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高二数学理科下学期一课一练答案


1.1.1--1.1.2 变化率问题

导数的概念

答案
1.D 7.-9 8.2.1 9.-2 10.解 因为 Δy=-2(2+Δx)2+5-(-2?22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以函数在区间[2,2+Δx]内的平均变化率
2

2 . A 3 . C 4 .B

5.

B

6.B

Δy -8Δx-2?Δx? 为 = =-8-2Δx. Δx Δx 11.解 Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2?32+4?3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx, ∴
2 Δy 2?Δx? +16Δx = =2Δx+16. Δx Δx

∴y′|x=3= lim → =16.

Δx 0

Δy = lim (2Δx+16) Δx Δx→0

12.解 ∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c =a(Δx)2+2aΔx. ∴f′(1)= lim → = lim →
Δx 0

f?1+Δx?-f?1? Δx

Δx 0

a?Δx?2+2aΔx Δx

= lim (aΔx+2a)=2,即 2a=2, →
Δx 0

∴a=1. 13.解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为

Δt=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3?52+2-(3?32+2)=3?(52-32)=48, ∴物体在 t∈[3,5]内的平均速度为 Δs 48 = =24 (m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t=0 时的瞬时速度. ∵物体在 t=0 附近的平均变化率为 Δs f?0+Δt?-f?0? = Δt Δt = 29+3[?0+Δt?-3]2-29-3?0-3?2 Δt

=3Δt-18, ∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为
1

Δt→0

lim

Δs = lim (3Δt-18)=-18, Δt Δt→0

即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. ∵物体在 t=1 附近的平均变化率为 Δs f?1+Δt?-f?1? = Δt Δt = 29+3[?1+Δt?-3]2-29-3?1-3?2 =3Δt-12. Δt

∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为
Δt→0

lim

Δs = lim (3Δt-12)=-12. Δt Δt→0

即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.

1.1.3

导数的几何意义 答案

1.C 2.B 6.3 7.B 8.3 1? 9.? ?-1,-2?

3.D

4 .A

5.A

10.解 曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1 = lim →
Δx 0

3?1+Δx?2-4?1+Δx?+2-3+4-2 Δx

= lim (3Δx+2)=2. →
Δx 0

∴过点 P(-1,2)的直线的斜率为 2, 由点斜式得 y-2=2(x+1), 即 2x-y+4=0. 所以所求直线方程为 2x-y+4=0. 11.解
?y=x2+4, ? (1)由? ?y=x+10, ?

?x=-2 ?x=3 ? ? 解得? 或? . ?y=8 ? ? ?y=13

∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). (2)∵y=x2+4,
2

∴y′= lim → = lim →

Δx 0

?x+Δx?2+4-?x2+4? Δx

Δx 0

?Δx?2+2x·Δx Δx

= lim (Δx+2x)=2x. →
Δx 0

∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4, 在点(3,13)处的切线斜率为 6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为 4x+y=0; 在点(3,13)处的切线方程为 6x-y-5=0. 12.解 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
2 =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x3 0+ax0-9x0-1) 2 3 =(3x2 0+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx) +(Δx) ,



Δy 2 =3x2 0+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx) . Δx

当 Δx 无限趋近于零时, Δy 无限趋近于 3x2 0+2ax0-9. Δx 即 f′(x0)=3x2 0+2ax0-9 a a2 ∴f′(x0)=3(x0+ )2-9- . 3 3 a 当 x0=- 时, 3 a2 f′(x0)取最小值-9- . 3 ∵斜率最小的切线与 12x+y=6 平行, ∴该切线斜率为-12. a2 ∴-9- =-12. 3 解得 a=± 3.又 a<0, ∴a=-3. 13.解 相应图象如下图所示.

§1.2 1.2.1 1.2.2

导数的计算

几个常用函数的导数

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一答案
3

1.D

2.B

3 . A 4 .B

5. A

6.10ln 10 7.- 8.D 9.ln 2-1 3? 10.解 (1)y′=(x x)′=? ?x2?′ 3 3 3 = x - 1 = x. 2 2 2 1? -4 -4-1 (2)y′=? ?x4?′=(x )′=-4x 4 - =-4x 5=- 5. x 3? 3 3 5 (3)y′=( x3)′=? ?x5?′=5x5-1 3 2 3 = x- = . 5 5 5 2 5 x (4)∵y=log2x2-log2x=log2x, ∴y′=(log2x)′= 1 . x· ln 2 3 4

x x 1-2cos2 ? (5)∵y=-2sin ? 4? 2? =2sin =2sin x x? 2cos2 -1? 4 ? 2? x x cos =sin x, 2 2

∴y′=(sin x)′=cos x. 3 11.解 ∵y= x2, 2? 2 1 3 ∴y′=( x2)′=? ?x3?′=3x-3, 2 1 1 ∴y′|x=8= ?8- = . 3 3 3 1 即在点 P(8,4)处的切线的斜率为 . 3 ∴适合题意的直线的斜率为-3. 从而适合题意的直线方程为 y-4=-3(x-8), 即 3x+y-28=0. 12.解 根据题意可知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线,对应的切点到直线 x-y-2=0 的距离最
2 短,设切点坐标为(x0,x0 ),则 y′|x=x0=2x0=1,

4

1 1? 1 所以 x0= ,所以切点坐标为? ?2,4?, 2 切点到直线 x-y-2=0 的距离

d=

?1-1-2? ?2 4 ? 7 2
2 = 8

, 7 2 . 8

所以抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 13.解 f1(x)=(sin x)′=cos x, f2(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=(-sin x)′=-cos x, f4(x)=(-cos x)′=sin x, f5(x)=(sin x)′=f1(x), f6(x)=f2(x),?, fn+4(x)=fn(x),可知周期为 4, ∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x.

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二答案
1.D 6. 1 2 2.B 3.B 4 .D 5. A

7.0.4 m/s 8.D 9.6 10.解 (1)方法一 y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′

=4x(3x-1)+3(2x2+3) =18x2-4x+9. 方法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1)

=6x3-2x2+9x-3, ∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′ =18x2-4x+9. (2)∵y=( x-2)2=x-4 x+4, 1 1 1 ∴y′=x′-(4 x)′+4′=1-4·x- =1-2x- . 2 2 2 (3)∵y=x-sin x x 1 cos =x- sin x, 2 2 2

1 1 ∴y′=x′-( sin x)′=1- cos x. 2 2 11.解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

则 f′(x)=2ax+b. 又已知 f′(x)=2x+2,∴a=1,b=2.
5

∴f(x)=x2+2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式 Δ=4-4c=0, 即 c=1.故 f(x)=x2+2x+1. 7 12.(1)解 由 7x-4y-12=0 得 y= x-3. 4 1 1 当 x=2 时,y= ,∴f(2)= , 2 2 b 7 又 f′(x)=a+ 2,∴f′(2)= , x 4 ① ②

?2a-2=2, 由①,②得? b 7 ?a+4=4.
?a=1 ? 解之得? . ?b=3 ?

b

1

3 故 f(x)=x- . x 3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知 x 曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 3 y-y0=(1+ 2)(x-x0), x0 3 3 即 y-(x0- )=(1+ 2)(x-x0). x0 x0 6 6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ). x0 x0 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1 6 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 |- ||2x0|=6. 2 x0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.
2 13.解 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x2 1),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2) ).

对于 C1:y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x2 1=2x1(x-x1), 即 y=2x1x-x2 1. ①

对于 C2:y′=-2(x-2),则与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2), 即 y=-2(x2-2)x+x2 2-4. 因为两切线重合,
? ?2x1=-2?x2-2?, 所以由①②,得? 2 2 ?-x1=x2-4 ? ? ? ?x1=0, ?x1=2, 解得? 或? ?x2=2 ?x2=0. ? ?



所以直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4.
6

1.2.2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三) 答案

1.A

2.C

3.B

4 .B

5.-24(2 011-8x)2 6.-2 7.1 8.B 9.D

10.解 (1)设 y=u8,u=1+2x2, ∴y′=(u8)′(1+2x2)′ =8u7· 4x=8(1+2x2)7· 4x =32x(1+2x2)7. 1 (2)设 y=u- ,u=1-x2, 2 1 则 y′=(u- )′(1-x2)′ 2 1 3 =(- u- )· ( - 2 x) 2 2 3 =x(1-x2)- . 2 (3)y′=(sin 2x-cos 2x)′=(sin 2x)′-(cos 2x)′=2cos 2x+2sin 2x π =2 2sin (2x+ ). 4 (4)设 y=cos u,u=x2, 则 y′=(cos u)′· (x2)′=(-sin u)· 2x =(-sin x2)· 2x=-2xsin x2. 11.解 f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),

f(0)=1. ∴f′(x)=2ax-2+ = 1 x+ 1

2ax2+?2a-2?x-1 , x+ 1

f′(0)=-1, ∴切点 P 的坐标为(0,1),l 的斜率为-1, ∴切线 l 的方程为 x+y-1=0. 12.解 函数 s=5- 25-9t2可以看作函数 s=5- x和 x=25-9t2 的复合函数,其中 x 是中间变量.

1 1 由导数公式表可得 sx′=- x- , 2 2 xt′=-18t.
7

故由复合函数求导法则得 st′=sx′· xt′ 1 1 9t =(- x- )· (-18t)= , 2 2 25-9t2 7 将 t= 代入 s′(t), 15 得 s′( 7 )=0.875 (m/s). 15 7 s 时,梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s. 15

它表示当 t= 13.证明

设 y=f(x)是奇函数,即 f(-x)=-f(x),两边对 x 求导,得 f′(-x)· (-x)′=-f′(x),

即-f′(-x)=-f′(x), f′(-x)=f′(x),故原命题成立.

1.3.1

函数的单调性与导数 答案

1.A

2.D

3. A

4 .B

1 ? 5.? ?-3,1?∪[2,3) π 5π? 6.? ?3 , 3 ? 7.解 由 y=f′(x)的图象可以得到以下信息:

x<-2 或 x>2 时,f′(x)<0,-2<x<2 时,f′(x)>0, f′(-2)=0,f′(2)=0. 故原函数 y=f(x)的图象大致如下:

8.A 9.C 10.a≤0 11.解 (1)函数的定义域为(0,+∞),

1 y ′= 1 - , x 由 y′>0,得 x>1;由 y′<0, 得 0<x<1. ∴函数 y=x-ln x 的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1). (2)函数的定义域为{x|x≠0}, 1 y′=- 2, 2x ∵当 x≠0 时,y′=- 1 <0 恒成立. 2 x2
8

1 ∴函数 y= 的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞),没有单调增区间. 2x 12.解 (1)由 y=f(x)的图象经过点 P(0,2),知 d=2, ∴f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c. 由在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f′(-1)=6.
?3-2b+c=6 ?2b-c=-3 ? ? ∴? ,即? ?-1+b-c+2=1 ?b-c=0 ? ?

