tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第2节 一元二次不等式及其解法


第六章 不等式、推理与证明

第二节

一元二次不等式及其解 法

第六章 不等式、推理与证明

[主干知识梳理] 一元二次不等式的解集 二次函数y=ax2+bx+c的图象、一元二次方程ax2+bx+c= 0的根与一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集


的关系,可归纳为:

第六章 不等式、推理与证明

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

Δ>0

Δ=0

Δ<0

第六章 不等式、推理与证明

一元二次方程 有两相异实根 有两相同实根

ax2+bx+c=0
(a≠0)的根

无实根
x=x1或x=x2 x=x1

第六章 不等式、推理与证明

一元 二次 不等

ax2+bx+ c>0(a>0)

{x|x<x1
或x>x2}

{x|x≠x1}

R

式的
解集

ax2+bx+
c<0(a>0)

{x|x1<x<x2}

?

?

若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.

第六章 不等式、推理与证明

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)不等式 x(1-2x)>0 的解集是 (
? 1? ? A.?-∞,2? ? ? ? ?1 ? ? C.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ? ? ? 1? ? B.?0,2? ? ? ? ?1 ? ? D.?2,+∞? ? ? ?

)

B

第六章 不等式、推理与证明

2.(教材习题改编)设一元二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为
? 1? ? ? ? ? ?x?-1<x< ?,则 2? ? ? ? ?

a+b 的值为 ( )

A.-1 C.-3

B.1 D.2

第六章 不等式、推理与证明

1 b ? ?-1+2=-a, C [由根与系数的关系,得? ?-1×1=1, 2 a ? 解得 a=-2,b=-1,∴a+b=-3.]

第六章 不等式、推理与证明

x-2 3.(2014· 南昌模拟)不等式 2 <0 的解集为 x -1 ( A.{x|1<x<2} B.{x|x<2 且 x≠1} C.{x|-1<x<2 且 x≠1} D.{x|x<-1 或 1<x<2} x-2 D [因为不等式 2 <0 等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,所以 x -1 该不等式的解集是{x|x<-1 或 1<x<2}.] )

第六章 不等式、推理与证明

4.(2012·天津高考)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B=
{x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m= __________,n=________. 解析 因为|x+2|<3,即-5<x<1, 所以A=(-5,1),又A∩B≠?,所以m<1,B=(m,2), 由A∩B=(-1,n)得m=-1,n=1. 答案 -1 1

第六章 不等式、推理与证明

5.(教材习题改编)若不等式-x2+2x-m>0,在x∈[-1,0]

上恒成立,则m的取值范围是__________.
解析 由m<-x2+2x知m只需小于u=-x2+2x, x∈[-1,0]的最小值即m<umin. 又u在[-1,0]上递增, ∴umin=-1-2=-3.

∴m<-3.
答案 (-∞,-3)

第六章 不等式、推理与证明

[关键要点点拨]
解一元二次不等式应注意的问题: (1)在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数. (2)二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解 集,讨论时不要忘记二次项系数为零的情况. (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符 号.

(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根
及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同.

第六章 不等式、推理与证明

一元二次不等式的解法

[典题导入]
解下列不等式: (1)0<x2-x-2≤4; (2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).

第六章 不等式、推理与证明

[听课记录]

(1)原不等式等价于

2 2 ? ? x - x - 2 > 0 , x ? ? -x-2>0, ? 2 ?? 2 ? ? ?x -x-2≤4 ?x -x-6≤0

? ?(x-2)(x+1)>0, ? ?x>2或x<-1, ?? ?? ? ? ?(x-3)(x+2)≤0 ?-2≤x≤3.

第六章 不等式、推理与证明

借助于数轴,如图所示,

? ?. x | - 2 ≤ x <- 1 , 或 2 < x ≤ 3 原不等式的解集为 ?

? ? ?

