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宁夏石嘴山市平罗中学重点班2016届高三上学期第一次月考数学试题(理科) Word版含解析


2015-2016 学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三(上)第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.每小题只有唯一正确答案.) 1.sin600°的值是( A. B. C. ) D.

2.设集合 A={x| A.{x|x>﹣1}

},B={x|lgx>0},则 A∪B

=( B.{x|﹣1<x<1} C.?



D.{x|﹣1<x<1 或 x>1}

3.设扇形的半径长为 2cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.4 B.3 C.2 D.1

2



4.由曲线 y= A. B.4

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6



5.下列命题正确的个数是(



A.“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; B.命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5 则 p 是 q 的必要不充分条件; C.“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x∈R,x ﹣x +1>0”; D.“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”. A.1 B.2 C.3 D.4
a b a b 3 2 3 2

6.若函数 f(x)= A.﹣10 B.10 C.﹣5 D.5

是奇函数,则实数 a 的值是(



7. 已知 m∈R, “函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在 (0, +∞) 上为减函数”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

x



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知 f(x)是偶函数,它在是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对与看作同一

对“友好点对”) . 已知函数 f (x) =

, 则此函数的“友好点对”有 (



对. A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题 5 分,共 20 分) 13.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y=﹣ 则 f(1)﹣f′(1)= . ,

14.已知:sinθ +cosθ =



<θ <π ) ,则 tanθ =



15.已知 p: a 的取值范围是

,q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0,若 p 是¬q 的充分不必要条件,则实数 .

16.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣

,且当 x∈时,f(x)=x ,若在区间内,函 .

2

数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(解答要有必要的文字说明或演算过程,否则不得分.共 70 分) 17. (10 分) (2015 秋?石嘴山校级月考) (1)已知 tan(3π +α )=3,试求

的值. (2)已知角 α 的终边经过点 P(﹣4,3) ,求 sinα cosα +cos α ﹣sin α +1 的值.
2 2

18. (12 分) (2015 春?淄博校级期末)已知 p:x +4mx+1=0 有两个不等的负数根,q:函数 f (x)=﹣(m ﹣m+1) 在(﹣∞,+∞)上是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.
2 x

2

19. (12 分) (2015 秋?石嘴山校级月考)已知函数 f(x)=x﹣klnx,常数 k>0. (1)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求 k 的取值范围.

20. (12 分) (2014 春?南安市校级期末)函数 且 (1)确定函数 f(x)的解析式

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,

(2)若函数 f(x)在(﹣1,1)是单调递增函数,求解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0.

21. (12 分) (2015 秋?石嘴山校级月考)某地区有 100 户农民,都从事水产养殖.据了解, 平均每户的年收入为 3 万元. 为了调整产业结构, 当地政府决定动员部分农民从事水产加工. 据 估计,如果能动员 x(x>0)户农民从事水产加工,那么剩下的继续从事水产养殖的农民平均 每户的年收入有望提高 2x%,而从事水产加工的农民平均每户的年收入将为 万元. (1)在动员 x 户农民从事水产加工后,要使从事水产养殖的农民的总年收入不低于动员前从 事水产养殖的农民的总年收入,求 x 的取值范围; (2)若 0<x≤25,要使这 100 户农民中从事水产加工的农民的总年收入始终不高于从事水产 养殖的农民的总年收入,求 a 的最大值.

22. (12 分) (2015?汕头模拟)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈,恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)| 成立,求实数 m 的取值范围.

2015-2016 学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三(上)第一次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.每小题只有唯一正确答案.) 1.sin600°的值是( A. B. C. ) D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 把原式的角度 600°变形为 2×360°﹣120°,然后利用诱导公式化简,再把 120° 变为 180°﹣60°,利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值. 解答: 解:sin600°=sin(2×360°﹣120°) =﹣sin120°=﹣sin(180°﹣60°) =﹣sin60°=﹣ 故选 D 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键,同时注意 角度的灵活变换. .

2.设集合 A={x| A.{x|x>﹣1}

},B={x|lgx>0},则 A∪B=( B.{x|﹣1<x<1} C.?