解得 b=c=-3. 故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2. (2)f′(x)=3x2-6x-3. 令 f′(x)>0,得 x<1- 2或 x>1+ 2; 令 f′(x)<0,得 1- 2<x<1+ 2. 故 f(x)=x3-3x2-3x+2 的单调递增区间为(-∞,1- 2)和(1+ 2,+∞),单调递减区间为(1- 2,1+ 2). 13.解 (1)由已知条件得 f′(x)=3mx2+2nx, 又 f′(2)=0,∴3m+n=0,故 n=-3m. (2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2, ∴f′(x)=3mx2-6mx. 令 f′(x)>0,即 3mx2-6mx>0, 当 m>0 时,解得 x<0 或 x>2,则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 当 m<0 时,解得 0<x<2,则函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 综上,当 m>0 时,函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 当 m<0 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,2).

1.3.2

函数的极值与导数 答案

1.A 7.3 8.9 9.③

2.D

3 .D

4 .C

5.C 6.B

10.解 (1)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). ∵f′(x)= ?x-2?2?x+1? , 2?x-1?3

令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1)
9

1

(1,2)

2

(2,+∞)

f′(x) f(x)

+ ?

0 - 3 8

- ?

+ ?

0 3

+ ?

故当 x=-1 时,函数有极大值, 3 并且极大值为 f(-1)=- . 8 (2)函数的定义域为 R,
- ? 1x?′ f′(x)=2xe x+x2· ?e ?

=2xe x-x2e
- -

-x

=x(2-x)e x, 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) - ? 0 0 0 (0,2) + ? 2 0 4e
-2

(2,+∞) - ?

由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且为 f(0)=0; 当 x=2 时,函数有极大值,且为 f(2)=4e 2.


11.解 ∵f′(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m), 2 令 f′(x)=0,则 x=-m 或 x= m. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) F ( x) (-∞,-m) + ? -m 0 极大值

?-m,? ?2 ? ? m ? ?3 ?
- ?

2 m 3 0 极小值

?2m,? ?3 ? ? ? ?+∞ ?
+ ?

1 5 ∴f(x)极大值=f(-m)=-m3+ m3+2m3-4=- , 2 2 ∴m=1. 12.解 (1)f′(x)=3x2-2x-1.

1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: X f′(x) f(x) 1 (-∞,- ) 3 + ? 1 - 3 0 极大值 1 (- , 3 1) - ? 0 极小值 1 (1,+ ∞) + ?

1 5 所以 f(x)的极大值是 f(- )= +a, 3 27
10

极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x 取足够大的正数时, 有 f(x)>0, x 取足够小的负数时,有 f(x)<0, 所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点. 1 5 由(1)知 f(x)极大值=f(- )= +a,f(x)极小值=f(1)=a-1. 3 27 ∵曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点, ∴f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0, 即 5 +a<0 或 a-1>0, 27

5 ∴a<- 或 a>1, 27 ∴当 a∈(-∞,- 5 )∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 27

13.解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex, 故 f′(1)=3e. (2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令 f′(x)=0,解得 x=-2a 或 x=a-2, 2 由 a≠ 知,-2a≠a-2. 3 以下分两种情况讨论: 2 ①若 a> ,则-2a<a-2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) (-∞,-2a) + ? -2a 0 极大值 (-2a,a-2) - ? a -2 0 极小值 (a-2,+∞) + ?

所以 f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数. 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae
-2a

.


函数 f(x)在 x=a-2 处取得极小值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2. 2 ②若 a< ,则-2a>a-2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) (-∞,a-2) + ? a -2 0 极大值 (a-2,-2a) - ? -2 a 0 极小值 (-2a,+∞) + ?

所以 f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数, 在(a-2,-2a)内是减函数. 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2.


11

函数 f(x)在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae 1.3.3 数的最大(小)值与导数 答案
1.B 6.- 1 e 2.C 3.A 4.C 5.C





7.[-4,-2] 8.D 9.(-∞,2ln 2-2] 10.解 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -40+a -2 (-2,0) + ? 0 0 极大值 a (0,2) - ? 2 0 -8+a

∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a =-37,得 a=3. 当 x=0 时,f(x)的最大值为 3. 11.解 (1)f′(x)=3x2-2ax+b, ∵函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值, ∴-1,3 是方程 3x2-2ax+b=0 的两根.

?-1+3=3a ∴? b ?-1?3=3

2

? ?a=3 ,∴? . ?b=-9 ?

(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2-9x+c, f′(x)=3x2-6x-9. 当 x 变化时,f′(x),f(x)随 x 的变化如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + ? -1 0 极大值 c+5 (-1,3) - 3 0 极小值 c-27 (3,+∞) +

而 f(-2)=c-2,f(6)=c+54, ∴当 x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为 c+54, 要使 f(x)<2|c|恒成立,只要 c+54<2|c|即可, 当 c≥0 时,c+54<2c,∴c>54; 当 c<0 时,c+54<-2c,∴c<-18.
12

∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞),此即为参数 c 的取值范围.
? ?f?1?=0 12.解 (1)f′(x)=3x2+2ax,由已知条件? ?f′?1?=-3 ? ? ? ?a+b+1=0 ?a=-3 即? ,解得? . ?2a+3=-3 ? ? ?b=2

(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2, f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,0) + ? 0 0 2 (0,2) - ? 2 0 -2 (2,+∞) + ?

由 f(x)=f(0),解得 x=0,或 x=3. 因此根据 f(x)图象, 当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2, 最小值为 f(t)=t3-3t2+2; 当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=-2; 当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t3-3t2+2,最小值为 f(2)=-2. 13.解 (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1, f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - ? k -1 0 -ek
-1

(k-1,+∞) + ?

所以 f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时, 函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,由(1)知 f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1)上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1.


当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.

习题课答案
1.A 2.B 3 . A 4 .D
13

5.3 6.2 7.A 8.B

9.(-2,2) 10.解 f′(x)=3x2-2ax+3, 由已知得 f′(3)=0, ∴3?9-6a+3=0.∴a=5, ∴f(x)=x3-5x2+3x+6. 令 f′(x)=3x2-10x+3=0, 1 得 x1= ,x2=3. 3 则 x,f′(x),f(x)的变化关系如下表. x f′(x) f(x) 6 0

?0,1? ? 3?
+ 递增 6

1 3 0 13 27

?1,3? ?3 ?
- 递减

3 0 -3

(3,5) + 递增

5

21

∴f(x)在[0,5]上的最大值为 f(5)=21, 最小值为 f(3)=-3. 11.(1)解 b f′(x)=1+2ax+ . x

?f?1?=0, ? 由已知条件得? ?f′?1?=2, ? ? ?1+a=0, 即? ?1+2a+b=2. ? ? ?a=-1, 解得? ?b=3. ?

(2)证明

因为 f(x)的定义域为(0,+∞),

由(1)知 f(x)=x-x2+3ln x. 设 g(x)=f(x)-(2x-2) =2-x-x2+3ln x, 则 g′(x)=-1-2x+ =- ?x-1??2x+3? . x 3 x

当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时, g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)内单调递增, 在(1,+∞)内单调递减.
14

而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0, 即 f(x)≤2x-2. 12.解 当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, f′(x)=(-x2+2)ex. 当 f′(x)>0 时,(-x2+2)ex>0, 注意到 ex>0, 所以-x2+2>0,解得- 2<x< 2. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为(- 2, 2). 同理可得,函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞). (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0, 注意到 ex>0, 因此-x2+(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立, x2+2x 1 也就是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. x+ 1 x+ 1 设 y=x+1- 即 y=x+1- 则 y<1+1- 1 1 ,则 y′=1+ >0, x+ 1 ? x+ 1 ? 2 1 在(-1,1)上单调递增, x+ 1

1 3 3 = ,故 a≥ . 2 1+ 1 2

§ 1.4
1.C 2.C 3.C 6.32 米,16 米 7.5 8.6 9.解 3 4 .B 5. A

生活中的优化问题举例
答案

设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20,

y-25 ,其中 x>20,y>25. 2

y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· 2 =18 000, 18 000 由此得 y= +25. x-20
15

18 000 18 000x 广告的面积 S=xy=x( +25)= +25x. x-20 x-20 ∴S ′= 18 000[?x-20?-x] -360 000 +25= +25. ?x-20?2 ?x-20?2

令 S′>0 得 x>140, 令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减, ∴S(x)的最小值为 S(140). 当 x=140 时,y=175. 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24 500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 10.解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37; 当 2≤x≤12 时, f(x)=p(x)-p(x-1) 1 1 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x) 2 2 =-3x2+40x(x∈N*,且 2≤x≤12). 验证 x=1 符合 f(x)=-3x2+40x, ∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12). (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x) =6x3-185x2+1 400x(x∈N*,1≤x≤12), g′(x)=18x2-370x+1 400, 令 g′(x)=0,解得 x=5,x= 当 1≤x<5 时,g′(x)>0; 当 5<x≤12 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时, g(x)max=g(5)=3 125(元). 综上 5 月份的月利润最大是 3 125 元. 11.解 设速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km. 140 (舍去). 9

a 则总费用 f(x)=(kx3+200)· x =a(kx2+ 200 ). x 1 , 200

由已知条件,得 40=k· 203,∴k= ∴f(x)=a( 1 2 200 x+ ). 200 x a?x3-20 000? =0, 100x2

令 f′(x)=

16

3 得 x=10 20. 3 当 0<x<10 20时,f′(x)<0; 3 当 10 20<x<100 时,f′(x)>0. 3 ∴当 x=10 20时,f(x)有最小值, 3 即速度为 10 20 km/h 时,总费用最少. 12.解 (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 V- πr3 3 80 4 4 20 故 l= = 2- r= ( 2 -r). πr2 3r 3 3 r 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4 20 所以建造费用 y=2πrl?3+4πr2c=2πr? ( 2 -r)?3+4πr2c, 3 r 因此 y=4π(c-2)r2+ 160π ,0<r≤2. r 160π r2

(2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- =

8π?c-2? 3 20 (r - ),0<r≤2. r2 c- 2

由于 c>3,所以 c-2>0. 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c- 2 c- 2 令 3 20 =m,则 m>0, c- 2 8π?c-2? (r-m)(r2+rm+m2). r2

