCE ? PC , 则FH的长就是点F到平面PCE的距离.
????3 分

由已知可得

P D ? 3 2 , PF ?

3 2 , PC ? 2 6 . 2

由于CD ? 平面PAD, ? ?CPD ? 30 ?. ? FH ? 1 3 PF ? 2. 2 4
3 2. 4
????5 分

?点F到平面PCE的距离为

(III)由(II)知 ?FCH为直线FC与平面PCE所成的角 .

在Rt?CDF中, CD ? 6 , FD ? ? FC ? CD 2 ? FD 2 ? ? sin FCH ? FH 21 ? FC 14 42 . 2

3 2, 2

?直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值为
解法二:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz

21 . 14

????4 分

A(0,0,0) ,P(0,0,3) ,D(0,3,0) ,E(

6 3 3 ,0,0) ,F(0, , ) , 2 2 2

C( 6 ,3,0)

???2 分

(I)取 PC 的中点 G,连结 EG,

则 G(

6 3 3 , , ). 2 2 2

3 3 3 3 ? AF ? (0, , ), EG ? (0, , ), 2 2 2 2 ? AF // EG. 即AF // EG. 又AF 平面PCE, EG ? 平面PCE,

? AF // 平面PCE. ????5 分

(II)设平面 PCE 的法向量为 n ? ( x, y, z ), EP ? (?

6 6 ,0,3), EC ? ( ,3,0). 2 2

?n ? EP ? 0, ? ? ?n ? EC ? 0. ?

? 6 x ? 3z ? 0, ?? ? 2 即? ? 6 x ? 3 y ? 0. ? 2 ?

取y ? ?1, 得n ? ( 6, ? 1,1).
???3 分

3 3 又 PF ? (0, ,? ), 2 2 故点F到平面PCE的距离为

d?

PF ? n |n|

?

|?

3 3 ? | 2 2 ? 3 2. 4 2 2

????5 分

(III) FC ? ( 6 ,

3 3 ,? ), 2 2
| FC ? n | | FC | ? | n | ? 3 21 2 ?2 2 ? 21 . ???2 分 14

| cos ? FC ,n ?|?

?直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值为

21 . 14

????4 分

9、解: (1)不论点 P 在 AD1 上的任何位置,都有平面 B1 PA1 垂直于平面 AA1 D1 .---1 分 证明如下:由题意知, B1 A1 ? A1 D1 , B1 A1 ? A1 A 又? AA1 ? A1 D1 ? A1 又 A1 B1 ? 平面 B1 PA1

? B1 A1 ? 平面 AA1 D1

?平面 B1 PA1 ? 平面 AA1 D1 .------------------4 分

(2)解法一:过点 P 作 PE ? A1 D1 ,垂足为 E ,连结 B1 E (如图) ,则 PE ∥ AA1 ,

??B1PE 是异面直线 AA1 与 B1P 所成的角.----------------------6 分
在 Rt△ AA1 D1 中 ∵ ?AD1 A1 ? 60? ∴ A1 B1 ? A1 D1 ? ∴ ?A1 AD1 ? 30?

A

D C P

1 AD1 ? 2 , 2

A1E ?

1 A1D1 ? 1 , 2

B

? B1 E ? B1 A12 ? A1 E 2 ? 5 .
1 又 PE ? AA1 ? 3 . 2

A1 E B1 C1 D1

?在 Rt△B1 PE 中, B1 P ? 5 ? 3 ? 2 2
cos ?B1 PE ? PE 3 6 ? ? .----------8 分 B1 P 2 2 4

?异面异面直线 AA1 与 B1P 所成角的余弦值为

6 .----------------9 分 4

0, 解法二:以 A1 为原点, A1B1 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示,则 A1 (0, 0) ,

