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2014江西卷(理科数学)精准解析


2014·江西卷(理科数学) 1.[2014· 江西卷] 是 z 的共轭复数,若 z+=2,(z-)i=2(i 为虚数单位),则 z=(

)

A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i 1.D [解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以 2a=2,-2b=2,得 a=1,b=-1,故 z=1-i. 2.[201

4· 江西卷] 函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( ) A.(0,1] B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 2.C [解析] 由 x2-x>0,得 x>1 或 x<0. 3.[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若 f[g(1)]=1,则 a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1 - 3.A [解析] g(1)=a-1,由 f[g(1)]=1,得 5|a 1|=1,所以|a-1|=0,故 a=1. π 4.[2014· 江西卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 3 的面积是( ) 3 2 3 C. 3 2 D.3 3 9 A.3 B.

a2+b2-c2 2ab-6 1 1 3 3 4.C [解析] 由余弦定理得,cos C= = = ,所以 ab=6,所以 S△ABC= absin C= . 2ab 2ab 2 2 2 5.[2014· 江西卷] 一几何体的直观图如图 11 所示,下列给出的四个俯视图中正确的是( )

图 11

A

B

C

D

图 12 5.B [解析] 易知该几何体的俯视图为选项 B 中的图形. 6.[2014· 江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查 52 名 中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1 表2 成绩 性别 男 女 总计 不及格 6 10 16 及格 14 22 36 总计 20 32 52

视力 性别 男 女 总计

好 4 12 16

差 16 20 36

总计 20 32 52

表3

表4 智商 性别 男 女 总计 偏高 8 8 16 正常 12 24 36 总计 20 32 52

阅读量 性别 男 女 总计

丰富 14 2 16

不丰 富 6 30 36

总计 20 32 52

A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 6.D [解析] 根据独立性检验计算可知,阅读量与性别有关联的可能性较大. 7.[2014· 江西卷] 阅读如图 13 所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

)

图 13 A.7 B.9 C.10 D.11 7.B [解析] 由程序框图可知,运算过程如下表: S 赋初值 开始 0 1 S=0+lg = 3 -lg 3>-1 3 S=-lg 3+lg = 5 -lg 5>-1 S=-lg 5+lg =-lg 7>-1 7 S=-lg 7+lg = 9 -lg 9>-1 9 S=-lg 9+lg = 11 -lg 11<-1 8.[2014· 江西卷] 若 f(x)=x +2? f(x)dx,则?1f(x)dx=( ? ?
0 0 2 1

S<-1

i 1

输出



3



5

5 7



7



9

是 )

9

1 A.-1 B.- 3

1 C. D.1 3 x2+2?1f(x)dx?

8.B [解析] ?1f(x)dx=?1? ? ??
0 0

?0

1 1 f(x)dx? ?1 1 ?1x3+?2? 1 d x = f(x)dx,得?1f(x)dx=- . ? ? 0 ?x?0=3+2? ? ?3 3 ? ? 0 0

9.[2014· 江西卷] 在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( )

4 A. π 5

3 B. π 4 5 D. π 4

C.(6-2 5)π

9.A [解析] 由题意知,圆 C 必过点 O(0,0),故要使圆 C 的面积最小, 则点 O 到直线 l 的距离为圆 C 的 4 2 4 直径,即 2r= ,所以 r= ,所以 S= π . 5 5 5

图 14 10.[2014· 江西卷] 如图 14 所示,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点 A 射向点 E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第 i-1 次到第 i 次反射点之间的线段记 为 Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段 L1,L2,L3,L4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )

A

B

C

D

图 15 10.C [解析] 由题意,L1=AE=13. 易知点 E 在底面 ABCD 上的投影为 F(4,3,0),根据光的反射原理知,直线 AE 和从点 E 射向点 E1 的直线 E1E 关于 EF 对称,因此 E1(8,6,0),且 L2=L1=13. 此时, 直线 EE1 和从点 E1 射出所得的直线 E1E2 关于过点 E1(8, 6, 0)和底面 ABCD 垂直的直线对称, 得 E′2(12, 13 9,12).因为 12>11,9>7,所以这次射出的点应在面 CDD1C1 上,设为 E2,求得 L3=E1E2= ,L3<L2=L1.最后 3 26 一次,从点 E2 射出,落在平面 A1B1C1D1 上,求得 L4= >L3.故选 C. 3 11.[2014· 江西卷] (1)(不等式选做题)对任意 x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [2014· 江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系,则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) π 1 A.ρ = ,0≤θ≤ 2 cos θ +sin θ π 1 B.ρ = ,0≤θ≤ 4 cos θ +sin θ π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ≤ 2

π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ≤ 4 11.(1)C [解析] 易知|x-1|+|x|≥1,当且仅当 0≤x≤1 时等号成立;|y-1|+|y+1|≥2, 当且仅当-1≤y≤1 时等号成立. 故|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3. (2)A 1 [解析] 依题意,方程 y=1-x 的极坐标方程为 ρ(cos θ +sin θ )=1,整理得 ρ= .因为 cos θ +sin θ

