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高三数学21 正弦定理与余弦定理 学案


§21 正弦定理与余弦定理
【考纲要求】 内容 三角函数 【基础自查】 : 1. 设△ ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, R 是△ ABC 的外接圆半径 (1)正弦定理:三角形的________________,即___________=_____________=___________= 2R (2)正弦定理的三种形式:① a ? _

_______, b ? ________, c ? _________ (边到角的转换); ② sin A ? ________,sin B ? ________,sin C ? _________ (角到边的转换);③ a : b : c ? _________ (3)已知 a, b, A ,用正弦定理求 B 时解的情况: 正弦定理、 余弦定理及其 应用 要求

A

B


C

? a ? b sin A, ______ 解 ? ? a ? b sin A, _____ 解 ①若 A 为锐角,则 ? ,图:__________________________________________ ? b sin A ? a ? b, ? a ? b, _____ 解 ?
②若 A 为直角或钝角,则 ? 2. 三角形常用面积公式 (1) S ?

?a ? b, ______ 解 ,图:___________________________________________ ?a ? b, ______ 解

1 a ? h ( h 表示三角形长为 a 的边上的高). 2 1 r ? a ? b ? c ? ( r 为三角形的内切圆半径) 2

(2) S ? ______ ? ______ ? _______ ? ______ ;(3) S ?

3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于_______________________,即 a2=__________, b2= _________, c2= _____ 余弦定理也可以写成如下形式: cos A ? ________ ,cos B ? _______ ,cos C ? ______. 4.三角形内角和定理的变形: 由 A ? B ? C ? ? ,知: A ? ? ? ? B ? C ? 可得出: sin A ? _________;cos A ? __________

A ? B?C A A ? ? ,有 sin ? __________;cos ? ____________ 2 2 2 2 2 【自学导引】 1.(必修 5P10.2)在 ? ABC 中,已知 a ? 5 2, c ? 10, A ? 300 则 B ? _________ a?b?c ? 2.( 必修 5P10.3) 在 ? ABC 中,若 A ? 600 , a ? 3 ,则 sin A ? sin B ? sin C 3. ( 必修 5P17.5) 在 ? ABC 中,已知 c ? 2a cos B ,则 ? ABC 的形状为__________三角形 4. ( 必修 5P17.6) 在 ? ABC 中,已知 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc ,则 ? A ? ____________


【要点例析】
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题型 1 正弦定理和余弦定理的应用 【例1】 (1) (2010 天津)在 ? ABC 中,若 a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B ,则 A ? _________ (2) (2010 湖北)在 ? ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? 则 cos B ? ______________

题型 2 三角形的面积 【例 2】. 在 ? ABC 中, c ? 2, C ?

?
3

,若 ? ABC 的面积等于 3 ,求 a , b

【变式练习】在 ? ABC 中, cos A ?

5 0 (1)求角 C; (2)设 AB ? 2 ,求 ? ABC 的面积 , cos B ? 5 10

题型 3 判断三角形的形状 【例 3】 (2010 辽宁)在 ? ABC 中, 2a sin A ? ? 2b ? c ? sin B ? ? 2c ? b ? sin C (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,判断三角形的形状

题型 4 正余弦定理的综合运用 【例 4】 (2010 南通)在 ? ABC 中, b ? ac ,向量 m ? cos ? A ? C ? ,1 , n ? ?1,cos B ? ,满足 m ? n ?
2

??

?

?

?

?? ?

3 2

(1)求 sin A sin C 的值; (2)求证: ? ABC 为等边三角形

【随堂演练】
1. 在 ? ABC 中, b ? 2, B ? 45 ,若此三角形有两解,则 a 的取值范围是________________;
0

2.(2010 安徽) ? ABC 的面积是 30 , cos A ?

??? ???? ? 12 ; (1)求 AB ? AC ; (2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值 13
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