所以 y′=

9 ①当 0<m<2,即 c> 时,令 y′=0,得 r=m. 2 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2]时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2]时,y′≤0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2

17

3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c- 2

1.5.1---1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程答案
1.C 7. n+1 2 n+i-1 n+i , ] n n 2.B 3.D 4 .B 5.D 6.C

8.[

9.55 10.解 令 f(x)=x2. (1)分割 将区间[0,2]n 等分,分点依次为 2?n-1? 2 4 x0=0,x1= ,x2= ,?,xn-1= ,xn=2. n n n 2i-2 2i 2i 2i-2 2 第 i 个区间为[ , ](i=1,2,?,n),每个区间长度为 Δx= - = . n n n n n (2)近似代替、求和 2i 取 ξi= (i=1,2,?,n), n
n n 2i 2i 2 2 8 n 2 Sn=∑ f ( ) ·Δ x = ∑ ( ) ·= 3∑ i n n i=1 i=1 n i=1 n

8 8 n?n+1??2n+1? = 3(12+22+?+n2)= 3· n n 6 4 3 1 = (2+ + 2). 3 n n (3)取极限 4 3 1 8 S=li m Sn=li m (2+ + 2)= , n n 3 n→∞ n→∞ 3 8 即所求曲边梯形的面积为 . 3 11.解 (1)分割:将时间区间[0,t]分成 n 等份.

i-1 it 把时间[0,t]分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为[ t, ](i=1,2,?,n), n n 每个小区间所表示的时间段 it i-1 t Δt= - t= , n n n 在各个小区间物体下落的距离记作 Δsi(i=1,2,?,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程. i-1 it 在[ t, ]上任取一时刻 ξi(i=1,2,?,n), n n i-1 可取 ξi 使 v(ξi)=g· t 近似代替第 i 个小区间上的速度, n
18

t 因此在每个小区间上自由落体 Δt= 内所经过的距离可近似表示为 n i-1 t Δsi≈g· t·(i=1,2,?,n). n n (3)求和:
n n i-1 t sn=∑ Δ s = ∑ g· t· i n n i=1 i=1



gt2 [0+1+2+…+(n-1)] n2

1 1 = gt2(1- ). 2 n (4)取极限:s=lim →∞
n

1 2 1 1 gt (1- )= gt2. 2 n 2

1 即在时间区间[0,t]内物体下落的距离为 gt2. 2 12.解 (1)分割:将区间[1,2]等分割成 n 个小区间[1+ i-1 i 1 ,1+ ](i=1,2,?,n),区间长度为 Δt= ,每个时 n n n
n

间段内行驶的路程记为 Δsi(i=1,2,?,n),则 sn≈ ?Δsi.
i=1

(2)近似代替:ξi=1+ Δsi≈v(1+

i-1 (i=1,2,?,n), n

i-1 n 1 6n )·Δt=6· ( )2·= n n+i-1 n ?n+i-1?2

(i=1,2,?,n). (3)求和: sn= ?
n

i=1

6n ?n+i-1?2

≈?

n

i=1

6n ?n+i??n+i-1?

1 1 1 1 1 1 =6n( - + - +?+ - ) n n+ 1 n+ 1 n+ 2 2n-1 2n 1 1 =6n( - )=3. n 2n (4)取极限: s=lim sn=3. →∞
n

1.5.3

定积分的概念 答案
19

1.D

2.A

3.D

4 .C

5.B

6.A

7.-? 0 -πsin xdx 8.π 9.-2 10.解 令 f(x)=-x2+2x.

(1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个分点,把区间[1,2]等分为 n 个小区间[1+ i i-1 1 每个小区间的长度为 Δx= - = . n n n (2)近似代替、作和 i 取 ξi=1+ (i=1,2,?,n),则 n
n n i i i 1 Sn=∑ f(1+ )·Δx=∑ [-(1+ )2+2(1+ )]· = = n n n n i 1 i 1

i-1 i ,1+ ](i=1,2,?,n), n n

1 2 =- 3[(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(2n)2]+ 2[(n+1)+(n+2)+(n+3)+…+2n] n n 1 2n?2n+1??4n+1? n?n+1??2n+1? 2 n?n+1+2n? =- 3[ - ]+ 2· n 6 6 n 2 1 1 1 1 1 1 1 =- (2+ )(4+ )+ (1+ )(2+ )+3+ , 3 n n 6 n n n (3)取极限 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ?2 Sn=lim [- (2+ )(4+ )+ (1+ )(2+ )+3+ ]= , 1(-x +2x)dx=lim 3 n n 6 n n n 3 n→∞ n→∞ 2 2 2 ?2 1(-x +2x)dx= 的几何意义为由直线 x=1,x=2,y=0 与曲线 f(x)=-x +2x 所围成的曲边梯形的面 3 积. 11.解
3 (1)在平面上,f(x)=2x+1 为一条直线,? 0 (2x+1)dx 表示直线 f(x)=2x+1,x=0,x=3 与 x 轴围成的

1 直角梯形 OABC 的面积,如图(1)所示,其面积为 S= (1+7)?3=12.根据定积分的几何意义知 ? 3 0(2x+1)dx 2 =12.

(2)由 y= 1-x2可知,x2+y2=1(y≥0)图象如图(2),

20

由定积分的几何意义知 ? 和.

3 3 - 1-x2dx 等于圆心角为 120° 的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之 2 2

1 2 1 2 π 3 S 弓形= ? π?12- ?1?1?sin π= - , 2 3 2 3 3 4 S 矩形=|AB|· |BC| = 2? ∴? 12.B 13.解 由定积分的几何意义知 ?π-2??2π+4? 2 3 1 3 ? = , 2 2 2

3 3 π 3 3 π 3 - 1-x2dx= - + = + . 2 2 3 4 2 3 4

3 π ?2 -2x dx=0,? 22xdx=

=π2-4, ? 2π π cos xdx=0, 由定积分的性质得
2 3 π 2π 2 ? 2π -2f(x)dx=? -2x dx+? 22xdx+? π cos xdx=π -4.

§ 1.6
1.D 7.1 8. 3 3 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C

微积分基本定理
答案

9.f(x)=4x+3 10.解 1 (1)∵(ex+ln x)′=ex+ , x

1 x x 2 ∴? 2 1(e + )dx=(e +ln x)|21=e +ln 2-e. x 1 2 3 (2)∵ x(1+ x)=x+ x,( x2+ x )′=x+ x, 2 3 2 1 2 2 3 ∴? 9 1 x(1+ x)dx=( x + x )|91 2 3 2 = 172 . 3
-0.05x+1

(3)∵(e

)′=-0.05e
-0.05x+1

-0.05x+1



∴? 20 0 (-0.05e =e
-0.05x+1

)dx

|200=1-e.
21

(4)∵

1 1 1 = - ,(ln x)′ x?x+1? x x+1

1 1 = ,(ln(x+1))′= , x x+ 1 ∴? 2 1 11.解 1 dx=ln x|2 1-ln(x+1)|21=2ln 2-ln 3. x?x+1?

由积分的性质,知:

1 2 3 ?3 0f(x)dx=? 0f(x)dx+? 1f(x)dx+? 2f(x)dx 3 2 3 x =? 1 0x dx+? 1 xdx+? 22 dx

x4 2 3 2 2x 3 = |1 | 0+ x |1+ 4 3 2 ln 2 2 1 4 2 8 4 = + 2- + - 4 3 3 ln 2 ln 2 5 4 4 =- + 2+ . 12 3 ln 2 12.解 2 1 ∵( ax3- a2x2)′=2ax2-a2x, 3 2

2 2 ∴? 1 0(2ax -a x)dx

2 1 2 1 =( ax3- a2x2)|10= a- a2, 3 2 3 2 2 1 即 f(a)= a- a2 3 2 1 4 4 2 =- (a2- a+ )+ 2 3 9 9 1 2 2 =- (a- )2+ , 2 3 9 2 2 ∴当 a= 时,f(a)有最大值 . 3 9 13.解 (1)当-a≤-4 即 a≥4 时,

x2 7 原式=? 3 +ax)|3 -4(x+a)dx=( -4=7a- . 2 2 (2)当-4<-a<3 即-3<a<4 时,
3 原式=? -a 4[-(x+a)]dx+? -a(x+a)dx


x2 x2 - =(- -ax)|-a + ( +ax)|3 -a 4 2 2 a2 a2 9 = -4a+8+( +3a+ ) 2 2 2 25 =a2-a+ . 2 (3)当-a≥3 即 a≤-3 时, x2 7 3 原式=? 3 -ax)|- -4[-(x+a)]dx=(- 4=-7a+ . 2 2 综上,得 ? 3 -4|x+a |dx

22

?a≥4? ? ? 25 =?a -a+ 2 ?-3<a<4? ? ?a≤-3? ?-7a+7 2
2

7 7a- 2

.

1.7.1 定积分在几何中的应用答案
1.D 2.A 3.C 4 .D

3 5.? 1 0( x-x )dx

6.

1 4

7.C 8.B 9. 1 3 作出直线 y=6-x,曲线 y= 8x的草图,所求面积为图中阴

10.解

影部分的面积.
?y=6-x ? 解方程组? 得直线 y=6-x 与曲线 y= 8x交点的坐标为 ? ?y= 8x

(2,4),直线 y=6-x 与 x 轴的交点坐标为(6,0). 因此,所求图形的面积 S=S1+S2
6 =? 2 0 8xdx+? 2(6-x)dx

2 3 1 = 8? x |2 +(6x- x2)|6 3 20 2 2 = 11.解 16 1 1 16 40 +[(6?6- ?62)-(6?2- ?22)]= +8= . 3 2 2 3 3 如图所示,所求面积:

2 2 S= ? 0 |x -1|dx 1 2 2 =-? 0 (x -1)dx+? 2 1(x -1)dx

1 1 =-( x3-x)|10+( x3-x)|21 3 3 1 8 1 =1- + -2- +1=2. 3 3 3 12.解 (1)设点 P 的横坐标为 t(0<t<2),

则 P 点的坐标为(t,t2), 直线 OP 的方程为 y=tx. 1 S1=? t0(tx-x2)dx= t3, 6 8 13 2 S2=? 2 t (x -tx)dx= -2t+ t . 3 6 因为 S1=S2,
23

4 4 16 所以 t= ,点 P 的坐标为( , ). 3 3 9 1 8 1 (2)S=S1+S2= t3+ -2t+ t3 6 3 6 1 8 = t3-2t+ ,S′=t2-2, 3 3 令 S′=0 得 t2-2=0. ∵0<t<2,∴t= 2, 因为 0<t< 2时,S′<0; 2<t<2 时, S′>0. 所以,当 t= 2时, 8 4 2 S1+S2 有最小值 - ,此时点 P 的坐标为( 2,2). 3 3 13.解 作出 y=x2-2x 的图象如图.

