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4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式-5年3年模拟北京高考


1

4.1

三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

五年高考
考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式 1.(2012 山东.7,5 分)若 ? ? [

? ?

3 7 , ], sin 2? ? , 则 sin ? ? ( 8 4 2

/>D. 3 4

)

A.

3 5

B.

4 5

C.

7 4

2. (2011 课标,5,5 分)已知角 p 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? ? ( )

A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

3. (2011 福建.3,5 分)若 tan? ? 3, 则

sin 2? 的值等于 ( ) cos 2 ?

4 5

A.2

B .3

C.4

D.6

4. (2012 山东.16,4 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时 圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为

5. (2011 全国,14,5 分)已知 ? ? (

?
2

, ? ), sin ? ?

5 , 则 tan 2? = 5

6. (2011 天津.15,13 分)已知函数 f ( x) ? tan( 2 x ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)设 ? ? (0,

?
4

).

?

), 若 ( ) ? 2 cos ? , 求 k 的大小. 4 2

?

2

解读探究
考点 内容 命题规律 命题趋势 (1)了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度 1.考查内容:2013年全国各省市对三角 1.趋势分析:判断三角 与角度的互化. (2)会判断三角函数值的符号. 概念、同角 定义. 三角函数的 关系式和诱 导公式 函数的有关概念、 同角三角函数关系式及 函数值的符号、诱导公 诱导公式的考查共计2次. 如2013浙江, 4. 式及同角三角函数的基 识的考查以选择题和解答题的形式出现,热点. 2.备考指南:本节知识 3.能力屡级:2013年高考试题对本节知 较为广泛,备考时应从 的正弦、 余弦、 正切的诱导公式, 识的考查要求是理解三角函数的概念和 基本概念、基本公式人 运用同角三角函数公式、 诱导公式化简求 手,全面系统地掌握知 值.试题多为容易题 (5)同角三角函数的基本关系式: sin
2

三角函数的 (3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 2.题型赋分:2013年高考试题对本节知 本关系式的应用是高考 (4) 能 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 推 导 出 分值分别为5分、13分.

?
2

? ?? ? ?,

会用三角函数线解决相关问题.

识的来龙去脉,以理解 间联系的必然性,真正 做到知识左右逢源,能 力融会贯恿

x?

4.考查形式:高考试题对三角函数概念 为主,熟悉各知识点之 的考查融于三角求值和化简中.

cos 2 x ? 1,

sin x ? tan x, ,熟练运用公式化 cos x

简、求值与证明简单的三角恒等式.

智力背景
华罗庚的退步解题方法(一) 有位老师,想辨别他的 3 个学生谁更聪明.他采用 如下的方法:事先

准备好 3 顶白帽子,2 顶黑帽子,让他们看到,然后叫他们闭上眼睛,分别给戴上帽子,藏起剩下的 2 预 帽子,最后叫他们睁开眼,看着别人的帽子,说出自己所戴帽子的颜色.3 个学生互相看了看,都踌躇了一 会,并异口同声地说出自己戴的是白帽子,为了解决上面的问题,我们先考虑“2 人 l 顶黑帽,2 顶白帽” 问题.因为黑帽只有 l 顶,我戴了,对方立刻会说自己戴的是白帽.

知识清单
1. 弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中:

3

2.任意角的三角函数 (1)定义:设角 α 的终边与单位圆交于 P(x,y) ,则 sin ? ? ⑧

, cos? ? ⑨

, tan? ? ⑩

2 2 (x ? ? 0, 其中 r ? x ? y ) ?

(2)三角函数线是三角函数的几何表示,它们都是有向线段,线段的方向表示三角函数值的正负.与 坐标轴同向为正,异向为负;线段的长度是三角函数值的⑩ ,所以书写时要注意起点、终点的顺 序,不能把顺序弄错了,为此,我们规定凡由原点出发的线段,以原点为始点;不从原点出发的线段,以 函数线与坐标轴的交点为起点. 3.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: (2)商数关系: 4.诱导公式

【知识拓展】 1.任意角的弧度制及任意角的三角函数 (1)理解弧度概念,正确利用 ?rad ? 180 进行角度与弧度的互化.
o

(2)理解由弧度概念推导的弧长公式、 扇形面积公式. (3)利用三角函数定义证明同角三角函数关系式. (4) 区分象限角、范围角(如锐角、钝角)等概念.(5)能结合三角函数线解简单三角不等式,例如:解不等式

sin ? ?

