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(全程复习构想)2014年高考数学一轮复习 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理


8.1 直线的倾斜角与斜率、 直线的方程

考纲点击 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜 率的计算公式. 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 3.掌握确定直线位置的几何要素. 4. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式等), 了解斜截式与一次函数的关系.

说基础
课前预习读教材<

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考点梳理 1.直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角的定义 当直线 l 与 x 轴相交时, 我们取 x 轴作为基准, 轴①______ x 与直线 l②__________之间所成的③__________α 叫做直线的 倾斜角.当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0° ,因此,直线倾斜角 α 的取值范围是④____________. (2)斜率的定义 倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的⑤__________叫做 这条直线的斜率,常用 k 表示,即⑥__________.倾斜角是 90° 的直线,斜率 k 不存在.

(3)斜率公式 当直线 l 经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)时,l 的斜率 k= ⑦________________. (4)直线的方向向量 经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的方向向量的坐标 可记为⑧______________,当直线的斜率 k 存在时,方向向量 的坐标可记为⑨__________.

2.直线方程的几种基本形式 名称 方程 适用范围 斜截式 ⑩__________ 不能表示垂直于 x 轴的直线 点斜式 ?__________ 不能表示垂直于 x 轴的直线 两点式 ?__________ 不能表示垂直于坐标轴的直线 名称 方程 适用范围 不能表示垂直于坐标轴及过原 截距式 ?__________ 点的直线 一般式 ?__________ 能表示平面上任何直线

②向上方向 ③最小正角 ④0° ≤α< y2-y1 180° ⑤正切值 ⑥k=tanα ⑦ (其中 x1≠x2) ⑧(x2- x2-x1 x1 ,y2 -y1) ⑨(1,k) ⑩y=kx+b ?y-y0 =k(x-x0) ? y-y1 x-x1 x y = ?a+b=1 ?Ax+By+C=0(A2+B2≠0) y2-y1 x2-x1

答案:①正向

考点自测 1.已知点 P(3,m)在过点 M(2,-1)和 N(-3,4)的直线上, 则 m 的值为( ) A.5 B.2 C.-2 D.-6

-1-4 -1-m 解析:kMN= =-1,kPM= =m+1. 2-?-3? 2-3 由 kMN=kPM 即 m+1=-1,得 m=-2. 答案:C

2.与直线 3x+4y+5=0 的方向向量共线的一个单位向量 是( ) A.(3,4) B.(4,-3) ?3 4? ?4 3? C.?5,5? D.?5,-5? ? ? ? ?

解析:直线 3x+4y+5=0 的方向向量为(4,-3),因此与 ?4 3? 它共线的单位向量为?5,-5?,故选 D. ? ? 答案:D

3.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个 单位,所得到的直线为( ) 1 1 1 A.y=-3x+3 B.y=-3x+1 1 C.y=3x-3 D.y=3x+1 1 解析:∵y=3x 绕原点逆时针旋转 90° y=-3x,再向右 得 1 1 1 平移 1 个单位得 y=-3(x-1),即 y=-3x+3,故选 A. 答案:A

4.与直线 3x+4y+12=0 平行,且与坐标轴构成的三角 形的面积是 24 的直线 l 的方程是__________.

解析:先由“平行”这个条件设出直线方程为 3x+4y+m ? m ? =0,再用“面积”条件求 m.因为直线 l 交 x 轴于 A?- 3 ,0?, ? ? ? m? 1 ? m? ? m? ? 交 y 轴于 B?0,- 4 ?, 2·- 3 ?·- 4 ?=24, 由 ? 可得 m=± 24.所以, ? ? ? ?? ? 所求直线的方程为:3x+4y± 24=0. 答案:3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0

5.已知

? 1? a=(6,2),b=?-4,2?,直线 ? ?

l 过点 A(3,-1),

且与向量 a+2b 垂直,则直线 l 的一般方程是__________.

解析:a+2b=(-2,3),设 P(x,y)为直线 l 上任意一点, → 由(a+2b)⊥PA,得直线 l 的一般方程是 2x-3y-9=0. 答案:2x-3y-9=0

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.直线的斜率与倾斜角的区别及联系 在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条 件,其次是倾斜角的范围.每一条直线都有唯一的倾斜角,但 并不是每一条直线都存在斜率.所以在研究直线的有关问题 时,应考虑到斜率存在与不存在的情况,避免出现漏解的情 形.同时,斜率又是由倾斜角唯一确定的.

2.直线方程的四种特殊式 直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线 方程的特殊形式,其中点斜式是最基本的,其他形式的方程皆 可由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义,但 又都有一些特定的限制条件, 如点斜式方程的使用要求直线存 在斜率;截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零; 两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直. 因此应用时要注 意它们各自适用的范围,以避免漏解.

