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2018版高中数学人教B版必修五:第三单元 §3.2 均值不等式(一)


第三章 不等式 §3.2 均值不等式(一) 学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 算术平均值与几何平均值 思考 如图,AB是圆O的直径,点Q是AB上任一点,AQ=a,BQ=b, 过点Q作PQ垂直AB于Q,连接AP,PB.如何用a,b表示PO, PQ的长度? 答案 |AB| a+b |PO|= 2 = 2 . 易证 Rt△APQ∽Rt△PBQ, 那么|PQ|2=|AQ|· |QB|,即|PQ|= ab. 梳理 a+b 一般地,对于正数a,b, 为a,b的 算术 平均值, ab为a,b的 几何平 2 a+b 均值.两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值,即 ab≤ . 2 其几何意义如上图中的|PO|≥|PQ|. 知识点二 均值不等式及其常见推论 思考 a+b 如何证明不等式 ab≤ 2 (a>0,b>0)? 答案 ∵a+b-2 ab=( a)2+( b)2-2 a· b =( a- b)2≥0,当且仅当 a=b 时,等号成立, a+b ∴a+b≥2 ab,∴ ab≤ 2 , 当且仅当a=b时,等号成立. 梳理 a+b ab≤ 2 (a>0,b>0).当对正数 a,b 赋予不同的值时,可得以下推论: a+b 2 a2+b2 (1)ab≤( 2 ) ≤ 2 (a,b∈R); b a (2)a+b≥2(a,b 同号); b a (3)当 ab>0 时,a+b≥2; (4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). 题型探究 类型一 常见推论的证明 例1 证明不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R). 证明 ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0, ∴a2+b2≥2ab. 引申探究 a+b 2 a2+b2 证明不等式( 2 ) ≤ 2 (a,b∈R). 证明 由例1,得a2+b2≥2ab, ∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab, a+b 2 a2+b2 两边同除以 4,即得( 2 ) ≤ 2 ,当且仅当 a=b 时,取等号. 反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是a,b∈R,与均值不等式不同. (2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法. 跟踪训练1 证明 已知a,b,c为任意的实数,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ∵a2+b2≥2ab;b2+c2≥2bc;c2+a2≥2ca, ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca, 当且仅当a=b=c时,等号成立. 类型二 例2 已知x、y都是正数. y x 求证:(1)x+y≥2; 证明 用均值不等式证明不等式 x y ∵x,y 都是正数,∴y>0,x>0, y x ∴x+y≥2 yx y x · = 2 ,即 + ≥ 2 , xy x y 当且仅当 x=y 时,等号成立. (2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. ∵x,y 都是正数, ∴x+y≥2 xy>0, 证明 x2+y2≥2 x2y2>0,x3+y3≥2 x3y3>0. ∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 xy· 2 x2y2· 2 x3y3=8x3y3, 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3, 当且仅当 x=y 时,等号成立. 反思与感悟 y x 在(1)


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