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宁夏银川一中2012届高三第二次模拟数学(文科)


绝密★启用前

3.已知向量 AB =(2,x-1), CD =(1,-y)(xy>0),且



,则 D.16

2 x

?

1 y

的最小值等于

2012 年普通高等学校招生全国统一考试
A

.2 B.4 C.8









4.已知α 是第二象限角,P(x, 5 )为其终边上一点,且 cos ? ? A. 3 B. ?
3

2 4

x

,则 x 的值是

(银川一中第二次模拟考试)

C.- 2

D.- 3
a b

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无 效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形 码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的 标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔 迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无 效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑。

5.已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y ? x 3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 A.
1 3

的值为

B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

1 3

6.某人向一个半径为 6 的圆形靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点 是随机的,则此人射中的靶点与靶心的距离小于 2 的概率为 A.
1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 9

7.一个正三棱柱的主(正)视图是边长为 3 的正方形,则它的外接球的表面积等于 A. 8? C. 9? B. D.
25 ? 3 28 ? 3

8.同时具有性质:“①最小正周期为 ? ;②图象关于直线 x ? 是增函数。”的一个函数是 A. y ? sin(
x 2 ?

?
3

对称;③在 ( ?

?
6

,

?
3

)



?
6

)

B. y ? cos(
)

x 2

?

?
6

)

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. ?1 ? i
2

C. y ? cos( 2 x ?

?
3

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

9. 已知变量 x、y
1? i i
3

等于 A.16 C. ?1 ? i D. 1 ? i

?2 x ? y ? 0 ? 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 0 ?

,则 z ? 2 x ? y ? 4 的最大值为

B.8

C.6

D.4

B. 1 ? i

2.若集合 A={1,m },集合 B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 文科数学试卷 第 1 页(共 6 页) 文科数学试卷 第 2 页(共 6 页)

10.程序如下: INPUT “a,b,c=”;a,b,c IF a>b t=a a=b b=t END IF IF a>c t=a a=c c=t END IF IF b>c t=b b=c c=t END IF PRINT a,b,c END
? 1? ? 1? 输入 a= ? ? ? ,b= ? ? ? ? 3? ? 2?
4 ?4

12.已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) , 且 x ? [ 0 , 2 ] 时 ,
f ( x ) ? log 2 ( x ? 1 ) ,甲,乙,丙,丁四位同学有下列结论:甲: f ( 3 ) ? 1 ;乙:函数
f ( x ) 在[-6,-2]上是增函数;丙:函数 f ( x ) 关于直线 x ? 4

THEN

对称;丁:若 m ? ( 0 ,1) ,

则关于 x 的方程 f ( x ) ? m ? 0 在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正确的是 A. 甲,乙,丁 B. 乙,丙 C. 甲,乙,丙 D. 甲,丁

THEN

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
? 2 ? x ? 1, x ? 0 13. f ? x ? ? ? ,若 f ? x 0 ? ? 1 ,则 x 0 的取值范围_______ ? x, x ? 0

THEN

14. 已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ;②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;④若 l ∥ m ,则 ? ? ? ; 其中为真命题的序号是_______ 15. 如图所示:有三根针和套在一根针上的 n 个金属片,按下列规则,把金属片从一根 针上全部移到另一根针上. ,c= log
4

1
1 4

则运行结果为
4 ?4

2
? 1? B. ? ? ? , log ? 3?

(1)每次只能移动一个金属片; (2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能
1
1 4

? 1? A. ? ? ? ? 2?
4

?4

, log

1
1 4

? 1? ,? ? ? 2 ? 3?

? 1? ,? ? ? 2 ? 2?
4

放在较小的金属片上面.将 n 个金属片从 1 号针 移到 3 号针最少需要移动的次数记为 f ( n ) ;
第 15 题图

? 1? ? 1? C. ? ? ? , ? ? ? ? 3? ? 2?

?4

, log

1
1 4

2

? 1? D. ? ? ? ? 2?

?4

? 1? , ? ? ? , log ? 3?

1
1 4

则: (Ⅰ) f (3) ?

(Ⅱ) f ( n ) ?

2

16. 在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a ? 2 3 , c ? 2 2 ,
1? tan A tan B ? 2c b

11.若双曲线
y
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左.右焦点分别为 F 1、 F 2 ,线段 F 1 F 2 被抛物线

,则 ? C = _______

? 2 bx
9 8

的焦点分成 7:5 的两段,则此双曲线的离心率为 B.
10 9

A.

C.

3 2 4

D.