(1)当 a<0 时,
2 S= ? 0 a(x -2x)dx

1 a3 4 2 =( x3-x2)|0 a=- +a = , 3 3 3 ∴(a+1)(a-2)2=0. ∵a<0,∴a=-1. (2)当 a>0 时, ①若 0<a≤2,则
2 S=-? a 0(x -2x)dx

1 a =-( x3-x2)|0 3 1 4 =a2- a3= , 3 3 ∴a3-3a2+4=0 ∴(a+1)(a-2)2=0. ∵a>0,∴a=2. ②当 a>2 时,不合题意. 综上 a=-1,或 a=2.

1.7.2 定积分在物理中的应用答案
1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.B

7.0.36 J 8.144 cm3 q q 9.k -k a b 10.解 由题意,得

24

?2?1≤t≤3?, v(t)=? 1 ?3t+1?3≤t≤6?,
由变速直线运动的路程公式,可得: 1 +? 6 3( t+1)dt 3 1 1 49 3 =t2|1 +2t|1 +( t2+t)|6 (m). 3= 2 6 4 所以该物体在 11.解 1 49 s~6 s 间的运动路程是 m. 2 4


2t?0≤t≤1?,

物体的速度 v=x′(t)=(bt3)′=3bt2,媒质的阻力 F

= kv 2 = k · (3bt2)2=9kb2t4(其中 k 为比例常数,

k>0).当 x=0 时,t=0; a1 当 x=a 时,t=( ) . b3 所以阻力所做的功为 a1 2 W 阻=? a vdt 0F 阻 dx=? ( ) 0kv · b3 a1 =? ( ) 09kb2t4· 3bt2dt b3 a1 =? ( ) 027kb3t6dt b3 = 12.解 27 3 7 a 1 27 2 7 kb t |( ) 0= kb · a . 7 b3 7 3 3 依题意知物体 A,B 均作变速直线运动,所以可借助变速直线运动的路程公式求解.

设 a 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米,则 A 从开始到 a 秒末所走的路程为
a 2 3 sA=? a 0vAdt=? 0(3t +1)dt=a +a;

B 从开始到 a 秒末所走的路程为
a 2 sB=? a 0vBdt=? 010tdt=5a .

由题意得 sA=sB+5,即 a3+a=5a2+5,得 a=5. 此时 sA=53+5=130(米),sB=5?52=125(米). 故 5 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米,此时,物体 A,B 运动的距离分别是 130 米和 125 米. 13.解 (1)由 v(t)=8t-2t2≥0 得 0≤t≤4,

即当 0≤t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 故 t=6 时,点 P 离开原点的路程
2 6 2 s1=? 4 0(8t-2t )dt-? 4(8t-2t )dt

2 2 =(4t2- t3)|40-(4t2- t3)|64 3 3 = 128 . 3
25

2 当 t=6 时,点 P 的位移为 ? 6 0(8t-2t )dt

2 =(4t2- t3)|6 =0. 3 0 (2)依题意知 ? t0(8t-2t2)dt=0, 2 即 4t2- t3=0, 3 解得 t=0 或 t=6,

t=0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况,t=6 是所求的值. 单元检测一答案
1.C 11.B 13.2 14.2 15.0.36 J 16.(-1,0] 17.解 (1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a. ∵f(x)在 x=3 处取得极值, ∴f′(3)=6?9-6(a+1)?3+6a=0,解得 a=3. ∴f(x)=2x3-12x2+18x+8. (2)A 点在 f(x)上, 由(1)可知 f′(x)=6x2-24x+18, f′(1)=6-24+18=0, ∴切线方程为 y-16=0. 18.解 因为 a=-0.4 m/s2,v0=72 km/h=20 m/s. 设 t 秒后的速度为 v,则 v=v0+? t0adt =20-? t00.4dt=20-0.4t, 当列车停止时 v=0,解得 t=50 s. 设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s.
50 则 s=? 50 0 v(t)dt=? 0 (20-0.4t)dt

2.B 12.B

3.C 4.B 5.A

6.B

7.D

8.C

9.A

10.A

=500 (m). 故列车应在进站前 50 s 和进站前 500 m 处开始制动. 19.解 (1)f′(x)=3x2-x+b,∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥0,即 3x2-x+b≥0, ∴b≥x-3x2 在(-∞,+∞)上恒成立. 设 g(x)=x-3x2. 1 1 1 当 x= 时,g(x)max= ,∴b≥ . 6 12 12 (2)由题意知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2. x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,
26

2 只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c2 即可.∵f′(x)=3x2-x-2,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- .∵f(1)= 3 3 - + c, 2 2? 22 1 f? ?-3?=27+c,f(-1)=2+c, f(2)=2+c. ∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c2.解得 c>2 或 c<-1,∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 20.解 (1)0≤a≤1 时,

1 2 f(a)=? 0 |x -a2|dx 2 2 1 2 2 =? a 0(a -x )dx+? a(x -a )dx

1 x3 2 1 =(a2x- x3)|a 0+( -a x)|a 3 3 a3 1 a3 =a3- -0+0+ -a2- +a3 3 3 3 4 1 = a3-a2+ . 3 3 当 a>1 时, 1 1 1 2 f(a)=? 0 (a -x2)dx=(a2x- x3)|10=a2- . 3 3

?3a -a +3 ?0≤a≤1?, ∴f(a)=? 1 ?a -3 ?a>1?.
3 2 2

4

1

1 1 2 (2)由于 f(a)=a2- 在[1,+∞)上是增函数,故 f(a)在[1,+∞)上的最小值是 f(1)=1- = . 3 3 3 当 a∈[0,1]时,f′(a)=4a2-2a=2a(2a-1), 1 由 f′(a)>0 知:a> , 2 1 1 故在[0, ]上递减,在[ ,1]上递增. 2 2 因此在[0,1]上,f(a)的最小值为 1 1 f( )= . 2 4 1 综上可知,f(x)在[0,+∞)上的最小值为 . 4

21.解:(1)由已知 f ?( x) ? 2 ?

1 ( x ? 0) , f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 . x 故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 . 1 ax ? 1 (2) f '( x) ? a ? ? ( x ? 0) . x x ①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 ,
所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 .
27

②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 . a

1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (? , ??) 上, f ?( x) ? 0 , a a
所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .

(3)由已 知,转化为 f ( x) max ? g ( x) max , g ( x) max ? 2 . 由(2)知,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e ) ? ae ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)
3 3

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在

上单调递增,在

上单调递减,

1 a 1 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) ,解得 a ? ? 3 . e
22.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

故 f ( x) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln(

1 ) ? ?1 ? ln(?a) , ?a

1 3 ) 得 a ?b ? 0, a ? 2, b ? 1. 2 2

x?y ? [a ? (t 2 ? 3)b]? (?ka ? tb) ? 0,即 ? ka 2 ? ta ? b ? k (t 2 ? 3)a ? b ? t (t 2 ? 3)b2 ? 0,
1 即 ? 4k ? t 3 ? 3t ? 0, 可化为k ? f (t ) ? (t 3 ? 3t ). 4


当 t 变化时,
t +

的变化情况如下表:
-1 0 (-1,1) - 1 0 (1,+ ) +

由上表可知,

的单调递增区间为

单调递减区间为

第一章 导数及其应用二答案
一、 选择题 1.D 2.C 解析: lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12. h ? 0 h 4h
'

解析:令 y

? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 0, 得x ? ?1. 或
28

3

3 时,不满足题意,故舍去.

当 x 在(-2,2)上变化时,

的变化情况如下 表:

x

(-2,-1 )

-1

(-1,2)



0



y

5

由上表可知,函数 y 有极大值 5,无极小值.
3.C 解析:令 y ' ? 8 x ?

1 8 x3 ? 1 1 ? ? 0,即8 x3 ? 1 ? 0, 得x ? . 2 2 x x 2

4.A

解析:令 y ' ?

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x ? ? 0, 得x ? e. x2 x2
随 x 的变化情况如下表:

[来源:www.shulihua.net]

当 x 变化时,

x

(0,e)

e

(e,+∞)



0



y

由上表可知,函数 y

在 x=e 时取得最大值,最大值

.

5.C

解析:由



则切线的斜率

.因为

,当









Q









(0



)



当 时,没有满足题意的点,故舍去. 6.B 7.C 解析:因为 ,所以抛物线 在点 处的切线斜率为 1,倾斜角为 .

解析:设 g(x)=xf(x),由 y=f(x)为 R 上的奇函数,可知 g(x)为 R 上的偶函数.
29

而 g′(x)=[xf(x)]′=f(x)+xf′(x). 由已知得,当 x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,故函数 g(x)在(-∞,0)上单调递增. 由偶函数的性质可知,函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减. 因为
网]

=g(-2)=g(2),且 处取得极小值点,则 ,在 的左侧

,故 ,在

.

[ 来源: 数理化

8.A

解析:若

的右侧

.据此可知,f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有 1 个. 9.A 由 当 解析:由题意可得 .

1 7 = (3x-7)(x+1)=0,得 x=-1 或 x= . 2 3 时, 为增函数;当 时, 为 减 函 数 , 当 x> 时 ,

为增函 数. 2 2 所以 f(-1)是函数 f( x)在(-∞,0]上的 最大值.又因为-a ≤0,故 f(-a )≤ f(-1).
[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

10.B

解析:由题意得



解得

则不等式组为

如图所示,阴影部分的面积即为所求. 易知图中两锐角的正切值分别是 . 1 1 + 2 3 )= =1,所 1 1 1- ? 2 3

设两直线的夹角为 ,则 tan =tan(

以 =

π ,而圆的半径是 2, 4 所 以 不 等 式 组 所 确 定 的 区 域 在 圆 内 的 面 积 .

11.B 解析:函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 既存在极大值又存 在极小值, 所以方程 有两个不同的实数根. 由 12.D 又因为 所以 因为 所以当 时, 可转化为 ,即
30

3

2

得 m 的取值范围为 解析:因为 ,则 在 x<0 时递增. 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 为奇函数,关于原点对称,所以



在 x>0 时也是增函数. ;



时,

可转化为

,即

.