???? 0, 0, A(0, 2 3) , B1 (2, 0) , P(0, 3) ,? A1 A ? (0, 2 3) , 0, 1, ???? B1 P ? (?2, 3) -----6 分 1,
???? ???? ???? ???? A1 A ? B1 P 6 6 , ? ∴ cos ? A1 A B1 P ?? ????? ????? ? . 4 | A1 A |? | B1 P | 2 3 ? 2 2
6 ∴异面异面直线 AA1 与 B1 P 所成角的余弦值为 .-----9 分 4
(3)由(1)知, B1 A1 ? 平面 AA1 D1 ,
x B1 B

z A D C P

A1 D1 C1

y

??B1PA1 是 PB1 与平面 AA1 D1 所成的角,---------------------------10 分

且 tan ?B1 PA1 ?

B1 A1 2 .------------------------------------11 分 ? A1 P A1 P A1 D1 ? A1 A ? 3 --13 分 AD1

当 A1 P 最小时, tan ?B1 PA1 最大,这时 A1 P ? AD1 ,由 A1 P ?

得 tan ?B1 PA1 ?

2 3 2 3 ,即 PB1 与平面 AA1 D1 所成角的正切值的最大值 .---14 分 3 3

10、 (1)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB 。 由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? AD , 又 ?BAD ? 90 ,即 BA ? AD ,
?

? AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB , ? PB ? 平面 ADMN , ???? 4 分 ? PB ? DM 。 (2)连结 DN , 因为 BP ? 平面 ADMN ,即 BN ? 平面 ADMN , 所以 ?BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角,
在 Rt ?ABD 中, BD ? 在 Rt ?PAB 中, PB ?

BA2 ? AD 2 ? 2 2 , PA2 ? AB 2 ? 2 2 ,故 BN ?

1 PB ? 2 , 2

在 Rt ?BDN 中, sin ?BDN ? 又 0 ? ?BDN ? ? ,

BN 1 ? , BD 2

故 BD 与平面 ADMN 所成的角是

? 。 6

?? 10 分

(3)由 M , N 分别为 PC , PB 的中点,得 MN // BC ,且 MN ? 又 AD // BC ,故 MN // AD ,

1 1 BC ? , 2 2

由(1)得 AD ? 平面 PAB ,又 AN ? 平面 PAB ,故 AD ? AN , ?四边形 ADMN 是直角梯形, 在 Rt ?PAB 中, PB ?

PA2 ? AB 2 ? 2 2 , AN ?

1 PB ? 2 , 2

1 1 1 5 2 。 ?? 14 分 ? 截面 ADMN 的面积 S ? ( MN ? AD) ? AN ? ( ? 2) ? 2 ? 2 2 2 4
11、解法 1:(1)联结 EF , ∵ AB ? AD , BC ? CD ,AC=AC ∴ ?ADC ? ?ABC ,………………………………….2 分 ∴ E 为 BD 中点,……………………………………..3 分

∵ F 为 PD 中点, ∴ PB // EF ,………………………………………….4 分 ∴ PB // 平面 ACF …………………………………….5 分 (2)联结 PE , ∵ PA ? AB ? AD ? BD ? 2 , ∴在等边三角形 ABD 中,中线 AE ? BD ,…………6 分 又 PA ? 底面 ABCD , ∴ PA ? BD , ∴ BD ? 面PAE ,………………………………….7 分 ∴平面 PAE ? 平面 PBD 。…………………….8 分 过 A 作 AH ? PE 于 H ,则 AH ? 平面 PBD , 取 PB 中点 G ,联结 AG 、 GH ,则等腰三角形 PAB 中, AG ? PB , ∵ AH ? PB ,∴ PB ? 平面 AGH ,∴ PB ? GH , ∴ ?AGH 是二面角 A ? PB ? E 的平面角……………….10 分 等腰直角三角形 PAB 中, AG ? ∴Rt ?PAE 中, AH ?

2 ,等边三角形 ABD 中, AE ? 3 ,

2 2 3 ,∴ GH ? ,…………12 分 7 7

∴ COS ?AGH ?

