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山东省济宁市鱼台一中2012-2013学年高一数学上学期期末模拟试题(含解析)新人教A版


2012-2013 学年山东省济宁市鱼台一中高一(上)期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分) (2012?黑龙江)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 考点: 元素与集合关系的

判断. 专题: 计算题. 分析: 由题意,根据集合 B 中的元素属性对 x,y 进行赋值得出 B 中所有元素,即可得出 B 中所含有的元素个数,得出正确选项 解答: 解:由题意,x=5 时,y=1,2,3,4, x=4 时,y=1,2,3, x=3 时,y=1,2, x=2 时,y=1 综上知,B 中的元素个数为 10 个 故选 D 点评: 本题考查元素与集合的关系的判断,解题的关键是理解题意,领会集合 B 中元素的属 性,用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数 2. (5 分)判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( (1)f(x)= (2)f(x)= ? ,g(t)=t﹣3(t≠﹣3) ; ,g(x)= ; . C.(1) D.(3) ; )

(3)f(x)=x,g(x)= (4)f(x)=x,g(x)= A.(1) , (4)

B.(2) , (3)

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 当两个函数表示同一个函数时,要求函数的三要素(定义域、值域、对应法则)都相 同,分别判断四个答案中函数的定义域和解析式是否一致即可得到答案. 解答: 解: (1)中,f(x)= ,g(t)=t﹣3(t≠﹣3) ;

的定义域相同,解析式相同,故表示同一函数;

1

(2)中,f(x)=

?

的定义域是{x|x=1},g(x)=



定义域是{x|﹣1<x<1},两个函数的定义域不同,故不表示同一函数; (3)中,f(x)=x,g(x)= (4)中,f(x)=x,g(x)= 的定义域不同,故不表示同一函数; 定义域,解析式均相同,故表示同一函数;

故选 A. 点评: 本题考查两函数表示同一个函数的条件,当两个函数表示同一个函数时,要求函数的 三要素(定义域、值域、对应法则)都相同.要求会求函数的定义域和值域,并会化 简函数解析式.属简单题 3. (5 分) (2004?广东)在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该 正方形,则截去 8 个三棱锥后,剩下的几何体的体积是( ) A. B. C. D.

考点: 组合几何体的面积、体积问题. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 剩下的几何体的体积, 就是正方体的体积求得 8 个正三棱锥的体积, 求出体积差即可. 解答: 解:由题意几何体的体积,就是正方体的体积求得 8 个正三棱锥的体积,

故选 D; 点评: 本题考查多面体的体积的求法,考查转化思想,计算能力,是基础题. 4. (5 分)函数 A. B.[1,+∞) 的定义域是( C. ) D.(﹣∞,1]

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 欲使函数有意义,须 ,解之得函数的定义域即可. 解:欲使函数 解答: 须 , 的有意义,



解之得:

2

故选 C. 点评: 对数的真数必须大于 0 是研究对数函数的定义域的基本方法, 其中, 若底数含有参数, 必须分类讨论,结论也必须分情况进行书写.

5. (5 分)已知函数 f(x)= A. B.

,若 f[f(0)]=4a,则实数 a 等于( C.2 D.9



考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 先求出 f(0)=2,再令 f(2)=4a,解方程 4+2a=4a,得 a 值. 解答: 解:由题知 f(0)=2,f(2)=4+2a,由 4+2a=4a,解得 a=2. 故选 C. 点评: 此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型, 主要考查学生对“分段函数 在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解. 6. (5 分) (2013?东坡区一模)函数 f(x)=log2|x|,g(x)=﹣x +2,则 f(x)?g(x)的 图象只可能是( ) A. B. C. D.
2

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合. 分析: 要判断 f(x)?g(x) ,我们可先根据函数奇偶性的性质,结合 f(x)与 g(x)都是 偶函数,则 f(x)?g(x)也为偶函数,其函数图象关于 Y 轴对称,排除 A,D;再由 函数的值域排除 B,即可得到答案. 解答: 解:∵f(x)与 g(x)都是偶函数, ∴f(x)?g(x)也是偶函数,由此可排除 A、D. 又由 x→+∞时,f(x)?g(x)→﹣∞,可排除 B. 故选 C 点评: 要判断复合函数的图象,我们可以利用函数的性质,定义域、值域,及根据特殊值是 特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧,希望大家熟练掌握.