10 3

文科数学试卷

第 3 页(共 6 页)

文科数学试卷

第 4 页(共 6 页)

三、解答题:解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17.(本题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?b n ? 的各项均为正数,
b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b 2 ? S 2 ? 12 , q ?

21.(本题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 在 ( ?? , 0) 上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程
f ( x ) ? 0 有三个根,它们分别为 ? , 2, ? .

S2 b2

. (Ⅰ)求 a n 与 b n ; (Ⅱ)设数列 ? c n ? 满

(1)求 c 的值; (2)求证 f (1) ? 2 ; (3)求 | ? ? ? | 的取值范围.

足 cn ?

1 Sn

,求 ?c n ? 的前 n 项和 T n .

18.(本题满分 12 分) 如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形,
AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中点.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线
PBC 交圆 O 于点 B、 C , ? APC 的平分线分别交

(Ⅰ)求证 AF∥平面 BCE; (Ⅱ)设 AB=1,求多面体 ABCDE 的体积. 19.(本题满分 12 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试中随机抽取了 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组:第一组 ?160 ,165 ? ,第二组 ?165 ,170 ? ,第三组 ?170 ,175 ? ,第四组 ?175 ,180 ? ,第五 组 ?180 ,185 ? 得到的频率分布直方图如图所示, (1)求第三、四、五组的频率; (2)为了以选拔出最优秀的学生,学校决定 在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第三、四、 五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。 (3)在(2)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的的 面试,求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。 20.(本题满分 12 分) 1 3 椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 .点 P(1, ) 、A、B 在 2 2 → → → 椭圆 E 上,且PA+PB=mOP(m∈R) . (1)求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率; (2)当 m=-3 时,证明原点 O 是△PAB 的重心,并求直线 AB 的方程. 文科数学试卷 第 5 页(共 6 页)

AB 、 AC 于点 D、 E .

(1)证明: ? ADE ? ? AED ; (2)若 AC ? AP ,求
PC PA

的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 已知点 P (1 ? cos ? , sin ? ) ,参数 ? ? [ 0 , ? ] ,点 Q 在曲线 C: ? ?
9 2 sin( ? ?

?
4

上.
)

(1)求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求点 P 与点 Q 之间距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m ) . (1)当 m ? 7 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

文科数学试卷

第 6 页(共 6 页)

银川一中第二次模拟考试数学参考答案
一.选择题:DACDD DBDBB CD 二.填空题:13.(- ? , ? 1) ? (1, ?? ) ; 14.(1),(4); 15.7,2 -1;
n

第五组的人数为 0.1×100=10 因为第三、四、五组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,
0

16.45

三.解答题: 17..解: (Ⅰ)设 ?a n ? 的公差为 d ,
?b 2 ? S 2 ? 12 , ? q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? 解得 q ? 3 或 q ? ? 4 (舍) d ? 3 . , q? . q? , ? ? q b2 ? ?

每组抽到的人数分别为:第三组 第四组 第五组
20 60
10 60 ?6 ?1

30 60

?6 ?3

?6 ? 2

所以第三、四、五组分别抽取 3 人,2 人,1 人. (3)设第三组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第四组的 2 位同学为 B1 , B 2 , 第五组的 1 位同学为 C 1 则从 6 位同学中抽 2 位同学有:

故 a n ? 3 ? 3( n ? 1) ? 3 n

, bn ? 3

n ?1



?A

1,

A2 ? , ? A1, A3 ?

, ? A1, B1 ? , ? A1, B 2 ? , ? A1,C 1 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ?

? A2 , C1 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , C1 ? , ? B1, B 2 ? , ? B1,C 1 ? , ? B 2 ,C1 ?
共 15 种可能??????10 分 18.解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 又 AB//DE,且 AB=
1 2

其中第四组的 2 位同学 B1 , B 2 中至少 1 位同学入选有 ? A1, B1 ? , ? A1, B 2 ? , A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ?

1 2

DE .

? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? ? B1, B 2 ? , ? B1,C 1 ? , ? B 2 ,C1 ? 共 9 种可能????????11 分
所以第四组至少有 1 位同学被甲考官面试的概率为
9 15 ? 3 5
2

DE . ∴AB//FP,且 AB=FP,

∴ABPF 为平行四边形, ∴AF//BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF//平面 BCE. (II)∵直角梯形 ABED 的面积为
1? 2 2 ?2 ?3,

20.解: (1)由 e ? 1 ?
2

b a
2

2 2

=

1 4



1 a
2

?

