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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第17讲 定积分及简单应用 Word版含解析


第17讲 定积分及简单应用

1.(2013· 宁德质检)?1(x2+2)dx=( B )

?0

7 7 A. B. 2 3 C.2 D.1 1 3 ? 7 1 2 解析: ? ?x +2?dx=?3x +2x??1= . 0 ? 3
0

?

1 2.一物体受到与

它的运动方向相反的力 F(x)= ex+x 的作用,则它从 x=0 运动到 x 10 =1 时,F(x)所做的功等于( D ) e 2 e 2 A. + B. - 10 5 10 5 e 2 e 2 C.- + D.- - 10 5 10 5 1 x 1 2? e 2 1 1 x 解析:W=- ? ?10e +x?dx=-?10e +2x ??1=- - ,故选 D. 0 ?0 10 5 ? 3.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若?3f(x)dx=3f(m),则 m=( C )

?0

A.± B. 2 1 C.± 3 D.2 1 3 解析:?3f(x)dx=?3(ax2+b)dx=( 3ax +bx??3=9a+3b, ?0 ? ?
0 0

由?3f(x)dx=3f(m),得 9a+3b=3am2+3b,

?0

所以 m2=3,所以 m=± 3.

4.(2012· 株洲市高质量统一检测)如图所示,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一 4 个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 . 3 解析:因为函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面 积 S=?2(-x2+2x+1-1)dx

?0

1 3 2 4 = ?-3x +x ??2= . ?0 3 5.(2012· 泉州四校二次联考)计算?2-2

?

1 1- x2dx= 4

π .

1 x2 1 1- x2(-2≤x≤2)表示椭圆 +y2=1 的 x 轴上方部分,所以 S= πab=π. 4 4 2 2 ?x ?0≤x≤1? ? 6.(2012· 山东省莱芜市 4 月模拟)函数 f(x)=? 的图象与 x 轴所围成 ? ?2-x ?1<x≤2? 5 的封闭图形的面积为 . 6 解析:y=

解析:?2f(x)dx=?1x2dx+?2(2-x)dx

?0

?0

?1

1 3 1 2 = 3x ?1+ ?2x-2x ??2 ?0 ?1 5 = . 6 7.(2012· 广州一模)已知 2≤?2(kx+1)dx≤4,则实数 k 的取值范围为

?1

2 [ ,2] . 3

1 2 3 解析:因为?2(kx+1)dx= ?2kx +x??2= k+1, ?1 2 ?
1

3 2 于是由 2≤ k+1≤4,解得 ≤k≤2. 2 3

8.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分, 求 k 的值. 解析:抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点为(0,0),(1,0), 则它与 x 轴围成的图形面积为 1 2 1 3? 1 2 1 S= ? ?x-x ?dx=?2x -3x ??1= . 0 ?0 ? 6 1 则直线 y=kx 与 y=x-x2 所围成的面积为 . 12 又 y=kx 与 y=x-x2 的交点坐标分别为(0,0),(1-k,k-k2), 所以直线 y=kx 与 y=x-x2 所围成图形面积为 1 1 1 1 - ∫1 k?x-x2-kx?dx=? x2- x3- kx2? 1-k= (1-k)3= 0 0 2 3 2 6 9.设 f(a)=? |x -a |dx.

? ?

3 1 4 ,所以 k=1- . 12 2

?0

1 2

2

(1)当 0≤a≤1 与 a>1 时,分别求 f(a); (2)当 a≥0 时,求 f(a)的最小值. 解析:(1)0≤a≤1 时, f(a)=?1|x2-a2|dx

?0

=? (a2-x2)dx+?1(x2-a2)dx

?0

a

?a

1 3 1 3 2 2 = ?a x-3x ??a+ ?3x -a x??1 ?0 ?a 3 1 1 a =(a3- a3)+( -a2- +a3) 3 3 3 4 3 2 1 = a -a + . 3 3 当 a>1 时, 1 3? 2 2 1 1 2 f(a)= ? ?a -x ?dx=?a x-3x ??1=a2- , 0 ? 3 ?
0

?3a -a +3 ?0≤a≤1? 所以 f(a)=? 1 ?a -3 ?a>1?
4
3 2

1

.

2

1 (2)当 a>1 时,由于 f(a)=a2- 在[1,+∞)上是增函数, 3 1 2 故 f(a)在[1,+∞)上的最小值是 f(1)=1- = , 3 3 2 当 a∈[0,1]时,f′(a)=4a -2a=2a(2a-1), 1 由 f′(a)>0 知,a> 或 a<0, 2 1 1 故 f(a)在[0, ]上递减,在[ ,1]上递增, 2 2 1 1 因此在[0,1]上,f(a)的最小值为 f( )= . 2 4 1 综上可知,f(a)在[0,+∞)上的最小值为 . 4


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