7. (5 分) (2005?江西)已知实数 a、b 满足等式 ①0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b;

,下列五个关系式:

3

④b<a<0; ⑤a=b, 其中不可能成立的关系式有( A.1 个 B.2 个 考点: 基本不等式. 分析: 先画出函数 y= 况即可. 解答: 解:画出函数 y= 当 x<0 时,y= 当 x>0 时,y= 当 a<0,b<0 时, 当 a=b=0 时, 当 a>0,b>0 时,

) C.3 个 D.4 个

与 y=

的图象, 再讨论

时 a, b 的情

与 y= 的图象在 y= 的图象在 y=

的图象, 的图象下方, 的图象上方, 则 a<b<0, 成立, 则 a>b>0,

故①②⑤成立,③④不可能成立,故选 B

点评: 本题主要考查了指数函数单调性,以及指数函数的图象,属于基础题.

8. (5 分)已知

的解集为(



A.(﹣1,0)∪(0,B.(﹣∞, ﹣1) ∪ (e, C.(﹣1,0)∪(e,D.(﹣∞,1)∪(0, e) +∞) +∞) e) 考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 专题: 综合题;转化思想;综合法. 分析: 本题函数是一个分段函数,解此类不等式应分段求解,然后再取它们的并集
4

解答: 解:由题意,当 x>0 时,有 lnx>1=lne,解得 x>e 符合题意 当 x<0 时,x+2>1,得 x>﹣1,故有﹣1/,x<0 综上知不等式的解集是(﹣1,0)∪(e,+∞) 故选 C 点评: 本题考查对数函数的单调性与特殊点, 求解的关键是理解分段函数型不等式求解的原 理,以及利用对数的单调性解不等式,本题属于基本性质运用题. 9. (5 分)已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确 的是( ) A.若 α ⊥γ ,α ⊥β ,则 γ ∥β B.若 m∥n,m? α ,n? β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m∥a,则 n∥α D.若 m∥n,m⊥α ,n⊥β ,则 α ∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 用具体事物比如教室作为长方体, 再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理 判断. 解答: 解:A 不正确,比如教室的一角三个面相互垂直; B 不正确,由面面平行的判定定理知 m 与 n 必须是相交直线; C 不正确,由线面平行的性质定理知可能 n? α ; D 正确,由 m∥n,m⊥a 得 n⊥α ,因 n⊥β ,得 α ∥β 故选 D. 点评: 本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理, 利用具体的事物可培养立体 感. 10. (5 分)如图在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△SCD 内及其边界上运 动,并且总是保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 证明题;探究型. 分析: 总保持 PE⊥AC,那么 AC 垂直 PE 所在的一个平面,AC⊥平面 SBD,不难推出结果. 解答: 解:取 CD 中点 F,AC⊥EF,又∵SB 在面 ABCD 内的射影为 BD 且 AC⊥BD,∴AC⊥SB, 取 SC 中点 Q,∴EQ∥SB, ∴AC⊥EQ,又 AC⊥EF,∴AC⊥面 EQF,因此点 P 在 FQ 上移动时总有 AC⊥EP. 故选 A. 点评: 本题考查学生应用线面垂直的知识,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
5

11. (5 分) (2011?辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= ∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S﹣ABC 的体积为( ) A.3 B.2 C. D.1