π 0≤x≤1,所以 0≤y≤1,结合图形可知,0≤θ ≤ . 2 12. [2014· 江西卷] 10 件产品中有 7 件正品、 3 件次品, 从中任取 4 件, 则恰好取到 1 件次品的概率是________. 1 12. 2
3 C1 1 3C7 [解析] 由超几何分布的概率公式可得 P(恰好取到一件次品)= 4 = . C10 2


13.[2014· 江西卷] 若曲线 y=e x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是________. - 13.(-ln 2,2) [解析] 设点 P 的坐标为(x0,y0),y′=-e x.又切线平行于直线 2x+y+1=0,所以-e- x0=-2,可得 x0=-ln 2,此时 y=2,所以点 P 的坐标为(-ln 2,2). 1 14.[2014· 江西卷] 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α = ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角 3 为 β,则 cos β =________. 2 14. 2 3 a·b (3e1-2e2)· (3e1-e2) [解析] cos β = = = |a||b| |3e1-2e2||3e1-e2|
2 9e1 -9e1e2+2e2 2 2 2 2 9e2 1-12e1·e2+4e2 9e1-6e1·e2+e2



1 9-9× +2 3 8 = 1 1 3×2 9-12× +4· 9-6× +1 3 3

2

2 =

2 3

.

1 x2 y2 15.[2014· 江西卷] 过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是 2 a b 线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. 2 15. 2

?a +b =1, [解析] 设点 A(x , y ), 点 B(x , y ), 点 M 是线段 AB 的中点, 所以 x +x =2, y +y =2, 且? x y ?a +b =1,
2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2

x2 1

y2 1

2 x2 1-x2 两式作差可得 2 = a 2 -(y2 (x1+x2)(x1-x2) -(y1+y2)(y1-y2) y1-y2 b2 1-y2) ,即 = ,所以 =- 2, 2 2 2 b a b a x1-x2

b2 1 b2 1 即 kAB=- 2.由题意可知,直线 AB 的斜率为- ,所以- 2=- ,即 a= 2b.又 a2=b2+c2, a 2 a 2 所以 c=b,e= 2 . 2

π π 16. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+acos(x+2θ),其中 a∈R,θ ∈?- , ?. ? 2 2? π (1)当 a= 2,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4 π (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2? π π 16.解:(1)f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ?= ? 4? ? 2?

π 2 2 2 (sin x+cos x)- 2sin x= cos x- sin x=sin? -x?. 2 2 2 ?4 ? π 3π π 因为 x∈[0,π ],所以 -x∈?- , ?, 4 4? ? 4 故 f(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2 ,最小值为-1. 2

π ? ? ?f? ?=0, ?cos θ (1-2asin θ )=0, ? (2)由? 2 ? 得? 2 ?2asin θ -sin θ -a=1. ? ? ?f(π )=1, π π 又 θ∈?- , ?,知 cos θ ≠0, ? 2 2?
?1-2asin θ =0, ? 所以? ? ?(2asin θ -1)sin θ -a=1,

a=-1, ? ? 解得? π ? ?θ=- 6 . 17. 、 、[2014· 江西卷] 已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的前 n 项和 Sn.


an+1 an 17.解:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以 - =2,即 cn+1-cn=2, bn+1 bn 所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列,故 cn=2n-1. - - - (2)由 bn=3n 1, 知 an=(2n-1)3n 1, 于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1×30+3×31+5×32+?+(2n-1)×3n 1, - - 3Sn=1×31+3×32+?+(2n-3)×3n 1+(2n-1)×3n,将两式相减得-2Sn=1+2×(31+32+?+3n 1)-(2n-1) ×3n=-2-(2n-2)×3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; 1? (2)若 f(x)在区间? ?0,3?上单调递增,求 b 的取值范围. -5x(x+2) 18.解:(1)当 b=4 时,f′(x)= ,由 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=0. 1-2x 1 0, ?时, 所以当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x∈? ? 2? f′(x)<0,f(x)单调递减,故 f(x)在 x=-2 处取得极小值 f(-2)=0,在 x=0 处取得极大值 f(0)=4. -x[5x+(3b-2)] 1 -x 0, ?时, (2)f′(x)= ,易知当 x∈? <0, 3 ? ? 1-2x 1-2x 1? 5 1 依题意当 x∈? ?0,3?时,有 5x+(3b-2)≤0,从而3+(3b-2)≤0,得 b≤9. 1? 所以 b 的取值范围为? ?-∞,9?. 19. 、 、[2014· 江西卷] 如图 16,四棱锥 P ABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD.

