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2007年广西高二数学竞赛初赛试卷及答案


2007 年广西高二数学竞赛初赛试卷
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知 x ? R, y ? R ? ,集合 A ? {x ? x ? 1,? x,? x ? 1}, B ? {? y,?
2

y , y ? 1} ,若 A=B,则 2
( )

x 2 ? y 2 的值是
A.

5 B.4 C.25 D.10

2. 已知 ? , ?满足csc(? ? 2? ) 、csc? 、csc(? ? 2 ? ) 构成公差不为 0 的等差数列, 则 的值为 A. ? 1 B. ? (

sin ? cos ?


2

C. ? 3

D. ? 2

3.过点 ( 2007,0) 的所有直线中,过两个有理点(纵坐标与横坐标都是有理数的点)的直 线条数是 A.0 条 ( D.有且仅有 1 条 )

B.无数条

C.至少 1 条

4.等比数列{an}中,首项 a1 ? 2007,公比 q ? ? n 的值为 A.9 5.关于 x、y 的方程 A.16
2

1 ,记 Tn 为它的前 n 项之积,则 Tn 最大时, 2
( ) D.13 ( )

B.11

C.12

1 1 1 1 ? ? ? 的正整数解(x,y)的个数为 x y xy 2007
B.24 C.32 D.48 y 1 O .
? ?

6.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的一部分如图,则 a 的取 值范围是 A. ? 1 ? a ? 0 B . a ? ?1 C. ? 1 ? a ? 0 D . a ? ?1 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.化简: arc cot 2 ? arctan ( )

1 ? 3

1

x
? ?

8.设△ABC 的三边长分别是 a、b、c,外心、垂心分别为 O、H。那么 OA ? OB ? OC ? OH = .

9. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? b 满足: (1)f (3) ? 3 ; (2) 对任何实数 x 都有 f ( x) ? x , 则 f ( x) 的解析式为
4 2 2

. .

10. k ? R ,方程 x ? 2kx ? k ? 2k ? 3 ? 0 的实数 x 的取值范围是

11.已知长方体的三条面对角线的长分别为 5,4,x,则 x 的取值范围为 . 12.记 a,b 的代数式为 f(a,b) ,它满足: (1)f(a,a)=a; (2)f(ka,kb)=kf(a,b) ; (3) f (a1 ? a2 , b1 ? b2 ) ? f (a1 , b1 ) ? f (a2 , b2 ) ; (4) f (a, b) ? f (b, 则 f (a, b) ? .

a?b ), 2

三、 (20 分)四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAC=80°,∠DBC=40°,∠DCB=30°,求证: AD∥BC。 D A

B

C

四、 (20 分)已知数列{an} 数,求 n。

通项 an=n,其前 n 项和为 Sn,若 Sn 为完全平方

五、 (20 分)已知函数 f ( x ) ? ?

1 2 x ? x ,若 f ( x) 的定义域为[m,n](m<n)时,值域为 2

[km,kn](k>1) ,求 m、n、k 所满足的条件。

参考答案
一、选择题 1.A 由 x 2 ? x ? 1 ? 0, x 2 ? x ? 1 ? ? x 及集合元素的互异性,知 x ? x ? 1 ? ? x ? ? x ? 1 ,
2

又 y ? R ? ,知 y ? 1 ? ?

y ? ? y ,因此由 A=B,必有 2

?x 2 ? x ? 1 ? y ? 1 ? y ? 2 2 解得 x ? 1, y ? 2. 故 x ? y ? 5 ? ?x?? 2 ? ? x ? 1 ? ? y ? ?
2.B 由已知有

2 1 1 ? ? , sin ? sin(? ? 2 ? ) sin(? ? 2 ? )

? ? 2? ) ? sin(? ? 2? )]sin ? , 故 2 sin(? ? 2? ) ? sin(? ? 2? ) ? [sin(
即 2 sin(? ? 2? ) ? sin(? ? 2? ) ? 2 sin
2

? ? cos2? ,

? cos4? ? cos2? ? 2 sin 2 ? ? cos2? ? cos2 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2? ? sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? sin 2 ? ,
即 sin 2? ? 2 sin
2 2

i s ? ?0, 若n 则原等差数列的公差等于 0, 故 sin ? ? 0 , ? ? sin 2 ? ,

有 2 cos2

? ? sin 2 ? ,于是

sin ? ?? 2 cos ?