1 ? 2

4

2.同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (1)同角关系式及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响, 尤其是利用平方关系在求三角函数值 时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. (2)三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:①弦切互化法:主要利用公式

sin x 化成正弦、余弦函数;②和积转换法:如利用 (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? . cos ? 的关系进行 cos x 1 2 2 2 ) ? 注意求 变形、转化;③巧用“1”的变换:1 ? sin ? ? cos ? ? cos2 ? (1 ? tan2 ? ) ? sin ? (1 ? tan 2 ? t.nx ?
值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. (3)证明三角恒等式的主要思路:①左右互推法:由较繁的一边向简单一边化简;②左右归一法:使两 端化异为同,把左右式都化为第三个式子;③转化与化归法:先将要证明的结论恒等变形,再证明. (4)解三角函数问题时常用方法:代入法、消元法、转化与化归法、方程与分类讨论思想方法等. (5)已知一个角的某一三角函数值,求该角的其他三角函数值时,可以利用构造直角三角形,结合该角 的范围求值,

知识清单答案

突破方法
方法
同角三角函数的关系

同角三角函数的关系是由任意角的三角函数的定义得出的,利用平方关系开方时要注意“±”的选 取,商数关系常用于“切化弦” ,其实,其商数关系 tan ? ?

? sin ? 的逆用也很重要,若分式的分子、分母 cos ?

是关于同角的弦函数的齐次式的形式,可将分子、分母同除以弦函数的最高次数,从而转化成正切函数的 形式来求值,

智力背景

5

华罗庚的退步解题方法 (二 ) 但他踌躇了一会, 可见我戴的是白帽. 这样“3 人 2 顶黑帽, 3 顶白帽” 的问题也就容易解决了,假设我戴的是黑帽子,则他们 2 人就变成“2 人 l 顶黑帽,2 灏白帽”问题,他们 可以立刻回答出来,但他们都踌躇了一会,这就说明,我戴的是白帽子,3 人经过同样的思考,于是,都 推出自己戴的是白帽子 .

例(2012 山东东营二模.17,12 分)已知 α 是三角形的内角,且 sin ? ? co s? ? (1)求 tan ? 的值; (2)把
2

1 ? 5

1 用 tan ? 表示出来,并求其值. cos ? ? sin 2 ? 1 ? ? , cos? 的值; 解题思路 (1)由 sin ? ? cos ? ? 及 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, 可求 sm 5

(2)1 ? sin 2 ? ? cos2 ? , 分子、分母同除以 cos2 ? 即可.
1 ? ? sin ? ? cos? ? , ① 解析 (1)解法一:联立 ? (2 分) 5 2 2 ? ? ?sm ? ? cos ? ? 1, ②
由①得 cos ? ?

1 ? sin ? , 5
(3 分)

将其代入②,整理得

25sin 2 ? ? 5 sin ? ? 12 ? 0.
∵ α 是三角形的内角,

4 ? sin ? ? , ? ? 5 ?? ?co8? ? ? 3 , ? 5 ?
4 ? tan ? ? ? ? 3
(6 分)

解法二:? sin ? ? cos ? ?

1 , 5

1 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? ( ) 2 , 即 1 ? 2 sin ? cos ? ? , 5 25 24 ? 2 sin ? cos ? ? ? , 25 24 49 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ? ? ? 25 25 12 ? sin ? cos ? ? ? ? 0 且0 ? ? ? ?, 25

(3 分)

? sin ? ? 0, cos? ? 0,? sin ? ? cos? ? 0,

6

? sin ? ? cos ? ?

7 , 5

1 4 ? ? sin ? ? cos? ? , ?sin ? ? , ? 4 ? ? 5 5 ? tan ? ? ? ? 由? 得? 3 ?sin ? ? cos? ? 7 ?cos? ? ? 3 , ? ? 5 5 ? ?
sin 2 ? ? cos2 ? 1 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1 cos2 ? ( 2) ? ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? cos2 ?
4 ? tan ? ? ? , 3
(10 分)

(6 分)

1 tan2 ? ? 1 ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ?

4 (? ) 2 ? 1 25 3 ?? ? 4 7 1 ? (? ) 2 3

(12 分)

【方法点拨】 同角三角函数的关系式的应用策略 (1)对于 sin ? ? cos? , sin ? cos? , sin ? ? cos? 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值 可求.转化的公式为 (sin? ? cos? ) ? 1 ? 2 sin ? cos? ;
2

(2)关于 sin x, cos x 的齐次式,往往转化为关于 tanx 的式子.

三年模拟
A 组 2011-2013 年模拟探究专项基础测试
时间.35 分钟 一、选择题(每题 5 分,共 10 分 分值:45 分

1. (2013 四川成都一模.5)已知 sin(? ? ? ) ? log 8

A. ?

2 5 5

B.

