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湖北省安陆市第一高级中学2015届高三考前冲刺考试数学(理)试卷(E)


理科(E) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
[来源

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知复数 Z 与(Z+2)2 -8i 都是纯虚数,则 Z 为(A ) A.-2i B. 2i C. ? 2i D. ?2

2.不等式“ x( x ?

2) ? 0 ”是不等式“ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

2 ? 1 ”成立的( B ) x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.下列命题中是真命题的是( D) A .若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? ? 2k? , k ? Z 。 B. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 都不是偶函数 C .若 ? 服从 N (0, ? 2 ) ,若 P(? ? 2) ? 0.023 ,则 P(?2 ? ? ? 2) ? 0.977 。 D . ?m ? R ,使 f ( x) ? (m ?1) xm
2

?4m?3

是幂函数

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( B )

俯视图 2 A. 1 1 正视图 1

?? 3

3 B. ? ? 3
1 1

2 C.

? ?2 3

D. 4? ?

3 3

1

? xy ? 0 ? 2 2 5.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z=2x+y 的取值范围是( C ) ?x ? y ?1 ? 0 ?

侧视图

A. [?2 5, 2 5]
?

B. [0, 2]

C. [?2 5, 2]

D. [

2 5 ,1] 5

6. 已知 a A )项 A 3

? ? 2 (cos 2
0

x 1 ? )d x 2 2

,则 ( x ?

a 8 ) (n ? N * ) 的展开式中的有理项共有( 3 x

B

2

C

4

D 5

7, 对于集合 M,N,定义: M ? N ? ?x | x ? M 且x ? N}, M ? N ? ( M ? N ) ? ( N ? M ) .记

1 A ? { y | y ? x ? , x ? 0} , B ? { y | y ? ?2x , x ? R} ,则 A ? B =( C ) x
A . (??,0) ? [2, ??) C . (?2,0) ? [2, ??) B . (??,0] ? [2, ??) D . (??, ?2] ? [2, ??)

8.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, w ? 0, ? ? ? ) 的图像与直 y ? b(0 ? b ? A) 的三 个相邻交点的横坐标分别为 3,5,9,则 f ( x) 的单调递减区间是( D A. ?6k ? 1 , 6k ? 4?, k ? Z C. ?6k? ? 2, 6k? ?1?, k ? Z B. )

6k? ? 4?, k ? Z ?6k? ?1,

D. ?6k ? 2, 6k ?1?, k ? Z

9.已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 过原点任作一条不与 x 轴重合的直线与椭圆交于 a 2 b2
1 恒成立,则椭圆的离心率为( B) 2
D.

A,B 两点,若 x 轴上存在点 C 使得 K CA .K CB ? ?

A.

1 2

B .

2 2

C .

3 3

1 3

10.设函数 f (x) 的定义域为 D, 如果存在正实数 k, 使对任意 x∈D, 都有 x+k∈D, 且f (x+k) >f(x)恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数” .已知 f(x)是定义在 R 上的奇 函数, 且当x ? 0时,f(x)= ( x ? a ? x ? 2a ? 3a ) ,若 f(x)为 R 上的“10 型增函
2 2 2

1 2

数” ,则实数 a 的取值范围是( B ). A. (?

6 6 , ) 6 6

B. (?

15 15 , ) 3 3

C. (?

10 10 , ) 10 10

D. ( ?

1 1 , ) 10 10

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

二.填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填 在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 ) (一)必考题(11-14 题) 11,一组数据(按照不减的顺序)由 1,2,2,x,5,10 共 6 个整数组成,已知该组数据的中位 数是众数的

3 倍,则该组数据的方差为__9___ 2

12.在 [?? , ? ] 上任取一个数,代入三个函数 f1 ( x) ? 0, f 2 ( x) ? sin x, f3 ( x) ? cos x 的计算 程序, 得到 则输出的结果为 三个值, 接着自动将它们输入下一个程序 (对应程序框图如上图所示) , 的概率是____

3 8

13.已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,若向量 c 满足 a ? b ? c ? 1,则 c 的取值范
?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

围为 ? 7 ? 1, 7 ? 1?

?

