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《高中物理奥赛经典》之对称法


高中物理奥赛经典

七,对称法
方法简介
由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而使对称现 象普遍存在于各种物理现象和物理规律中.应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索 物质世界的某些基本规律,而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题,这种思维方法 在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题, 可以避免复

杂的数学演算和推导, 直接抓住问题的实质,出奇制胜,快速简便地求解问题.

赛题精析
例 1:沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球 A ,抛出点离水平地面的 高度为 h ,距离墙壁的水平距离为 s ,小球与墙壁发生弹性碰撞后,落在水平地面上, 落地点距墙壁的水平距离为 2s ,如图 7—1 所示.求小球抛出时的初速度.

解析:因小球与墙壁发生弹性碰撞, 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对 解析 称性, 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称,如图 7—1— 甲所示,所以小球的运动可以转换为平抛运动处理, 效果上相当于小球从 A′点水平抛 出所做的运动. 根据平抛运动的规律:
x = v0 t 1 2 y = 2 gt

因为抛出点到落地点的距离为 3s ,抛出点的高度为 h ,代入后可解得: v0 = x
g g = 3s 2y 2h

例 2:如图 7—2 所示,在水平面上,有两个竖直光滑墙壁 A 和 B ,间距为 d ,一个 小球以初速度 v0 从两墙正中间的 O 点斜向上抛出,与 A 和 B 各发生一次碰撞后正好落回 抛出点 O ,求小球的抛射角 θ .
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解析:小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成,若按顺序求解则相当复杂,如 解析 果视墙为一平面镜,将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物,像移动,可利用物像对称 的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙 A 碰撞前后的运动相当于从 O′点开始的斜上抛运动,与 B 墙碰后落于 O 点相当于落到 O〃点,其中 O ,O′关于 A 墙对称,O ,O〃对于 B 墙对称,如图 7—2 —甲所示,于是有:
x = v0 cos θ t x = 2d 1 2 ,落地时 y=0 y = v0 sin θ t 2 gt

代入可解得:sin2θ =
1 2

2gd 2 v0 2gd 2 v0

所以,抛射角 θ = arcsin

例 3:A ,B ,C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形,每只猎犬追捕猎物的速度均为 v ,A 犬想追 捕 B 犬,B 犬想追捕 C 犬,C 犬想追捕 A 犬,为追捕到猎 物,猎犬不断调整方向,速度方向始终"盯"住对方,它们 同时起动,经多长时间可捕捉到猎物? 解析:以地面为参考系,三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线,但根据对称性,三 解析 只猎犬最后相交于三角形的中心点,在追捕过程中,三只猎犬的位置构成三角形的形状不 变,以绕点旋转的参考系来描述,可认为三角形不转动,而是三个顶点向中心靠近,所以 只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图 7—3 ,设顶点到中心的距离为 s ,则由已知条件得:s =
3 a 3

由运动合成与分解的知识可知,在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为: v′= vcos30°=
3 v 2
s 2a = v′ 3v

由此可知三角形收缩到中心的时间为:t =

(此题也可以用递推法求解,读者可自己试解. ) 例 4:如图 7—4 所示,两个同心圆代表一个圆形槽,质量为 m ,内外半径几乎同为
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R .槽内 A ,B 两处分别放有一个质量也为 m 的小球,AB 间的距离为槽的直径.不计 一切摩擦.现将系统置于光滑水平面上,开始时槽静止,两小球具有垂直于 AB 方向的速 度 v ,试求两小球第一次相距 R 时,槽中心的速度 v0 . 解析:在水平面参考系中建立水平方向的 x 轴和 y 轴.由 解析 系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在 x 轴方向上运动. 设槽中心沿 x 轴正方向运动的速度变为 v0 ,两小球相对槽心 做角速度大小为 ω 的圆周运动, 球处于如图 7—4—甲所示的 A 位置时,相对水平面的两个分速度为: vx = ωRsinθ + v0 ① vy =-ωRcosθ ② B 球的运动与 A 球的运动是对称的. 因系统在 x 轴方向上动量守恒,机械能也守恒,因此: ③ mv0 + 2mvx = 2mv
2 2× m ( v 2 + v 2 ) + m v0 = 2× mv2 y x