题型探究 题型一 直线的倾斜角 例 1 直线 围是( )
?π π ? B.?4,3? ? ? ?π 2π? D.?4, 3 ? ? ? ?π π ? A.?6,3? ? ? ?π π ? C.?4,2? ? ? ? ?π π ?? 2xcosα-y-3=0?α∈?6,3??的倾斜角的变化范 ? ? ??

解析:直线 2xcosα-y-3=0 的斜率 k=2cosα,由于 α∈ ?π π ? 1 3 ? , ?,所以 ≤cosα≤ 6 3? 2 2 ,因此 k=2cosα∈[1, 3]. ? 设直线的倾斜角为 θ, 则有 tanθ∈[1, 3], 由于 θ∈[0, π), ?π π ? ?π π ? 所以 θ∈?4,3?,即倾斜角的变化范围是?4,3?.选 B. ? ? ? ? 答案:B

点评:当斜率表达式中含有字母又需要求直线的倾斜角的 范围时,应先求斜率的范围,再结合正切函数的图象,来解决 倾斜角的取值范围问题. 其中必须注意的是: 正切函数 y=tanx ? ?π ? π? 在区间[0,π)上并不是单调的,但它在?0,2?上和?2,π?上都是 ? ? ? ? 递增的.

(

变式探究 1 直线 xsinα-y+1=0 的倾斜角的变化范围是 ) ? π? A.?0,2? B.(0,π) ? ? ? π π? ? ? π ? ?3 C.?-4,4? D.?0,4?∪?4π,π? ? ? ? ? ? ?

解析:直线 x· sinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα, 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1, ? π? ∴当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是?0,4?; ? ? ?3 ? 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是?4π,π?.故选 D. ? ? 答案:D

题型二 直线的斜率 例 2 已知直线 l 过点 P(-1,2), 且与以 A(-2, -3), B(3,0) 为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范围.

2-?-3? 解析: 方法一: 如图所示, 直线 PA 的斜率 kPA= -1-?-2? =5,

0-2 1 直线 PB 的斜率 kPB= =- . 2 3-?-1? 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时, 它的斜率变化范围是[5,+∞);

当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时,它的斜率 ? 1? 的变化范围是?-∞,-2?. ? ? ? 1? ∴直线 l 的斜率的取值范围是?-∞,-2?∪[5,+∞). ? ?

方法二:设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上, ∴(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0, 1 即(k-5)(4k+2)≥0,∴k≥5 或 k≤-2. ? 1? 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是?-∞,-2?∪[5,+∞). ? ?

点评:方法一运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐 角变到直角及由直角变到钝角时,需根据正切函数 y=tanα 的 单调性求 k 的范围,数形结合是解析几何中的重要方法.解题 时,借助图形及图形性质直观判断,明确解题思路,达到快捷 解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的 性质使问题得以解决.

变式探究 2 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、 (2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的范 围.

解析:方法一:直线 x+my+m=0 恒过 A(0,-1)点. -1-1 kAP= =-2, 0+1 -1-2 3 1 3 1 kAQ= = ,则- ≥ 或- ≤-2, 2 m 2 m 0-2 2 1 ∴-3≤m≤2且 m≠0. 又 m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点, 2 1 ∴所求 m 的范围是- ≤m≤ . 3 2

2-1 方法二:设 P、Q 两点的直线方程为 y-1= (x+1), 2+1 1 4 即 y=3x+3,代入 x+my+m=0,整理得: 7m x=- , m+3 7m 由已知-1≤- ≤2, m+3 2 1 解得:- ≤m≤ . 3 2

题型三 求直线的方程 例 3 求下列直线 l 的方程: 3 (1)过点 A(0,2),它的倾斜角的正弦是5; (2)过点 A(2,1),它的倾斜角是直线 l1:3x+4y+5=0 的倾 斜角的一半; (3)过点 A(2,1)和直线 x-2y-3=0 与 2x-3y-2=0 的交 点.

3 3 解析:(1)设直线 l 的倾斜角为 α,则 sinα= ,tanα=± , 5 4 3 由斜截式得 y=± x+2, 4 即 3x-4y+8=0 或 3x+4y-8=0. (2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为 α,β, β 3 则 α=2,又 tanβ=-4, 3 2tanα 1 则- = ,解得 tanα=3 或 tanα=- (舍去). 4 1-tan2α 3 由点斜式得 y-1=3(x-2),即 3x-y-5=0.

?x-2y-3=0, ? (3)解方程组? ?2x-3y-2=0, ?

?x=-5, ? 得? ?y=-4. ?

即两条直线的交点为(-5,-4). y-1 x-2 由两点式得 = ,即 5x-7y-3=0. -4-1 -5-2

点评:求直线方程时,一方面应依据题设条件灵活选取方 程的形式;另一方面应特别注意直线方程各种形式的适用范 围,即注意分类讨论.