第六章 不等式、推理与证明

(2)由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时,x<-a 或 x>5a.
? 综上,a<0 时,解集为? ?x|x<5a,或 x>-a?;a>0 时,解集为 ? ? ? ?. x|x>5a,或x<-a? ? ? ?

第六章 不等式、推理与证明

[规律方法]
1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2 +bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.

第六章 不等式、推理与证明

2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根 的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式

进行分类讨论,分类要不重不漏.

第六章 不等式、推理与证明

[跟踪训练] 1.解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解析 (1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,

即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2 ≤x≤ , 3
? 4? ? ? ? ? ? 所以原不等式的解集为 x?-2≤x≤3?. ? ? ? ? ?

第六章 不等式、推理与证明

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 因为
? 1? ? a>0,所以?x-a? ?(x-1)<0. ? ?

所以当 a>1 时, 1 解为 <x<1; a 当 a=1 时,解集为?;

第六章 不等式、推理与证明

当 0<a<1 时, 1 解为 1<x< . a 综上,当 0<a<1 时,
? 1? ? ? ? ? ? 不等式的解集为 x?1<x<a?; ? ? ? ? ?

当 a=1 时,不等式的解集为?; 当 a>1
? ? 1 ? ? ? ? 时,不等式的解集为?x?a<x<1?. ? ? ? ? ?

第六章 不等式、推理与证明

一元二次不等式恒成立问题 [典题导入] 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,

f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
[听课记录] 解法一:f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1) 时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.

第六章 不等式、推理与证明

要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a, 解得-3≤a<-1;

②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,
由2-a2≥a,解得-1 ≤a≤1. 综上所述,a 的取值范围为[-3,1].

第六章 不等式、推理与证明

解法二:令 g(x)=x2-2ax+2-a, 由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, ?Δ>0, ? 2 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g(-1)≥0. ? 解得-3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[-3,1].

第六章 不等式、推理与证明

[互动探究] 本题中的“x∈[-1,+∞)改为“x∈[-1,1)” ,求 a 的取值范围. 解析 令 g(x)=x2-2ax+2-a, 由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,1)上恒成立, ?Δ>0, ?Δ>0, ? ? 2 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, 或?a>1, ?g(-1)≥0 ?g(1)≥0. ? ? 解得-3≤a≤1, 所求 a 的取值范围是[-3,1] .

第六章 不等式、推理与证明

[规律方法]
1.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函 数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是 相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 2.一元二次不等式恒成立的条件: (1)ax2+bx+c>0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要条件是: a>0且b2-4ac<0.

(2)ax2+bx+c<0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是:
a<0且b2-4ac<0.

第六章 不等式、推理与证明

[跟踪训练] 2.若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实

数a的取值范围是________;若关于x的不等式x2-ax-a≤
-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是________. 解析 由Δ1<0,即a2-4(-a)<0,得-4<a<0; 由Δ2≥0,即a2-4(3-a)≥0,得a≤-6或a≥2. 答案 (-4,0) (-∞,-6]∪[2,+∞)

第六章 不等式、推理与证明

一元二次不等式的应用

[典题导入] 某商品每件成本价为 80 元, 售价为 100 元, 每天售出 100 8 件.若售价降低 x 成(1 成=10%),售出商品数量就增加 x 成.要 5 求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为 y, 试求 y 与 x 之间的函数关系式 y= f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元, 求 x 的取值范围.

第六章 不等式、推理与证明

[听课记录]

(1)由题意得

? ? x? 8 ? ? ? ? y=100?1-10?·100?1+50x? ?. ? ? ? ?

因为售价不能低于成本价, 所以
? x? ? 100?1-10? ?-80≥0. ? ?

所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].

第六章 不等式、推理与证明

(2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得 8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4 所以 x
?1 ? ? 的取值范围是?2,2? ?. ? ?