9 4b
2

? 1 解得 a =4,b =3,
2

椭圆方程为

x

2

4

?

y

3

? 1;

设 A(x1,y1) B(x2,y2) 由 PA ? PB ? m OP 得 、 ,
? x1 ? x 2 ? 2 ? m ? (x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1, ) ,即 ? 3 2 ? y1 ? y 2 ? 3 ? m 2 ?
3

C 到平面 ABDE 的距离为

3 2

?2 ?
1 3

3,
? 3? 3 ? 3 .即多面体 ABCDE 的体积为 3 .

∴四棱锥 C-ABDE 的体积为 V ?



x1

2

19.解: (1)由题设可知,第三组的频率为 0.06×5=0.3 第四组的频率为 0.04×5=0.2 第五组的频率为 0.02×5=0.1 (2)第三组的人数为 0.3×100=30 第四组的人数为 0.2×100=20

4

?

y1 3

2

? 1,

x2 4

2

?

y2 3

2

? 1 ,两式相减得

k AB ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

??

3 4

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

??

3 4

?

2?m 1 ?? ; 3 2 3? m 2

? x1 ? x 2 ? 2 ? m ? (2)由(1)知,点 A(x1,y1) B(x2,y2)的坐标满足 ? 、 3 , y1 ? y 2 ? 3 ? m ? 2 ?

22. 解:(1)∵ PA 是切线,AB 是弦, ∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, =0, ∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED. (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴
PC PA ? CA AB

点 P 的坐标为(1,

3 2

), m=-3,

于是 x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+

3 2

=3+

3m 2

+

3 2

因此△PAB 的重心坐标为(0,0) .即原点是△PAB 的重心. ∵x1+x2=-1,y1+y2=又
x1
2

3 2

,∴AB 中点坐标为( ?
2

1 2

,?

3 4

) ,

,

4

?

y1 3

2

? 1,

x2 4

?

y2 3

2

? 1 ,两式相减得

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠APC=∠BAP= ×90°=30°.
PC PA ? CA AB

k AB ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

??

3 4

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2
3 4 1 2

??

1 2
1 2

; ),即 x+2y+2=0.

∴直线 AB 的方程为 y+
2

=?

(x+

0 21.解: (1) f ? ? x ? ? 3 x ? 2 bx ? c ,? f ? x ? 在 ? - ? ,? 上是增函数,

在 Rt△ABC 中,

CA AB

= 3, ∴

= 3.

1

在[0,2]上是减函数,∴当 x=0 时 f(x)取到极大值, 由 f ? ? 0 ? ? 0, 得 c =0 ( 2 ) ? f ? 2 ? ? 0,? d ? ? 4 ? b ? 2 ? . ? f ? ? x ? ? 3 x ? 2 bx ? 0 的 两 个 根 分 别 为
2

? x ? 1 ? cos ? , 2 2 23. 解(1)由 ? 得点 P 的轨迹方程 (x-1) +y =1(y≥0), ? y ? sin ? ,

x1 ? 0, x 2 ? ?

2b 3

又由 ? =
.

9 2 sin(? ?

?
4

,得 ? =
)

9 sin ? ? cos ?

,



? sin ? ? ? cos ? =9.

? 函 数 f ? x ? 在 ? - ? ,? 上 是 增 函 数 , 在 ? 0, 2 ? 上 减 函 数 , 0 ? x2 ? ? 2b 3 ? 2,? b ? ? 3

∴曲线 C 的直角坐标方程为 x+y=9. . (2)半圆(x-1) +y =1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离为 4 2 ,所以|PQ|
min 2 2

? f (1) ? b ? d ? 1 ? b ? 4 ( b ? 2 ) ? 1 ? ? 7 ? 3 b ? 2 .

=4 2 -1.

(3)

? ? , 2 , ? 是方程 f ( x ) ? 0的三根 , 可设 f ( x ) ? ( x ? ? )( x ? 2 )( x ? ? )
3 2

24 解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:
?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7

? f ( x ) ? x ? (2 ? ? ? ?) x

? ( 2 ? ? 2? ? ?? ) x ? 2 ?? ,

?b ? ?2 ? ? ? ? , ?? ?d ? ?2?? .
?| ? ? ? |?
2

?? ? ? ? ?b ? 2, ? ?? 1 ??? ? ? d . ? 2
(b ? 2) ? 2d ?
2

解得函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?? , ? 3) ? ( 4 , ?? ) ; (2)不等式 f ( x ) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,
( b ? 2 ) ? 8( b ? 2 ) ?
2

( ? ? ? ) ? 4 ?? ?

( b ? 2 ) ? 16 .
2

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 3 ,

? b ? ? 3,

?| ? ? ? |? 3

不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,
? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (?? ,-1]


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