3.D 显然直线 x ?

2007 上不存在有理点。假设斜率为 k 的直线 y ? k ( x ? 2007) 上存
y 2 ? y1 必为有理数。由 x2 ? x1

在 两 个 不 同 的 有 理 点 ( x1 , y1 )和( x2 , y 2 ) 。 若 k ? 0, 则k ?

y1 ? k ( x1 ? 2 0 0 7 ) 可得 x1 ?

y1 ? 2007,此时等式左边是有理数而右边是无理数, k

矛盾。另外当 k=0 时,对应的直线为 OX 轴,所以满足条件的直线有且仅有 1 条。

4.C

由已知得 Tn ? a1a2 a3 ? ? ? ? ? ?an ? a1 q1?2?3?????( n?1) ? a1 q
n n

n ( n ?1) 2

,因此, Tn 最大时,

n( n ? 1) 2 0 0 7 为偶数, 于是 n ? 11 ; 其次 T9 ? 0 , 而 a10 a11 a12 ? ( 2 1 0 2 4 2007 而 a13 ? 12 ? 1 ,故 T12 ? T13 ,即 T12 最大。 2
5.D.由

) 3 ? 1, 所以 T12 ? T9 ,

1 1 1 1 得 xy ? 2007x ? 2007y ? 2007 ? 0 ,整理得 ? ? ? x y xy 2007

( x ? 2007 )( y ? 2007 ) ? 2007? 2008? 23 ? 32 ? 223? 251,从而,原方程的正整数解
有 (3 ? 1)(2 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1) ? 48 (组) 6.C 由图象可知 a<0 且过点(0,1)和(1,0),由二次函数的对称性知,当 x=-1 时 y>0,于是高

y ? a( x ? 1)(x ? k )(k ? 0) , 即 y ? ax2 ? a(k ? 1) x ? ak . 将 (0,1) 代 入 得 ak ? ?1 ; 将 x ? ?1, y ? 0 代入得 a ? (1 ? a) ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 ,所以 ? 1 ? a ? 0
二、填空题 7.答:

? 。利用反三角求值或构造三个正方形也可求解。 4
?

A D O B H C
?

8.答: 0 。如图,作直径 BD,因 AD⊥AB, ∴AD∥CH。同理 AH∥CD 于是四边形 AHCD 是平行四边形。
? ? ? ? ? ? ? ? ?

所以 OH ? OA? AH ? OA? DC ? OA? (OC? OD) ? OA? OB? OC ∴ OA ? OB ? OC ? OH ? 0 。 也可根据特殊值法,令△ABC 为等边三角形得答案。 9.答: x ? 5x ? 9 ,解:令 g ( x) ? f ( x) ? x ,则由已知得 g (3) ? f (3) ? 3 ? 0, g ( x) ? 0 ,
2
? ? ? ? ?

?

? g ( x) ? ( x ? 3) 2 .? f ( x) ? g ( x) ? x ? x 2 ? 5x ? 9 。
10. 答:? 2 ? x ?
2 2 4 2。 解: 把原方程化为关于 k 的方程为:k ? 2(1 ? x )k ? x ? 3 ? 0 ,

2 2 4 ∵ k ? R ,∴△≥0,即 4(1 ? x ) ? 4( x ? 3) ? 0 ,解得 ? 2 ? x ?

2

11.答: 3 ? x ?

