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辽宁省沈阳市四校协作体2016届高三数学上学期期中联合考试试题 理


2015-2016 学年度(上)四校协作体期中联合考试高三年级 数学(理)试卷
考试时间:120 分钟 考试分数:150 分

试卷说明:试卷共Ⅱ部分:第Ⅰ部分:选择题型;第Ⅱ部分:非选择题型

参考公式: 球的表面积公式
S ? 4?R 2

柱体体积公式

V ? sh

/>其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式

球的体积公式
4 V ? ? R3 3

其中 R 表示球的半径 锥体体积公式 表示台体的高

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,h

V ?

1 Sh 3

如果事件 A、B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.集合 A ? x ? N 0 ? x ? 4 的真子集 个数为 ... A.3 B.4 C.7 D.8

?

?

2.如图所示的复平面上的点 A,B 分别对应复数 z1,z2, 则

z2 = z1
B. 2i D.-2

A.-2i C.2

3. 已知平面向量→ a =(2m+1,3), → b =(2,m),且→ a 与→ b 反向,则|→ b |等于

A.

10 2 7

5 B. 或 2 2 2

C.

5 2

D. 2 2

4.利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点,则打印的点落在坐标轴上的个数 是

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知 a > 1 , f ( x) ? a x A. ?1 ? x ? 0

2

?2 x

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是 C. ?2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1

B. ?2 ? x ? 1

2 6. ( x ?

1 ? 2)3 展开式中的常数项为 x2
B. -12 C. -20 D. 20

A. -8

7. 函数 f ( x) ? sin x ? ln( x ?1) 的部分图像可能是
2
y
y y y

O

.

x

O

.

x

O

x

O

x

A

B

C

D

8.“暑假”期间,三个家庭(每家均为一对夫妇和一个孩子)去“沈阳世博园”游玩,在某 一景区前合影留念,要求前排站三个小孩,后排为三对夫妇,则每对夫妇均相邻且小孩恰与 自家父母排列的顺序一致的概率是 A.

1 15

B.

1 90

C.

1 180

D.

1 360

9. 在△ ABC 中,已知 b ? cos C ? c ? cos B ? 3a ? cos B ,其中 a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对 边.则 cos B 值为 A.

1 3

B. ?

1 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 10. 在平面直角坐标系中,若 P ( x, y ) 满足 ? 2 x ? y ? 10 ? 0 ,则当 xy 取得最大值时,点 P 的 ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
坐标是 A. ? 2, 2 ? B.

? 2, 6?

C. ?

?5 ? ,5 ? ?2 ?

D.

? 4, 2?

11. 正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为

A. 6?

B. 7?

C. 8?
2

D.

7 7 ? 6

12. 已知函数 f ( x) 与函数 g ? x ? ? ? x ? 1? 的图象关于 y 轴对称, 若存在 a ? R , 使 x ? ?1, m?

? m ? 1? 时, f ( x ? a) ? 4 x 成立,则 m 的最大值为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示, 则它的侧视图的面积为 .

3
2 14.某校高考数学成绩 ? 近似地服从正态分布 N 100,5 ,

正视图

?

?

1
.
俯视图

且 P ?? ? 110? ? 0.98 , P ?90 ? ? ? 100? 的值为

15. .设 x,y 均为正数,且方程 ( x 2 ? xy ? y 2 ) ? a ? x 2 ? xy ? y 2 成立,则 a 的取值范围 是 .

16. 定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 {an } 满 足 a1 ? ?1 ,且

3 2

S n 2a n ? ? 1 , S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则 f (a5 ) ? f (a6 ) = n n

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 sin( A ?

?
4

)?

7 2 ? ? , A ? ( , ). 10 4 2

(I)求 cos A 的值; (II)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,且满足 an?1 ? Sn ? 2n?1 (n ? N* ) . (Ⅰ)证明数列 {

Sn } 为等差数列; 2n

(Ⅱ)求 S1 ? S2 ? ... ? Sn .

19. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的的菱形,
?BAD ? 60? ,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF ? 平面 ABCD , BF ? 3 , G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点.

(Ⅰ)求证:平面 BDGH / / 平面 AEF ; (Ⅱ)求二面角 H ? BD ? C 的大小.

E

F D A B

G H C

20.(本小题满分 12 分) 某学校举办趣味运动会,设立投掷飞镖比赛.每 3 人组成一队,每人投掷一次.假设飞镖每 次都能投中靶面,且靶面上每点被投中的可能性相同 .某人投中靶面内阴影区域记为“成功” (靶面正方形 ABCD 如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为 函数 y ? A sin x 的图像) .每队有 3 人“成功”获一等奖, 2 人“成功” 获二等奖,1 人“成功” 获三等奖,其他 情况为鼓励奖(即四等奖) (其中任何两位队员“成功”与否互不影响) . ( ? )求某队员投掷一次“成功”的概率; ( ?? )设 X 为某队获奖等次,求随机变量 X 的分布列及其期望.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0), g ( x) ? ? x ? 2. ( ? )求函数 f ( x ) 在点 M (e, f (e)) 处的切线方程;

( ?? )设 F ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? f ?( x)(a ? 0), 讨论函数 F ( x) 的单调性;

? ??? ? 设函数 H ( x) ?

f ( x) ? g ( x) ,是否同时存在实数 m 和 M (m ? M ) ,使得对每一个

?1 ? t ? [m, M ] , 直线 y ? t 与曲线 y ? H ( x)( x ? ? , e ?) 都有公共点?若存在, 求出最小的实数 m ?e ?
和最大的实数 M ;若不存在,说明理由.

请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 已知△ ABC 中, AB ? AC ,以点 B 为圆心,以 BC 为半径的圆分别交 AB, AC 于 D, E 两点,且 EF 为该圆的直径. (Ⅰ)求证: ?A ? 2?F ; (Ⅱ)若 AE ?

1 EC ? 1 ,求 BC 的长. 2
B

A D E C

F

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系,直线 L 的参数方程为 ?

? ?x ? 1? t (t 为参数). ? ? y ? 2 ? 3t

(Ⅰ)写出直线 L 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

? x? ? x ? (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 1 得到曲线 C ? , ? y ? y ? ? 2
设 M(x,y)为 C ? 上任意一点,求 x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标.

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=6,求证:

1 ? 1 ? 1 ? 1. a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 2

2015-2016 学年度(上)四校协作体联合考试高三年级数学(理)答案 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7. B 8.B 9. A 10. C 11.B 12. C

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.

3 4

14. 0.48

15.

1 ? a ?1 3

16. 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:

(Ⅰ) ?

?
4

? A?

?
2

,?

?
2

? A+

?
4

?

3? 4

? ?? ? ? ? ? ? ? cos A ? cos ?( A ? ) ? ? ? cos( A+ ) cos ? sin( A+ ) sin 4 4? 4 4 4 4 ? ???????6 分 3 ? 5
(Ⅱ)由? ? ? 可得 sin A ? 4 5

?? 2 ? ? cos ? A ? ? ? ? 4? 10 ?

5 所以f(x)=cos ? 2 x ? ? sin A sin x 2 1 3 =-2(sinx- ) 2 ? 2 2

? 3? ? f ( x)的值域为 ?-3, ? ? 2?
18. (Ⅰ)证明:由条件可知, Sn?1 ? Sn ? Sn ? 2
n?1

???????12 分
n?1

,即 Sn?1 ? 2Sn ? 2



Sn ?1 Sn Sn ? n ? 1 ,所以数列 { n } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.????6 分 n ?1 2 2 2 Sn ? 1 ? n ? 1 ? n ,即 Sn ? n ? 2n ,令 Tn ? S1 ? S2 ? ?? Sn (Ⅱ)由(1)可知, n 2
整理得

