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(试题3)选修2-2综合测试


选修(2-2)综合测试题(郭 20130405)
一、选择题 1.设 y= x 2 - x ,则 x ∈[0,1]上的最大值是( A 0 B - )

1 4

C

1 2

D

1 4

2.若质点 P 的运动方程为 S(t)=2t2+t(S 的单位为米,t 的单位为秒) ,则当 t=1 时的瞬时速度 为( ) A 2 米/秒 B 3 米/秒 C 4 米/秒 D 5 米/秒 3.曲线y=- A 30?

5 1 3 x -2 在点(-1, ? )处切线的倾斜角为( 3 3
45? C 135? D ) 150?





4.函数 y=-2 x + x 3 的单调递减区间是(

A (-∞,-

6 6 6 6 6 6 ) B (- , ) C(-∞,- )∪( ,+∞) D ( ,+∞) 3 3 3 3 3 3
3

5.过曲线y= x +1上一点(-1,0) ,且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是( A y=3x+3 B y= 6.曲线y= A 30?



x x 1 +3 C y=- 3 3 3



y=-3x-3

1 3 1 x 在点(1, )处的切线与直线x+y-3=0的夹角为 3 3
B 45?
3 2



60?



90?

7.已知函数 f ( x) = x +a x +b 的图象在点 P (1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行.则 a、b 的值 分别为( ). A -3, 2 B

-3, 0
/

C

3, 2

D

3, -4 )

8.已知 f ( x) =a x 3 +3 x 2 +2,若 f (?1) =4,则 a 的值等于( A

19 3

B

10 3

C

16 3

D

13 3


3 9.函数 y = x -12 x +16 在 [-3,3]上的最大值、最小值分别是(

A 6,0

B

32, 0
3

C

2 5, 6

D

32, 16 )

10.已知 a>0,函数y= x -ax在[1,+∞ ) 上是单调增函数,则 a 的最大值为( A 0 B 1
3

C
2

2

D

3

11.已知 f ( x) =2 x -6 x +m(m 为常数) ,在[-2,2]上有最大值 3,则此函数在[-2,2]上的 最小值为( A -37 B ) -29

C -5

D -11

12.已知 f ( x) = x + x 3 , 且 x1+x2<0, x2+x3<0, x3+x1<0 则(



A f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D f(x1)+f(x2)+f(x3)符号不 能确定. 二、填空题 13.过抛物线 y= f ( x) 上一点 A(1,0)的切线的倾斜角为 45°则 f / (1) =__________. 14.函数 f ( x) = x 3 -3 x 的递减区间是__________ 15. 过点 P( - 1,2) 且与曲线 y= 3 x 2 - 4 __________. 16.函数 f ( x) = x (1- x 2 )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题 17.已知函数 f ( x) =a x 4 +b x 2 +c 的图像经过点(0,1),且在 x =1 处的切线方程是 y= x -2. 求 f ( x) 的解析式;12 分 18.证明: 过抛物线 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0, x1< x2)上两点 A(x1,0),B(x2,0)的切线与 x 轴所成的 锐角相等。12 分 19.已知 f ( x) =a x +b x +cx(a ? 0)在 x=±1 时取得极值且 f(1)= -1
3 2

x +2 在点 M(1,1) 处的切 线平行的 直线方 程是

试求常数 a、b、c 的值并求极值。12 分 20.已知函数 f ( x) =

a 3 x ? ax 2 ? x ? 1 . 3

(1)若 f ( x) 在(-∞,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围. (2) 若 f ( x) 在 x=x1 及 x=x2 (x1, x2>0)处有极值,且 1<

x1 ≤5,求 a 的取值范围。12 分 x2

21.已知函数 f ( x) =ax3+cx+d(a≠0)在 R 上满足 f (? x) =- f ( x) , 当 x=1 时 f ( x) 取得极值-2. (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明:对任意 x1,x2∈(-1,1),不等式│ f ( x1 ) ? f ( x2 ) │<4 恒成立. 14 分 22.如图在边长为 4 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,在把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底盒子.

