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第26届全国物理竞赛复赛第7题的巧妙解法


第 26 届全国物理竞赛复赛第 7 题的巧妙解法
金彪(浙江省上虞市春晖中学 312352) 原题:1.设想光子能量为 E 的单色光垂直入射到质量为 M、以速度 V 沿光入射方向运 动的理想反射镜(无吸收)上,试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量 E′。可 取以下近似:
E Mc
2

??

V c<

br />
?? 1 ,其中 c 为光速。

2.若在上述问题中单色光的强度为 Φ,试求反射光的强度 Φ′(可以近似认为光子 撞击镜子后,镜子的速度仍为 V) 。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位 面积的光子的能量。 参考解答: 1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为
E c ? MV ? ? E ? c ? MV ? 错误!未找到引用源。
E ? MV
2

ht

2 ? E ? ? MV ? 2 错误!未找到引用源。
2

由上面两式得:
V
/

=

E c+E

/

c + MV

M
2 /

E + MV
/

2= E +

(E c + E
/

/

c + MV )
2

2

2M c) + 2 ( E c + E 2M
V c
/

= (E + E ) - E +
/ 2

(E c + E

/

c ) MV + ( MV )

2

得:

(E + E ) 2 Mc
2

+ (1 +

)( E + E ) - 2 E = 0

- (1 +

V c

) ± (1 + 2× 1

V c
2

) +

2

4E Mc
2

得: E / + E =

2 Mc V c

(1 +

) + 2×

2

4E Mc 1 2 Mc
2

- (1 +

V c

)

消去负值得: E + E =

/

2

分子分母同乘以 (1 +

V c

) +

2

4E Mc
2

+ (1 +

V c

)
2E 1?V c

E ? E? ?

4E 1?V c ?

得:

?1 ? V c ?

?
2

.错误!未找到引用源。

? 4E Mc

2

E? ? E

1?V c 1?V c

. 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。



V c

?? 1 时,

1 1?V c

? 1 ? V c ,可得

E ? ? E ?1 ? 2 V c ? .

错误!未找到引用源。

2.考察时刻 t 位于垂直于光传播方向的截面 A 左侧的长为光在 1s 时间内所传播的距离 c?1s、底面积为单位面积柱体内的光子,如图 1 所示.经过 1s 时间,它们全部通过所考察 的截面.若单位体积中的光子数为 n ,根据光强的定义,入射光的强度

Φ ?ncE
若 A 处固定一反射镜,则柱体的底面 S2 处的光子在时刻 t 到达位于 A 处的反射镜便立 即被反射,以光速 c 向左移动;当柱体的底面 S1 在 t+1s 到达 A 处被反射镜反射时,这柱体 的底面 S2 已到达 A 左边距离 A 为 c?1s 处,所 有反射光的光子仍分布在长为 c?1s、截面积为 单位面积的柱体内,所以反射光的强度与入射 光的强度相等. 如果反射镜不固定,而是以恒定的速度 V 向右移动, 则在时刻 t+1s 柱体的底面 S1 到达 A 处时,反射镜已移到 A 右边距离为 V?1s 的 N 处, 这时底面 S2 移到 A 左侧离 A 的距离为 c?1s 处,如图 2 中 a 所示.设再经过时间 ? t ,S1 与 镜面相遇,但这时镜面己来到 N ? 处,因为在 ? t 时间内,镜面又移过了一段距离 V? t ,即在 时刻 t ? 1s ? ? t ,底面 S1 才到达反射镜被反射. 亦即原在 S1 处的光子须多行进 cΔt 的距离才 能被反射.因此
c ? t ? ?1s ? ? t ? V



c ?V 而 这 时 , 底 面 S2 又 向 左 移 了 一 段 距 离 c? t . 这 样 反 射 光 的 光 子 将 分 布 在 长 为
c ? 1s ? 2 c ? t 的柱体内.因反射不改变光子总数,设 n ? 为反射光单位体积中的光子数,有

?t ?

V

cV ? c ?V ? nc ? n ?? c ? 2 ? ? n ?c c ?V ? c ?V ?

故有 . c ?V 根据光强度的定义,反射光的强度
? ? ? ? n ?c E .

n? ? n

c ?V

由各式得
? c ?V ? ???? ? ? . ? c ?V ?
2

注意到 V ?? c 有

? ? ? ? ?1 ?
?

?

4V ? ?. c ?

对于第一小题,有: 另解 1:根据相对论多普勒效应解: E V E << << 1 ,得 << MV ,即光子动量远小于镜子动量,则光子打在镜 因为有 2 c c Mc 子上时,镜子速度变化量可忽略不计,即可认为镜子做匀速运动。入射光子在地面参考系的 频率为: E γ= , h 由相对论多普勒效应,当镜子远离光源时,在镜子坐标系中,光子的频率为
γ1 = γ c -V c +V = E h c -V c +V



对镜子参考系,反射光子与入射光子频率相等。此时镜子相当于反射光的光源,在地面上的 观察者同样是远离该光源的,故地面观察者观察到
γ = γ1
/ /

/

c -V c +V

=

E c -V h c +V

c +V 另解 2:直接用波形运动解: 设某时刻波形与镜子间的位置关系如图所示,AB 两点振动情况 完全相同,即 AB 距离为一个波长 λ 。设此时波上 A 点的振动形式刚
/

E = hγ = E

c -V

A
/

B

好传播到镜面,A 点被反射,经过 T 时间, A 点向右运动的距离为 x A = cT , B 点向左运 动的距离为 x B = cT ,镜子向左运动的距离为 x = VT ,若此时 B 点恰好传播到镜子上, 即 B 点与镜子的位移差等于一个波长,
/
/

λ = cT - VT

/

/

c -V 此时 AB 两点的距离,即新的波长为: λ (c + V ) / / / λ = x A + x = cT + VT = , c -V 由波长之比,同样可以得到频率与能量之比。

T =

/

λ

对于第二小题, 我们可以用上面另解 2 的思想方法。 设一段光柱长为 l , 则经过反射后。 l (c + V ) / 长度变为 l = ,光柱的横截面不变,长度增大,则光子数密度减小为 c -V n (c - V ) / n = , c +V 而每个光子的能量也减小, c -V / E = E , c +V 根据光强度的定义,反射光的强度
? c ?V ? ???? ? ? ? c ?V ?
2


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