二、填空题 13. 解析:设切点 P(x0,y0).因为 ,所以 . ① ② ③ .

由题意知 x0-y0-1=0, 2 y0=ax0 , 2ax0=1, 由①②③解得: 14. b ? 3ac
2

解析:由题意知

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 恒成立,已知







15.

解析: 解析:因为 ,令切线的斜率 ,当 k 取最小值时, ,即 .

14.3x -y -11 =0

,此时切线的斜率为 3,切点为(-1,-14),切线方程为 三、解答题 17.解:(1)因为 (2)因为 (3)因为 = = = ,所以 ,所以 ,

所以

=

18.解: (1)因为

f ( x) ? ax 4 ? bx 2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,所以 c ? 1 ①.

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1 ②.
由题意得切点为 (1, ?1) ,则

f ( x) ? ax 4 ? bx 2 ? c 的图象经过点 (1, ?1) ,



③.

联立①②③得

(2)令



当 x 变化时,

31

x

0



0



0



0



由上表可知,函数

的单调递增区间为

19.解:(1) 由题设,f?(1)=-2a=-2,所以 a=1, 此时 f(1)=0,切线方程为 y=-2(x-1),即 2x+y-2=0. (2) ,令 =1-8a.

当 a≥

1 时, ≤0,f ?(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减. 8 1 时, >0,方程 8 , 时,f ?(x)<0,当 时,f?(x)>0, +1=0 有两个不相等的正根 ,

当 0<a< 不妨设 则当

这时 f(x)不是单调函数. 综上,a 的取值范围是[ 21. [分析] [解析] 1 ,+ ). 8
2

本题主要考查导数的应用及转化思想,以及求参数的范围问题. (1)f′(x)=3x -9x+6=3(x-1)(x-2).
2

因为 x∈(-∞,+∞).f′(x)≥m,即 3x -9x+(6-m)≥0 恒成立. 3 3 所以 Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤- ,即 m 的最大值为- . 4 4 (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时 f′(x)>0. 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a, 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a.

5 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,方程 f(x)=0 仅有一个实根,解得 a<2 或 a>2. 22.解: (1) f ?( x) ? 1 ?

a 1 x2 ? x ? a ? ? ( x ? 0) x2 x x2

① a ? 0 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在(0,+∞)上单调递增,
32

此时函数 f ( x) 无极值点; ② a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ? x1 ?

1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ( x2 ? ? 0舍去) 2 2

当 0 ? x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 在 (0, x1 ) 上单调递减; 当 x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 在 ( x1 , ??) 上单调递增; 即 f ( x) 在 (0,

1 ? 4a ? 1 1 ? 4a ? 1 ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增, 2 2 1 ? 4a ? 1 2
2

此时函数 f ( x) 仅有极小值点 x1 ?

6分

(2)函数 f ( x) 满足: ?a ? [ , 2e ] , 函数 f ( x) 满足对 ?x ? [1, e] 都有 f ( x) ? m 成立,即 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值小于 m 由(1)知: ?x ? [ , 2e ] ,
2

1 e

1 e

f ( x) 在 (0,

1 ? 4a ? 1 1 ? 4a ? 1 ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增, 2 2

?1 ? a ? m ? f (1) ? m 1 ? 2 ?? 所以 ? 对 ?x ? [ , 2e ] 恒成立 a e ? f (e ) ? m ? e ? ? 1 ? m e ?
? m ? 1 ? 2e 2 ?? ?m ? 3e ? 1
又 1 ? 2e ? (3e ? 1) ? (2e ? 3)e ? 0 ? 1 ? 2e ? 3e ? 1
2 2 2

故实数 m 的取值范围是 (1 ? 2e , ??)
§2.1 合情推理与演绎推理 合情推理

2.1.1 1.B 7.C 12.解 2.C 8.B 3.D 9.A 4 .D 5.6 35 n+2 2

6.n+(n+1)+?+(3n-2)=(2n-1)2 11.sin2(α-60° )+sin2α+sin2(α+60° )= 3 2

10.f(2n)>

当 n=1 时,S1=a1=1;

1 当 n=2 时, =-2-S1=-3, S2 1 ∴S2=- ; 3 1 5 当 n=3 时, =-2-S2=- , S3 3
33

3 ∴S3=- ; 5 1 7 当 n=4 时, =-2-S3=- , S4 5 5 ∴S4=- . 7 2n-3 猜想:Sn=- (n∈N*). 2n-1 13.解 (1)3 条直线最多将平面分成 7 个部分.

(2)f(n+1)=f(n)+n+1. (3)f(n) = [f(n) - f(n - 1)] + [f(n - 1) - f(n - 2)] + ? + [f(2) - f(1)] + f(1) = n + (n - 1) + (n - 2) + ? + 2 + 2 = n2+n+2 . 2 14.(1)5 030 5 k? 5 k- 1 ? (2) 2

2.1.2 演绎推理
1.D 2.D 3.C 4 .B 5.A 6.A 7.③ 8.y= log2x-2的定义域是[4,+∞) 9.a>0,b>c?ab>ac 11.证明 10.②③

大前提:若函数 y=f(x)对于定义域内的任意一个 x 值满足 f(x+T)=f(x)(T 为非零常数),则它为周期

函数,T 为它的一个周期. 小前提:f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x). 结论:函数 f(x)=|sin x|是周期函数. 12.解 ∵f(x)是 R 上的偶函数,

∴f(-x)=f(x), 1 1 ∴(a- )(ex- x) a e =0 对于一切 x∈R 恒成立, 1 由此得 a- =0, a 即 a2=1.又 a>0, ∴a=1. 13.证明 如图,作 AE⊥SB 于 E.

∵平面 SAB⊥平面 SBC, ∴AE⊥平面 SBC, ∴AE⊥BC. 又∵SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC. ∵SA∩AE=A,SA?平面 SAB,AE?平面 SAB, ∴BC⊥平面 SAB. ∵AB?平面 SAB.∴AB⊥BC. 2.2.1 综合法和分析法(一)
34

1.C 10.解

2.C

3.B

4 .B

5.C

6.C

7.B

8.a>c>b

9 .p > q

a a + b b >a b + b a

?a a-a b>b a-b b ?a( a- b)>b( a- b) ?(a-b)( a- b)>0 ?( a+ b)( a- b)2>0, 只需 a≠b 且 a,b 都不小于零即可. 即 a≥0,b≥0,且 a≠b. 11.证明 方法一 3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b). 因为 a≥b>0, 所以 a-b≥0,3a2-2b2>0, 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 所以 3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 方法二 要证 3a3+2b3≥3a2b+2ab2,

只需证 3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0, 只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0, ∵a≥b>0.∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0, ∴上式成立. 12.证明 1 1 由 - >1 及 a>0 可知 0<b<1, b a 1 , 1- b

要证 1+a>

只需证 1+a· 1-b>1, 只需证 1+a-b-ab>1, 只需证 a-b-ab>0 即 1 1 即 - >1, b a 这是已知条件,所以原不等式得证. 13.证明 要证 logx a+ b b+ c a+ c +logx +logx <logxa+logxb+logxc, 2 2 2 a- b >1, ab

a+ b b+ c a+ c 只需证 logx( · · )<logx(abc). 2 2 2 由已知 0<x<1,得只需证 由公式 a+ b b+ c a+ c · · >abc. 2 2 2

a+ b b+ c ≥ ab>0, ≥ bc>0, 2 2
35

a+ c ≥ ac>0. 2 又∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴ 即 a+ b b+ c a+ c · · > a2b2c2=abc. 2 2 2 a+ b b+ c a+ c · · >abc 成立. 2 2 2

∴logx

a +b
2

+logx

b +c
2

+logx

a+c
2

<logxa+logxb+logxc 成立. 2.2.1 综合法和分析法(二) AE⊥SB AB⊥BC

1.C 7.C

2.A 3.C 8.B

4 .C

5.a>b>c

6.EF⊥SC AE⊥平面 SBC

9.①③?② 用综合法

10.证明 方法一

a b + - a- b b a = a a+b b-a b-b a ab ?a-b?? a- b? ab ? a- b?2? a+ b? >0, ab a b + > a + b. b a 用分析法



= ∴

方法二 要证

a b + > a+ b, b a

a2 b2 只要证 + +2 ab>a+b+2 ab, b a 即要证 a3+b3>a2b+ab2, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b), 即需证 a2-ab+b2>ab, 只需证(a-b)2>0, 因为 a≠b,所以(a-b)2>0 恒成立, 所以 a b + > a+ b成立. b a 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2, a a 1 1 a2+ 2+2≥a+ + 2. a a

11.证明 要证 只要证

∵a>0,故只要证

? ?

1 1 2 a+ + 2?2, a2+ 2+2? ≥? ? a ? ? a

36

1 即 a2+ 2+4 a 从而只要证 2

1? 1 1 a2+ 2+4≥a2+2+ 2+2 2? ?a+a?+2, a a 1? 1 a2+ 2≥ 2? ?a+a?, a

1? 1? 2 ? 2 只要证 4? ?a +a2?≥2?a +2+a2?, 1 即 a2+ 2≥2,而该不等式显然成立,故原不等式成立. a 12.证明 方法一 (分析法)

1 1 1 要证( -1)( -1)( -1)≥8 成立, a b c 只需证 1- a 1- b 1- c · · ≥8 成立. a b c

因为 a+b+c=1, 所以只需证 即证 而 ?a+b+c?-a ?a+b+c?-b ?a+b+c?-c · · ≥8 成立, a b c

b+ c a+ c a+ b · · ≥8 成立. a b c

b+c a+c a+b 2 bc 2 ac 2 ab · · ≥ · · =8 成立. a b c a b c

1 1 1 ∴( -1)( -1)( -1)≥8 成立. a b c 方法二 (综合法)

1 1 1 ( -1)( -1)( -1) a b c a+b+c a+b+c a+b+c =( -1)( -1)( -1) a b c = = ≥ b+ c a+ c a+ b · · a b c ?b+c??a+c??a+b? abc 2 bc· 2 ac· 2 ab = 8, abc

当且仅当 a=b=c 时取等号,所以原不等式成立. 13.证明 得 2 由 f(x)=x2+ +aln x, x

f?x1?+f?x2? 1 2 2 1 1 a = (x1+x2)+( + )+ (ln x1+ln x2) 2 2 x1 x2 2 x1x2.