?
a1 a2 a3 a4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1, 2,3, 4} ,将 M 7 7 2 73 7 4

14. 记集合 T={0,1,2,3,4,5,6},M= {

中的元素按从大到小的顺序排成数列 bi .并将 bi 按如下规则标在平面直角坐标系的格点(横、 纵坐标均为整数的点)处:点(1,0)处标 b1 ,点(1,-1)处标 b2 ,点(0,-1)处标 b3 ,点(-1, -1)处标 b4 ,点(-1,0)标 b5 ,点(-1,1)处标 b6 ,点(0,1)处标 b7 ,?.以此类推。 (1)标 b 50 处的格点坐标为__(4,2)___ (2) b 50 =

6 5 6 6 ? ? ? 7 7 2 73 7 4

5

4

y
3 2

b6 b7
1

b8 b1

b9 x
2 4 6 8 10

b5
6 4 2

o

b4

b b2 3 1
2

3

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分。 )
4

15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图所示,过圆 C 外一点 P 做一条 直线与圆 C 交于
5 BA A, B 两点,

P A C B T

? 2 AP ,PT 与圆 C 相切于 T 点.

? 已知圆 C 的半径为 2 , ?CAB ? 30 ,则 PT ? _3____.

6

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)
7 在极坐标系中,定点 A (1,

?
2

) ,动点 B 在曲线 ? ? 2 cos ? 上移动,

则线段 AB 长度的最小值为 2 ? 1 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(wx ? ? ) ? 3 cos(wx ? ?) (0 ? ? ? ? , w ? 0) 为偶函数,且函数

y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为
(1)求 f (

?
12

? . 2

) 的值;

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标 3 伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的单调递增区间.
(2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

解:

f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 3 cos(wx ? ? ) ? 2sin(wx ? ? ? ) 3

?

?

f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为

? 2

?

f ( x) 的周期 T ? ?
2? ?T ?? w
w?2

? ?

即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ?

?
3

)

又 f ( x) 为偶函数

? ?

??

?
3

? k? ?

?
2

(k ? Z )

? ? k? ?

?
6

(k ? Z )

又 0 ?? ??

? ? ?

??

?
6

f ( x )? 2 s i n x( ?2 ? ? ) 6 3 f ( )? 2 c o s? 12 6
2 3

?

?

2x c o s 2

?

?

3

(2)依题意 g ( x) ? 2cos( x ? ? ) 令 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k?

2 3

(k ? Z ) 2 3 (k ? Z )

解得: 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ?

5 3

?

5 2 g ( x) 的单调递增区间为 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] (k ? Z ) 3 3

18. (本大题满分 12 分)

已 知 数 列 {bn } 中 , a1 ?
bn ? 1 (n ? N * ) an ? 1

3 1 , an ? 2 ? (n ? 2, n ? N * ) , 数 列 {bn } 满 足 7 an?1

(1)证明: 数列 {bn } 是等差数列。 (2)若 sn ? (a1 ?1)(a2 ?1) ? (a2 ?1)(a3 ?1) ? ...(an ?1)(an?1 ?1) ,是否存在 a, b ? Z 使得

a ? Sn ? b 恒成立?若存在,求出 a 的最大值与 b 的最小值?若不存在,请说明理由?
解(1)由题意有当 n ? 2 时, bn ?1 ?

1 an ?1 ? 1

, bn ?

a 1 1 ? ? n ?1 , an ? 1 2 ? 1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1

an?1 1 ? ? 1(n ? N * , n ? 2). (3 分) an?1 ? 1 an?1 ? 1 1 7 所以 ?bn ? 是首项为 b1 ? (5 分) ? ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 4 11 bn ? n ? ( 2 ) 由 ( 1 ) 有 , 依 题 意 有 4 Sn ? (a1 ?1)(a2 ?1) ? (a2 ?1)(a3 ?1) ? ... ? (an ?1)(an?1 ?1) ? 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 ( 8 分 ) 因 为 ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?? ? b1 b2 b2 b3 bn bn?1 b1 bn?1 7 n? 7 4 4 16 32 4 1 在 n ? 2 时随着 n 的增大而增大且小于 ? ,又 s1 ? , s2 ? ? ( 10 sn ? ? ? 7 21 7 7 n? 7 4
所以 bn ? bn ?1 ? 分) 故?

32 16 ? sn ? 7 21
(12 分)

所以 a 的最大值为-5,b 的最小值为 1.

19. (本大题满分 12 分) 已知等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 是边 AB 上的动点,DE 垂直 AB 交 AC 于 E(不与端点 重合) ,设 AD=m,(如图 1) 。将 ?ADE 沿 DE 择起到 ?A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 为直二面角,连接 A 。 1B、AC 1 (如图 2)

(1)当 m=1 时,设平面 A ' BC 与平面 A ' DE 所成的二面角的平面角为 ? ,求 tan ? 的值; (2)当 m 为何值时,求四棱锥 A '? BCDE 体积的最大值. 解 ( 1 ) 延 长 DE,BC 交 于 点 G. 则 平 面 A ' BC 与 平 面 A ' DE 所 成 的 二 面 角 为 二 面 角

B ? A'G ? D
过 D 作于 F,连接 BF

? B D? 平面 A ' DG ? B D? A ' G 又D F ? A ' , G B? D
? A ' G ? 平面BDF ? A ' G ? BF , ?BDF ? ?

