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第二讲:化归


第二讲

化归方法

一、化归方法的含义 所谓“化归” ,可以理解为转化和归结的意思。数学方法论中的化归方法是 指:将一个问题进行变换,使其归结为另一个已能(或已经)解决的问题,最终 获得问题的解的一种求解问题的手段和方法。或简单地说,化归就是问题的规范 化、模式化。 其解决问题的思维方式是“转化”或“再转化” ,解题过程可用下列框图来 表

述:
待解决或 未解决的问题 转化 问题* 再转化直至 归纳为 已经能解决或 可以解决的问题**

1.
问题解答 解答*

化归的方 向 解答** 一

般是:由未知到已知,由难到易,由繁到简,由暗到明。 2.化归方法遵循的基本原则主要有: 熟悉化原则, 简约化原则, 具体化原则, 正难则反原则。 3.化归方法包括三个要素: 化归对象:即把什么东西进行化归; 化归目标:即化归到何处去; 化归途径:即如何进行化归。 4、化归方法的分类 (1)按照化归方法应用的范围来分,有外部的化归方法(即将实际问题转化 为数学问题) 与内部的化归方法 (即将某一类数学问题转化为另一类数学问题) 。 从数学研究的角度看, 应用数学问题大多来源于数学外部,纯数学问题大多来源 于数学内部。 (2)按照化归方法解决问题的性质来分,有计算的化归方法,论证的化归方 法,建立新科学体系的化归方法等。 (3)按照化归方法应用的广度来分,有: 多维化归方法 (指跨越多种数学分支,广泛适用于各学科体系的化归方法) ; 二维化归方法(指能沟通两个不同数学分支的化归方法,如解析法等) ; 广义化归方法(指超出数学学科范围的化归方法,如 MM 方法等) 。 有位数学教育工作者提出了这样一个问题: “假设在你面前有煤气灶、水龙 头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,某人回答说: “在壶中 倒上水,点燃煤气,再把壶放到煤气灶上。 ”提问者肯定了这一回答;但是,他 又追问道: “如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够多的水,那 你又应当怎样去做?”这时被提问者往往会很有信心地说: “点燃煤气,再把水 壶放到煤气灶上。 ”但是,提问者指出,他对这样的回答并不满意,因为, “只有 物理学家才会这样做, 而数学家们则会倒掉壶中的水,并声称把后一问题化归为 前面所说的问题了。 ”

例 1: 解方程5 x ? 3 ? 7 x ? 2 上述一元一次方程的教学中体现了化归思想方法。因为 x=a 既可以看作方 程的解也可以看作一个最简形式的方程, 使学生明确最简方程是解一元一次方程 的化归目标, 解方程的过程是首先寻找所给方程与目标的差异,然后设法消除差 异,直至达到化归目标,即化为最简方程,化归的具体做法是去分母。去括号、 移项、合并同类项等。 例 2:解方程组:2x+3y=-5;4x-9y=2. 在解二元一次方程组时化归方法进一步得到应用,它的思路是:将二元一次 方程化归为了一元一次方程, 而化归的方法则是代人消元法,解二元一次方程组 的关键是消元,代人法只是使其化归为一元一次方程的手段。 二、化归方法的基本原则 为了更好地实现有效的化归,在化归过程中应遵循以下几个原则: 1、简单化原则 简单化原则是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构,通过化归,将其变 为比较简单的形式、关系结构,或者通过问题的简单化,获得解决复杂问题的思 路。

1 1 1 例4 化简: ? ? ? 。(解略) 1? 2 2 ? 3 (n ? 1 ) ?n 1 1 1 1 练习 化简: ? ? ? ? 。 1? 3 2 ? 4 3 ? 4 n( ? n ? 2)
2、熟悉化原则 熟 悉化原 例5 求解方程: x ? 2x ? 24x ? 80x ? 64 ? 0 (解略) . 则是指 将原问题中的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。
4 3 2

例6 已知 a ? -3,解下列方程 x 4 ? 6 x3 ? 2(a ? 3) x2 ? 2(3a ? 4) x ? 2a ? a 2 ? 0.(解略)
分 析:分解因式。