D.{x|﹣1<x<1 或 x>1}

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的并集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:2 <2 <2,即﹣1<x<1,即 A=(﹣1,1) , 由 lgx>0=lg1,即 x>1,即 B=(1,+∞) , 则 A∪B={x|﹣1<x<1 或 x>1}. 故选 D
﹣1 x

点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

3.设扇形的半径长为 2cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.4 B.3 C.2 D.1

2



考点: 弧度制的应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 设扇形的弧长为 2,根据扇形的半径和面积,利用扇形面积公式列式算出 l=4,再由 弧度的定义加以计算,即可得到该扇形的圆心角的弧度数. 解答: 解:设扇形的圆心角的弧度数是 α ,弧长为 l, ∵扇形的半径长 r=2cm,面积 S=4cm , ∴S= lr,即 4= ×l×2,解之得 l=4, 因此,扇形圆心角的弧度数是 α = = =2. 故选:C. 点评: 本题给出扇形的半径和面积,求圆心角的大小.考查了扇形的面积公式和弧度制的 定义等知识,属于基础题.
2

4.由曲线 y= A. B.4

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6



考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线 y= ,直线 y=x

﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 解答: 解:联立方程 因此曲线 y= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为:

S=

.故选 C.

点评: 本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考 查学生的转化与化归能力和运算能力,考查学生对定积分与导数的联系的认识,求定积分关 键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题.

5.下列命题正确的个数是(



A.“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; B.命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5 则 p 是 q 的必要不充分条件; C.“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x∈R,x ﹣x +1>0”; D.“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”. A.1 B.2 C.3 D.4
a b a b 3 2 3 2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A 项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断; B 项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确; C 项根据全称命题和存在性命题的否定的判断; D 项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论. 解答: 解:对于 A 项“在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题为“在△ABC 中, 若 A>B,则 sinA>sinB”, 若 A>B,则 a>b,根据正弦定理可知 sinA>sinB,∴逆命题是真命题,∴A 正确; 对于 B 项,由 x≠2,或 y≠3,得不到 x+y≠5,比如 x=1,y=4,x+y=5,∴p 不是 q 的充分条 件; 若 x+y≠5,则一定有 x≠2 且 y≠3,即能得到 x≠2,或 y≠3,∴p 是 q 的必要条件;

∴p 是 q 的必要不充分条件,所以 B 正确; 对于 C 项,“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x∈R,x ﹣x +1>0”;所以 C 不对. 对于 D 项,“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”.所以 D 正确. 故选:C. 点评: 本题主要考查各种命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强.
a b a b 3 2 3 2

6.若函数 f(x)= A.﹣10 B.10 C.﹣5 D.5

是奇函数,则实数 a 的值是(



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 不妨设 x<0,则﹣x>0,根据所给的函数解析式求得 f(x)=﹣x +ax,而由已知可 得 f(﹣x)=x +5x,结合奇函数中 f(﹣x)=﹣f(x) ,可得答案. 解答: 解:当 x<0 时,﹣x>0, ∵f(x)=
2 2 2


2

∴f(x)=﹣x +ax,f(﹣x)=x +5x, 又∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 x +5x=﹣(﹣x +ax) , ∴a=﹣5, 故选:C 点评: 本题主要考查分段函数求函数的奇偶性,函数的奇偶性的定义,属于基础题.
2 2

7. 已知 m∈R, “函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在 (0, +∞) 上为减函数”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

x



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据函数的性质求出 m 的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解答: 解:若函数 y=f(x)=2 +m﹣1 有零点,则 f(0)=1+m﹣1=m<1, 当 m≤0 时,函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数不成立,即充分性不成立, 若 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数,则 0<m<1,此时函数 y=2 +m﹣1 有零点成立,即必要 性成立, 故“函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数零点和对数函数的性质求出等 价条件是解决本题的关键.
x x

x

8.已知 f(x)是偶函数,它在上是减函数,在上是增函数,而在=1+2﹣1+0﹣1+335×(1+2 ﹣1+0﹣1+0)=336. 故选:A. 点评: 本题考查数列与函数相结合,函数的值的求法,函数的周期性的应用,考查计算能 力.

12.若直角坐标平面内的两个不同点 P、Q 满足条件: ①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 关于原点对称,则称点对是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对与看作同一

对“友好点对”) . 已知函数 f (x) =

, 则此函数的“友好点对”有 (



对. A.0 B.1 C.2 D.3

考点: 函数的概念及其构成要素. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意可知只须作出函数 y= 它与函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)交点个数即可. 解答: 解:由题意得:
2

(x>0)的图象关于原点对称的图象,确定

函数 f(x)=

,“友好点对”的对数,

等于函数(x>0)的图象关于原点对称的图象,与函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)交点个数 在同一坐标系中做出函数 y= 4x(x≤0)的图象如下图所示: (x>0)的图象关于原点对称的图象,与函数 y=﹣x ﹣
2

2

由图象可知,两个图象只有一个交点. 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,分段函数,新定义,其中将“友好点对”的对数 转化为对应图象交点个数是解答的关键.

