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2013年全国高中数学联赛安徽赛区预赛


2 0

1

4

年第

1

期 3


3

2 0

1

3

年 全 国 高 中 数 学 联 赛 安徽 赛 区 预 赛

文 献标

识 码
:

中B B 分类 号

A

文章 编 号

:

1

00 5

-

6 4

1

6

(

20

1

4

)

0

1

-

0 0 3 3

-

0 3






填 空题 每 小 题 8 分 共 6 4 分
(
,

)


乂4
2
-

T
_


"

1

.

函数/ ⑷


=

\

x



+

l

\

+

\

x

~

l

\

+





⑵证 明

.

:

对 任 意 的 正 整数


/

/

值 域为
2
.

?

均 为整 数
n

方程
s

s

i

p
。 1

2



O

l

S

Tr

a

O

=

*

1

3

的 实根 个 数 为
。 =

夫 考




.



-

n 5 4 n 4 8 用 化简 n 2 1 2 + ^ 3 2 ^ 5 数字 作 答 注 意 到 / U 是 定 义 域 为 4 设数 列 a 满 时 / ⑷ 2 + ,

3

.

i

.



s

.

i

s

i



(



.

[

,

]

)

.

,

)

[

2
,

2

]

的偶 函 数


.

.

j

?

|

=

a

2

=

1

a

=

'

n


;
,

!

#

a


'

=

,

单调 舰

,


a

其值 域 为
满 足 当
(

[

2

+



4
,

]


;

-

2

0

1

3


?


5

.

设厶 A
*
_

B C

的外心
+ 4 C
'

P

1

分专2

时 设
,

0

=

a

r

c c o s

j
+
2
s

.



i

^

5

(


5
>
l

)

f
?

x

=
)

2 x
"

+

^

y

4

-

x

-

4 c o

s

$

n


6


6
.

c o s

Z

C

=


=
%


2

已 知 复数



Z

=

x

+

y

i

(

y

e

R

)

,

满足

^ 其 值域 为 万
(
^

^

c o

s

0

-

a

r c

c o s

j
2
,

i

\

,

2

+ 2

[

2

+

^

]


.

的实部 与 虚 部之 比 为
`

.



m
7
.



(

l

+ x

+

A
?
1 =

^

g
_

c

y

k

注意 到 其中
2
.

的 士 ^

最 大 值 为 综 上
4

,

/

⑷ 的值 域为

.

[

2

+

万 方
,

2

]


.

0 2 7

,

/

(

x

)

=

s

i

n

(

2
1
,

0
1

1

3

T

w

.

-

)



°1 3

为奇函


,

,

C



,

C



l

,

,



,

/



=

0

的根均在
,

-

(

)



C
3

M

为 常数 则
?

g

?



+
,

?




8

.

随机选 $ 正

1

边形 的 三 个 不 同 顶 点 其 构
?


成锐 角 三 角 形 的 概 率 为
二、
9
.

\
1
,
.


> 0
1

" 2
l

c f

+
0
1

l
"




Y

0

3

'

-

/

< 0
J


-

J

2

3

(

长为

2
1 0

.

.

解 答题 共 8 6 分 f Z k 2 分 设 正 三 棱锥 的 底 面 边 长 为 侧 棱 且 / ⑷在 求 其 体积 和 内 切 球 半 径 2 分 求 所有 函 数 / R > R 使 得 对 任 J
( )

+


)
2
2 k

1

)

+

1



)



调 递减 知 ⑷ w 上单 /
,

=


0

j

-

(

1

)

:

,

意的
: f(



y +


y



(

U

+

_

x

,
)

.

.

.

.

.

.

=

f

(

x

)

+

/

(

y

)

+ 2 x




1 1
.

-

M
(

2 2

⑷ 各/ + 是 不全 为 分 设 “ 6
/
l



在 Y d 设
0

y

,



2

5 l 0 1 3
c f

f
=

,

^
2 0
l
,

1

3
.

中恰有

J
?



个根


.



2

?

1
, ,

0 0 6

.




.

)





(

;

0

的 实数 求
.


?


I

u
2





/
< 0
'
-

F

=

的 取值 范 围
F
,

.

a



b



C

分 别满 足 什

/

0 l 3

/

> 0
l

)

2

0

1

3

,


J



么 条件 时
1 2
.