考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD,说明 SC 是球的直径,利用余弦定理,三 角形的面积公式求出 S△SCD,和棱锥的高 AB,即可求出棱锥的体积. 解答: 解:设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD 因为线段 SC 是球的直径, 所以它也是大圆的直径,则易得:∠SAC=∠SBC=90° 所以在 Rt△SAC 中,SC=4,∠ASC=30° 得:AC=2,SA=2 又在 Rt△SBC 中,SC=4,∠BSC=30° 得:BC=2,SB=2 则:SA=SB,AC=BC 因为点 D 是 AB 的中点所以在等腰三角形 ASB 中,SD⊥AB 且 SD= = = = =

在等腰三角形 CAB 中,CD⊥AB 且 CD=

又 SD 交 CD 于点 D 所以:AB⊥平面 SCD 即:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△SCD, 因为: SD= ( + , CD= ﹣16) , SC=4 所以由余弦定理得: cos∠SDC= (SD +CD ﹣SC ) = =
2 2 2

=

则:sin∠SDC=

= =3

由三角形面积公式得△SCD 的面积 S= SD?CD?sin∠SDC= 所以:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△SCD= =

故选 C 点评: 本题是中档题,考查球的内接棱锥的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力,有 难度的题目,常考题型. 12. (5 分) (2012?山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当﹣3≤x<﹣1 2 时,f(x)=﹣(x+2) ,当﹣1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012) =( ) A.335 B.338 C.1678 D.2012 考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由 f(x+6)=f(x)可知,f(x)是以 6 为周期的函数,可根据题目信息分别求得 f (1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5) ,f(6)的值,再利用周期性即可得答案.
6

解答: 解:∵f(x+6)=f(x) , ∴f(x)是以 6 为周期的函数, 又当﹣1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)+f(2)=1+2=3,f(﹣1)=﹣1=f(5) ,f(0)=0=f(6) ; 2 当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) , 2 ∴f(3)=f(﹣3)=﹣(﹣3+2) =﹣1, 2 f(4)=f(﹣2)=﹣(﹣2+2) =0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2﹣1+0+(﹣1)+0=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012) =[f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2010)]+f(2011)+f(2012) =335×1+f(1)+f(2) =338. 故选 B. 点评: 本题考查函数的周期,由题意,求得 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(6)=是关键,考 查转化与运算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)设 ω >0,函数 合,则 ω 的最小值是 . 的图象向右平移 个单位后与原图象重

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 计算题;数形结合;数形结合法. 分析: 函数 的图象向右平移

个单位后与原图象重合可判断出

是周期的整数倍,由此求出 ω 的表达式,判断出它的最小值 解答: 解:∵函数 ∴ =n× ,n∈z 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,

∴ω =n× ,n∈z 又 ω >0,故其最小值是 故答案为 点评: 本题考查由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式,解题的关键是判断出函数图 象的特征及此特征与解析式中系数的关系,由此得出关于参数的方程求出参数的值, 本题重点是判断出 是周期的整数倍,则问题得解

7

14. (5 分)已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 a+2b 的取值范围是 (3,+∞) . 考点: 对数函数的值域与最值;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 画出函数 f(x)的图象,则数形结合可知 0<a<1,b>1,且 ab=1,再将所求 a+2b 化为关于 a 的一元函数,利用函数单调性求函数的值域即可 解答: 解:画出 y=|lgx|的图象如图: ∵0<a<b,且 f(a)=f(b) , ∴|lga|=|lgb|且 0<a<1,b>1 ∴﹣lga=lgb 即 ab=1 ∴y=a+2b=a+ ,a∈(0,1) ∵y=a+ 在(0,1)上为减函数, ∴y>1+ =3 ∴a+2b 的取值范围是(3,+∞) 故答案为 (3,+∞)

点评: 本题主要考查了对数函数的图象和性质,利用“对勾”函数求函数值域的方法,数形 结合的思想方法,转化化归的思想方法,属基础题 15. (5 分)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调递 2 增,若 f(lg2?lg50+(lg5) )+f(lgx﹣2)<0,则 x 的取值范围为 (0,10) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先将函数中的变量化简,再确定函数 f(x)是在实数集 R 上单调递增,利用函数的单 调性,即可求得 x 的取值范围. 2 2 解答: 解:∵lg2?lg50+(lg5) =(1﹣lg5) (1+lg5)+(lg5) =1 2 ∴f(lg2?lg50+(lg5) )+f(lgx﹣2)<0,可化为 f(1)+f(lgx﹣2)<0, ∵函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,
8

