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塘厦中学2017届高一数学暑假作业——《三角》答案


塘厦中学 2017 届高一数学暑假作业——《三角》答案
1.[2014·郑州质检]要得到函数 y=cos2x 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴 ( )

? 个单位 4 ? C.向右平移 个单位 8
A.向右平移 1.B

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 8
B.向左平移

>
【解析】∵y=cos2x=sin(2x+ 即得 y=sin2(x+

? )=cos2x 的图象,故选 B. 4


? ? ),∴只需将函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴向 个单位, 2 4

2. cos 2. ?

5? 的值等于 6

3 . 2 【解析】

试题分析:原式 ? cos(? ?

?
6

) ? ? cos

?
6

??

3 . 2

3.化简 sin( 3. cos x 【解析】

?
2

? x) =



试题分析:由诱导公式 sin(

?
2

? ? ) ? cos ? 得, sin(

?
2

? x ) ? cos x 。

考点:三角函数的诱导公式的运用 4.若 sin(? ? x) ? cos(? ? x) ? 4. ?

1 ,则 sin 2 x ? 2



3 4 1 1 ,∴ cos x ? sin x ? ? ,平方得 2 2

【解析】 试题分析: sin(? ? x) ? cos(? ? x) ? ? sin x ? cos x ?

1 ? sin 2 x ?

1 3 ,∴ sin 2 x ? ? . 4 4 3? 1 ? x) ? ? 0, ??? ,则 sin 2 x ? 2 2


考点:诱导公式、倍角公式. 5.若 sin(? ? x) ? sin( 5. ?

3 4

【解析】

1

塘厦中学 2017 届高一数学暑假作业——《三角》答案
试题分析: sin(? ? x) ? sin(

3? 1 1 ? x) ? ? sin x ? cos x ? ,∴ sin x ? cos x ? ? ,平方得: 2 2 2 1 3 1 ? sin 2 x ? ,∴ sin 2 x ? ? . 4 4

考点:诱导公式、倍角公式. 6.如果角 ? 的终边经过点 ? ?

? ? ?

3 1? , ? ,则 sin? ? 2 2? ?

.

6.

1 2

【解析】

试题分析:依题意并结合三角函数的定义可知 sin ? ?

y x2 ? y 2

? (?

1 2 3 2 1 2 ) ?( ) 2 2

?

1 . 2

考点:任意角的三角函数. 7.函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? 确结论的编号 ) . .. ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________(写出所有正 3?

11 π 对称; 12

? 2π ? , 0 ? 对称; ? 3 ? ? π 5π ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C 3

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

7.①②③ 【解析】















π? ? f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 3? ?















2x ?

?
3

? k? ?

?
2

,x ?

k 5 11 ? ? ? (k ? z ). x ? ?. 2 12 12 因 此 ① 正 确 ; 因 为 若 当 k ? 1 时,

π? ? ? k 1 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 2 x0 ? ? k? , x 0 ? ? ? ? (k ? z ). 3 ? 的 对 称 中 心 为 ( xo ,0), 则 ? 3 2 6 当

2

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2 ? ? ? x0 ? ? . 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , (k ? z ). k ? 1 时, 3 因此②正确;因为当 2 3 2 时,函数

k? ?
单调递增,即

?
12

? x ? k? ?

? π 5π ? 5? , (k ? z ). ?? , ? k ? 0 12 当 时,为 ? 12 12 ? .因此③正确;
π 3

因 为

y ?3 s x i n 的 2图 象 向 右 平 移

个 单 位 长 度 得 到

y ? 3 sin[ 2( x ?

?
3

)] ? 3 sin( 2 x ?

π? ? 2? f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? ) 3 ? ,因此④不正确. ? 3 ,不为

考点:三角函数图像与性质 8.已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

8. (1) ? ; (2)3,0 【解析】 试题分析: (1)利用二倍角公式对原函数进行降幂,再利用辅助角公式进行化简,化简成

? 2? ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , ?? ; 则周期 T ? (2) 利用换元法, 将 2 x ? 当成一个整体, 6 2 6 ? ? ? 5? ? 根据 0 ? x ? ,则 ? ? 2 x ? ? ,从而得出 0 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 3 . 2 6 6 6 6
试题解析: (1) f ( x) ? 3sin 2 x ?1 ? cos 2 x 2分 5分

? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
∴ f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)

?