(

2 2

取最 大值 与 最 小值 分 设 数 列 ? 满 足 知 / ⑷
?
)
1 丨

^
=

2 f c +


2 k O


"

o

[

^

n

'

Y

o

B

中 有根 且 每 个 根
,




J

a
!

=

l

,

a

=
2

2

,

a

?

J

1

?
d: n
-

-

1

) (

a r

彡3

)

.


均 满 足
?

2

2 m i 1

2

0

1


3

(

1

)

求 数列

的 通 项 公式

;



s

i

n

(

2

0

1

3

w

=
)

x

<
[

"

1

4

^

6


)

^

4

中 等


数 学


< 」

2

0

1

3

C
+
|

^

0

,

3 2

5

<
8

<

4

0 2 6
=

心 ^
?



1

为半径的 圆

x


.

4 0
1

0 2 6
n c o s
:

2

当 上 取 最 大值 时
2

而/

0 12

直线

Q p

与 圆相切


.

\

x

)

2
(

3

(

2 0

1

3 r o

c

-

)

2

0

1

3

^

> 0

,





+


)

则/U

=
)

0


,


=

由 直线 恰有 个根

㈧ 的 倾斜 角 为
Q
(
"

'
t



.





.

x

"

综上

/
.



G

的 正 根 个数 为

t

a n

-

2

0

1

3

,

实 根 个 ^
_

a n

/

a

r c s

i

n

6

)

|

丄 ^
.

!
6





)

数为

4

0 2 7


j



J
3
=
-

3

. `


8
S

. `

J
=
l

^2


s
i

i

n

8



=

$ 得
'

7 7
7
3
,

^



7 7

^

,

=
_

4 j 2

-

3

^

^


3

?

5

4 9

n
1

1

2

°

.

s

i

n

4

8

°

'

s

i

n

5

4

°

=

T
!

记/ 6
(


(

*

)

=

c o s

3 6



-

c o s

6 0



)

c o s

3

° *

D

c
A

x

.




:




=

J 士
-

。 。
(

,




1

c o s

3 6

+

c o s

7 2

4

)

?
o

i

_

_

±

_

_

1

_

i

_

_

?

_

/

,
.

=

3


?

k

=


3

=

冬 4
-

(

2

s

i

n

1

8



+

l

)

s

i

n

1

8



=


g X + o
.

?


.

3

"

4

.

1

V 5

.

任 取正
,

1

1

边 形 的 三个 顶 点
.

4



i f



C

,

若Z

&

4


C

为钝角 则 弧
=

小 于 半 圆 此 时 构成钝 角 三角

,

J
,

3

-

1
9

a a

=
4

2

~

>

3 J

9

a

-

s

2

,


1
1


4

a

-

=
6

1

^

/

r pJ

.

=
7

-

,

1
,

a
8

-

=

,

1

形 的方式 共 有 2
.


"

]

5
(

-

i

)

=

1

1

0


种 构成 锐 角 三
,

于是

a
,

=
?
+ 6

从而
因此
5
-

,

1


2



,



。, 3

角 形 的 概 率 为 票 4
是 以 2 为周 期 的 周 期 数 列 3
a 二 9 由 题设 知 棱 锥 的 高 3
-

o

?

.

i

-

=


?

1

.

=

=

-

9

l

^



.

.

i
/ ?

-

k
C

2

=

2

~

J

i

M
,

=

Jj
71


'


上且 点

为5

D

的 中点 由 题设知点
.

P

不重合 则 A
,

B

=

A C

.

在线 段 仙 其体 积 V
P
= =

/
"

T
=

/


r r
,


X

1


+

I T
1

.




c

o

s

Z
-

财C

=

c o s

4 J 2
-

3

b

.

5

石 注 意 到
Z

夸 ^ ^ y 故 内 切球 半 径 口 令
=
-

Z

a B r

=

盖 盖

=

士 其表面 积 5
.

1

,

*

=

/ 化


r r



.

+ 3

a

/


U
X


+

1

J +
* x x x

1

+

y

j


-

1

0

.

设g

2

(

*

)

=

/

(

*

-

)

*

.

则对 任 意 的
J
l

y

均有

2
l

z

+ 2
(
_

+ 2
l

+
Y
i

y
)
(

i

+

+ +
) (

+ ^ x & g g x + y g g y x + 2 Y 因 此 对 于 任 意 的 x 和 正 整 数 《

(

=

)

(

)

(

)

,

(

a

:

)

I

I

x


.

i

)

,

(

+ 2 +
l

y
x

i

)

(

x
)
2

+ + +
y

2

-

y

i

)

(
_

+ 2
2

y
2

+ y

i


?

