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正弦定理


第一周课件
? 教学目标:1、了解正弦定理的推导过程, 掌握正弦定理及其变形。 ? 2、能用正弦定理解三角形,并能判断三角 形的形状。 ? 教学重难点:正弦定理的推导及应用。

高中数学 必修5

第一课时 正弦定理的推导

设点B在珠江岸边,点A在对岸那边,为了测量A、B两 点间的距离,你有何好办法呢?(

给定你米尺和量器)

A

B

C

设问 若将点C移到如下图所示的位置,你还能求出A、B两点间的距离吗?

A

B

C

集体探究学习活动一:

正弦定理是什么?有哪些证明方法?

RTX讨论一:

直角三角形中边角关系有 哪些?你能总结出一个式子 吗?这个式子对所有三角形 都适用吗?

数学建构
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:

b a sin B ? sin A ? c c c sin C ? 1 ? c
b

A

c

不难得到:

a b c ? ? sin A sin B sin C

C

a

B

在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?

C

b A

a

c
B

RTX讨论二:

正弦定理有哪些推导方法?

证法1 (1) 若直角三角形,已证得结论成立.

A c b C

(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B ?
AD , sin C c
B

?

AD b

图1

D

b c ? , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C a c 同理可得 ? , sin A sin C

a b c 即: ? ? sin A sin B sin C

(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D, 此时也有 sin B ?
b
AD c

且 sin (? ? C) ? AD ? sin C
a b c 仿(2)可得 ? ? sin A sin B sin C

A c b

B

由(1)(2)(3)知,结论成立.

图2

C

D

利用向量的数量积,产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A

c
B

b C

a

D

证法 2 在?ABC中, 有BC ? BA ? AC.不妨设?C
为最大角, 过点A作AD ? BC于D, 如图, 于是
A

BC ? AD ? BA ? AC ? AD ? BA ? AD ? AC ? AD,
即 0 ?| BA || AD | cos 90 0 ? B ? | AC || AD | cos ? ,
b

?

?

α

?

?

c

?C为钝角时, ? ? C ? 90 0.故可得 c sin B ? b sin C ? 0,

b c a c a b c 即 ? ,同理得 ? , 所以 ? ? . sin B sin C sin A sin C sin A sin B sin C
B

a D

C

RTX讨论三:

以上证明方法体现了一种 什么样的数学思维规律? 答 体现了由特殊到一般的 数学思维规律。

正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.



a b c ? ? sin A sin B sin C

第2课时
正弦定理的应用
1.利用正弦定理可以解决哪两类解 斜三角形的问题? 2.在“已知两边及其中一边对角” 解三角形问题中解的情况有几种?

讨论

什么叫解三角形?利用正 弦定理可以解决哪两类三角 形的问题?

数学建构
已知三角形的的某些边和角,求其他边和角的过程叫做 解三角形。

提醒:三角形是由3条边和3个角组成的,那么我们在运用

“正弦定理”解三角形时,只需知道其中几个量,就可 求出余下的几个量?有没有前提条件?

结论 正弦定理的运用条件:
1.已知三角形的两角及任一边; 2.已知三角形的两边及其一边所对的角。

集体探究学习活动三:
正弦定理有哪些方面的应用?

例 2 已知a=16, b= 1 6 3, A=30° 解三角形。
解:由正弦定理
a b ? sinA sinB

C
16 3
16 16

? b s inA 1 6 3s in3 0 3 s inB ? ? ? 得 a 16 2

所以B=60°,或B=120°

A

300

B

B

当 B=60° 时 C=90° 当B=120°时 C=30°

c ? 32.
asinC c? ? 16 . sinA

变式: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c 解:由正弦定理 得
a b ? sinA sinB

C
26 30

? b sinA 2 6 sin3 0 13 sinB ? ? ? a 30 30

A

30
0

B

三角形中大边对大角

∵a > b

∴A>B, C=1800-A-B=124.30,

所以B=25.70,
c? asinC ? 49.57 sinA

第三课时 正弦定理的应用二

数学建构

三角形面积公式:

c
B

1 1 1 S Δ A B C ? ab sinC ? b csinA ? acsinB A 2 2 2 1 b 证明:∵ S Δ A B C ? ah a
ha
D

a



1 1 1 S Δ A B C ? ab sinC ? b csinA ? acsinB 2 2 2

1 1 S Δ A B C ? acsinB ? ab sinC 2 2 1 同理 S Δ A B C ? b csinA 2


而 C

h a ? A D ? c ?sin B ? b sin C

2

讨论

正弦定理有哪些方面的应 用?

数学应用:
例 3 .某 登 山 队 在 山 脚 下 A处 测 得 山 顶 B 的 仰 角为 3 5? , 沿 倾 斜 角 为 2 0 0 的 斜 坡 前 进 1 0 0 0后 m 到 达 D处 ,
? 又测得山顶的仰角为 5 6 , 求 山 的 高 度 B C (精 确 到

1 m)
B

1000

D

65?

E

A

20?

C

B

解:过点D作DE//AC交BC于E,
? ??DAC? 20? ,??ADE? 160
? ? ? 于是, ?ADB ? 3 6 0 ?1 6 0 ? 6 5? ? 1 3 5
A 1000 D

65?

E

20?