1 2

1 2

1 2



将①,②式代入③,④式得:3v0 = 2v-2ωRsinθ
2 ω2R2 + 2ωRv0sinθ + v0 +

1 2 2 v0 = v 2
sin θ 3 2sin 2 θ

由此解得:v0 = (1-

2 3

)v

当两球间距离为 R 时,θ = 30°,代入可解得槽中心运 动的速度为: v0 = (1-
2 3 1 10

)v

例 5:用一轻质弹簧把两块质量各为 M 和 m 的木板连接起来,放在水平上,如图 7 —5 所示,问必须在上面木板上施加多大的压力 F ,才能使撤去此力后,上板跳起来恰好 使下板离地? 解析:此题可用能量守恒的观点求解,但过程较繁,而用弹簧 解析 形变的"对称性"求解就显得简洁明了.若用拉力 F 作用在 m 上, 欲使 M 离地,拉力 F 至少应为: F= (M+m)g 根据弹簧的拉伸和压缩过程具有的对称性,故要产生上述效 果,作用在 m 上的向下的压力应为 F = (M+m)g . 例 6:如图 7—6 所示,长为 l 的两块相同的均匀长方形砖块 A 和 B 叠放在一起,A 砖相对于 B 砖伸出 ,B 砖放在水平桌面上,砖的端面与桌面平行. 为保持两砖不翻倒,B 砖伸出桌面的最大长度是多少? 解析:此题可用力矩平衡求解,但用对称法求解,会直观简洁.把 A 砖右端伸出 B 解析
l 5

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端的 截去,补在 B 砖的右端,则变成图 7—6—甲所示的对称形状. 伸出最多时对称轴 应恰好通过桌边.

l 5

所以:l-x = x +

l 5 2 5

解得 B 砖右端伸出桌面的最大长度为:x = l . 例 7:如图 7—7 所示,OABC 是一张水平放置的 桌球台面.取 OA 为 x 轴,OC 为 y 轴,P 是红球,坐 标为(x ,y) ,Q 是白球,坐标为(x1 ,y1) (图中未 画出 Q 球在台面上的位置) .已知 OA = BC = 25dm , AB = OC= 12dm . P 球的坐标为: = 10dm , = 8dm 若 x y 处,问 Q 球的位置在什么范围内时,可使击出的 Q 球 顺次与 AB,BC,CO 和 OA 四壁碰撞反弹,最后击中 P 球? 解析:由于弹性碰撞反弹服从的规律与光线的反射定律相同,所以作 P 点对 OA 壁的 解析 镜像 P1 ,P1 对 CO 壁的镜像 P2 ,P2 对 BC 壁的镜像 P3 和 P3 对 AB 壁的镜像 P4 ,则只需 瞄准 P4 点击出 Q 球,Q 球在 AB 壁上 D 点反弹后射向 P3 ,又在 BC 壁上 E 点反弹后射向 P2 ,依次类推,最后再经 F ,G 二点的反弹击中 P 点,如图 7—7—甲所示. 但是,若反弹点 E 离 B 点太近,Q 球从 E 点反弹后 EP2 线与 CO 的交点,可 能不在 CO 壁的范围内而在 CO 的延长线 上,这时 Q 球就无法击中 CO 壁(而击到 OA 壁上) ,不符合题目要求,所以,Q 球 能够最后按题目要求击中 P 球的条件是: 反弹点 D ,E ,F ,和 G 一定要在相应 的台壁范围之内. 已知 P 点的坐标为(10 ,8) ,由此 可知,各个镜像点的坐标分别为: P1(10,-8) 2(-10,-8) 3(-10,32) 4(60,32) ,P ,P ,P 设 Q 点的坐标为(x′,y′) ;直线 QP4 的方程为:
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Y-y′=

32 y′ (X-x′) 60 x ′



D 点在此直线上,XD = 25 ,由上式得: YD =
1 (800-32x′+ 35y′) 60 x ′ 32 y′ (X-xD) 60 x ′



直线 DP3 的方程为: Y-YD =- ③

E 点在此直线上,YE = 12 ,由此式及②式得: xE = 25-
1 (1-80 + 20x′-35y′) 32 y′ 32 y′ (X-xE) 60 x ′ 10 (88-2x′+ y′) 60 x ′