x1+x2 1 = ( x2 +x2)+ +aln 2 1 2 x 1x 2 f(

x 1+ x 2 x1+x2 2 x1+x2 4 )= ( )+ +aln , 2 2 2 x1+x2

∵x1≠x2 且都为正数, x1+x2 2 1 1 有 ( x2 +x2)> [(x2+x2)+2x1x2]=( ). 2 1 2 4 1 2 2
37



2 又(x1+x2)2=(x1 +x2 2)+2x1x2>4x1x2,



x1+x2 4 > . x1x2 x1+x2 x1+x2 x1+x2 ,∴ln x1x2<ln . 2 2 x1+x2 . 2



∵ x1x2<

∵a≤0,∴aln x1x2>aln 由①、②、③得 14.证明 方法一



f?x1?+f?x2? x1+x2 >f( ). 2 2

(用分析法)

①当 ac+bd≤0 时,显然成立. ②当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立,只需证 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 即证 a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2. 即证 2abcd≤b2c2+a2d2. 即证 0≤(bc-ad)2. 因为 a,b,c,d∈R,所以上式恒成立. 故原不等式成立,综合①②知,命题得证. 方法二 (用综合法)

(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(a2c2+2acbd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2. ∴ ?a2+b2??c2+d2?≥|ac+bd|≥ac+bd. 方法三 (用比较法)

∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =(bc-ad)2≥0, ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, ∴ ?a2+b2??c2+d2?≥|ac+bd|≥ac+bd. 方法四 (用放缩法)

为了避免讨论,由 ac+bd≤|ac+bd|,可以试证(ac+bd)2≤ (a2+b2)(c2+d2). 由方法一知上式成立,从而方法四可行. 方法五 (构造向量法)

设 m=(a,b),n=(c,d), ∴m· n=ac+bd, |m|= a2+b2, |n|= c2+d2. ∵m· n≤|m|· |n|= a2+b2· c2+d2. 故 ac+bd≤ ?a +b ??c +d ?.
2 2 2 2

38

2.2.2 1.D 2.D 3.B 4 .B 5.B

反证法

6.存在一个三角形,其外角最多有一个钝角 10.a≤-2 或 a≥-1

7.a,b 不全为 0

8.D

9.C

11.证明 假设 a,b,c,d 都是非负数, 因为 a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1, 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd>1,这与上式相矛盾,所以 a,b,c,d 中至少有一个是负数. 12.证明 1 假设三个式子同时大于 , 4

1 1 1 即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> , 4 4 4 1 三式相乘得(1-a)a· (1-b)b· (1-c)c> 3, 4 a+1-a 2 1 又因为 0<a<1,所以 0<a(1-a)≤( )= . 2 4 1 1 同理 0<b(1-b)≤ ,0<c(1-c)≤ , 4 4 所以(1-a)a· (1-b)b· (1-c)c≤ 1 43 ② ①

①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 13.证明 假设方程 f(x)=0 有负数根,设为 x0(x0≠-1). 则有 x0<0,且 f(x0)=0. x0-2 x0-2 ∴ax0+ =0?ax0=- . x0+1 x0+1 ∵a>1,∴0<ax0<1,∴0<- x0-2 <1. x0+1

1 解上述不等式,得 <x0<2.这与假设 x0<0 矛盾. 2 故方程 f(x)=0 没有负数根. 2.3 1.B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B 数学归纳法(一) 1 1 1 1 8.f(k)+ + + - 3k 3k+1 3k+2 k-1

9.缺少步骤归纳奠基 10.证明 1 2 2 2 (1)当 n=1 时,左边=1- = ,右边= = ,等式成立. 3 3 1+ 2 3

(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 1 1 1 1 2 (1- )(1- )(1- )?(1- )= , 3 4 5 k+ 2 k+ 2 当 n=k+1 时, 2?k+2? 1 1 1 1 1 2 1 2 (1- )(1- )(1- )?(1- )· (1- )= (1- )= = , 3 4 5 k+ 2 k+ 3 k+ 2 k+3 ?k+2??k+3? k+3 所以当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可知,对于任意 n∈N*等式都成立.
39

11.证明

(1)当 n=1 时,左边=1,右边=(-1)1 1?


1 ?2 =1, 2

结论成立. (2)假设当 n=k 时,结论成立.
- - k?k+1? 即 12-22+32-42+?+(-1)k 1k2=(-1)k 1· , 2

那么当 n=k+1 时, 12-22+32-42+?+(-1)k 1k2+(-1)k(k+1)2
- - k?k+1? =(-1)k 1· +(-1)k(k+1)2 2

-k+2k+2 =(-1)k· (k+1) 2 ?k+1??k+2? =(-1)k· . 2 即 n=k+1 时结论也成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 n 都有此结论成立. 12.(1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10, a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,
? ?n=1? ?5 猜想 an=? . n-2 * ?5?2 , ?n≥2,n∈N ? ?

(2)证明

①当 n=2 时,a2=5?22 2=5,公式成立.
- -

②假设 n=k(k≥2,k∈N*)时成立,即 ak=5?2k 2, 当 n=k+1 时,由已知条件和假设有 ak+1=Sk=a1+a2+a3+?+ak =5+5+10+?+5?2k 2.


5?1-2k 1? - =5+ =5?2k 1. 1- 2


故 n=k+1 时公式也成立. 由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5?2n 2.


所以数列{an}的通项公式为
?5 ? an=? n-2 ?5?2 ?

?n=1? ?n≥2,n∈N*?

.

13.解

假设存在 a、b、c 使上式对 n∈N*均成立,则当 n=1,2,3 时上式显然也成立,
2

1?2 = ?a+b+c?, ? 6 ? 1 此时可得? 1?2 +2?3 = ?4a+2b+c?, 2 ? ?1?2 +2?3 +3?4 =9a+3b+c,
2 2 2 2 2

1

解此方程组可得 a=3,b=11,c=10,

40

下面用数学归纳法证明等式 1?22+2?32+3?42+?+n(n+1)2= 成立. (1)当 n=1 时,命题显然成立. (2)假设 n=k 时,命题成立. 即 1?22+2?32+3?42+?+k(k+1)2= 则当 n=k+1 时,有 1· 22+2· 32+?+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 = = = = k?k+1? 2 (3k +11k+10)+(k+1)(k+2)2 12 k?k+1? (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 12 ?k+1??k+2? 2 (3k +5k+12k+24) 12 ?k+1??k+2? [3(k+1)2+11(k+1)+10]. 12 k?k+1? 2 (3k +11k+10), 12

n?n+1? 2 (3n +11n+10)对一切正整数均 12

即当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对任何正整数 n,等式都成立.

2.3 数学归纳法(二)
1.D 2.C 3.C 4.C 2n 5.Sn= n+1 6.A 7.A 8.D

1 1 1 1 1 1 1 9. 2+ 2+?+ 2+ + > - 2 3 k ?k+1?2 ?k+2?2 2 k+3 10.证明 (1)当 n=1 时,62 1+1=7 能被 7 整除.


(2)假设当 n=k(k∈N*)时,62k 1+1 能被 7 整除.


那么当 n=k+1 时,62(k =36(62k 1+1)-35.


+1)-1

+1=62k

-1+2

+1

∵62k 1+1 能被 7 整除,35 也能被 7 整除,


∴当 n=k+1 时,62(k

+1)-1

+1 能被 7 整除.

由(1),(2)知命题成立. 11.证明 1 1 1 1 5 (1)当 n=2 时,左边= + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6

(2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立, 即 1 1 1 5 + +?+ > . 3k 6 k+ 1 k+ 2

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ?+ + + + = + + ?+ + ( + + - 3k 3k+1 3k+2 3?k+1? k+1 k+2 3 k 3 k+ 1 3 k+ 2 3 k+ 3 ?k+1?+1 ?k+1?+2 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 )> +( + + - )> +(3? - )= , k+ 1 6 3 k+ 1 3 k+ 2 3 k+ 3 k+ 1 6 3 k+ 3 k+ 1 6
41

所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)和(2)可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N*均成立. 12.解 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2. Sn 1 (n≥2). Sn-1+2

∴Sn=-

2 则有:S1=a1=- , 3 1 3 S2=- =- , 4 S1+2 1 4 S3=- =- , 5 S2+2 1 5 S4=- =- , 6 S3+2 n+ 1 由此猜想:Sn=- (n∈N*). n+ 2 用数学归纳法证明: 2 (1)当 n=1 时,S1=- =a1, 3 猜想成立. (2)假设 n=k(k∈N*)猜想成立, k+ 1 即 Sk=- 成立, k+ 2 那么 n=k+1 时, 1 Sk+1=- =- S k+ 2 1 k+ 1 - +2 k+ 2

=-

k+ 2 ?k+1?+1 =- . k+ 3 ?k+1?+2

即 n=k+1 时猜想成立. 由(1)(2)可知,对任意正整数 n, 猜想结论均成立. 13.证明 当 n=1 时,21+2=4>n2=1,

当 n=2 时,22+2=6>n2=4, 当 n=3 时,23+2=10>n2=9, 由 n=4 时,24+2=18>n2=16, 由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,左边=21+2=4,右边=1, 所以左边>右边,所以原不等式成立. 当 n=2 时,左边=22+2=6,右边=22=4,
42

所以左边>右边; 当 n=3 时,左边=23+2=10,右边=32=9, 所以左边>右边. (2)假设 n=k(k≥3 且 k∈N*)时, 不等式成立, 即 2k+2>k2. 那么当 n=k+1 时, 2k 1+2=2· 2k+2=2(2k+2)-2>2· k2-2.


又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0, 即 2k2-2≥(k+1)2,故 2k 1+2>(k+1)2 成立.


根据(1)和(2),原不等式对于任何 n∈N 都成立. 章末检测 1.A 2. A 3.D 4 .D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.A

*

11.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 13.an+1=2an+1(n≥1) 15.解 AE S△ACD 14. = EB S△BCD

12.f(2n)>

2+n (n≥2) 2

(1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,

则必和另一个相交. 结论是正确的:证明如下:设 α∥β,且 γ∩α=a, 则必有 γ∩β=b,若 γ 与 β 不相交,则必有 γ∥β, 又 α∥β,∴α∥γ,与 γ∩α=a 矛盾, ∴必有 γ∩β=b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误的,这两个平面 也可能相交. 16.解 假设 1, 3,2 能为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项,设公差为 d,则

1= 3-md,2= 3+nd, m,n 为两个正整数,消去 d 得 m=( 3+1)n. ∵m 为有理数,( 3+1)n 为无理数, ∴m≠( 3+1)n.∴假设不成立. 即 1, 3,2 不可能为同一等差数列中的三项. 17.证明 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0, 2 (a+b)成立. 2

∴ a2+b2≥

当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 要证 a2+b2≥ 2 (a+b), 2

43

只需证( a2+b2)2≥?

