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选修2-1 1.2.1 1.2.2充分条件必要条件充要条件


常用正面叙述词及它的否定.

正面词 语

等于 (?)

(? )

小于

(?)

大于



都是

否定词 语

不等于 不小于 不大于 (? ) (?) (? )

r />
不是 不都是

常用正面叙述词及它的否定.
至多有 至少有 正面词 语 至多有 n个 (? n ) 至少有 任意的 所有的

一个

一个

(? 1)

(? 1)

否定词 语

至少有 一个也

存在某 存在某 n+1个 没有 两个 个 个 (? n ? 1) (? 2) (? 0)

1、命题:可以判断真假的陈述句, 可写成:若p则q. 2、四种命题及相互关系:
原命题 若 p则 q

复 习

互 否 否命题 ?q ?p 则 若

互 逆 互 否 为 逆 逆 为 否 互 互 逆

逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 ?q 则 若 ?p

3、等价命题(对角线),互为逆否命题。同真同假
? 4、若命题“若p则q”为真,记作? p q(或 q p).

5、如果命题“若p则q”为假,则记作p ? q.

反证法: 1.否定结论

2.得到矛盾。必须从否定的结论出发。
3.肯定结论

用反证法证明:圆的两条 不是直径 的相交弦不能互相平分.
已知:如图,在⊙O中,弦 AB、CD交于P,且AB、CD 不是直径. 求证:弦AB、CD不被P平分.

A
C

O
P

D B

假设弦AB、CD被P平分,由于P 点一定不是圆心O,连接OP,根据垂径定理 的推论,有 OP⊥AB,OP⊥CD,
即过点P有两条直线与OP都 垂直,这与垂线性质矛盾. 所以,弦AB、CD不被P平分.

证明:

A
C

O
P

D B

探究新知一:充分条件,必要条件
一般地,“若p,则q”是真命题,我们就说由p可推出q, 记作 p ? q , 并且说p是q的充分条件, q是p的必要条件。

例如: x ? a2 ? b2 ? x ? 2ab
x ? a 2 ? b2是 x ? 2ab 的充分条件 2 2 x ? 2ab 是 x ? a ? b 的必要条件
两个角是相似三角形的对应角 ? 这两个角相等
两个角是相似三角形对应角是两个角相等的充分条件 两个角相等是两个角是相似三角形对应角的必要条件

运用新知
例1:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的 p是q 的充分条件?

?

?则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ( 1)若x ? 1, ?则 f ( x)为增函数 (2)若f ( x) ? x,
(3)若x为无理数,?则x 2为无理数
解: 命题 (1)(2) 是真命题,命题 (3) 是假命题。 所以,命题 (1)(2) 中的p是q的充分条件。 如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作
p ? q。此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必 要条件。

例2:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的

p?q

q是p的必要条件?

( 1)若x ? y, ? 则x 2 ? y 2 ; (3) 若a ? b? , 则ac ? bc.

?则这两个三角形的面积相等; (2)若两个三角形全等,
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题。 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件。 判断步骤: 找出p、q 判断“若p则q”的真假 下结论

能力提升
1、用集合的方法来判断下列哪个p是q充分条件, ? 哪个p是q的必要条件?
(1)p:菱形 ? q:正方形 (2)p: x>4 ? q: x>1 解:(1)由图1可知p是q的必要条件 (2)由图2可知p是q的充分条件
p:菱形 q:正方形 0 q 1 p B 4 A

?

图1

由小推大

图2

q 0 1

p B 4 A

设:A ? {x | x满足条件p} B ? {x | x满足条件q}

1)若A ? B且B ? A,则称p是q的充分不必要条件

课堂小结
1、知识收获: 若p ? q,则p是q的充分条件,q的一个充分条件是p 则q是p的必要条件,p的一个必要条件是q
2、方法收获 (1)判别步骤: 找出p、q (2)判别技巧 ①否定命题时举反例 ② 判断“p=>q”真假 下结论

?

探究新知二: 充要条件

一般地,如果既有p ? q, 又有q ? p, 就记作p ? q.此时,我们说,p是q的 充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p ? q, 那么p与q互为充要 条件.
注:1.“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 与 q 等价” 、 “ p 当且仅当 q ”等.

探究(三):判断充分条件、必要条件的方法 如何从原命题和逆 1、直接用定义判断 命题的真假性理解 上述四种关系?

若 p ? q ,且 q ? ? 要条件; 若 p ? q ,且 分条件; 若

p ,则p是q的充分不必

p? ? q,则p是q的必要不充 p

p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件
,则p是q的既不

? q ,且 q ? 若p ? ? 充分也不必要条件.