分析:分解因式或动静互换(即常变量互换) 。 3、和谐化原则 和谐化是数学内在美的主要内容之一。 美与真在数学命题和数学解题中一般 是统一的。 因此, 我们在解题过程中, 可根据数学问题的条件或结论以及数、 式、 形等的结构特征,利用和谐美去思考问题,获得解题信息,从而确立解题的总体 思路,达到以美启真的作用。

分析: 这是一个物理问题。用数学的眼光来考虑不会满足于“是上升或下 沉”的定性的描述,而是渴望有定量的分析,即在倾入水前后两种情况下,计算

例7 设x, y, z均为实数,且x ? y ? z ? x ? y ? z, 求证: 2x 2y 2z 8 xyz ? ? ? 1 ? x2 1 ? y 2 1 ? z 2 (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 )
球在水银平面之上的那部分体积占整球体积的比例。 我们不排除定性的直观想像,因为这对理解问题会有好处。不妨想像在水银 上包围铁球上部的液体连续地改变其密度,从空气---水---铁的密度,球必上升完 全超出水银,如果密度继续增加,球就会从想像的液体中浮出来。由此可见,当 覆盖球的物质从空气逐渐变为水的时候,球将上升。 将数学问题转化为代数问题,求解(略) 。 分析:观察题目的条件和结论都呈现出和谐性:三项之和等于三项之积。这 种和谐特征给了我们一个解题信息:可否利用已知等式: tanA 十 tanB+tanC=tanA·tanB·tanC. 其中 A+B+C=k (k 为整数),来解决问题呢? 进一步观察结论中式子特征,发现只要令 x=tanA,y=tanB,z=tanC,由已知条件得(运用化归原则)以解决 此数学问题 。 4、正难则反原则 在数学解题时,人们思考的习惯大多是正面的,顺向的,可是,有些数学问 题如果正面的、顺向进行,则难以解决,这时就应转为反面的、逆向思考,这就 是正难则反策略.这种策略提醒我们,顺向推导有困难时就逆向推导,正面求解 有困难时就反面求解, 直接求解不奏效时就间接进行,肯定命题有困难时就转而 举反例加以否定. 这种逆反转换式思维实际上是一种逆向思维,体现了思维的灵 活性,也反映着数学问题因果关系的辨证统一。 如,例 6 的方法二,几何中常用的同一性、反证法,计数问题中的补集法, 分析法等的应用,都是运用了正难则反的思想。 三、化归的途径 1、分解与组合 分解与组合是实现化归的重要途径。所谓分解,就是把一个复杂的问题分成 例3 一个铁球浮在水银上, 并覆盖铁球,这时,铁 球相 若 干 对于水银面将下沉?上 升?还是保持在同样的 深度上? 个 较 简单或较熟悉的问题,从而使原问题得以解决。诚然,在许多情况下, “分解” 并不能单独解决问题,为了使化归过程完全实现,还要结合“组合” ,即把所给

出的问题与有关的其他问题作综合的研究,使原问题得以解决。分解与组合是相 辅相成的,也是和谐统一的。 分解与组合模式可用框图表示:

例9 在三棱锥中有一条棱长为6,其余各棱长 均为5,求这三棱锥的体积。

分析 观察方程左边为代数函数及三角函数的复合函数,右边为指数函数, 因此,直接求解是相当困难的。根据三角函数和指数函数的性质,对这个问题按 条件进行分解: 左边不大于 2,右边不小于 2,得解是 x=0。 分析:你试试作个图?边长为 6 的边放哪? 2、恒等变形 即就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方、因式 分解等恒等变换,都起到将复杂(难、未知)的问题化归为简单(易、已知)问 题的作用。

分析 根据已知条件,所给条件与边的平方有关,而所求的是角的大小。因 此,可考虑用余弦定理解决。将已知等式的左边配方变形得:

待处理的问题

分解

问题 1,问题 2,…

解 答

合成

解答 1,解答 2 ,…

例8 求解方程2 cos

2

x2 ? x ? 2 x ? 2? x. 5

利用恒等变换,常常可将超越方程化成代数方程,无理方程化成有理方程, 分式方程化成整式方程,高次方程化成低次方程。 综上所述, 化归在数学中是一个非常基本的思想方法,它有着十分广泛的应 用。不仅许多重要数学方法都属于“化归”的范畴,而且许多重要的数学思想和 研究策略也可用化归的思想来概括。如几何中空间向平面、曲线向直线的转化; 代数中超越式向代数式、高次向低次的转化;分析中无限向有限、多元向一元的 转化以及具体与抽象、变与不变的转化和变更问题方法等等。 四、化归方法在教学中的应用 数学思想方法是数学的重要基础,也是数学教学的重要内容。现代数学教育 理论认为: 数学教育目的不仅是传授知识,更重要的是培养能力和发展学生的思 维;考察一个人的数学文化素养,主要表现在用数学思想去观察、分析,处理现 实中的数学问题。 因此, 加强数学中最基本的思想方法——化归方法的教学是非 常必要的。 化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面:

例10 在?ABC中,已知三边的关系为 : a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) 求证:?C ?

?
4



3? . 4

1) 、利用化归方法学习新知识 数学中许多概念的形成过程或数学的定义,就是渗透着化归的思想方法。

( a 2 ? b 2 ) 2 ? 2a 2b 2 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ), 再次配方、开平方,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 即 2ab a 2 ? b2 ? c2 2 ? 3? ?? , ? ?C ? 或 . 2ab 2 4 4

比如,有理数的定义(引进)是建立在算术数的基础上的,有理数运算法则 和大小比较的确定, 其基本思想是将其化归为算术数的运算和大小比较,它是借 助绝对值来实现有理数向算术数转化的。 同样, 实数的引进以及运算法则和大小比较的确定,又是建立在有理数运算 和大小比较的基础上的,它是借助极限来实现这种转化的。 2) 、利用化归方法指导解题 化归方法主要是作为一种解决问题(而不是发现问题)的方法。化归在解题 过程中应遵循的四个原则(熟悉化原则,简约化原则,具体化原则,正难则反原 则) ,在解题中具有思维导向的功能。 解题过程是培养学生化归思想方法的一个方面,教学中,既要教会学生一些 常用的化归方法, 更要使学生掌握蕴含于具体方法中的化归策略思想,把待解决 的问题置于动态之中,以变化、发展、联系的观点去观察、分析问题,着意对问 题进行转化,使它归结为易于解决的问题。 3) 、利用化归原则理清知识结构

运用化归思想方法可将零星纷乱的知识编织成一张有序的主次分明的知识 网络,做到易懂、易记、易用。 例如,在学习初中代数知识的时候,利用化归方法,借助于绝对值概念,可 将有理数运算化归为算术数运算,这样,有理数内容就很容易掌握了。 又如,用字母代替数则产生代数式。由于字母在代数式中的位置不同,从而 可得到不同的代数式,根号内含字母的为无理式,根号内不含字母的为有理式, 分母中不含字母的有理式为整式,分母中含字母的有理式为分式。整式、分式、 无理式都可以应用化归方法通过已学过的简单知识去掌握。 利用同类项概念,整式运算可化为有理数运算;分式通过通分、约分可化为 整式运算;无理式再化为最简式时,可化归为有理式运算。 再如, 用等号连接两个代数式就得到方程,若用不等号连接两个代数式就得 到不等式。而方程、不等式的求解过程仍是通过移项法则和运用等式、不等式性 质,将它们化归为式的运算。由于用等号连接的代数式有整式、分式、无理 式,所以也就得到了整式方程、分式方程、无理式方程。逆转上述的化归过程, 就得到如下图所示的有关数、式方程的知识结构图。

思考题: 1、演绎推理是以一个一般性判断(或再加上一个特殊的判断)为前提,推出一 个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法,即一般到特殊的推理方法。 2、所谓“化归” ,可以理解为转化和归结的意思。 3、化归方法包括三个要素:化归对象、化归目标和化归途径。 4、化归方法的基本原则:简单化原则;熟悉化原则;和谐化原则;正难则反原 则。 5、化归的途径:分解与组合;恒等变形。

整式 有理式 有理数 用字母代替数 代数式 无理式 一元一次方程 一元二次方程 可化为一元二次的方程 二元一次方程组 三元一次方程组 二元二次方程组 分式

等号连接 方 程

方 程

方程组 一元一次不等式 一元二次不等式 二元一次不等式组

不等式 不等号连接


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