图 16

(1)求证:AB⊥PD. (2)若∠BPC=90°,PB= 2,PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P ABCD 的体积最大?并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值. 19.解:(1)证明:因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 AB⊥平面 PAD,故 AB⊥PD. (2)过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O,过 O 作 BC 的垂线,垂足为 G,连接 PG. 故 PO⊥平面 ABCD,BC⊥平面 POG,BC⊥PG. 2 在 Rt△BPC 中,PG= 3 3 2 ,GC= 6 3 ,BG= 6 . 3

设 AB=m,则 OP= PG2-OG2= 1 V= × 6·m· 3

4 -m2,故四棱锥 P ABCD 的体积为 3

4 m -m2= 8-6m2. 3 3

因为 m 8-6m2= 8m2-6m4= 2 2 8 m2- ? + , -6? 3? 3 ? 所以当 m= 6 6 ,即 AB= 时,四棱锥 P ABCD 的体积最大. 3 3

此时, 建立如图所示的空间直角坐标系, 各点的坐标分别为 O(0, 0, 0), B?

6 6 ? ? 6 2 6 ? , C , ? 3 ,- 3 ,0? ? 3 , 3 ,0?

2 6 ? 6? 6 2 6 6? 6 ? D?0, ,故=? , ,=(0, 6,0),CD=?- ,0,0?. ,0 ,P 0,0, ,- 3 3? 3 3? ? ? ? ?3 ? 3 ? 设平面 BPC 的一个法向量为 n1=(x,y,1), 6 2 6 6 ? ? x+ y- =0, 3 3 3 则由 n1⊥,n1⊥,得? 解得 x=1,y=0,则 n1=(1,0,1).

? ? 6y=0,

1 ? 同理可求出平面 DPC 的一个法向量为 n2=? ?0,2,1?. |n1·n2| 设平面 BPC 与平面 DPC 的夹角为 θ,则 cos θ = = |n1||n2| 1 2· 10 = . 5 1 +1 4

x2 20. [2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条 a 渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x 3 (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.证明: a 2 |MF| 当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c 1 1 ,- ?. 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? 2a? ?2 a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? -?-2a? a c 3 ? ? 则 A?c,a?,所以 kAB= = . c a c- 2 3 ? 1? x2 2 2 - 又因为 AB⊥OB,所以 ·? a?=-1,解得 a =3,故双曲线 C 的方程为 -y =1. a 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 3 x -3 2x0-3? 3 3 2 0 ? 因为直线 AF 的方程为 x=2, 所以直线 l 与 AF 的交点为 M 2, , 直线 l 与直线 x= 的交点为 N , , 2 2 3y0 3y0 ? ? (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF|2 则 = 2= 2 2= |NF| ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 (2x0-3)2 4 · 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ,所以 = = ,为定值. 2= · 2 2= · 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3 21. 、 、[2014· 江西卷] 随机将 1,2,?,2n(n∈N*,n≥2)这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数.A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B 组最小数为 b1,最大数为 b2.记 ξ=a2-a1,η=b2-b1. (1)当 n=3 时,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件“ξ 与 η 的取值恰好相等” ,求事件 C 发生的概率 P(C); (3)对(2)中的事件 C,表示 C 的对立事件,判断 P(C)和 P()的大小关系,并说明理由. 21.解:(1)当 n=3 时,ξ 的所有可能取值为 2,3,4,5. 3 将 6 个正整数平均分成 A,B 两组,不同的分组方法共有 C6 =20(种),所以 ξ 的分布列为:

ξ P

2 1 5

3 3 10

4 3 10

5 1 5

1 3 3 1 7 Eξ =2× +3× +4× +5× = . 5 10 10 5 2 (2)ξ 和 η 恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,?,2n-2. 又 ξ 和 η 恰好相等且等于 n-1 时,不同的分组方法有 2 种; ξ 和 η 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种; ξ 和 η 恰好相等且等于 n+k(k=1,2,?,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有 2Ck 2k种. 4 2 所以当 n=2 时,P(C)= = , 6 3
k ? 2? ?2+∑k=1C2k? 当 n≥3 时,P(C)= . Cn 2n n-2

1 (3)由(2)得,当 n=2 时,P(C)= ,因此 P(C)>P(C).而当 n≥3 时,P(C)<P(C). 3 理由如下:
n-2

P(C)<P(C)等价于 4(2+∑

k=1

n Ck 2k)<C2n,①

用数学归纳法来证明: 3 (i)当 n=3 时,①式左边=4(2+C1 2)=4(2+2)=16,①式右边=C6=20,所以①式成立. (ii)假设 n=m(m≥3)时①式成立,即 4? ?2+∑
m-2 k=1

? m Ck 2k?<C2m成立,
m+1-2 k=1

那么,当 n=m+1 时, 左边=4? ?2+∑
2

? ? Ck 2k?=4?2+∑

m-2 k=1

m 1 m m 1 ? Ck 2k?+4C2(m-1)<C2m+4C2(m-1)=
- -

(2m)! 4·(2m-2)! + m!m! (m-1)!(m-1)!



(m+1) (2m)(2m-2)!(4m-1) < (m+1)!(m+1)! (m+1)2(2m)(2m-2)!(4m) +1 =Cm 2(m+1)· (m+1)!(m+1)! 2(m+1)m + <Cm( 1+ )=右边, (2m+1)(2m-1) 2 m 1 即当 n=m+1 时,①式也成立. 综合(i)(ii)得,对于 n≥3 的所有正整数,都有 P(C)<P(C)成立.


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