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2013~2014学年度第一学期期末复习(三)高二理科数学A


2013~2014 学年度第一学期期末复习(三) 高二理科数学(A)
考生注意:本试卷共三大题,20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟,不准使用计算器。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确。请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。 ) 1.对于实数 a, b, c , ac 2 ?

bc 2 ”是“ a ? b ”的 “ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 在 ?ABC 中, AB ? A.

3 , AC ? 1 , ?A ? 30? ,则 ?ABC 面积为
B.

3 2

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 4 2

3. 设抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到直线 x ? ?2 的距离是 6 ,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 A. 12 B. 8 C. 6 D. 4

4.设 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ? 1 则 A. 2 5. 若规定 B. 4

1 2 ? 的最小值是 a b
C. 3 ? 2 2 D. 6

a c

b d

? ad ? bc 则不等式

2x ?2

x?2 x

? 0 的解集是
C. x ?2 ? x ? 1

A. x x ? ?2或x ? 1 6.若椭圆 A.3

?

?

B. x ?2 ? x ? 1

?

?

?

?

D. ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则 m ? m 3
B.6 C.9 D.12

7.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时, n 等 于 A.6 B.7
2

C.8

D.9

8. 若数列 ?a n ?的通项公式为 an ? A. 5 B. 6

1 7 ,其前 n 项和为 ,则 n 为 n ? 3n ? 2 18
C. 7
?

D. 8

9. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,若 ?C ? 120 , c ? 2a ,则 A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a 与 b 的大小关 系不能确定 10. 设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为
高二理科数学(A) 第 1 页 共 4 页

A. 题 号 答 案

3 ?1 2
1 2 3

B.

5 ?1 2
4 5 6

C. 7

2
8 9

D.

3
10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在答题卡中相应的位置 上.) 11. 已知命题 p : ?x ? R , sin x ? 1,则 ?p 是 12.在 ?ABC 中, a cos B ? b cos A ? c sin C , b ? c ? a ? 3bc ,则 B =
2 2 2

. . .

13.等差数列 {an } 的前 n 项的和为 S n ,且 a2012 ? 2011 , S2013 ? 2013 ,则 a1 ? 14.使得不等式 x ? mx ? 4 ? 0 对任意 x ? 0 恒成立的实数 m 的取值范围是
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15.(本小题满分 12 分) 已 知 命 题 p : 关 于 x 的 方 程 x ? 2x ? a ? 0 有 实 数 解 , 命 题 q : 关 于 x 的 不 等 式
2

x 2 ? ax ? a ? 0 的解集为 R ,若 (?p) ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围..

16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A ? 120 .
?

(1)若三边长构成公差为 4 的等差数列,求 ?ABC 的面积; (2)已知 AD 是 ?ABC 的中线,若 AB ? AC ? ?2 ,求 | AD | 的最小值.

??? ???? ?

????

高二理科数学(A) 第 2 页 共 4 页

17.(本小题满分 14 分) 如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, CB ? CD , EC ? BD . (1)求证: BE ? DE ; (2)若∠ BCD ? 120? ,试探究在线段 AE 上是否存在点 M ,使 DM ∥平面 BEC , 若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.

第 17 题图

18. (本小题满分 14 分) 如图,两个工厂 A 、 B 相距 2km ,点 O 为 AB 的中点,现要在以 O 为圆心, 2km 为半径 的圆弧 MN 上的某一点 P 处建一幢办公楼,其中 MA ? AB , NB ? AB .据测算,此办 公楼受工厂 A 的“噪音影响度”与距离 AP 的平方成反比,比例系数是 1 ,办公楼受工 厂 B 的“噪音影响度”与距离 BP 的平方也成反比,比例系数是 4 ,办公楼受 A 、 B 两 厂的“总噪音影响度” y 是受 A 、 B 两厂“噪音影响度”的和,设 AP 为 x km . (1)求“总噪音影响度” y 关于 x 的函数关系,并求出该函数的定义域; (2)当 AP 为多少时,“总噪音影响度”最小? P N M

B

O 第 18 题图

A

高二理科数学(A) 第 3 页 共 4 页

19. (本小题满分 14 分)

如图,椭圆 C :

y2 x2 2 ,其两焦点分别为 F1 、F2 , P ? ? 1 (a ? 2 ) 的离心率为 2 2 2 a

是椭圆在第一象限弧上一点, 并满足 PF1 ? PF2 ? 1 , P 作倾斜角互补的两条直线 PA 、 过 PB 分别交椭圆于 A 、 两点. B
A F1 P y

(1)求椭圆 C 的方程. (2)求 P 点坐标;

B O F2 x

2 (3)当直线 PB 的斜率为 时,求直线 AB 的方程. 2
.