2 5 5

C. ?

2 5 5

1 ? , 且 ? ? ( ? ,0), 则 tan(2? ? ? ) 的值为( 4 2 5 D. 2
)

)

2. (2013 吉林长春 5 月,3)已知 cos ? ?

A.

9 25

B.

18 25

c.

23 25

3 , 则 cos2? ? sin 2 ? 的值为( 5 34 D. 25

二、填空题(每题 5 分,共 15 分)

3. (2013 北京东城高三上学期期末)若 sin ? ? ? , 且 tan ? ? 0 , 则 cos? ?

3 5

7

4. (2013 河北唐山一模.13)已知 sin(3? ? ? ) ? lg

1
3

10

,则

cos(? ? ? ) cos? [cos(? ? ? ) ? 1]

?

cos(? ? 2? ) 的值为 cos? cos(? ? ? ) ? cos(? ? 2? )
1 ? , 则 cos( 2? ? ) = 2 2

5. (2012 北京海淀 4 月模拟.11)若 tan ? ?

智力背景
百鸡问题 本问题记载于我国古代约 5~6 世纪成书的《张丘建算经》中,是原书卷下第 38 题,也是 全书的最后—题:“今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一凡百钱买鸡百只,问鸡翁、 母、雏各几何?答曰:鸡翁四,值钱;十:鹂母十八,值钱五十四;鸡雏七十八,值钱二十六,又答:鸡 翁八,值钱四十;鸡母十一,值钱三十三;鸡雏八十一,值被二十七又答:鸡翁十二,值钱六十;鸡母四, 值钱十二;鸡雏八十四,值钱二十八”该问题引出了三元不定方程组,其重要之处在于开创“一问多答” 的先例,这是过去我国古算书中所没有的.

三、解答题(共 20 分) 6. (2013 北京丰台期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A, B 两点. (1)若点 A 的横坐标是 , 点 B 的纵坐标是 (2)若 | AB |?

3 5

12 , 求 sin(? ? ? ) 的值; 13

3 , 求 OA. ? OB 的值. 2

7. (2013 新疆哈密一模.17)已知 sin(? ? ? ) ? 1, 求证: tan(2? ? ? ) ? tan ? ? 0.

2011-2013 年模拟探究专项提升测试 时间:45 分钟 分值:50 分 一、选择题(每题 5 分,共 15 分)

B组

) 的值 1. (2013 湖北黄冈二模.9)已知函数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ), 且 f (4) ? 3, 则 f (2013
为 ( )

8

D. ? 3 1 2. (2013 海南海口一模.5)方程 sin ?x ? x 的解的个数是( 4 A.5 B .6 C.7 D.8 B .1 C .3

A. ? 1.

)

3. ( 2013 山 东 临 沂 二 模 . 11 ) 已 知 x ? [0, ? ], f ( x) ? sin(cosx) 的 最 大 值 为 同 a , 最 小 值 为

b, g ( x) ? cos(sin x) 的最大值为 c,最小值为 d,则
A.b ? d ? a ? c B.d ? b ? c ? a
二.填空题 (每题 5 分,共 10 分) 4. (2013 上海长宁 4 月.10)若 x ? (0,

(

)

C.b ? d ? c ? a

D.d ? b ? a ? c

?
2

), 则 ? 2 tan x ? tan(

?
2

? x ) 的最小值为

? ? ?2 cos x, x ? 2000 )] ? 5. (2012 海南万宁二模,13)已知函数. f ( x) ? ? 则 f [ f (2012 3 ? ? x ? 12, x ? 2000
三、解答题(共 25 分) 6. (2013 重庆万州一模,18)设 0 ? ? ? ? , P ? sin 2? ? sin ? ? cos? . (1)若 t ? sin ? ? co8? , 用含 t 的式子表示 P; (2)确定 t 的取值范围,并求出 P 的最大值和最小值. 7. (2013 河南信阳二模,17)已知 f ( x) ? (1)化简 f ( x) 的表达式; (2)求 f (

? 2 (n? ? x) cos2 (n? ? x) ? sm (n ? z ) ? cos2 [(2n ? 1)? ? x]

?
2010

)?(

502? ) 的值. 1005

智力背景
假币谜题 有十堆银币,每堆十枚.已知一枚真币的重量,也知道每个假币比真币重量多 l 克,而且 你还知道这里有一堆全是假币,你可以用一架台式盘秤来称克数,试问最少需要称几次才能确定出 假币? 答案:只要称一次!


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