0? x?

?
2

,??

?
6

2? ?? . 2 ? 2x ?

7分

?

??

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

6

?

5? 6
4分

? 0 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 3 6
∴ f ( x ) 在区间 [0,

?

?

2

] 上的最大值是 3 ,最小值是 0 .

6分

考点:1.二倍角公式;2.三角函数图像、性质与最值. 9.已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2cox2 x ? m ,其定义域为 [0, ] ,最大值为 6. (1)求常数 m 的值;

? 2

3

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(2)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 9. (1) m ? 3 ; (2) ? 0, 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 首 先 将 函 数

? ?? ? 6? ?

f

x? ? ?

3 s i nx ?2

2

化s 2 c x ?o m成

f

x? 2 ? ?

?? ? s ?i n ?x 2? ? 6? ?

?m

1

再根据其定义域求出最大值,列方程求出常数 m 的值. (2)根据正弦函数 y ? sin x 的单调性和 2 x ? 可得函数的单调区间. 试题解析: (1) f ? x ? ? 3 sin 2 x ? 2cos2 x ? m = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? 1 = 2sin ? 2 x ? 由0 ? x ?

?
6

的取值范围,列不等式

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
2



? ?

??

? ? m ?1 6?

?

2 6 ?m ? 3 ? 6 得 m ? 3 .

知:

?

? 2x ?

?
6

?

7? ,于是可知 f ( x) ? 3 ? m 6
(6 分)

(2)由 f ( x) ? 2sin(2 x ? 而 f ( x) 在 ?

?
6

) ?4 及

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
2

? 2x ?

?
6

?

?
2

7? 6

上单调递增 时 f ( x ) 单调递增

可知 x 满足:

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
2

?0 ? x ?

?
6

于是 f ( x ) 在定义域 ? 0,

? ?? ? ?? 上的单调递增区间为 ? 0, ? . ? ? 2? ? 6?
1 1 x ? 3 cos x, x ? R . 2 2

(12 分)

考点:1、正弦函数的性质;2、两角和与差的三角函数公式. 10.已知函数 y ? sin

(1)求函数的最大值及取最大值时 x 的取值集合; (2)求函数的单调递减区间. 10. (1) ymax ? 2 , x ? 4k? ? 【解析】

?
3

, k ?Z; (2) [4k? ?

?

7 , 4k? ? ? ]( k ? Z) . 3 3

4

塘厦中学 2017 届高一数学暑假作业——《三角》答案
试题分析: (1)首先根据 a sin x ? b cos x ? 时,取得最大值, x ? ? ? (2) 2k? ? 当 sin ?x ? ? ? ? 1 a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ?进行化简,

?
2

? 2k? , k ? z ,解出 x 的值;

?
2

?

1 ? 3? x ? ? 2 k? ? , (k ? Z) ,解出 x 的范围,写出区间形式. 2 3 2

试题解析: 解: (1) y ? sin (4 分)

1 1 1 1 3 1 1 ? x ? 3 cos x ? 2( sin x ? cos x) ? 2sin( x ? ) , 2 2 2 2 2 2 2 3

1 ? (5 分) ? 当 sin( x ? ) ? 1 时,y 取最大值, ymax ? 2 , 2 3 1 ? ? x ? ? 2 k? ? , k ? Z 此时 (6 分) 2 3 2 ? 即 x ? 4k? ? , k ? Z (7 分) 3 ? 故 y 取最大值 2 时 x 的集合为 {x | x ? 4k? ? , k ? Z} (8 分) 3 ? 1 ? 3? , ( k ? Z) 得 (2)由 2k? ? ? x ? ? 2k? ? (10 分) 2 2 3 2 ? 7 4 k? ? ? x ? 4 k? ? ? , k ? Z (12 分) 3 3 ? 7 所以函数的单调递减区间为: [4k? ? , 4k? ? ? ]( k ? Z) (14 分) 3 3
考点:三角函数的化简与性质 11.已知 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 sin

?
2

? cos

?
2

?

6 . 2

3 ? (1)求 cos? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ? ? , ? ? ( , ? ) ,求 cos ? 的值. 5 2
11. 【 答 案 】 解 : ( 1 ) 由 已 知 sin

?
2

? cos

?
2

?