二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题 5 分,共 20 分) 13.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y=﹣ 则 f(1)﹣f′(1)= 2 . ,

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 由定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y=﹣ 知 ,f(1)+ =2,由此能求出 f(1)﹣f′(1) . , ,

解答: 解: ∵定义在 R 上的函数 y=f (x) 的图象在点 M (1, f (1) ) 处的切线方程为 y=﹣



,f(1)+ =2,

∴f(1)=2﹣ = , ∴f(1)﹣f′(1)= 故答案为:2. 点评: 本题考查导数的几何意义的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. =2.

14.已知:sinθ +cosθ =



<θ <π ) ,则 tanθ = ﹣2 .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 把已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,整理求 出 2sinθ cosθ 的值, 解答: 解:把 sinθ +cosθ =
2

①两边平方得:

(sinθ +cosθ ) =1+2sinθ cosθ = , 即 2sinθ cosθ =﹣ , ∵ <θ <π ,

∴sinθ >0,cosθ <0,即 sinθ ﹣cosθ >0, ∴(sinθ ﹣cosθ ) =1﹣2sinθ cosθ = , 即 sinθ ﹣cosθ = 联立①②得:sinθ = 则 tanθ =﹣2, 故答案为:﹣2 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. ②, ,cosθ =﹣ ,
2

15.已知 p: a 的取值范围是

,q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0,若 p 是¬q 的充分不必要条件,则实数 .

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定;一元二次不等式的解法. 分析: 由已知可得:p: ,q:x<a,或 x>a+1,再由求命题否定的方法求出 q,
?

结合充要条件的判定方法,不难给出答案. 解答: 解:∵p: q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0, ∴q:x<a,或 x>a+1 ∴ q:a≤x≤a+1 又∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴
? ?



解得: 则实数 a 的取值范围是 故答案为: 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系.

16.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣

,且当 x∈时,f(x)=x ,若在区间内,函
2

2

数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 时,f(x)=x ,可得

函数在上的解析式.根据题意可得函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2 有 4 个交点,即可得 实数 a 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣ 故 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是偶函数,当 x∈时,f(x)=x ,可得当 x∈时,f(x)=x , 故当 x∈时,f(x)=x ,当 x∈时,f(x)=(x﹣2) . 由于函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,故函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2) 有 4 个交点, 所以可得 1≥loga(3+2) , ∴实数 a 的取值范围是为 ∴a 的最大值为 6. 点评: 本题主要考查函数在实际生活中的应用、考查了利用基本不等式求最值,考查数学 转化思想方法,属中档题. + +1 的递减区间,即有 x=25 时,取得最小值,且为 4+1+1=6,
2 2 2 2

,故有 f(x+2)=f(x) ,

22. (12 分) (2015?汕头模拟)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈,恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)| 成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,求导,令 f′(x)=0,解方程,分析导数的变化 情况,确定函数的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数 f(x)单调区间; (Ⅲ)若对任意 a∈(﹣3,﹣2)及 x1,x2∈,恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)| 成立,求函数 f(x)的最大值和最小值,解不等式,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)依题意知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,

当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,f′(x)= ﹣

=



令 f′(x)=0,解得 x= , 当 0<x< 时,f′(x)<0; 当 x≥ 时,f′(x)>0 又∵f( )=2ln =2﹣2ln2

∴f(x)的极小值为 2﹣2ln2,无极大值. (Ⅱ)f′(x)= ﹣ +2a= ,

当 a<﹣2 时,﹣ < , 令 f′(x)<0 得 0<x<﹣ 或 x> , 令 f′(x)>0 得﹣ <x< ; 当﹣2<a<0 时,得﹣ > , 令 f′(x)<0 得 0<x< 或 x>﹣ , 令 f′(x)>0 得 <x<﹣ ;

当 a=﹣2 时,f′(x)=﹣

≤0,

综上所述,当 a<﹣2 时 f(x) ,的递减区间为(0,﹣ )和( ,+∞) ,递增区间为(﹣ , ) ; 当 a=﹣2 时,f(x)在(0,+∞)单调递减; 当﹣2<a<0 时,f(x)的递减区间为(0, )和(﹣ ,+∞) ,递增区间为( ,﹣ ) . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a∈(﹣3,﹣2)时,f(x)在区间上单调递减, 当 x=1 时,f(x)取最大值; 当 x=3 时,f(x)取最小值; |f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(3)=(1+2a)﹣= ﹣4a+(a﹣2)ln3,

∵(m+ln3)a﹣ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立, ∴(m+ln3)a﹣2ln3> ﹣4a+(a﹣2)ln3 整理得 ma> ﹣4a, ∵a<0,∴m< ﹣4 恒成立, < ﹣4<﹣ ,

∵﹣3<a<﹣2,∴﹣ ∴m≤﹣ .

点评: 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题,在求函数的单调区间时,体现 了分类讨论的思想方法;恒成立问题,转化为函数的最值问题,体现了转化的思想.属


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