x

x

(1)问切去的小正方形边长为多少时,盒子容积最大?最大容积 V1 是多少? (2)上述做法,材料有所浪费,如果可以对材料进行切割、焊接,请你重新设计一个方案, 使材料浪费最少,且所得无盖的盒子的容积 V2 > V1 14 分

答案:1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14.[-1,1] 15.2x-y+4=0 16. 提示:1.A f(1)=f(0)=0 最大 2. D∵ S ? =4t+1∴当 t=1 时的瞬时速度为 5 米/秒 3. 选C∵ f / ( x) =- x 2 ∴ f / (?1) =-1 即 tanα =-1∴α =135? 4. 选 B∵ y ? =-2+3 x 2 <0,∴-
2

2 3 9

6 6 <x< 3 3
1 (x+1)即C答案 3

5. C∵ y ? ? 3x ∴该点处的切线斜率为 3,∴所求直线方程为 y=-
2

6. 选D∵ y ? = x , y ? │x=1=1,∴切线斜率为 1,又直线斜率为-1∴两直线垂直∴夹角为 90? 7. A∵ f ( x) =3 x 2 +2ax, 切线的斜率 k=3+2a, 3+2a= -3 ∴a=-3 又∵f (1) =a+b+1=0 ∴b=2, 故选 A 8. 选 B∵ f ( x) =3a x 2 +6 x ∴ f (?1) =3a-6∴a=
/ /
2

/

10 3

9. 选 B ∵ y ? =3 x -12, 由 y ? =0 得 x =±2 当 x =±2, x =±3 时求得最大值 32,最小值 0 10. D∵ f ( x) =3 x -a,∴若 f ( x) 为增函数,则 f ( x) >0 即 a<3 x 要使 a<3 x , ∞ ) ,上恒成立,∴a≤3 故选 D 11. A 令 f ( x) =0 得 x =0 或 x =2,而 f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m 显然 f(0)>f(2)>f(- 2)∴m=3 最小值为 f(-2)=-37 故选 A 12. B∵ f ( x) =3 x +1,∴ f ( x) >0∴ f ( x) 在上是增函数,且 f ( x) 是奇函数,
/
2

/

2

/

2

2

x ∈[1,+

/

/

∴ f(x1)<f( - x2), f(x2)<f( - x3), f(x3)<f( - x1) ∴ f(x1)+f(x2)+f(x3)< - [f(x1)+f(x2)+f(x3)] 即 f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 故选 B 13.由题意可知切线斜率为 1,由导数定义知 f / (1) =1 14. ∵ f / ( x) =3 x 2 -3∴令 3 x 2 -3≤0 解得-1≤ x ≤1 15. ∵ y ? =6 x -4∴k= y ? │x=1=2∴直线方程为 y-2=2( x +1)即 2 x -y+4=0

16. ∵ f ( x) = x - x 3 ∴ f / ( x) =1-3 x 2 =0 得 x =

3 3 可知当 x = 时函数值为最大值,最 3 3

大值是

2 3 9

17. 解:由题意可知 f(0)=1,f(1)=-1, f ?(1) =1,.…………..6 分

? ?c ? 1 ?c ? 1 ? 5 ? ? ∴ ?4a ? 2b ? 1 解之得 ?a ? .………….11 分 2 ? a ? b ? c ? ?1 ? ? 9 ? b?? ? 2 ?
∴ f ( x) =

5 4 9 2 x ? x ? 1 .…………..12 分 2 2

18. 证明:∵y= a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1+ x2)x+a x1 x2.…………..3 分 ∴ y ? =2ax-a(x1+x2) .………….6 分 ∴k1= y ? │x=x1=a(x1-x2) k2= y ? │x=x2=a(x2-x1) .…………..9 分 设两切线与 x 轴所成锐角为θ 1 和θ 2 则 tanθ 1=│a(x1-x2)│=│a│(x2-x1)>0, tanθ 2=│a(x2-x1)│=│a│(x2-x1)>0………11 分 ∴tanθ 1= tanθ 2.…………..12 分 19. 解: f ( x) =3a x 2 +2bx+c,.…………3 分 ∵ f ( x) 在 x=±1 时取得极值∴x=±1 是 f ( x) =0 即 3a x +2bx+c=0 的两根………6 分 ∴?
/
2