变式探究 3 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角 的 2 倍.

解析:(1)设直线 l 在 x、y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0. x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

(2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α,则所求直线的倾 斜角为 2α. 2tanα 3 ∵tanα=3,∴tan2α= =-4. 1-tan2α 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1), 即 3x+4y+15=0.

题型四 直线方程的综合问题 例 4 过 P(2,1)作直线 l,分别交 x 轴、y 轴正半轴于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|· |PB|取最小值时,求直线 l 的方程.

解析:过 P 的直线 l 与 x,y 轴正半轴相交, ∴直线 l 的斜率 k 一定存在且小于零, ∴直线 l 的方程可设为 y-1=k(x-2). ? ? 1 则 A?2- k,0?,B(0,1-2k). ? ?

1? 1 1 ? (1)S△AOB= |OA|· |OB|= ×?2- k?(1-2k) 2 2 ? ? 1? 1? =2?4-4k-k ? ? ? ? 1?? 1? = ?4-?4k+ k?? 2? ? ?? 1 ? 1? ? = ?4+?-4k?+?-k?? ? 2? ? 1 ? 1? ? ? ≥ ?4+2 ?-4k?· =4. 2? ?-k?? ?

1 1 当且仅当-4k= 即 k=-2时等号成立. -k ∴l 的方程为 x+2y-4=0.

(2)|PA|· |PB|=

?1? ? ?2+1· 22+?-2k?2 ?k ?

4 2 = 2+4k +8≥ 8+8=4. k 4 当且仅当 2=4k2 即 k2=1 时取等号. k 又∵k<0,∴k=-1,∴l 的方程为 x+y-3=0.

点评:①对直线 l 的大致位置分析,界定了斜率的存在性 及其范围,指明了解题方向,这种分析是避免解题盲目性的重 要技能,应学会掌握.②设参、用参、消参是解析几何解决问 题的基本思路,特别要注意对参数范围的界定.

变式探究 4 直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点. (1)当|PA|· |PB|最小时,求 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程.

解析:依题意,l 的斜率存在,且斜率为负. 设 l:y-4=k(x-1) (k<0). ? ? 4 令 y=0,可得 A?1-k,0?; ? ? 令 x=0,可得 B(0,4-k).

(1)|PA|· |PB|=

?4? ? ?2+16· ?k ?

1+k2

4 =- (1+k2) k ?1 ? =-4? k+k?≥8.(注意 k<0) ? ? 1 ∴当且仅当 =k 且 k<0 即 k=-1 时, k |PA|· |PB|取最小值. 这时 l 的方程为 x+y-5=0.

? ? 4? 4? (2)|OA|+|OB|=?1-k ?+(4-k)=5-?k+k ?≥9. ? ? ? ?

4 ∴当且仅当 k=k 且 k<0, k=-2 时, 即 |OA|+|OB|取最小 值. 这时 l 的方程为 2x+y-6=0.

归纳总结 ?方法与技巧 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围, y2-y1 熟记斜率公式:k= ,该公式与两点顺序无关,已知两点 x2-x1 坐标(x1≠x2)时, 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. 当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角 为 90° .

2.求斜率可用 k=tanα(α≠90° ),其中 α 为倾斜角,由此 可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两 段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再 求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法.

?失误与防范 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直 线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是 要考虑正切函数的单调性. 3.利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量为(- B,A)不可记错,但同时注意方向向量是不唯一的.

新题速递 1.(2013· 淄博检测)设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2 =0 与线段 AB 没有交点,则 a 的取值范围是( ) ? ? 5? ?4 A.?-∞,-2?∪?3,+∞? ? ? ? ? ? 4 5? B.?-3,2? ? ? ? 5 4? C.?-2,3? ? ? ? ? 4? ?5 D.?-∞,-3?∪?2,+∞? ? ? ? ?

解析: 直线 ax+y+2=0 恒过点 M(0, -2), 且斜率为-a, 3-?-2? 2-?-2? 4 5 ∵kMA= =-2,kMB= =3,由图可知:-a> -2-0 3-0 5 4 -2且-a<3, ? 4 5? ∴a∈?-3,2?,故选 B. ? ? 答案:B

2.(2013· 泰安模拟)直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴 上的截距相等,则 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1

解析:由题意,知 a≠0,令 x=0,得 y=2+a;令 y=0, a+2 a+2 得 x= a ,故 2+a= a ,解得 a=-2 或 a=1. 答案:D

3.(2012· 湖北卷)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2 +y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直 线的方程为( ) A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0

解析:两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最 短,此时直线方程与 OP 垂直,kOP=1,则所求直线斜率为- 1.故所求直线方程为 y-1=-(x-1)即 x+y-2=0. 答案:A


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