∴f(lgx﹣2)<f(﹣1) ∵函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增, ∴函数 f(x)是在实数集 R 上单调递增 ∴lgx﹣2<﹣1 ∴lgx<1 ∴0<x<10 故答案为: (0,10) . 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,解题的关键是确定函数的单调性,化抽象不等 式为具体不等式,属于基础题. 16. (5 分)有 4 个命题:①函数 y=sin x﹣cos x 的最小正周期是 π ; ②在同一坐标系中,函数 y=sinx 与 y=x 的图象有三个公共点; ③把函数 ④函数 的图象向右平移 得到 y=3sin2x 的图象;
4 4

在[0,π ]上是减函数.

其中真命题的序号是 ① (填上所有真命题的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用;三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 变换. 专题: 计算题. 分析: 4 4 2 2 由 y=sin x﹣cos x=sin x﹣cos x=﹣cos2x,知它的最小正周期是 T= =π ;在同一 坐标系中,函数 y=sinx 与 y=x 的图象有两个公共点;把函数 图象向右平移 ,得到 y=3sin[2(x﹣ )+ ]=3sin(2x﹣ )的图象;函数 的

在[0,π ]上是增函数. 解答: 解:①∵y=sin x﹣cos x=sin x﹣cos x=﹣cos2x, ∴它的最小正周期是 T= =π ,故①是真命题;
4 4 2 2

②在同一坐标系中,函数 y=sinx 与 y=x 的图象有一个公共点,故②是假命题; ③把函数 得到 y=3sin[2(x﹣ ④函数 )+ 的图象向右平移 ]=3sin(2x﹣ , )的图象,故③是假命题;

在[0,π ]上是增函数,故④是假命.

故答案为:①. 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意三 角函数性质的灵活运用. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,写出必要文字说明和演算步骤.
9

17. (10 分)已知函数 f(x)=

(1)求 f(f(3) )的值 (2)当﹣4≤x<3 时,求 f(x)的值域. 考点: 函数的值域;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可得 f(3) ,然后再代入符合条件的解析式即可; (2)分别求得函数每段 解析式的值域,最后取并集即可. 2 解答: 解: (1)由题意可得 f(3)=4﹣3 =﹣5, 所以 f(f(3) )=f(﹣5)=1﹣2(﹣5)=11; (2)由分段函数可知: 当﹣4≤x<0 时,函数的解析式为 y=1﹣2x∈(1,9]; 当 x=0 时,y=2; 2 当 0<x<3 时,函数的解析式为 y=4﹣x ∈(﹣5,4) ; 故当﹣4≤x<3 时,求 f(x)的值域为: (﹣5,9] 点评: 本题为分段函数的考查,分别代入和求解是解决问题的方法,属基础题. 18. (12 分) 如图所示, 已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点, 且 SA=SB=SC, SG 为△SAB 上的高,D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点,试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系,并给予证 明.

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,连接 CG 交 DE 于点 H.在△ABC 利用中位线定理证出 DH∥AG,再由平行线 的性质得到 H 为 CG 的中点,从而得到△SGC 中 FH∥SG,最后根据直线与平面平行的 判定的判定定理,可证出 SG∥平面 DEF,得到本题答案. 解答: 解:根据题意,可得 SG 与平面 DEF 的位置关系是 SG∥平面 DEF, 证明如下: 如图所示,连接 CG 交 DE 于点 H, ∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB. 又∵在△ACG 中,D 是 AC 的中点,且 DH∥AG. ∴H 为 CG 的中点,可得 FH 是△SCG 的中位线, ∴FH∥SG.
10

又∵SG?平面 DEF,FH? 平面 DEF, ∴SG∥平面 DEF.