(第 19 题图)

20. (本小题满分 14 分) 等比数列 ?cn ? 满足 cn ?1 ? cn ? 10 ? 4
n ?1

? n ? N ? , 数列?a ? 的前 n 项和为 S
* n

n

,且

an ? log 2 cn .

(1)求 an , S n ; (2)数列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,是否存在正整数 m ,

k ?1 ? m ? k ? ,使得 T1 , Tm , Tk 成等比数列?若存在,求出所有 m, k 的值;若不存
在,请说明理由.

高二理科数学(A) 第 4 页 共 4 页

2013~2014 学年度第一学期期末复习(三) 高二理科数学(A)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确。请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。 )

题 号 答 案

1 A

2 B

3 C

4 C

5 C

6 D

7 A

8 C

9 B

10 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在答题卡中相应的位置 上.) 11. 存在 x0∈R,sinx>1 13. ?2011

12. 60?
14. ?? ?,? 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15.(本小题满分 12 分) 解: 解:因为 (?p) ? q 是真命题, 所以 ?p 和 q 都为真命题,即 p 为假命题且 q 为真命题. ①若 p 为假命题,则 ?1 ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 .

????3分

????6分

②若 q 为真命题,则 ? 2 ? a ? 4a ? 0 ,
2

所以 0 ? a ? 4 , 由①②知,实数 a 的取值范围 是 {a | 1 ? a ? 4 } .

????9分 ????12分

高二理科数学(A) 第 5 页 共 4 页

16.(本小题满分 12 分)

17.(本小题满分 14 分) 证明:(1)设 BD 中点为 O ,连接 OC 、 OE , 由 BC ? CD ,得 CO ? BD . 又已知 CE ? BD , CO ? CE ? E , 所以 BD ? 平面 OCE . 因为 OE ? 平面 OCE , 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (2)存在,取 M 为线段 AE 的中点,则满足 DM ∥平面 BEC . 证明如下: 设 AB 的中点为 N ,连接 MN , DN . ∵ M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE . 又 平面 BEC , BE ? 平面 BEC ,∴ MN ∥平面 BEC .
高二理科数学(A) 第 6 页 共 4 页

∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由 ?BCD ? 120 , CB ? CD 知, ?CBD ? 30 , 所以 ?ABC ? 90 ,即 BC ? AB ,所以 ND ∥ BC . 又 ND ? 平面 BEC , BC ? 平面 BEC , ∴ ND ∥平面 BEC . 又因为 MN ? 平面 MND , ND ? 平面 MND , MN ? ND ? N , 所以平面 MND ∥平面 BEC . 又 DM ? 平面 MND ,所以 DM ∥平面 BEC . 18.(本小题满分 14 分)
解: (1)连结 OP ,设 ?AOP ? ? ,则
? ? ?

?
3

?? ?

2? . 3

在△ AOP 中,由余弦定理得 x 2 ? 12 ? 22 ? 2 ? 1? 2 ? cos ? ? 5 ? 4 cos ? . 在△ BOP 中,由余弦定理得 BP ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos(π ? ? ) ? 5 ? 4 cos ? .
2 2 2

∴ BP 2 ? 10 ? x 2 .

1 4 1 4 ? ? 2? 2 2 AP BP x 10 ? x 2 ? 2? 1 1 ∵ ?? ? ,∴ ? ? cos ? ? , 3 ? 5 ? 4cos? ? 7 , 3 3 2 2


y?

.

即有 3 ? x ? ∴y?

7.

1 4 ,定义域为 ? 3, 7 ? . ? ? ? 2 x 10 ? x 2

(2)由(1)得

y?