客 ⑴



l ,

g

(

似 n

)

l








?

X
^ ^ n
.

+

l
(

)


^
"

n



+

o o

,

从而
2

(

*

+

l

)

*
3

+ 2
2
\
_ "

)

+

-

y

3 y
2

=

0

1 1
F
a

.

U 本题 即 求实数
,

/

)

=

得g “
Z
F
l

=
)

0


.

使得 方程

2 )

.

/

/
"

x

^
2

\

1

2

)

V
)

)

有实 数解
_

2

+
(

2 。

F
,

2

b 6
,

+

,

(

3

F
(

-

c

-

a b

+

b c

=

0




故动 点 / W

的 轨迹綱
(

-

f f

为圆
)

工 二 ,
0 0 0

和 方

。 0
, ,

0

)


.

显 然 有解


2 0

1

4

年第

1

期 3
0


5



尸#

时 方 程 ①有 解
,

(

a

6
,

,

C

)



(

0

,

0
,

0

)


n

?
+

=

9 a

,



!

当 且 仅 当 不 等 式 a
2 (

+
1

n

_

+ 2
=

a

n

+

o

?

_

2

+ 2

=



~
^

c

-

a

-

)

S

F

[

F
0

2

a

+
)
.

(

3

F

2
-

1

)

c

]

^

0

② ^
+ o
3
" “ -

^

'

有 实 数解
8

(

a
,

c

)

#

(

0
,

a
)

+ 2

,
— ~

不等 式
F
8 (
-

(

2

)

有解
2 4

(





#

(

0
,

0

)

当 且 仅 当
K

=

=

6

1
2
-

矣0
1 )
(

o
F
2
-

=
n

+

6 a

-

i

?

a

-

?

_

2


.

,



F

注意到
(

,

③ 令 、 I
8

F

-

1

-

)

0

.



.

=

a

-

n

则 、
1

+




8

F
%

2
-

1
)

(

2 4

F
)

2
-

8

F
2

-

-

1

)

1

=

F

(

2
/

F
-

-

l

(

\

2

F

+ 2

F
,


)
,

"

"

6



A
1

+



2 ^

其 中 入^
广
|

,

'

/

/

=

3

±2 ^ 2


-

1

,


1



,

,

+
1



为方 程 ?

=

6 ^

-

1

的 两 个根
3
=

,

C
l



C
2

是常 数

J

?


.

2


"


2



2

由 …
,

=

y A
a
|

i


,

Y

^

c
i

=

c
2

=

1

不 等 式 ③成 立 当 旦 仅 当

1

因 此
?

?

l

的 通 项公 式 为

"

(

3

+ 2 V 5

" )

"

1

+

(

3

-

2

此时

c
,

=
(

-

l

8

F

2
)

a

,

c f

=

g
4

=

2

F

a

.

4
⑵ 注意 到
,


=

及广

1

+ 2


?


r

特别 地 当
,
_

6

=

a
,

c

=

-

a



'

F

取 最 大值




_

V


=

"

_

;

a

=
2 f t
-

i

+ ^
2
4
"

'

(

3

+ 2

)

(

3

-

2

^

4 )

"


'

b

~

_



=

a
,

c

=

-



~



,

取最 小值

I
?

]
o

C

2;



k

~

~

l

3

2j

x 2

3j


1

2
1 2

V
.

^

(
~


.

+

i

广

1

+
2

(



-

1

广


1

2

1 (
)


2



.

J 2



l

_

2

?
°
n

=

a

n

_

+ 2 a
,

n

.

+
,

°

B

-

l

+

=
l

a

n

l + 2 f

?

+

1

C § = 均 为整 数
=
1
,

.

2


;

两 式 相 减得 从 而 命 题 得 证
,


.

a

n

-

l

(

a

n +

+ a
l

n

-

l

+ 2

)

=
(

?
-

.

-

2

+

°

?

+

2

)

0

.

?



(

王新茂

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组 合 数 学 2 初 等 代 数 4

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2 7

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2 6


3


1

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5 3



5 7




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-

2 3 5 4 2 2 3 3 4 2 0 0
6
7

1

5 8

2 2 6 3 0 5 5


1

1

6 3


开 户 行 中 国 建 设 银行 天 津 河 北 支 行 户

名 娄姗 姗



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4 3 6 7

1

1

0

1

1

7



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