点评: 本题在三棱锥中利用中位线定理证明了线面平行, 着重考查了空间直线与平面平行的 判定定理及其应用等知识,属于基础题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=log0.5(sin2x) (1)求它的定义域,值域和单调区间; (2)判断它的奇偶性和周期性. 考点: 复合函数的单调性;函数的定义域及其求法;函数的值域;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 sin2x>0,能求出 f(x)的定义域,由 0≤f(x)=log0.5(sin2x)<+∞, 能求出 f(x)的值域,由 f(x)的单调递减区间满足 单调递增区间满足 2kπ + (2)由 ,而 ≤2x<2kπ +π ,k∈Z,能求出 f(x)的单调区间. 没有意义,知 f(x)是非奇非偶函数由 y=sin2x ,

是周期函数,且最小正周期为 π ,知 f(x)是周期函数,且最小正周期为 π . 解答: 解:∵sin2x>0,∴2kπ <2x<2kπ +π ,k∈Z,即 , ∴f(x)的定义域为 ∵0<sin2x≤1, ∴0≤f(x)=log0.5(sin2x)<+∞, ∴f(x)的值域为[0,+∞) . ∵f(x)的单调递减区间满足 ∴ 故 f(x)的单调递减区间为 ∵f(x)的单调递增区间满足 2kπ + , ; ≤2x<2kπ +π ,k∈Z, , .

11

∴kπ +

≤x<kπ +

,k∈Z. . 没有意义

故 f(x)的单调递增区间为 (2)因 ,而

故 f(x)是非奇非偶函数 由 y=sin2x 是周期函数,且最小正周期为 π , ∴f(x)是周期函数,且最小正周期为 π . 点评: 本题考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期性的求法,解题时要认真审 题,注意三角函数的性质的合理运用.
2

20. (12 分)设函数 f(x)=cos x+asinx﹣ ﹣ . (1)当 0≤x≤ 时,用 a 表示 f(x)的最大值 M(a) ;

(2)当 M(a)=2 时,求 a 的值,并对此 a 值求 f(x)的最小值; (3)问 a 取何值时,方程 f(x)=(1+a)sinx 在[0,2π )上有两解? 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;二次函数的性质;函数的零点与方程根的关 系;正弦函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 2 (1)用同角公式对 f(x)化简得 f(x)=﹣sin x+asinx+1﹣ ﹣ ,设 sinx=t,则 函数 g(t)是开口向下,对称轴为 t= 的抛物线,根据二次函数的性质,对 a 进行讨 论得出答案. (2)M(a)=2 代入(1)中的 M(a)的表达式即可得出结果. (3)方程 f(x)=(1+a)sinx.即 =sin x+sinx,x∈[0,2π )欲使方程 f(x) ∈(0,2)∪{﹣ },从而求出 a
2

=(1+a)sinx 在[0,2π )上有两解.则必须 的范围即可. 解答: 2 解: (1)f(x)=﹣sin x+asinx+1﹣ ﹣ , ∵0≤x≤ ∴0≤sinx≤1 令 sinx=t,则 f(t)=﹣t +at+
2

,t∈[0,1]

12

∴M(a)=



(2)当 M(a)=2 时, 或 a=﹣2(舍) ; . ∴ 或 a=﹣6.

①当 a=﹣6 时,f(x)min=﹣5; ②当 时,f(x)min=﹣ .