直线 EP2 的方程为:Y-YE =-

F 点在此直线上,XF = 0 ,所以:YF = 12- 最后,直线 FP1 的方程为:Y-YF =-

32 y′ (X-xF) 60 x ′ 1 (-160 + 8x′-10y′) 32 y′

⑤ ⑥

G 点在此直线上,YG = 0 ,所以:XG =

0 YD 12 0 X E 25 反弹点位于相应台壁上的条件为: 0 YF 12 0 X G 25



将③,④,⑤和⑥式代入⑦,除肯定满足无需讨论的不等式外,Q 球按题目要求击中 P 球的条件成为:
35y YD: ′ 20x ′ 80 35y X E: ′ 20x ′ 80 5y YF: ′ 4x ′ 80 X G: ′ 4x ′ 80 5y

上面共两个条件,作直线 l1 :35Y = 20X-80 及 l2 :5Y = 4X-80 如图 7—7—乙所示,若 Q 球位于 l2 下方的三角形 D0AH0 内,即可同时满足⑧,⑨两 式的条件,瞄准 P4 击出,可按题目要求次序反弹后击中 P 球,三角形 D0AH0 三个顶点的 坐标如图 7—7—乙所示. 一无限长均匀带电细线弯成如图 7—8 所示的平面图形, 其中 AB 是半径为 R 的 例 8: 半圆孤,AA′平行于 BB′,试求圆心 O 处的电场强度. 解析:如图 7—8 甲所示,左上 1/4 圆弧内的线元 L1 与右下直线上的线元ΔL3 具有 解析 角元 θ 对称关系.L1 电荷与 L3 电荷在 O 点的场强 E1 与 E3 方向相反,若它们的大 小也相等,则左上与右下线元电场强度成对抵消,可得圆心处场强为零.
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设电荷线密度为常量 λ ,因 θ 很小,L1 电荷与 L3 电荷可看做点电荷,其带电量: q1 = Rθ λ ,q2 = L3 λ 当 θ 很小时,有:q2 = 又因为 E1 = K
Rθ λ cos θ cos θ

q1 q Rθ λ cos 2 θ Rθλ ,E2 = K 22 = K =K ,与 E1 的大小相同, 2 2 2 R r R R2 cos θ

且 E1 与 E2 方向相反. 所以圆心 O 处的电场强度为零. 例 9:如图 7—9 所示,半径为 R 的半圆形绝缘线上,下 1/4 圆弧 上分别均匀带电+q 和-q ,求圆心处 O 的场强. 解析:因圆弧均匀带电,在圆弧上任取一个微小线元,由于带电线 解析 元很小, 可以看成点电荷. 用点电荷场强公式表示它在圆心处的分场强, 再应用叠加原理计算出合场强. 由对称性分别求出合场强的方向再求出 其值. 在带正电的圆孤上取一微小线元, 由于圆弧均匀带电, 因而线密度 λ=
2q . πR

在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线元, 两 者产生的场强如图 7—9 甲所示. 显然, 两者大小相等, 其方向分别与 x 轴的正,负方向成 θ 角,且在 x 轴方向上分 量相等.由于很小,可以认为是点电荷,两线元在 O 点的场 强为 E = 2
KR θλ 2Kλh sinθ = ,方向沿 y 轴的负方向, R2 R2 2Kλh 2Kλ 2Kλ 4Kq = 2 ∑h = 2 R = 2 R R R πR 2

所以 O 点的合场强应对 E 求和. 即:E = ∑E = ∑

例 10:电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R ,CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线,如图 7—10 所示,P ,Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧,离 O 点距离相等 的两点,已知 P 点的电势为 UP ,试求 Q 点的电势 UQ .

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解析:可以设想一个均匀带电,带电量也 解析 是 q 的右半球,与题中所给的左半球组成一个 完整的均匀带电球面,根据对称性来解. 由对称性可知,右半球在 P 点的电势 U′ 等 P 于左半球在 Q 点的电势 UQ .即: U′ = UQ P 所以有:UP + UQ = UP + U′ P 因 而 UP + U′ 正是两个半球在 P 点的电势, P 为球面均匀带电,所以 UP + U′ = K P 由此解得 Q 点的电势:UQ =
2q R