D =F D

2 39 2 39 DF 39 在Rt ?BDF中,DF ? ,DB ? 2,tan? = ? 13 ? 13 DB 2 13
(2)? A ' D ? 平面BCDE,S四边形BCDE ? S? ABC -S? A ' DE =

(6 分)

9 3 3 2 m 4 2

3 3 3 3 3 m ? m ? f (m), (0 ? m ? ) 6 4 2 3 2 3 ? f '(m) ? ? (m ? ) 2 2 6 6 3 ? f (m)在(0, )上单调递增,在( ,)上单调递减 2 2 2 6 ?当m= ,四棱锥A ' BCDE的体积最大. 2 VA '? BCDE ? ?
(12) 20. (本大题满分 12 分) 某司机要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙, 已知从城市甲到城市乙只 有 A,B 两条公路,且运费由果园承担.若果园恰能在约定日期将水果送到,则销售商一次

性支付给果园 20 万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给果园 1 万元; 若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给果园 1 万元.为保证水果新鲜度,汽 车只能在约定日期的前两天出发, 且只能选择其中的一条公路运送水果, A 公路在不堵车的 情况下 2 天可到达城市乙,所需运费为 1 万元,之间有一堵车路段,堵车概率为 x ? ( ,1) , 堵车时间为 1 天,B 公路在不堵车的情况下 1 天可到达城市乙,所需运费用为 1 万元,之 间有两段堵车路段,堵车时间分别为 2 天和 1 天,堵车概率分别为 y ? ( ,1)和 (注:毛利润=销售商支付给果园的费用-运费) (1)记汽车走公路 A 时果园获得的毛利润为ξ(单位:万元) ,求ξ 的分布列和数学期望 Eξ ; (Ⅱ)假设你是果园的决策者(决策依据为不同路径毛利润期望的大小),你选择 A 公路运送 水果的概率为多少? 解(1)

2 3

1 2

1 。 4

?的分布列如下表:

ξ P
E? =19-x

19

18

1-x

x

(4 分)

(2)?的分布列如下表:

η P
E? =20 ?

20

19

18

17

3 (1 ? y ) 4

1 (1 ? y ) 4

3 y 4

1 y 4

3? (1-y) 19 ? (1 ? y ) 54 y 17 y 79 ? ? ? ? ? 2y 4 4 4 4 4 3 ? E? ? E? ? 2 y ? x ? ? 0 4

? x, y满足的条件为

1.8

1.6

1.4

y
1.2 1

0.8

0.6

1 2

0.4

1 3 y= x+ 2 8

0.2

x
1 0.5 0.2 0.5

2 3

1

1.5

2

2.5

0.4 ? 选择A公路运送水果的概率为

5 12

21. (本大题满分 13 分
0.6

已知抛物线 C:

y 2 ? 2 px( p ? 0) ,点

M 的坐标为

(12,8) ,点

N 在抛物线上,且满足

???? ? 4 ???? OM ? ON , O 为坐标原点。 3
(1).求抛物线 C 的方程。 (2).过点 M 做两条倾斜角互补的直线 l1 , l2 , l1 与抛物线交于不同两点 A,B, l2 与抛物线交于不同两点 D,E,弦 AB,DE 的中点分别为 G,H。当直线 l1 的倾斜角在 [ 的最大值。
2 解(1)由 OM ? ON , 得到 ON ? (9,6) ,即 N(9,6) ,代入 y ? 2 px ,得到 P=2,所以抛物线 C

? ?

, ] 内时,求直线 GH 被抛物线截得的弦长 6 4

???? ?

? 4??? 3

????

的方程为

y2 ? 4x .

(3 分)

(2)由题意有,直线 l1、l2 的斜率均存在,且不为零,设直线 l1 的斜率为 k,其方程为 y=k(x-12)+8, 则直线 l2 的方程为 y=-k(x-12)+8,

由?