1? 10 ? x 2 4 x2 ? 1 4 1 1 4 5? ? ? )[ x 2 ? (10 ? x 2 )] ? ? ( 2? ? ? 10 ? x2 10 ? x 2 ? x 2 10 ? x 2 10 x 10 ? x 2
? 1? 10 ? x 2 4 x2 ? ? ?5 ? 2 ? 10 ? x2 10 ? x 2 ?

?
当且仅当

9 . 10

10 ? x 2 4x2 30 10 ? ,即 x 2 ? 时取等号,此时 x ? ? [ 3, 7] . 2 2 x 10 ? x 3 3

所以,当 AP 为

30 km 时,“总噪音影响度”最小. 3
高二理科数学(A) 第 7 页 共 4 页

19.(本小题满分 14 分)

a2 ? 2 2 y2 x2 2 ? 解:(1)由椭圆 2 ? ,得 ,???2 分 ? 1 (a ? 2 ) 的离心率为 a 2 2 2 a
解得 a ? 2 . 所以椭圆 C 的方程为: ????3 分

y2 x2 ? ? 1. 4 2

????4 分

(2)由题意可得 F1 (0, 2 ) , F2 (0,? 2 ) , 设 P ( x0 , y0 ) ( x0 ? 0, y0 ? 0) , 0 则 PF1 ? (? x0 , 2 ? y0 ), PF2 ? (? x0 , ? 2 ? y0 ) , 所以 PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) ? 1, x0 ? y 0 ? 3 .
2 2 2 2

????5 分

????

???? ?

????6 分

2 2 x0 y0 又因为点 P( x 0 , y 0 ) 在曲线上,则 ? ?1, 2 4 2 4 ? y0 所以 x ? , 2 2 0

????7 分

从而

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 y 0 ? 2 (因在第一象限), 2

????8 分

则点 P 的坐标为 (1, 2 ) .

????9 分

(3)由题意知 PB 的斜率为

2 2 , PA 的斜率为 ? ,则 BP 的直线方程为: 2 2
????10 分

y? 2 ?

2 ( x ? 1) . 2

? 2 ( x ? 1) ?y ? 2 ? 5 2 7 ? 2 由? 得 x ? x ? ? 0 .??11 分 2 2 2 2 ?x ? y ?1 ?2 4 ?

y A F1 B O F2 x P

2 7 设 B( x B , y B ) ,则 1 ? x B ? ? , x B ? ? ,??12 分 5 5
1 8 同理可得 x A ? ,则 x A ? x B ? , 5 5
高二理科数学(A) 第 8 页 共 4 页

y A ? yB ? ?

2 2 8 2 ( x A ? 1) ? ( x B ? 1) ? , 2 2 5

????13 分

所以 AB 的斜率 k AB ? 20.(本小题满分 14 分)

y A ? yB 6 2 ? 2 , AB 方程为 y ? 2 x ? .???14 分 x A ? xB 5

解: 解:(1)由已知得, c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 .

c1 ? 4c1 ? 10 ,得 c1 ? 2 ,即 cn ? 2 ? 4 n?1 ? 2 2 n?1 ,
所以 an ? log 2 2
2 n ?1

? 2n ? 1 ,

Sn ?

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 . 2 2
1? 1 1 ? ? ? ? ?, 4n ? 1 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1
2

(2)由(1)知 bn ? 于是 Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ?? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? 2 n ? 1 . 2 ?? ? ? ? ? ??

假 设 存 在 正 整 数 m, k ?1 ? m ? k ? , 使 得 T1 , Tm , Tk 成 等 比 数 列 , 则

1 k ? m ? , ? ? ? ? 3 k2 ? 1 ? 2m ? 1 ?
可 得

2

3 ? m2 ? m 4 2 ? 1 ? ? 0 , 所 以 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , 从 而 有 2 k m

1?

6 6 ? m ? 1? , 2 2
由 m ? N , m ? 1,得 m ? 2 , 此时 k ? 12 . 所以,当且仅当 m ? 2 , k ? 12 时, T1 , Tm , Tk 成等比数列.
?

高二理科数学(A) 第 9 页 共 4 页


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