/

?3a ? 2b ? c ? 0(1) ?3a ? 2b ? c ? 0(2)

∵f(1)= -1 ∴ a+b+c=-1(3)

1 3 , b=0,c= ? ………9 分 2 2 1 3 3 3 x ? x,∴ f / ( x) = (x –1) ∴ f ( x) = (x+1) 2 2 2
由(1) , (2) , (3)得 a=

当 x<-1 或 x>1 时, f / ( x) >0,当-1<x<1 时, f / ( x) <0 ∴ f ( x) 在(-∞,-1)及(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)是减函数………11 分 ∴当 x= -1 时函数取得极大值 f(-1)=1 当 x=1 时函数取得极小值 f(1)= -1………12 分 20. 解:(1)∵ f ?( x) =ax2-2ax+1……………………………...….1 分 ∴当 a=0 时, , f ?( x) =1>0,故结论成立………………………………2 分 当 a>0 时,[ f ?( x) ]min= f ?(1) =1-a≥0,∴a≤1 即 0<a≤1.…………..4 分 当 a<0 时, f ?( x) 在(0,+∞)上不恒大于或等于 0,故舍去.…………..5 分 综上得 a 的取值范围是 0≤a≤1. (2) 令 f ?( x) =ax2-2ax+1=0,由题知其二根为 x1,x2 且 x1+x2=2,x1x2= ∵1<

1 …………..7 分 a

x1 1 ≤5 ∴x1≤2-x2≤5x1 ∴ ≤x1<1 …………..9 分 3 x2
1 a


1 =-(x1-1)2+1…………..11 分 a 5 1 9 ∴ ≤ <1 ∴1<a≤ …………..12 分 9 a 5
∴x1(2-x2)= 21. 解: (1)由 f (? x) =- f ( x) (x∈R)得.d=0∴ f ( x) = ax3+cx , f ?( x) =ax2+c. …………2 分 由题设 f(1)=-2 为 f ( x) 的极值,必有 f ?(1) =0∴ ?

?a ? c ? 0 解得 a=1,c=-3 ?3a ? c ? 0

∴ f ?( x) =3x2-3=3(x-1)(x+1) 从而 f ?(1) = f ?(?1) =0. …………4 分 当 x∈(-∞,-1)时, f ?( x) >0 则 f ( x) 在(-∞,-1)上是增函数; …………5 分 在 x∈(-1,1)时, f ?( x) <0 则 f ( x) 在(-1,1)上是减函数…………6 分 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) >0 则 f ( x) 在(1,+∞)上是增函数…………7 分 ∴ f (?1) =2 为极大值. …………9 分
3 (2)由(1)知, f ( x) = x ? 3x 在[-1,1]上是减函数,且 f ( x) 在[-1,1]上的最大值 M= f (?1) =2,

在 [-1,1]上的最小值 m= f(2)=-2. …………12 分 对任意的 x1,x2∈(-1,1),恒有│ f ( x1 ) ? f ( x2 ) │<M-m=2-(-2)=4…………14 分.

22. 解: (1)设切去的正方形边长为 x ,则焊接成的盒子的底面边长为 4-2 x ,高为 x .所以

V1 =(4-2 x )2? x =4( x 3 -4 x 2 +4 x ),(0< x <2) ………5 分
∴ V1? =4(3 x 2 -8 x +4). ………6 分

2 2 )( x -2)又当 x < 时, V1? >0, 3 3 2 2 128 当 < x <2 时, V1? <0∴当 x = 时盒子容积最大,最大容积 V1 是 ………9 分 3 3 27
令 V1? =0 得 x1= ,x2=2(舍去)而 V1? =12( x - 方案:如下图 a,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图 b,将切下的 小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边;如图 c 再焊成盒子
3 1 1

2 3

1

1

4

2
2

2

1 2 3

图a

图b

图c

新焊成的盒子的容积 V2 为:3?2?1=6,显然 V2 > V1 故此方案符合要求。………14 分



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