2、利用命题的四种形式进行判定 p是q的充分不必要条件, 原命题为真逆命题为假; p是q的必要不充分条件, 原命题为假逆命题为真; p是q的充要条件, 原命题、逆命题都为真; p是q的既不充分也不必要条件,

原命题、逆命题都为假.

3、利用集合的关系判定

设:A ? {x | x满足条件p} B ? {x | x满足条件q} 1)若A ? B且B ? A,则称p是q的充分不必要条件
2)若A ? B且B ? A,则称p是q的必要不充分条件
1) B 2) A A B

B 且 B A,则称p是q的既不充分也不必要条件 3)若 A?????????????????

4)若A ? B且B ? A,既A=B,则称p是q的充要条件
A B A =B

3 )

4 )

下列各题中,p是q的什么条件? (1)p : x 2 ? 3x ? 4, q : x ? 3x ? 4;

必要不充分条件

? 2 ? p : x ? 3 ? 0, q : ? x ? 3?? x ? 4 ? ? 0;
充分不必要条件
2 2 3 p : b ? 4 ac ? 0 a ? 0 , q : ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 有实根; ? ? ? ?

充要条件
2 4 p : x ? 1 是方程 ax ? bx ? c ? 0的一个根,q : a ? b ? c ? 0. ? ?

充要条件

2.已知p是q的必要而不充分条件, 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. 注、等价法(转化为逆否命题)
3.若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,
则A为C的( A )条件.

A.充要
C.充分不必要

B.必要不充分
D.不充分不必要

练习
1、已知p,q都是r的必要条件, s是r的充分条件,q是s的充 分条件,则 (1)s是q的什么条件? 充要条件 (2)r是q的什么条件? 充要条件 (3)P是q的什么条件?必要不充分条件 2.若A是B的必要而不充分条件,C是B 的充要条件,D是C的充分而不必要条 充分不必要条件 件,那么D是A的________

3.

p:整数a是6的倍数, q:整数a是2和3的倍数. p是q的什么条件? q又是p的什么条件?

1. 定义: p是q的什么条件,一共有四种情况; 2.判别步骤 ① 认清条件和结论; ② 考察p q和q :

p的真假.

3.判别技巧 ① 可先简化命题; ② 否定一个命题只要举出一个反例即可; :
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断.
④充要性包括:充分性p q和 必要性q p两个方面.

( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 过原点的充要条件是 a ? b ? r
求证:圆
2 2

2

练习
1、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6,则p是q的( B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”

是“x∈M∩N”的(B )
A.充要条件 B .必要不充分条件

C .充分不必要 D .不充分不必要 3、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是(
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2

A)

课堂练习 2 2. 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实数根是 ac ? 0 的_________ 必要不充分 条件.

? x ? y ? 4 ? x ? 2 必要不充分 3. ? 是? 的_________条件. ? xy ? 4 ?y ? 2

课堂练习: 1.在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:

充分不必要 ⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 条件; ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必要不充分 __________条件; ⑶如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 条件; 充要 ⑷如图④所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件.
既不充分也不必要

继续1

继续2

下列各题中,p是q的什么条件? (1)p : x 2 ? 3x ? 4, q : x ? 3x ? 4;

必要不充分条件

? 2 ? p : x ? 3 ? 0, q : ? x ? 3?? x ? 4 ? ? 0;
充分不必要条件
2 2 3 p : b ? 4 ac ? 0 a ? 0 , q : ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 有实根; ? ? ? ?

充要条件
2 4 p : x ? 1 是方程 ax ? bx ? c ? 0的一个根,q : a ? b ? c ? 0. ? ?

充要条件

例3:下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p : b ? 0,q : 函数f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c是偶函数; (2)p : x ? 0,y ? 0,q : xy ? 0; (3) p : a ? b,q : a ? c ? b ? c .
解 : 在(1)(3)中,p ? q,所以(1)(3)中的p是q的充要条件。在 (2)中,q ?? p,所以(2)中的p不是q的充要条件。
3.设p是q的充分不必要条件,则 ? p是? q 的 必要不充分 条件.

例4:已知: ⊙ O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d。 求证:d ? r是直线l与⊙ O相切的充要条件。

O

P

Q

补充练习 1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 必要而不充分 “a∈N”的____________________ 条件。 x>1 2.x>2的一个必要而不充分条件是_____________ 。

3.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”,

条件q:“直线l的斜率为-2”,则p是q的既不充分也不必要 _____________ 条件。 3 5? 4. ___________ “cos? ? ? ” 是 “ ? ? 2k? ? , k ? Z”的必要而不充分 2 6 条件。 5.设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s 充分 条件, 的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的_______ 充要 条件。 r是t的________

求证: 关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条
件是a+b+c=0。


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