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高中数学必修2知识点——直线与方程


高中数学必修 2 知识点——直线与方程
一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线 与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直 线的斜率常用 k 表示。即

k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当 ? ? 0 ? ,90 ? ?时,k ? 0 ; 当 ? ? ?90 ? ,180 ? ? 时,k ? 0 ; 当 ? ? 90 ? 时,k 不存在。 y ? y1 ( x1 ? x 2 ) ②过两点的直线的斜率公式: k ? 2 x 2 ? x1 注意下面四点:(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐 标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例:1.已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为( ). A. 60° B. 30° C. 60°或 120° D. 30°或 150°

?

2. 经过 A(? 2, 0), B(?5,3) 两点的直线的斜率是____________,倾斜角是 _______.

(3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表 示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 例:方程 y ? k ( x ? 2) 表示( ). A. 通过点 (?2,0) 的所有直线 B. 通过点 (2,0) 的所有直线 C. 通过点 (2,0) 且不垂直于 x 轴的直线 D. 通过点 (2,0) 且除去 x 轴的直线 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 例:直线 y =3x-5 在 y 轴上的截距 是( ). A. 3 B.-5 C. -3 D. 5

③两点式:

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

例:过两点 (1, 2) 和 (3, 4) 的直线的方程为( ). A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? ? x ? 2

D. y ? ? x ? 2

④截矩式: ? 为 a, b 。 例:直线

y ?1 b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别
x y ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( 2 a b A. b B. b 2

x a

). C. ?b2 D. ?b

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 例:1.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a=

.

2.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 ,则

1 3

m,n 的值分别为(
A. 4 和 3

). B. -4 和 3 C. -4 和-3 D. 4 和-3

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0( A0 , B0 是不全为 0 的常数) 的直线系:

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)
(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 直线系方程为

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x , y ? ;
0 0

: A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的

? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) ,其中直线 l 2 不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2

: y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相交

交点坐标即方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的一组解。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 例:直线 3x ? 5 y ? 1 ? 0 与 4x ? 3 y ? 5 ? 0 的交点是( ). A. (?2,1) B. (?3, 2) C. (2, ?1) D. (3, ?2)

B (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点,
则 | AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 例:已知 A(?2, ?1), B(2,5) ,则|AB|等于(
2 2

).

A.

4

B.

10

C. 6

D. 2 13

(9)点到直线距离公式:一点 P 离d ?

?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距
).
3 2

Ax0 ? By 0 ? C

A2 ? B 2 例:1.点(0,5)到直线 y=2x 的距离是(
A.
5 2

B.

5

C.

D.

5 2

2.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值.

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 例:两平行直线 y ? 2 x 和 y ? 2x ? 5 间的距离是 .


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