41。解:如图,设 AD=a,AB=b, A1 A ? c ,则有
D1 B1 A1 c a D B1 C C1 B1

?a 2 ? c 2 ? 4 2 从而, x ? a 2 ? b 2 ? 42 ? 52 ? 2c 2 , ? 2 2 2 ?b ? c ? 5
故 3? x ?

41.

1 2 12.答: a ? b 。解:由题设得 f (a,0) ? f (0, a) ? f (a, a) ? a ; A b B 3 3 a 1 2 2 f (a,0) ? f (0, ) ? f (0, a) ; 相 减 得 f (0, a) ? a,? f (0, b) ? b , 从 而 2 2 3 3

f ( a ,0 ) ?

1 a ,则 f (a, b) ? f (a,0) ? f (0, b) ? 1 a ? 2 b . 3 3 3

三、 (20 分)证明:作正△ACE,连接 BE,∵∠ABC=∠BAC,∴CA=CB=CE,即点 C 是△ ABE 的外心, A D ∴ ?BAE ?

1 ?BCE ? 20 ? , 2

∴ ?BCE ? 40? ? ?DBC,? BD // CE

B

C

1 ?ACE ? 10 ? ? ?DCA , 2 ∴ ?BEC ? ?DCE ,即 BECD 是等腰梯形,∴BE=CD, ∴ ?AEB ? ?ACD
又∵ ?BEA ?

E

∴AB=AD,∠DAC=∠BAE=20°,即∠BAD=80°+20°=100°, ∴∠ADB=∠ABD=40°=∠DBC。 (或∠DAB+∠ABC=180°) ∴AD∥BC 四、 (20 分)解:依题意得: S n ?
2

n(n ? 1) ? y 2 ,即 (2n ? 1) 2 ? 8 y 2 ? 1(n, y ? N ? ). 2
2

于是,问题转化为求方程 x ? 8 y ? 1的整数解, 显然, (3,1)是方程 x ? 8 y ? 1的一组整数解。
2 2

∵ x 2 ? 8 y 2 ? ( x ? 8 y)(x ? 8 y) 于是构造 x ? 8 y ? (3 ? 8) m , m ? N ? , 则x ? 8 y ? (3 ? 8) m , ∴x ?

1 1 [( 3 ? 8 ) m ? (3 ? 8 ) m ], 即2n ? 1 ? [( 3 ? 8 ) m ? (3 ? 8 ) m ] , 2 2

所以 n ?

1 [(1 ? 2 ) 2 m ? ( 2 ? 1) 2 m ? 2], m ? N ? . 4

另外:问题转化为求贝尔方程 x 2 ? 8 y 2 ? 1的整数解, 于是构造 x ? 8 y ? (3 ? 8) m , m ? N ? , 则x ? 8 y ? (3 ? 8) m ,

1 1 [( 3 ? 8 ) m ? (3 ? 8 ) m ], 即2n ? 1 ? [( 3 ? 8 ) m ? (3 ? 8 ) m ] , 2 2 1 2m 2m ? 所以 n ? [(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 1) ? 2], m ? N 4 1 2 1 1 1 2 五、 (20 分)解:由 f ( x) ? ? x ? x ? ? ( x ? 1) ? ? , 2 2 2 2 1 知[km,kn] ? ( ?? , ] . 2 1 1 1 ?1 故 knm ? ,即 n ? ,因为 k>1,所以 2 2k 2k
∴x ? 从而, f ( x) 在[m,n]上为增函数,于是,有

1 ? 1 2 ? ?? 2 m ? m ? km ?m ? 0或 ? 2 m ? 1 ? k 即? 解得 ? 1 1 ? ? n 2 ? n ? kn ? n ? 0或 ? n ? 1 ? k 2 ? 2 ? 1 又因为 m<n,且 k>1,则有 ? m ? 1 ? k , 且n ? 0 2

? f (m) ? km ? ? f (n) ? kn

故 m ? 2(1 ? k ), n ? 0 为所求. 2 0 0 8 0 8 0 8

2 0 0 8 0 8 0 8

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