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高中数学竞赛讲义


高中数学竞赛讲义(一) ──集合与简易逻辑

一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写 字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 在集合 A 中,称 属 于 A,记为 ,否则称 不属于 A,记作 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别

表示自然数集、整数集、有理数集

、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集, 用 来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表 示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方 法。例如{有理数}, 分别表示有理数集和正实数集。

定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元 素,则 A 叫做 B 的子集,记为 ,例如 。规定空集是任何集合的子集,如果 A

是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素 不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集, 定义 4 并集, 定义 5 补集,若 定义 6 差集, 定义 7 集合 记作闭区间 。 记作开区间 ,R 记作 ,集合 称为 A 在 I 中的补集。

定理 1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) (3) (4) (2) ;

【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。 (1)若 ,即 或 , 即 且 或 ,则 ,且 ;反之, , 即 且 , 即 或 ,所以 ,则 或

(3)若 ,又

,则 ,所以

或 ,即

,所以



,所以 ,反之也有

定理 2 加法原理:做一件事有 类办法,第一类办法中有 办法中有 有 种不同的方法,…,第 类办法中有 种不同的方法。 定理 3 乘法原理:做一件事分 个步骤,第一步有 不同的方法,…,第 步有

种不同的方法,第二类

种不同的方法,那么完成这件事一共

种不同的方法,第二步有



种不同的方法,那么完成这件事一共有

种不同的方法。 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例1 设 (1) (2) (3)若 [证明](1)因为 (2)假设 有相同的奇偶性,所以 ,假设不成立,所以 (3)设 ,则 ; ; ,则 ,且 ,则存在 ,使 ,所以 ,由于 和 ,求证:

是奇数或 4 的倍数,不可能等于

(因为

)。 ,再证 ,则 A=B。

2.利用子集的定义证明集合相等,先证 例 2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

,求集合 M(用 A,B 表示)。 【解】先证 ,所以 再证 ,若 ;2)若 综上, 3.分类讨论思想的应用。 例3 若 【解】依题设, 因为 因为 若 ,则 综上所述, ,所以 , 所以 或 或 ,求 ,再由 ,所以 , 若 ,解得 ; 或 。 , 则 解得 ,所以 或 或 2,所以 , 即 , 或 3。 , , ,则 ,则 ,若 ; 1)若 。所以 ,则 ,因为 ,所以

4.计数原理的应用。 例 4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若 求有序集合对(A,B)的个数;(2)求 I 的非空真子集的个数。 【解】(1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A, 中的每个元素恰 ,

属于其中一个子集,10 个元素共有 310 种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所 以集合对有 310 个。 (2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步,第一步, 1 或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2 也有两种,…,第 10 步,0 也有两种, 由乘法原理,子集共有 5.配对方法。 例 5 给定集合 的 个子集: ,满足任何两个子集的交 个,非空真子集有 1022 个。

集非空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 的值。

【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 同在这 个子集中,因此,

对,每一对不能

;其次,每一对中必有一个在这 个子集中出现,否则, ,则 。综上, 。 ,从而可以在 个

若有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 子集中再添加 ,与已知矛盾,所以

6.竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 表示集合 A 的元素个数,则 , 需要 xy 此结论

可以推广到 个集合的情况,即

定义 8 集合的划分:若

,且



则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。 定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理:将 个元素放入 个抽屉,必有一个抽屉放有不少于 个元素;将无穷多个元素放入 个抽屉必有一

个元素,也必有一个抽屉放有不多于

个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1,2,3,…,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。 【解】 记 ,由容斥原理, ,

,所以不能被 2,3,5 整除的数有 个。 例 7 S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中 最多含有多少个元素?

【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至 多有一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成 6 组,其中一组只有一个数,若 S 含有这 11 个数中至少 6 个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=182× 11+2,所以 S 一共至多含有 182× 5+2=912 个元素,另一方面,当 时, 恰有 所以最少含有 912 个元素。 例 8 求所有自然数 ,使得存在实数 满足: , S 满足题目条件, 且

【解】 当

时, 。下证当

;当

时, 时,不存在

; 当 满足条件。

时,

令 所以必存在某两个下标

,则 , 使得 , 所以 或

,即

,所以







(ⅰ)若 ,即 故只有 考虑 ,有 或 , 推出矛盾, 设 所以 故当 ,设

,考虑 ,则

,有

或 ,导致矛盾,

,即 , 则

,设

,则 , 又推出矛盾,

时,不存在满足条件的实数。

(ⅱ)若 即 ,这时 或

,考虑

,有

或 。考虑 ,有



,推出矛盾,故 ,即 =3,于是

,矛盾。因此

, 所以 故当 时,不存在满足条件的实数。

, 这又矛盾, 所以只有

, 所以



例 9 设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两 个数组成五个元素的集合 【解】 设 B 中每个数在所有 ( ),则 在 中最多重复出现 次,则必有 出现的所有 } 。若不然,数 出现 次 , 求 的最小值。