3 6 , 两 边 平 方 得 1 ? sin ? ? , 2 2

? sin ? ?

1 ,…3 分 2

? 3 ; Q ? ? ( , ? ) ,? cos ? ? ?
2

2

……………………………………6 分

? ? ? ? (2) Q ? ? ( , ? ) , ? ? ( , ? ) ,?? ? ? ? (? , ) , 2 2 2 2 3 4 又 sin(? ? ? ) ? ? ,? cos(? ? ? ) ? ……………………………………8 分 5 5
所以 cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

5

塘厦中学 2017 届高一数学暑假作业——《三角》答案
?? 3 4 1 3 3? 4 3 . ? ? ? (? ) ? ? 2 5 2 5 10

………………………………12 分

12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 2sin (1)求角 B; (2)设 t ? sin A sin C ,当 t 取最大值时求 A 的值。 【答案】 (1) c ? 4 ; (2)

2

A?C ? cos 2 B ? 1 2

π . 3

【解析】 试题分析: (1)利用二倍角公式,化简方程,可得 B,利用余弦定理,可求 c 的值; (2)利用二倍角、 辅助角公式, 化简函数, 结合 A 的范围, 即可得 t 取最大值时求 A 的值 . 试题解析:解: (1) ∵2?

1 - cos( A ? C ) ? 2 cos 2 B ? 1 ? 1 2

∴ 2 cos2 B ? cos B ? 1 ? 0 ∴ cos B ?

1 π (cos B ? ?1舍去) ,即 B= 2 3

(3 分)

(2) t ? sin A ? sin(

2π 3 1 ? A) ? sin A ? ( cos A ? sin A) 3 2 2

?
?

3 1 1 1 ? cos 2 A 3 1 1 ? sin 2 A ? ? ? sin 2 A ? cos 2 A ? 2 2 2 2 4 4 4
(10 分)

1 π 1 sin( 2 A ? ) ? 2 6 4 2π π π 7π ∵A ∈(0, ) ,∴ 2 A ? ∈ ( ? , ) 3 6 6 6 π 1 即 sin( 2 A ? ) ∈ ( ? ,1] 6 2 π π π 3 当 2 A ? = ,即 A= 时, t max ? 6 2 3 4
13.已知向量 a ? (cos (1) a ? b 及 | a ? b | ; (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值为 ? 【答案】 (1)详见解析; (2) ? ?

(12 分)

考点:1.二倍角的余弦;2.两角和与差的正弦函数;3.余弦定理.

? 3 3 x x x, sin x), b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] ,求: 2 2 2 2 2

3 ,求实数 ? 的值. 2

1 . 2
6

塘厦中学 2017 届高一数学暑假作业——《三角》答案
【解析】 试题分析:(1) a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , a ? b ?

?a ? b?

2

,代入数值求解;

( 2 )根据前一 问的结果 f ?x ? ? ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 2?2 ? 1 , 根据 0 ? cosx ? 1,讨论 当

? ? 0 , 0 ? ? ? 1 , ? ? 1 三种情况的最小值,解得 ? 的值. 3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x 试题解析:解: (1) a ? b ? cos 2 2 2 2
| a ? b |? (cos 3x x 3x x ? cos )2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2
(5 分) (6 分)

(2 分)

? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos2 x ? 2 | cos x |
又 x ? [0,

?
2

]? cos x ? 0

从而 | a ? b |? 2cos x

(2) f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ? 2cos2 x ? 4? cos x ?1

? 2(cosx ? ? ) 2 ? 2?2 ? 1
由于 x ? [0,

(7 分) (8 分) (9

?
2

]

故 0 ? cos x ? 1

①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 ?1 ,这与题设矛盾 分)
2 2 ②当 0 ? ? ? 1 时, 当且仅当 cos x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值 ?2? ? 1 , 由 ? 2? ? 1 ? ?

3 及 2

0 ? ? ? 1得 ? ?

1 2

(11 分)

③当 ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 1 ? 4? ,由 1 ? 4? ? ?

3 , 2

5 与 ? ? 1 矛盾 (13 分) 8 1 综上所述, ? ? 即为所求. (14 分) 2
得? ? 考点:1.向量的计算公式;2.分类讨论二次函数求最值.

7


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