2 ?2 ? 2 ?a+b?? ,

1 即证 a2+b2≥ (a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, ∴ a2+b2≥ 2 (a+b)成立. 2

综上所述,对任意实数 a,b 不等式都成立. 18.证明 s2 要证 s<2a,由于 s2=2ab,所以只需证 s< ,即证 b<s. b

1 因为 s= (a+b+c),所以只需证 2b<a+b+c,即证 b<a+c. 2 由于 a,b,c 为一个三角形的三条边,所以上式成立.于是原命题成立. 19.解 1 (1)令 n=2,∵a1= , 6

2??2+1? ∴S2= a2, 2 即 a1+a2=3a2.∴a2= 令 n=3,得 S3= 1 . 12

3??3+1? a3, 2 1 . 20

即 a1+a2+a3=6a3,∴a3= 令 n=4,得 S4=

4??4+1? a4, 2

1 即 a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4= . 30 (2)猜想 an= 1 ,下面用数学归纳法给出证明. ?n+1??n+2?

1 1 ①当 n=1 时,a1= = ,结论成立. 6 ?1+1??1+2? ②假设当 n=k 时,结论成立, 1 即 ak= , ?k+1??k+2? k?k+1? k?k+1? 1 k 则当 n=k+1 时,Sk= a k= · = , 2 2 ?k+1??k+2? 2?k+2? ?k+1??k+2? Sk+1= ak+1, 2 即 Sk+ak+1= ∴ ?k+1??k+2? ak+1. 2

?k+1??k+2? k +ak+1= ak+1. 2 2?k+2?

44

k 2?k+2? ∴ak+1= ?k+1??k+2? -1 2 = = k k?k+3??k+2? 1 . ?k+2??k+3?

当 n=k+1 时结论成立. 由①②可知,对一切 n∈N*都有 an= 20.解 1 . ?n+1??n+2?

当 n=2 时,由 f(1)=g(2)· [f(2)-1], 1 =2, 1 ?1 + ?- 1 2

f?1? 得 g(2)= = f?2?-1

当 n=3 时,由 f(1)+f(2)=g(3)· [f(3)-1], 得 g(3)= f?1?+f?2? f?3?-1

1 1+?1+ ? 2 = = 3, 1 1 ?1 + + ?- 1 2 3 猜想 g(n)=n(n≥2). 下面用数学归纳法证明: 当 n≥2 时,等式 f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立. ①当 n=2 时,由上面计算可知,等式成立. ②假设 n=k(k∈N*且 k≥2)时,等式成立,即 f(1)+f(2)+?+f(k-1) =k[f(k)-1](k≥2)成立, 那么当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)[f(k+1)- 1 ]- k k+ 1

=(k+1)[f(k+1)-1], ∴当 n=k+1 时,等式也成立. 由①②知,对一切 n≥2 的自然数 n,等式都成立, 故存在函数 g(n)=n,使等式成立.

3.1.1 1.A 2.D 3.A 4 .D 5.A 6.B 7.2

数系的扩充和复数的概念 ±2 8 .1 9.-1

10.解 (1)要使所给复数为实数,必使复数的虚部为 0.

45

?m -3m-18=0 ? 故若使 z 为实数,则? ?m+3≠0 ?

2



解得 m=6.所以当 m=6 时,z 为实数. (2)要使所给复数为虚数,必使复数的虚部不为 0. 故若使 z 为虚数,则 m -3m-18≠0,且 m+3≠0, 所以当 m≠6 且 m≠-3 时,z 为虚数. (3)要使所给复数为纯虚数,必使复数的实部为 0,虚部不为 0. 故若使 z 为纯虚数,则 2m +m-3=0 ? ? ?m+3≠0 ? ?m2-3m-18≠0 3 解得 m=- 或 m=1. 2 3 所以当 m=- 或 m=1 时,z 为纯虚数. 2 11.解 ∵(2x-y+1)+(y-2)i=0,
?2x-y+1=0, ? ∴? ?y-2=0. ?
2 2



1 ? ?x=2, 解得? ? ?y=2.

1 所以实数 x,y 的值分别为 ,2. 2 12.解 由于 z1<z2,m∈R, ∴z1∈R 且 z2∈R, 当 z1∈R 时,m +m-2=0,
2

m=1 或 m=-2.
当 z2∈R 时,m -5m+4=0,
2

m=1 或 m=4,
∴当 m=1 时,z1=2,z2=6,满足 z1<z2. ∴z1<z2 时,实数 m 的取值为 m=1. 13 . 解
2

1 1 2 2 因 为 log (m + n) - (m - 3m)i> - 1 , 所 以 log (m + n) - (m - 3m)i 是 实 数 , 从 而 有 2 2

m -3m=0, ① ? ? ? 1 log ? m+n? >-1, ② ? ? 2
由①得 m=0 或 m=3, 当 m=0 时,代入②得 n<2,又 m+n>0,所以 n=1; 当 m=3 时,代入②得 n<-1,与 n 是自然数矛盾, 综上可得 m=0,n=1.
46

3.1.2 1.D 11.2 12.解 (1)要使点位于第四象限,须?
?m<3或m>5 ? ∴? ? ?-7<m<4

复数的几何意义 7.B 8 .C 9.三 10.2 5

2.D

3.C

4 .B

5.A

6.2<k< 6或- 6<k<-2

?m -8m+15>0 ? ?m +3m-28<0 ?
2

2



,∴-7<m<3.

(2)要使点位于 x 轴负半轴上,须
? ?m -8m+15<0 ? 2 ? ?m +3m-28=0
2

? ?3<m<5 ,∴? ? ?m=-7或m=4
2

,∴m=4.

(3)要使点位于上半平面(含实轴),须 m +3m-28≥0, 解得 m≥4 或 m≤-7. 13.解 根据题意可画图形如图所示: 设点 Z 的坐标为(a,b), → ∵|OZ|=|z|=2,∠xOZ=120°, ∴a=-1,b= 3, 即点 Z 的坐标为(-1, 3), ∴z=-1+ 3i. 14.(1)C (2) 3 3.2.1 1.D 6.解 2.B 3.C 4 .D 5.B 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

原式=(1-2+3-4+?-2 008+2 009-2 010)+(-2+3-4+5+?+2 009-2 010+2 011)i=-1 005

+1 005i. 7.3+i 10.解 11 8. + 3i 5 ∵z1= 9.1

m2+m +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i, m+ 2
2 2

m +m ? m - m- 4 -2 +[(m-15)+m(m-3)]i= ∴z1+z2=? +(m2-2m-15)i. m+ 2 ? m+ 2 ? ∵z1+z2 为虚数, ∴m2-2m-15≠0 且 m≠-2, 解得 m≠5,m≠-3 且 m≠-2(m∈R). 11.解 → → → ∵AC=BC-BA,

→ ∴AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i, 设 C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i, ∴x+yi=(2+i)+(2-3i)=4-2i,
47

故 x=4,y=-2. ∴C 点在复平面内的坐标为(4,-2). 12.解 方法一 设 D 点对应的复数为 x+yi (x,y∈R),

则 D(x,y),又由已知 A(1,3),B(0,-1),C(2,1). 3 ? ?x y-1? ∴AC 中点为? ?2,2?,BD 中点为?2, 2 ?. ∵平行四边形对角线互相平分,

?2=2 ∴? y- 1 ?2= 2

3

x

? ?x=3 , ∴? . ?y=5 ?

即点 D 对应的复数为 3+5i. 方法二 设 D 点对应的复数为 x+yi (x,y∈R). → → 则AD对应的复数为(x+yi)-(1+3i)=(x-1)+(y-3)i,又BC对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i, → → 由于AD=BC. ∴(x-1)+(y-3)i=2+2i.
?x-1=2 ?x=3 ? ? ∴? ,∴? . ?y-3=2 ?y=5 ? ?

即点 D 对应的复数为 3+5i. 13.解 → (1)AB对应的复数为 2+i-1=1+i,

→ BC对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i, → AC对应的复数为-1+2i-1=-2+2i, → → → (2)∵|AB|= 2,|BC|= 10,|AC|= 8=2 2, → → → ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2, ∴△ABC 为直角三角形. 1 (3)S△ABC= ? 2?2 2=2 2 3.2.2 1.A 10.解 2. A (1) 3.D 4 .B 5.A 6.D 复数代数形式的乘除运算 8.- 1 2 9.-2i

7.1

2+2i 2 2 010 2+2i 2 1 005 +( ) = +( ) 2i ?1-i?2 1+i -2i

1 =i(1+i)+( )1 005=-1+i+(-i)1 005=-1+i-i=-1. i (2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) =22-14i+25-25i=47-39i. 11.解 (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i.
48

设 z2=a+2i,a∈R,则 z1z2=(2-i)· (a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, ∵z1z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i. 12.解 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi.

10 又 z·z -3iz= , 1-3i 10?1+3i? ∴a2+b2-3i(a+bi)= , 10 ∴a2+b2+3b-3ai=1+3i,
?a2+b2+3b=1, ? ∴? ?-3a=3. ? ? ? ?a=-1, ?a=-1, ∴? 或? . ?b=0, ? ? ?b=-3

∴z=-1,或 z=-1-3i. 13.解 (1)因为 1+i 是方程 x2+bx+c=0 的根,

∴(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0.
?b+c=0 ?b=-2 ? ? ∴? ,得? . ?2+b=0 ? ? ?c=2

∴b、c 的值为 b=-2,c=2. (2)方程为 x2-2x+2=0. 把 1-i 代入方程左边得(1-i) -2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i 也是方程的一个根.
2

第三章检测题
1.B 2.A 3.A 4 .A 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C 10.B 11.(3,4) 12.0 13.(1, 5) 15.解 14.⑤

2 ? ?m -2m-2>0 ? (1)要使复数 z 为实数,需满足 2 ,解得 m=-2 或-1.即当 m=-2 或-1 时,z 是实数. ?m +3m+2=0 ?

2 ? ?m -2m-2=1 ? (2)要使复数 z 为纯虚数,需满足 2 ,解得 m=3. ?m +3m+2≠0 ?