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n 2Tn ???????????1? 22 ?? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

① ② ????12 分

① ? ②,?Tn ? 2 ? 22 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ,整理得 Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 . 19、 (Ⅰ)证明:在 ?CEF 中,因为 G , H 分别是 CE, CF 的中点, 所以 GH / / EF , 又因为 GH ? 平面 AEF , EF ? 平面 AEF , 所以 GH / / 平面 AEF . 设 AC ? BD ? O ,连接 OH , 因为 ABCD 为菱形,所以 O 为 AC 中点 在 ?ACF 中,因为 OA ? OC , CH ? HF , 所以 OH / / AF , 又因为 OH ? 平面 AEF , AF ? 平面 AEF , 所以 OH / / 平面 AEF . 又因为 OH ? GH ? H , OH , GH ? 平面 BDGH , A 所以平面 BDGH / / 平面 AEF . ????6 分
O

????????2 分

z E

F
D

G
H

C

y

B

x

(Ⅱ)解:取 EF 的中点 N ,连接 ON ,因为四边形 BDEF 是矩形,O, N 分别为 BD, EF 的 中点,所以 ON / / ED ,因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 ED ? 平面 ABCD , 所以 ON ? 平面 ABCD ,因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD ,得 OB, OC , ON 两两垂直. 所以以 O 为原点, OB, OC , ON 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标 系. 因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , BF ? 3 ,所以 B(1, 0, 0) , D(?1, 0, 0) ,

???? 1 3 3 1 3 3 H( , , ) BH ? (? , , ) E (?1, 0,3) , F (1, 0,3) , C(0, 3,0) , 2 2 2 . 所以 2 2 2 , r ??? ? DB ? (2,0,0) . 设 平 面 B D H n ? ( x, y, , z) 则 的 法 向 量 为

r uuu r ? ? ?? x ? 3 y ? 3z ? 0 ?n ? BH ? 0 ? n .令 z ? 1 ,得 ? (0, ? 3,1) . ?? r ? r uuu ?2 x ? 0 ? ?n ? DB ? 0 ?
? ? ? ?? ? ? ? ?n ? ? D E 0 ? 0 ? ( ? 3 ) ? 0 ? 1? 3 c o?sn D, E ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? 3 2 n D E
所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60 ? . 注:用传统法找二面角并求解酌情给分. 20.解: ( ? )由题意知: S 矩形 ? 10?10 ? 100,

????9 分

D 得 平 面 BCD 的 法 向 量 为 DE ? (0,0,3) , 则 由 ED ? 平 面 A B C ,

??? ?

1

????????12 分

S阴影 ? 2? 5 sin xdx ? 20 ??????????.2 分
0

π

记某队员投掷一次 “成功”事件为 A, 则 P( A) ?

S阴影 S 矩形

?

20 1 ? 100 5

???????????????.4 分

( ?? )因为 X 为某队获奖等次,则 X 取值为 1、2、3、4.

1 0 1 1 12 3? 1 ? 2?1? , P( X ? 2) ? C3 , P( X ? 1) ? C3 ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? 5 125 5 125 ?5? ?5? 1 48 1 3 64 ?1? 0? 1 ? , P( X ? 4) ? C3 ??.9 分 P( X ? 3) ? C ? ? ? (1 ? ) 2 ? ? ? ? (1 ? ) ? 5 125 5 125 ?5? ?5?
1 3 1 0

3

2

即 X 分布列为:

X

1

2

3

4

P( X )

1 125

12 125

48 125

64 125

所以, X 的期望 EX ? 1 ?