中,至少有一个 A 中的数出现 3 次,不妨设它 , 其中 ,

是 1, 就有集合{1, 为满足题意的集合。 20 个

必各不相同, 但只能是 2, 4, 6 这 5 个数, 3, 5, 这不可能, 所以 。当 时,

中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以

如下 20 个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9}, {1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。 例 10 集合{1,2,…,3n}可以划分成 个互不相交的三元集合 ,求满足条件的最小正整数 ,其中

【解】 设其中第 个三元集为

则 1+2+…+

所以 ,所以 ,当

。当 为偶数时,有

,所以

,当 为奇数时,有

时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,

7},{10,14,8}满足条件,所以 的最小值为 5。 三、基础训练题 1.给定三元集合 2.若集合 3.集合 ,则实数 的取值范围是___________。 中只有一个元素,则 =___________。 的非空真子集有___________个。

4.已知集合 的实数 组成的集合 P=___________。 5. 已知 6.若非空集合 S 满足 合 S 有___________个。 7.集合 8.若集合 之和是___________。 9.集合 构成的集合为___________。 10.集合 ___________。 ,且 ,其中 , , 且 ,且若

,若

,则由满足条件

, 则常数 的取值范围是___________。 ,则 ,那么符合要求的集

之间的关系是___________。 且 ,若 ,则 A 中元素

,则满足条件的



,则

11.已知 S 是由实数构成的集合,且满足 1) ,S 中至少含有多少个元素?说明理由。 12. 已知 求实数 的取值范围。 四、高考水平训练题 1.已知集合 ___________。

)若

,则

。如果

, C 为单元素集合, 又

,且 A=B,则

___________,

2. ,则 3.已知集合 实数 的取值范围是___________。 ___________。 ,当 时,

4.若实数 为常数,且

___________。

5.集合 ___________。 6.集合 元素是___________。 7.集合 ___________。

,若

,则

,则

中的最小

,且 A=B,则

8.已知集合 ___________。 9.设集合 ,问:是否存在 论。 10.集合 A 和 B 各含有 12 个元素, 合 C 的个数:1)

,且

,则

的取值范围是

,使得

,并证明你的结

含有 4 个元素,试求同时满足下列条件的集 。 ,

且 C 中含有 3 个元素;2)

11. 判断以下命题是否正确: A, 是平面上两个点集, 设 B 若对任何 ,都有 ,则必有 ,证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.已知集合 取值范围是___________。 2.集合 的子集 B 满足:对任意的

,则实数



,则集

合 B 中元素个数的最大值是___________。 3. 已知集合 则实数 ___________。 , 若 ___________。 是 , 其中 , 且 , P=Q, 若

4. 已知集合 平面上正八边形的顶点所构成的集合,则

5.集合

,集合 ,则集合 M 与 N 的关系是___________。

6.设集合 则 A 中元素最多有___________个。 7.非空集合 的所有 的集合是___________。

,集合 A 满足:

,且当

时,



,≤则使

成立

8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集 序三元组(A,B,C)个数是___________。 9.已知集合 问: 当 取何值时, 结论如何? 10.求集合 B 和 C,使得 11.S 是 Q 的子集且满足:若 ,则 ,则 ,试确定集合 S。

, 则满足条件的有

, 为恰有 2 个元素的集合?说明理由, 若改为 3 个元素集合,

,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 恰有一个成立,并且若

12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的任何两 个元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题 1. ,则 是三个非空整数集, 已知对于 1, 3 的任意一个排列 2, 。求证: 中必有两个相等。 , , 如果 ,

2.求证: 集合{1, …, 2, 1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 使得(1)每个 恰有 17 个元素;(2)每个 中各元素之和相同。

3.某人写了 封信,同时写了 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错 的情况有多少种? 4.设 个不同的元素,求集合 5.设 S 是由 为偶数。 是 20 个两两不同的整数,且整合 中不同元素个数的最小可能值。 中有 201

个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数

6.对于整数

,求出最小的整数 的任一个

,使得对于任何正整数

,集合

元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。

7.设集合 S={1,2,…,50},求最小自然数 ,使 S 的任意一个 元子集中都存在两 个不同的数 a 和 b,满足 8.集合 。 ,试作出 X 的三元子集族&,满足:

(1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2) 9.设集合 。 ,求最小的正整数 ,一定存在某个集合 ,使得对 A 的任意一个 14-分划 中有两个元素 a 和 b 满足

,在




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