2Kq -UP . R

例 11:如图 7—11 所示,三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形,A 点为三角形的内 心,B 点与三角形共面且与 A 相对 ac 棒对称,三棒带有均匀分布的电荷,此时测得 A , B 两点的电势各为 UA ,UB ,现将 ac 棒取走,而 ab ,bc 棒的电荷分布不变,求这时 A , B 两点的电势 U′ , U′ . A B 解析:ab ,bc ,ac 三根棒中的电荷对称分布,各自对 解析 A 点电势的贡献相同,ac 棒对 B 点电势的贡献和对 A 点电 势的贡献相同,而 ab,bc 棒对 B 点电势的贡献也相同. 设 ab ,bc ,ac 棒各自在 A 点的电势为 U1 ,ab ,bc 棒在 B 点的电势为 U2 .由对称性知,ac 棒在 B 点的电势 为 U1 . 由电势叠加原理得: 3U1 = UA ① U1+ 2U2 = UB ②
U U1 U = 由①,②两式得:U1 = A ,U2 = B 2 3

UB

UA 3 = 3U B U A 2 6

将 ac 棒取走后,A ,B 两点的电势分别为:
2 U′ = UA-U1 = UA A 3 U′ = UB-U2 = B UB UA + 6 2

如图 7—12 所示为一块很大的接地导体板, 例 12: 在与导体板相距为 d 的 A 处放有带电量为-q 的点电 荷. (1)试求板上感应电荷在导体内 P 点产生的电场 强度; (2)试求感应电荷在导体外 P′点产生的电场强 度(P 与 P′点对导体板右表面是对称的) ;
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(3)在本题情形,试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直; (4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q 的作用力; (5)若在切断导体板与地的连线后,再将+Q 电荷置于导体板上,试说明这部分电荷 在导体板上如何分布可达到静电平衡(略去边缘效应) . 解析:在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时,根据"镜 解析 像法"可以设想一个"像电荷" ,并使它的电场可以代替面电荷的电场,从而把问题大大 简化. (1)导体板静电平衡后有 E 感 = E 点 ,且方向相反, 因此板上感应电荷在导体内 P 点产生的场强为 EP =
kq ,其 r2

中 r 为 AP 间距离,方向沿 AP ,如图 7—12 甲所示. (2)因为导体接地,感应电荷分布在右表面,感应电 荷在 P 点和 P′点的电场具有对称性,因此有 EP′=
kq ,方 r2

向如图 7—12—甲所示. (3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点 P1 和 P1′ .如前述分析,在导体外 P1′ 点 感应电荷产生的场强大小为 Ei P1′ =
kq kq .点电荷 q 在 P1′ 点产生的场强大小也是 Eq P1′ = 2 . r12 r1

它们的方向如图 7—12 乙. 从图看出,P1′ 点的场强为上述两个场强的矢量和, 即与导 体表面垂直. (4)重复(2)的分析可知,感应电荷在-q 所在处 A 点 的场强为 EiA =
kq kq = 2 ,方向垂直于导体板指向右方,该 2 (2d) 4d kq 2 ,负号表示 4d 2

场作用于点电荷-q 的电场力为 F =-qEiA =-

力的方向垂直于导体板指向左方. (5)切断接地线后,导体板上原来的感应电荷仍保持原来的分布,导体内场强为零. 在此情况下再将+Q 电荷加在导体板上,只要新增加的电荷在导体内部各处的场强为零, 即可保持静电平衡,我们知道电荷均匀分布在导体板的两侧表面时,上述条件即可满足. 显然这时+Q 将均匀分布在导体板的两侧面上,才能保证板内场强为零,实现静电平衡. 例 13:如图 7—13 所示,在水平方向的匀强电场中, 用长为 l 的绝缘细线, 拴住质量为 m , 带电量为 q 的小球, 线的上端 O 固定,开始时将线和球拉成水平,松开后,小 球由静止开始向下摆动, 当摆过 60°角时, 速度又变为零. 求: (1)A,B 两点的电势差 UAB 多大? (2)电场强度多大? 解析: 解析 (1)小球在 A ,B 间摆动,根据能量守恒定律
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有:εPA = εPB 取 A 点为零势能的参考点,即 εPB = 0 则:EPB =-mglsin60°+ qUBA = 0 所以:UBA =
3mgl 3mgl ,UAB =- 2q 2q