C

又?BAD ? 35? ? 20? ? 15? ? ?ABD ? 3 0?

在ΔABD中,由正弦 定理得:
ADsin?ADB 1 0 0 0 sin1 3?5 AB ? ? ? 1 0 0 0 2(m). ? sin?ABD sin3 0

在R tΔABC中,
? ? BC ? ABsin35 ? 1000 2sin35 ? 811(m)

答:山的高度约为811米。

课堂练习

做课本第11页第3题,求出 上海东方明珠电视塔的高度,并 上网查询验证。

a b c 例4 .在ΔAB C 中, 已知 ? ? , co sA co sB co sC 试判断ΔAB C 的形状 .
a ? k,由正弦定理,得 解: 令 sin A

a ? k sinA, b ? k sinB, c ? k sinC

代入已知条件,得: sinA ? sinB ? sinC cosA cosB cosC 即

tanA ? tanB? tanC
又A,B,C ?(0 ,π), ? A ? B ? C,
从而ΔABC为正三角 形。

例 5 如图, 在?ABC中, AD是?BAC 的平分线, 用正弦定理证明 AB BD ? . AC DC
A

α α

解 设?BAD ? ? , ?BDA ? ? , 则?CAD ? ? ,
?CDA ? ? ? ? .在?ABD和?ACD中分别运用正
B

β
D

π-β
C

AB sin ? AC sin ?? ? ? ? sin ? 弦定理, 得 ? , ? ? . BD sin ? DC sin ? sin ?
AB AC AB BD 所以 ? ,即 ? . BD DC AC DC

RTX探讨八:
对本三连堂内容学生个人小结和集体小结:

请回顾本节课所学内容,并在 RTX平台上展示

教师课堂总结

课堂总结
三角形中的边角关系

a b c ? ? sin A sin B sin C
定 理 内 容

正弦定理

定 理 证 明

定 理 应 用

所 2 1 对已已 的知知 角三三 。角角 形形 的的 两两 边角 及及 其任 一一 边边 ; . .

课堂作业:
1.课本第10-11页1、2、4、5、6题; 2.学习与评价第1、3页。

创新型作业或异想天开,提出新问题与方法

请给出一个三角形是正三角形的条件 并能用正弦定理证明。

第四课时

余弦定理的推导过程

复习回顾
a b c 正弦定理:sin A ? sin B ? sin C

可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

二、提出问题
那么,如果在一个三角形(非直角三角形)中,已 知两边及这两边的夹角(非直角),能否用正弦定 理解这个三角形,为什么? A A

c

b c

b

B a C a B C a b c ? ? 不能,在正弦定理 中,已知两边 及这两边的夹角,正弦定理的任一等号两边都有两 个未知量。
sin A sin B sin C

三、概念形成
在三角形ABC中,已知AB=c,AC=b和A,求BC
C

a2 ?CD2 ? BD2

? (bsin A)2 ?(c?bcos A)2
b c D a B

?b2sin2A?c2?b cos A?2bccos A
2 2

A

?b2?c2?2bccos A

当然,对于钝角三角形来说,证明类似,课后 自己完成。

几何法

三、概念形成
那么,学过向量之后,能否用向量的方法证明余弦 定理呢?


a ? c ?b
|a| ?a ? (c ? b)
2 2 2
2 2 2

C

b
A

a
B

a ? b ? c ? 2b ? c

?| b | ? | c | ?2 | b | ? | c | ? cos A
2 2

c

即: a

2

? b ? c ? 2bc cos A
2 2

向量法

第5课时 余弦定理的推导

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cosB 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
应用:已知两边和一个夹角,求第三边.

从余弦定理,我们可以得到它的推论
b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac
a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab
应用:已知三条边求角度. 判断三角形。

余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cosB 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2

勾股定理与余弦定理有何关系?

c ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2

令C=900

c ? a ?b
2 2

2

勾股定理
C为钝角;

令C>90

0

c ? a ?b
2 2

2

令C<90

0

c ? a ?b
2 2

2

C为锐角.

第6课时

余弦定理的应用一
a ? 2 3, c ? 6 ? 2, B ? 45O

题型一 已知两边及夹角解三角形

例1、在△ABC中,已知

求b及A。

题型二 已知三边解三角形

例2、在△ABC中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角
和sinC.

题型三 正、余弦定理的应用比较
例3、在△ABC中,已知 b=3,c=3 3 。B=300, 求角A,角C和边a。

第7课时

正余弦定理综合应用
2

1、在△ABC中,若 a

? b ? bc ? c
2

2



判断三角形形状并求角A.
(答案:A=1200) 2、在△ABC中,已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6, 求△ABC的最大内角。 (答案:A=1200)

小结:
1.利用余弦定理解三角形
a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
余弦定理能解决的问题:

b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

1、已知两条边和夹角,解三角形。 2、已知三条边,解三角形。判断三角形的形状。

2. 余弦定理与三角形的形状

△ABC是钝角三角形 ? a
△ABC是锐角三角形

2

? b2 ? c2
2 2

? a ?b ?c
2
2

△ABC是直角角三角形 ? a

? b2 ? c2

课后作业:
①课后阅读:课本第9页[探究与发现] ②课时作业:第10页[习题1.1]A组第3,4题。 ③《名师一号》相关题目。


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