? y ? k ( x ?12) ? 8, ? y ? 4 x,
2

得 ky

2

? 4 y ? 32 ? 48k ? 0

?1 ? 16 ? 4k (32 ? 48k ) ? 16(12k 2 ? 8k ?1) ? 0 ?
1 1 (6k ? 1)(2k ? 1) ? 0 ? k ? 或k ? 2 6


A (x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,中点 G( xG , yG ) ,则 y1 ? y2 ?
2 8 ? ? 12 , k2 k

4 2 ,即 yG ? k k

(6 分)

又yG ? k ( xG ? 12) ? 8, 所以xG ?
( 所以 G 的坐标为

2 8 2 - +12, ) . 2 k k k 1 1 2 8 2 ( 2 + +12, - ) 用-k 代替 k,同理得 ? k ? 或 ? k ? ,H 的坐标为 2 6 k k k 1 1 1 1 所以 k> 或 ? ? k ? 0或0 ? k ? 或k ? ? , ( 8 分) 2 6 6 2
因为直线 l1 的倾斜角在

?? ? ? , 内, ? ?6 4? ?

2 2 ? 3 1 所以 ? k ? 1, 而kGH ? k k ? ? , 8 8 3 4 ? ? k k 1 所以直线 GH 的方程为 y ? ? ( x ? xG ) ? yG 4
1 ? ? y ? ? ( x ? xG ) ? yG 2 由? ,得 y ? 16 y ? 4( xG ? 4 yG ) ? 0 , 4 ? y2 ? 4x ?
? 2 ? 162 ? 16( xG ? 4 yG ) ? 16(16 ?
设直线 GH 与抛物线 C 交于 P,Q 两点,

2 ? 12) ? 0 k2

(10 分)



PQ ? 1 ?

1 ? 162 ? 16( xG ? 4 y G ) ? 1 2 (? ) 4

4 17 ? 16 ? ( xG ? 4 yG ) ? 4 17 ? 28 ?
因为

2 k2

1 1 ? k 2 ? 1 ,所以 1 ? 2 ? 3 , PQ max ? 4 17 ? 28 ? 2 ? 3 ? 68 2 3 k

所以直线 GH 被抛物线截得的弦长的最大值为 68

2

(13 分)

22. (本大题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? x ?

1 1 ? a ln x, g ( x) ? x ? ? (ln x) a ,其中 x ? 0, a ? R. x x

(1)若函数 f(x)无极值,求 a 的取值范围; (2 ) 当 a 取(1)中的最大值时,求函数 g(x)的最小值; (3)证明不等式

?
k ?1

n

1 2k (2k ? 1)

? ln

2n ?1 (n ? N * ) . n 2 ?1

解(1) f ( x) ? 1 ?
'

1 a x 2 ? ax ? 1 ? ? .(2分) x2 x x2
2

根据题意,知方程 x ? ax ? 1 =0 在区间 (0, ??) 上无根或有唯一根, 即方程 a ? x ? (2) 当

1 在区间 (0, ??) 上无根或有唯一根,解得 a ? 2 . (4 分) x 1 1 a?2 f ( x) ? x ? ? 2 ln x, g ( x) ? x ? ? (ln x) 2 时 x x
(5 分)

由(1)知 f(x)在区间 (0, ??) 上是增函数.

1 1 ? 2 ln x ? f (1) ? 0 ,得 x ? ? 2 ln x ? 0 ; x x 1 1 当 x ? (1, ??) 时,得. f ( x) ? x ? ? 2 ln x ? f (1) ? 0 ,得 x ? ? 2 ln x ? 0 ; x x
当 x ? (0,1) 时,得 f ( x) ? x ? 所以当 x ? 0 时, x ?

1 ? 2ln x ? ln x 2 (7 分) x

令 x ? t ? 0 ,所以
2

t?
1 t

1 1 ? ln t .两边平方,得 t ? ? 2 ? (ln t ) 2 . t t
2

即当 t>0 时,不等式 t ? ? (ln t ) ? 2 成立,当且仅当 t=1 时取等号. 所以当 x=1 时,函数 g(x)取最小值 2. (3)由(2),知 x ? (9 分)

1 1 2 ? (ln x) 2 ? 2( x ? 1) ,即 ( x ? ) ? (ln x) 2 x x

所以当 x ? 1 时, x ?

1 ? ln x 成立.(10 分) x

令x?

2n ? 1 2n ? 1 2n 2n ? 1 ,得 ? ? ln , 2n 2n 2n ? 1 2n
1

2n ? 1 ? ln n 成立。(12 分) 即不等式 2 2n (2n ? 1)



?
k ?1

n

21 ? 1 22 ? 1 2n ? 1 21 ? 2 22 ? 2 2n ? 2 ? ln 1 ? ln 2 ? ... ? ln n ? ln 1 ? ln 2 ? ... ? ln n 2 2 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2k (2k ? 1) 1

20 ? 1 21 ? 1 2n?1 ? 1 2n?1 ? ln(2n ? 1 ? 2 ? ...? n ) ? ln n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
不等式得证.


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