1 12 48 64 17 ? 2? ? 3? ? 4? ? 125 125 125 125 5

???12 分

21.解: (I) f '( x) = ln x +1( x >0) ,

f x) 则函数 ( 在点 M (e, f (e)) 处切线的斜率为 f '(e) =2, f (e) ? e , 2 x-e) ∴所求切线方程为 y-e=( ,即 y=2 x-e .
(II) F ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x ? 1( x ? 0),
2

????????????.2 分

F '( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ( x ? 0, a ? 0) , ? = x x x

1 1 或 , ????????????.4 分 2 a 1 1 1 1 ①当 0< a <2,即 ? 时,令 F '( x) >0,解得 0< x < 或 x > ; a 2 2 a 1 1 令 F '( x) <0,解得 < x < ; 2 a 1 1 1 1 ∴ F ( x) 在(0, ) , ( ,+ ? )上单调递增,在( , )单调递减. 2 a 2 a 1 1 ②当 a =2,即 ? 时, F '( x) ≥0 恒成立,∴ F ( x) 在(0,+ ? )上单调递增. a 2 1 1 1 1 ③当 a >2,即 ? 时,令 F '( x) >0,解得 0< x < 或 x > ; a 2 a 2 1 1 令 F '( x) <0,解得 < x < ; a 2 1 1 1 1 , ( ,+ ? )上单调递增,在( , )单调递减.??????.7 ? F ( x) 在(0, ) a 2 a 2
令 F '( x) =0,则 x = 分 (III) H ( x) ? ? x ? 2 ? x ln x, H '( x) ? ln x. ,令 H '( x) =0,则 x =1, 当 x 在区间 ( , e) 内变化时, H '( x), H ( x) 的变化情况如下表:

1 e

x
H '( x) H ( x)
又? 2-

1 e

1 ( ,1) e


1
0 极小值 1

(1, e)
+ 递增

e

2?

2 e

递减

2

2 ?1 ? <2 ,∴函数 H ? x ? =-x +2+x ln x(x ? ? ,e ? ) 的值域为.??.??.10 分 e ?e ?

据此可得,若 ?

?m ? 1, 1 ,则对每一个 t ? [m, M ] ,直线 y ? t 与曲线 y ? H ( x)( x ? [ , e]) e ?M ? 2
1 e

都有公共点; 并且对每一个 t ? (??, m) ? (M , ??) , 直线 y ? t 与曲线 y ? H ( x)( x ? [ , e]) 都 没有公共点. 综 上 , 存 在 实 数 m ? 1 和 M ? 2 , 使 得 对 每 一 个 t ? [m, M ] , 直 线 y ? t 与 曲 线

1 y ? H ( x)( x ? [ , e]) e









点.

????????????.??.12 分

22. (本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ) 因为 AC ? AB ,所以 ?ABC ? ?ACB ,又因为 BC ? BE ,所以 ?BEC ? ?ECB , 所以 ?BEC ? ?ABC ,所以 ?A ? ?EBC ? 2?F (Ⅱ) 由(1)可知 ?ABC ∽ ?BEC , 从而 .??????5 分

EC BC ? E ?1 , E C , 由A BC AC

?2 ,A C

3 ?

, 得 BC ? 6 .

???????10 分

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C 的方程为 x ? y ? 4
2 2

直线 L 方程为 3 x ? y ? 3 ? 2 ? 0

?????????? 3 分

? x' ? x x2 ? 2 2 (Ⅱ)由 ? ' 1 和 x ? y ? 4 得 C ' ? y2 ? 1 4 ?y ? y ? 2
设 M 为?

? x ? 2cos? ? 2 2 ,则 x ? 3 xy ? 2 y ? 3 ? 2 cos(2? ? ) 3 ? y ? sin?
3 3 ) 或 (?1, ? ) 时原式取得最小值 1. 2 2

????? 8 分

所以当 M 为 (1,

????? 10 分

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 证明:由已知及均值不等式:

3 1 ? 1 ? 1 ? a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 3 abc(1 ? a)(1 ? b)(1 ? c)

?????? 5 分

?

3

3 3 ? a ? b ? c 1 ? a ?1? b ?1? c abc ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 3 3
3

? 3 ?1 2?3 2

????????? 10 分


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