(2)小球在平衡位置的受力如图 7—13 甲.根据 共点力的平衡条件:有:qE = mgtan60° 解得电场强度:E =
3mg q

例 14:如图 7—14 所示,ab 是半径为 R 的圆的一条直径,该圆处于匀强电场中,场 强为 E , 在圆周平面内, 将一带正电 q 的小球从 a 点以相同的动能抛出, 抛出方向不同时, 小球会经过圆周上不同的点,在这些所有的点中,到达 c 点时小球的动能最大.已知∠cab = 30°,若不计重力和空气阻力,试求: (1)电场方向与直径 ab 间的夹角 θ ; (2)若小球在 a 点时初速度方向与电场方向垂直,小球 恰好能落在 c 点,则初动能为多少? 解析: 解析 由于对 a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球 到达圆周上的各点时其中到达 c 点的小球动能最大,因此过 c 点的切线一定是等势线,由此可以确定电场线的方向,至于从 a 点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理. (1)用对称性判断电场的方向:由题设条件,在圆周平 面内,从 a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球,小球会经过圆周上不同的点, 且以经过 c 点时小球的动能最大,可知,电场线平行于圆平面.又根据动能定理,电场力 对到达 c 点的小球做功最多,为 qUac .因此,Uac 最大.即 c 点的电势比圆周上任何一点 的电势都低.又因为圆周平面处于匀强电场中,故连接 Oc ,圆周上各点的电势对于 Oc 对称(或作过 c 点且与圆周相切的线 cf 是等势线) ,Oc 方向即为电场方向(如图 7—14— 甲所示) ,它与直径 ab 的夹角为 60°. (2)小球在匀强电场中做类平抛运动. 小球沿 垂直于电场方向抛出,设其初速度为 v0 ,小球质量 为 m . 在垂直于电场线方向,有: x = v0t ① 在沿电场线方向,有:y = at2 由图中几何关系可得: x = Rcos30° y = R (1 + cos60°)
1 2



③ ④

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且:a =

qE m


qER 4m

2 将③,④,⑤式代入①,②两式解得: v0 =

2 所以初动能:Ek0 = m v0 =

1 2

qER 8

例 15:如图 7—15 所示,两块竖直放置的平行金属板 A ,B 之间距离为 d ,两板间电压为 U ,在两板间放一半 径为 R 的金属球壳,球心到两板的距离相等,C 点为球壳 上的一点,位置在垂直于两板的球直径的靠 A 板的一端, 试求 A 板与点 C 间的电压大小为多少? 解析:将金属球壳放在电场中达到静电平衡后,球壳为等势体,两极板之间的电场由 解析 原来的匀强电场变为如图 7—15 甲所示的电场, 这时 C 与 A 板间电势差就不能用公式 UAC = EdAC 来计算.我们利用电场的对称性求解. 由于电场线和金属球关于球心 O 对称, 所以 A 板与金 属板的电势差 UAO 和金属球与 B 板的电势差 UOB 相等, 即: UAO = UOB 又 A ,B 两板电势差保持不变为 U ,即: UAO + UOB = U 由以上两式解得:UAO = UOB =
U 2 U 2

所以得 A ,C 两点间电势差:UAC = UAO =

,从 P 点经电 例 16:如图 7—16 所示,一静止的带电粒子 q ,质量为 m(不计重力) 场 E 加速,经 A 点进入中间磁场 B ,方向垂直纸面向里,再穿过中间磁场进入右边足够 大的空间磁场 B′(B′= B) ,方向垂直于纸面向外,然后能够按某一路径再由 A 返回电场 并回到出发点 P ,然后再重复前述过程.已知 l 为 P 到 A 的距离,求中间磁场的宽度 d 和粒子运动的周期. (虚线表示磁场的分界线) 解析:由粒子能"重复前述过程" ,可知粒子运动具有周 解析 期性;又由粒子经过 A 点进入磁场后能够按某一路径再返回 A 点,可知的运动具有对称性. 粒子从 A 点进入中间磁场做匀速圆周运动,半径为 R , 过 C 点进入右边磁场,于做半径为 R 的匀速圆周运动经点 F 到点 D ,由于过 D 点后还做匀速圆周回到 A(如图 7—16 —甲所示) ,故 DA 和 CA 关于直线 OA 对称,且 OA 垂直于 磁场的分界线.同理可知,OA 也同时是 CD 圆弧的对称轴. 因此粒子的运动轨迹是关于直线 OA 对称的.由于速度方向为切线方向,所以圆弧 AC ,
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CD , DA 互相相切.