GH ? AG

2 7 ? 1 ? 7. 7 2 7
7 。……………….14 分 7

∴二面角 A ? PB ? E 的余弦值为 解法 2:

以 AC、AP 分别为 y、z 轴, A 为原点,建立如图所示空间直角坐标系, ∵ PA ? AB ? AD ? BD ? 2,BC ? CD ∴ ?ABC ? ?ADC ,…………………………………2 分 ∴ ?ABD 是等边三角形,且 E 是 BD 中点, AC ? BD
z P

F

0) 则 A(0, 0) 、 B(1 3, 、 D(?1,3, 、 E (0,3, 、 P(0, 2) 、 , 0) 0) 0, 0,
D

1 3 F (? , , …………………………………………4 分 1) 2 2
??? ? ??? ? 1 3 (1) PB ? (1 3, 2)、 ? ( , , 1) …………………5 分 , ? FE ? 2 2
∴ PB ?
x

A B

E

C

y

? 1 ??? FE , 2 ∴ PB // EF ,∴ PB // 平面 ACF ………………….………7 分 ? ? 0) n ? (2)设平面 PAB、PBE 的法向量分别为 n1 ? ( x1,y1,、2 ? ( x2,y2, 1) ,.………9 分

??? ?

n 则 n1、2 的夹角的补角就是二面角 A ? PB ? E 的平面角;……………….………10 分
∵ AB ? (1,3, , PB ? (1 3, 2) , PE ? (0,3, 2) , 0) , ? ?

?? ?? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?? ??? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? n2 ? PB ? 0 ?? 2 ? 1, 由 n1 ? AB ? 0 及 ? ?? ??? 得 n1 ? ( ? 3,0) , n2 ? (0,, 1) ,….………12 分 ? ? ? 3 ?n2 ? PE ? 0 ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 7 ? cos? n1,2 ? ? ?? ?? ? ? n , 7 | n1 | ? | n2 |
∴二面角 A ? PB ? E 的余弦值为 12、解:方法一: (I)证明:连结 OC

7 。….……………………………………………14 分 7

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD.???1 分

? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO 2 ? CO 2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC. ?????3 分
又 AO ? BD,BD ? OC ? O,

? AO ? 平面 BCD ?????5 分
(II) 取 AC 的中点 M, 解: 连结 OM、 ME、 OE, E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC 由

?直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角。?????6 分 在 ?OME 中,
EM ? 1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, ?????7 分 2 2 2

?OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线, 1 ? OM ? AC ? 1, ?????8 分 2
? cos ?OEM ? 1 ? 1/ 2 ? 1 2 ? , 4 2 ? 1? 2 / 2

?异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦为 2 / 4 ;?????9 分
(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

?VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S ?CDE . 3 3
?????11 分

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ?

2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( ) 2 ? . 2 2 2

?????12 分

而 AO ? 1, S?CDE ? 1 ? 3 ? 22 ? 3 , ?????13 分 2 4 2

?h ?

AO.S ?CDE ? S ?ACD

1?

3 2 ? 21 . ?点 E 到平面 ACD 的距离为 21 . ???14 分 7 7 7 2

方法二: (I)同方法一.?????5 分 (II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0), D(?1,0,0), C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( ,

1 3 , 0), ??????6 分 2 2
z A

??? ? ??? ? BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). ????7 分

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BACD . 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? , ???9 分 ? ? 4 BA CD
x B

D O C y

E

?异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦为 2 / 4 ;?????10 分
(III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

?

? ???? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1,0, ?1) ? 0, ? x ? z ? 0, ? ? ?? ?????11 分 ? ? ???? ? 3 y ? z ? 0. ? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ? ? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量.?????12 分
又 EC ? (? ,

??? ?

1 3 , 0), ?点 E 到平面 ACD 的距离 2 2

??? ? ? EC.n 3 21 h? ? ? ? . ?????14 分 7 7 n


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