(3)方程 f(x)=(1+a)sinx 即﹣sin x+asinx+1﹣ ﹣ =(1+a)sinx, 即
2 2

=sin x+sinx,x∈[0,2π ) ,2],

2

∵sin x+sinx∈[

∵方程 f(x)=(1+a)sinx 在[0,2π )上有两解. ∴ ∈(0,2)∪{﹣ },

∴﹣6<a<2 或 a=3. 点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质. 在二次函数的性质的使 用的时候要特别注意对称轴的位置. 21. (12 分)已知函数 f(x) ,若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”;若 f(f(x) ) =x,则称 x 为 f(x)的“稳定点”.记集合 A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x) )=x} (1)已知 A≠?,若 f(x)是在 R 上单调递增函数,是否有 A=B?若是,请证明. 2 (2)记|M|表示集合 M 中元素的个数,问: (i)若函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,若|A|=0, 则|B|是否等于 0?若是,请证明, (ii)若|B|=1,试问:|A|是否一定等于 1?若是,请证 明. 考点: 函数单调性的判断与证明;集合中元素个数的最值. 专题: 新定义. 分析: (1)先用所给定义证明 A? B,再根据单调性用反证法证明 B? A; (2) (i)|A|=0 即 f(x)=x 无实根,分 a>0,a<0 两种情况即可证明; (ii)先根 据定义可证明存在性,再用反证法证明唯一性即可; 解答: (1)证明:有 A=B.先证 任取 x0∈A,则 f(x0)=x0,f(f(x0) )=f(x0)=x0,
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∴x0∈B,∴A? B; 再证 任取 y0∈B,f(f(y0) )=y0, 若 f(y0)≠y0,不妨设 f(y0)>y0, 由单调递增可知:f(f(y0) )>f(y0)>y0,与 f(f(y0) )=y0 矛盾, 同理 f(y0)<y0 也矛盾,所以 f(y0)=y0,∴B? A, 综上,A=B. (2) (i)若|A|=0,则|B|=0,下面证明: 若 a>0,由于 f(x)=x 无实根,则对任意实数 x,f(x)>x,从而 f(f(x) )>f (x)>x, 故 f(f(x) )=x 无实根; 同理,若 a<0,对任意实数 x,f(x)<x,从而 f(f(x) )<f(x)<x, 故 f(f(x) )=x 也无实根, 所以|B|=0. (ii)若|B|=1,则|A|=1,下面证明: 存在性:不妨设 x0 是 B 中唯一元素,则 f(f(x0) )=x0, 令 f(x0)=t,f(t)=x0,那么 f(f(t) )=f(x0) ,而 f(x0)=t,故 f(f(t) )=t, 说明 t 也是 f(f(x) )的不动点, 由于 f(f(x) )只有唯一的不动点,故 x0=t,即 f(t)=t,这说明 t 也是 f(x)的 不动点,从而存在性得证; 以下证明唯一性:若 f(x)还有另外一个不动点 m,即 f(m)=m,m≠t, 则 f(f(m) )=f(m)=m,这说明 f(f(x) )还有另外一个稳定点 m 与题设矛盾. 故唯一性得证. 点评: 本题考查函数单调性、集合运算,考查学生推理论证能力及运用所学知识分析问题解 决新问题的能力,综合性强,难度大. 22. (12 分)如图已知点 B 在以 AC 为直径的圆上,SA⊥面 ABC,AE⊥SB 于 E,AF⊥SC 于 F. (1)证明:SC⊥EF; (2)若 求三棱锥 S﹣AEF 的体积. ,

考 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 点 : 专 计算题;证明题. 题 : 分 (1)先由 AC 为圆的直径,点 B 在圆上? BC⊥AC.再利用 SA⊥平面 ABC,BC? 平面
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析 ABC? AE⊥BC,通过线面垂直的判定定理即可证明 AE⊥面 SBC,从而有 AE⊥SC,通过线面 : 垂直的判定定理即可证明 SC⊥面 AEF,从而证明结论; (2)由(1)知 AE⊥面 SBC, ,求出 △AEF 的面积 根据已知条件求得 解 解: (1)证明: 答 : ,进而求得三棱锥 S﹣AEF 的体积. ,进而求得三角形





. (6

分) (2)解:Rt△SAC 中,∵ 又 AF⊥SC,∴F 为 SC 的中点,∴ 由(1)知 AE⊥面 SBC,∴ 得 ,∴ (10 分) (8 分)

由(1)知 SC⊥面 AEF, ∴ (12 分)

点 此题是个中档题.考查线面垂直的判定定理和性质定理以及棱锥的体积等基础知识,同 评 时考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. :

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