(1)设中间磁场宽度为 d ,粒子过 A 点的速度为 v ,由圆周运动的对称性可得: Rsinθ = R-Rsinθ ,则:θ =
π 6

带电粒子在加速电场中有: qEl = mv2 在中间和右边磁场中有: R=
mv qB 1 2



② ③
6qEml 2qB

d = Rcosθ 解①,②,③得:d =

(2)粒子运动周期 T 由三段时间组成,设在电场中做匀变速直线运动的时间为 t1 , 则:t1 = 2
2ml qE π ,所以: 3

设在中间磁场中运动的时间为 t2 ,因为 AC 所对圆心角为
π π 3 T′= 2× 3 2πm = 2πm t2 = 2× 3qB 2π 2π qB

设在右边磁场中运动的时间为 t3 ,因为 CD 所对圆心角为
5π 5π 2πm 5πm t3 = 3 T′= 2× 3 = qB 3qB 2π 2π

5π ,所以: 3

所以周期为:T = t1 + t2 + t3 = 2

2ml 7πm + qE 3qB

针对训练
1.从距地面高 19.6m 处的 A 点,以初速度为 5.0m/s 沿水平方向投出一小球.在距 A 点 5.0m 处有一光滑墙,小球与墙发生弹性碰撞(即入射角等于反射角,入射速率等于反 射率) ,弹回后掉到地面 B 处.试求:B 点离墙的水平距离为多少? 2.如图 7—17 所示,在边长为 a 的正方形四个顶点上分别固定电量均为 Q 的四个点 电荷,在对角线交点上放一个质量为 m ,电量为 q(与 Q 同号)的自由点电荷. 若将 q
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沿着对角线移动一个小的距离,它是否会做周期性振动?若会,其周期是多少?

3. 如图 7—18 所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络, 当各小段电阻丝的电 阻均为 R 时,A ,B 两点之间的等效电阻为 R/2 ,今将 A ,B 之间的一小段电阻丝换成 电阻为 R′的另一端电阻丝,试问调换后 A ,B 之间的等效电阻是多少? 4.有一无限大平面导体网络,它由大小相同的正六角形网眼组成,如图 7—19 所示, 所有六边形每边的电阻均为 R0 ,求 a ,b 两结点间的等效电阻. 5.如图 7—20 所示,某电路具有 8 个节点,每两个节点之间都连有一个阻值为 2 的 电阻,在此电路的任意两个节点之间加上 10V 电压,求电路的总电流,各支路的电流以及 电阻上消耗的总功率.

6.电路如图 7—21 所示,每两个节点间电阻的阻值为 R ,求 A ,B 间总电阻 RAB . R 7. 电路如图 7—22 所示, 已知电阻阻值均为 15 , RAC , AB 和 RAD 各为多少欧? 求 8.将 200 个电阻连成如图 7—23 所示的 电路,图中各 P 点是各支路中连接两个电阻 的导线上的点,所有导线的电阻都可忽略. 现将一电动势为 ε ,内阻为 r 的电源接到任 意两个 P 点处,然后将任一个没接电源的支 路在 P 点处切断,发现流过电源的电流与没 切断前一样, 则这 200 个电阻 R1 , 2 , , R … R100 和 r1 ,r2 ,… ,r100 应有下列的普遍关系:
R R1 R 2 R 3 = = =…= 100 ,这时图中 AB r1 r2 r3 r100

导线与 CD 导线之间的电压等于 . 9.电路如图 7—24 所示的电阻丝网络中,每一小段电阻丝的电阻值都为 R ,试求图 中 A ,B 两点间的等效电阻 RAB .
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10.如图 7—25 所示的四面体框架由电阻同为 R 的 6 根电阻丝联结而成,求任意两个 顶点 A ,B 间的等效电阻 RAB .

11.一匀质细导线圆环,总电阻为 R ,半径为 a ,圆环内充满方向垂直于环面的匀强 磁场,磁场以速率 K 均匀的随时间增强,环上的 A ,D ,C 三点位置对称.电流计 G 连 接 A ,C 两点,如图 7—26 所示.若电流计内阻为 RG ,求通过电流计的电流大小.

参考答案
1,5.0m 2,会做周期性振动,周期为 π
RR ′ R + R′ ma 3 2KqQ

3,RAB =

4,Rab = R0 5,I 总 = 40A ,节点 1~8 之间支路电流 I1 = 5A ;其他支路电流 2.5A ,总功率 400W 6,RAB = 2R 7,RAC = 8,0 9,RAB =
16 R 30 R 2 75 8

,RAB = 15

,RAD =

75 8

10,RAB = 11,

πa 2 KR 9R C + 3R

对称法第 13 页(共 13 页)

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