第六章 不等式、推理与证明

[规律方法] 解不等式应用题,一般可按如下四步进行: (1)认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;

(2)引进数学符号,用不等式表示不等关系;
(3)解不等式; (4)回答实际问题.

第六章 不等式、推理与证明

[跟踪训练]

3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司
可供选择.公司A每小时收费1.5元;公司B在用户每次上 网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每 小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小 时计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那

么该同学如何选择ISP公司较省钱?

第六章 不等式、推理与证明

解析 假设一次上网 x 小时,则公司 A 收取的费用为 1.5x 元,公 x(35-x) 司 B 收取的费用为 元. 20 若能够保证选择 A 比选择 B 费用少,则 x(35-x) >1.5x(0<x<17), 20 整理得 x2-5x<0,解得 0<x<5, 所以当一次上网时间在 5 小时内时,选择公司 A 的费用少;超过 5 小时,选择公司 B 的费用少.

第六章 不等式、推理与证明

【创新探究】 数形结合思想在“三个二次”间关系的应用 (2012· 福建高考)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:
2 ? ?a -ab,a≤b, a*b=? 2 设 ? ?b -ab,a>b.

f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的

方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3, 则 x1x2x3 的取值范围是__________.
【思路导析】 利用新定义化简出f(x),并作出图象分析.

第六章 不等式、推理与证明

【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式,数形结合求出 m 的取 值,再根据函数的图象和方程的根等条件求解. 由定义可知,
? ?(2x-1)x,x≤0, f(x)=? ? ?-(x-1)x,x>0.

作出函数 f(x)的图象, 如图所示.

第六章 不等式、推理与证明

1 由图可知,当 0<m< 时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实 4 数根 x1,x2,x3. 不妨设 x1<x2<x3,易知 1 x2>0,且 x2+x3=2× =1, 2 1 ∴x2x3< . 4

第六章 不等式、推理与证明

1 ? ?(2x-1)x= , 1- 3 1+ 3 4 令? 解得 x= 或 x= (舍去). 4 4 ? ?x<0, 1- 3 ∴ <x1<0, 4 1- 3 ∴ <x1x2x3<0. 16 1- 3 【答案】 ( ,0) 16

第六章 不等式、推理与证明

【高手支招】 “三个二次”间关系,其实质是抓住二次函 数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2

+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值,二次方程ax2+bx+c=
0(a≠0)的根是同一个问题.解决与之相关的问题时,可利用 函数与方程思想、化归思想将问题转化,结合二次函数的图 象来解决.

第六章 不等式、推理与证明

[体验高考] 1 2 1.(2013· 江西高考)下列选项中,使不等式 x< <x 成立的 x 的取 x 值范围是 ( A.(-∞,-1) C.(0,1) A B.(-1,0) D.(1,+∞) ② )

? ? ?x>0, ?x<0, [原不等式等价于? 2 ①或? 2 3 3 ? ? ?x <1<x , ?x >1>x ,

①无解,解②得 x<-1.故选 A.]

第六章 不等式、推理与证明

2.(2013· 大纲版全国高考)不等式|x2-2|<2 的解集是 ( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(-2,2) D.(-2,0)∪(0,2) )

D [|x2-2|<2?-2<x2-2<2?0<x2<4?

0<|x|<2?-2<x<0 或 0<x<2.故选 D.]

第六章 不等式、推理与证明

3.(2013· 广东高考)不等式 x2+x-2<0 的解集为__________. 解析 x2+x-2<0 即(x+2)(x-1)<0, 解得-2<x<1,故原不等式的解集为{x|-2<x<1}. 答案 {x|-2<x<1}

第六章 不等式、推理与证明

课时作业


推荐相关:

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第6章 第2节 一元二次不等式及其解法]

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第6章 第2节 一元二次不等式及其解法]_高中教育_教育专区。2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮...


2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习第六章 不等式、推理与证明章末高频考点

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习第六章 不等式、推理与证明章末高频考点_数学_高中教育_教育专区。2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com