即当 m=3 时,z 是纯虚数. 16.解 因为 z1=1-i,所以 z 1=1+i,

所以 z1· z2=2+2i- z 1=2+2i-(1+i)=1+i. 设 z2=a+bi(a,b∈R), 由 z1· z2=1+i, 得(1-i)(a+bi)=1+i, 所以(a+b)+(b-a)i=1+i,

49

? ?a+b=1 所以? , ?b-a=1 ?

解得 a=0,b=1, 所以 z2=i. 17.解 = = = (1)原式= 16?1+i?4 ?1- 3i?4?1- 3i?

16?2i?2 ?-2-2 3i?2?1- 3i? -64 -16 = 2 4?1+ 3i? ?1- 3i? ?1+ 3i??4 -4 =-1+ 3i. 1+ 3i

(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i. 18.解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方,

则 m2-2m-15>0, 解得 m<-3 或 m>5. (2)复数 z 对应的点为(m2+5m+6,m2-2m-15), ∵z 对应的点在直线 x+y+5=0 上, ∴(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0, 整理得 2m2+3m-4=0, 解得 m= 19.解 -3± 41 . 4

(1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi,由题意得 a2+b2=2 且 2ab=2,解得 a=b=1 或 a=b

=-1, 所以 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC=1. 当 z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以 S△ABC=1. 1 1 a b 20.(1)解 设 z1=a+bi(a,b∈R 且 b≠0),则 z2=z1+ =a+bi+ =(a+ 2 )i. 2)+(b- 2 z1 a+ bi a +b a + b2 因为 z2 是实数,b≠0,于是有 a2+b2=1,即|z1|=1,还可得 z2=2a. 1 1 1 1 由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得- ≤a≤ ,即 z1 的实部的取值范围是[- , ]. 2 2 2 2 (2)证明 = ω= 1-z1 1-a-bi = 1+z1 1+a+bi

1-a2-b2-2bi b =- i. ?1+a?2+b2 a+ 1

1 1 因为 a∈[- , ],b≠0,所以 ω 为纯虚数. 2 2
50

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7. 33,270 8.12 9.12 10.10 11.6 12. 43 13. 解: (1) N ? 5 ? 4 ? 9 种; (2) N ? 5 ? 4 ? 20 种. 14. 解: (1) N ? 5 ? 6 ? 4 ? 15 种; (2) N ? 5 ? 6 ? 4 ? 120 种; (3) N ? 5 ? 6 ? 6 ? 4 ? 4 ? 5 ? 74 种 15. 解: (1)完成这件事分为两个步骤:a 的取法有 6 种,b 的取法也 有 6 种, ∴P 点个数为 N=6?6=36(个); (2)根据分类加法计数原理,分为三类: ①x 轴上(不含原点)有 5 个点; ②y 轴上(不含原点)有 5 个点; ③既在 x 轴,又在 y 轴上的点,即原点也适合, ∴共有 N=5+5+1=11(个) .

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)
1.C 12.24 13. 解:本题可以从高位到低位进行分类. [来源:Z.xx.k.Com] 2.A 3.A 4.D 5.C 6.C 7. 12 8. 2n(n ? 1) 9. 256
3?,, 10. 20 11. ?1?, ?3?,, ?1 2?, ?2, ?1 3?

(1)千位数字比 3 大. (2)千位数字为 3: ①百位数字比 4 大; ②百位数字为 4: 1°十位数字比 1 大; 2°十位数字为 1→个位数字比 0 大. 所以比 3410 大的四位数共有 2?5?4?3+4?3+2?3+2=140(个) 14. 解: N1 =3?3 ?3=27 种; N2 ? 27 ? 3 ? 24 种; N3 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 种. 15. 解:首先分类的标准 要正确,可以选择“只会 排版” 、 “只会印刷” 、 “既会排版又会印刷”中的一个作 为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准,按照被选出的人数,可将问题分为三类: 第一类:2 人全不被选出,即从只会排版的 3 人中选 2 人,有 3 种选法;只会印刷的 2 人全被选出,有 1 种选法,由分步计数原理知共 有 3?1=3 种选法. 第二类:2 人中被选出一人,有 2 种选法.若此人去排版,则再从会排版的 3 人中选 1 人,有 3 种选法, 只会印刷的 2 人全被选出,有 1 种选法,由分步计数原理知共有 2?3?1=6 种选法;若此人去印刷,则再 从会印刷的 2 人中选 1 人,有 2 种选法,从会排版的 3 人中选 2 人,有 3 种选法,由分 步计数原 理知共有 2?3?2=12 种选法;再由分类计数原理知共有 6+12=18 种选法. 第三类:2 人全被选出,同理共有 16 种选法. 所以共有 3+18+16=37 种选法.

1.3.1 排列组合(一)
一、选择题
51

1.解析:选 C.①②中选出的两个元素并成组就完成了这件事,而③④中选出的元素还需排列,有顺序问题 是排列.所以①②是组合问题. 2.解析:选 D.由组合数公式及排列数公式知①②③④均正确. 2 2 3.解析:选 A.分三类:一年级比赛的场数是 C2 5,二年级比赛的场数 是 C7,三年级比赛的场数是 C4,再由 分类加法计数原理可求. 4.解析:选 B.三张票没区别,从 10 人中选 3 人即可,即 C3 10. 二、填空题 5.解析:C3 8=56. 答案:56 6 24 240 24 6.解析:原不等式? - < ?6- < n?n-1??n-2? n?n-1??n-2??n-3? n?n-1??n-2??n-3??n-4? n- 3 240 ?n2-11n-12<0 ?n-3??n-4? ?-1<n<12. 又∵n≥5 且 n∈N+, ∴n∈{5,6,7,8,9,10,11}. 答案:{5,6,7,8,9,10,11}
[来源: ]

2r-1=n ? ? ? ?r=4 7.解析:? ?? . n! n! 3 =5 ?n=7 ? ? r ! ? n - r ? ! ? r + 1 ? ! ? n - r - 1 ? ! ? 答案:7 4 三、解答题 8.解:(1)由于集合中的元素是不讲次序的,一个含三个元素的集合就是一个从集合{0, 1,2,3,4}中取出 3 个 5?4?3 数的组合.这是一个组合问题,组合的个数是 C3 =10,所以子集的个数是 10. 5= 3?2?1 (2)由 5 个点中取两个点恰好连成一条线段,不用考虑这两个点的次序,所以是组合问题,组合数是 C2 5= 5?4 =10,连成的线段共有 10 条.再考虑有向线段问题,这时两个点的先后排列次序不同对应两个不同的有 2?1 向线段,所以是排列问题,排列数是 A2 5=5?4=20,所以有向线段共有 20 条. (3)选正副班长时要考虑次序,所以是排列问题.排列数是 A2 9= 9?8= 72,所以选正副班长共有 72 种选 9 ?8 法.选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题.组合数是 C2 = 36 ,所以不同的选法有 36 9= 2?1 种. 10?9?8?7 3 9 解:(1)原式=C4 -7?6?5=210-210=0; 10-A7= 4?3?2?1 m!?5-m?! m!?6-m?! (2)原式= - 5! 6! 7??7-m?!m! = , 10?7! m!?5-m?! m!?6-m??5-m?! 即 - 5! 6?5! 7?m!?7-m??6-m??5-m?! = , 10?7?6?5! 6-m ?7-m??6-m? ∴1- = , 6 60 2 即 m -23m+42=0,m=2 或 21. 2 而 0≤m≤5,∴m=2.∴Cm 8 =C8=28; ?38-n≤3n, ? (3)∵? ∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N,∴ n=10, ? ?3n≤21+n,
[来源 :] [来源 :www.shulihua.net]

n 3n 28 30 ∴C38 3n +C21+n=C30+C 31=


30! 31! + =466; 28!· 2! 30!· 1!

n! (4)证明:mCm n = m· m!?n-m?!
52

n· ?n-1?! = ?m-1?!?n-m?! ?n-1?! = n· ?m-1?!?n-m?! -1 =nCm n-1 . 10.解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的 8 人中任选 4 人,有 C4 8=70 种选法. (2)至少有 1 女且至多有 3 男时, 应分三类: 2 第一类是 3 男 2 女,有 C3 6C4种选法; 3 第二类是 2 男 3 女,有 C2 6C4种选法; 1 4 第三类是 1 男 4 女,有 C6C4种选法. 2 2 3 1 4 由分类计数原理知,共有 C3 6C4+C6C4+C 6C4=186 种选法. 1.3.2 排列组合(二) 一、选择题 1 2 1.解析:选 A.法一:可分两种互斥情况:A 类选 1 门,B 类选 2 门或 A 类选 2 门,B 类选 1 门,共有 C3C4+ 2 1 C3C4=18+12=30 种选法. 3 3 3 法二:总共有 C7=35 种选法,减去只选 A 类的 C3=1 种,再减去只选 B 类的 C4=4 种,故有 30 种选法. 2.解析:选 D.依题意,就所选出的 1 名女同学的来源分类:第一类,所选出的 1 名女同学来自于甲组的相 1 1 2 1 1 2 应选法有 C3?C5?C6=225 种;第二类,所选出的 1 名女同学来自于乙组的相应选法有 C2?C6?C5=120 种.因此 满足题意的选法共有 225+120=345 种,选 D. 1 2 3.解析:选 B.先将 1,2 捆绑后放入信封中,有 C3种方法,再将剩余的 4 张卡片放入另外两个信封中,有 C4 2 1 2 2 C2种方法,所以共有 C3C4C2=18 种方法. 3 3 4.解析:选 A.当选择的 3 名医生都是男医生或都是女医生时,共有 C5+C4=14 种组法,从 9 人中选择 3 人 3 一共有 C 9=84 种组法,所以要求男,女医生都有的情况共有 84-14=70 种组队方法.本题也可以应用直接法 1 2 2 1 进行求解:当小分队中有一名女医生时有 C4C5=40 种组法;当小分队中有 2 名女医生时有 C 4C5=30 种组法,故 共有 70 种组队方法. 5.解析:选 B.与信息 0 110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类: 第一类:与信息 0110 恰有两个对应位置上的数字相同,即从 4 个位置中选 2 个位置相同,其他 2 个不同, 2 有 C4=6 个; 第二类:与信息 0110 恰有一个对应位置上的数字相同,即从 4 个位置中选 1 个位置相 同,其他 3 个不同, 1 有 C4=4 个; 0 第三类:与信息 0110 没有一个对应位置上的数字相同,即 4 个对应位置上的数字都不同,有 C4=1 个. 由加法原理知,与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 6+4+1=11. 6.解析:选 C.满足要求的点的取法可分为 3 类: 3 第 1 类,在四棱锥的每个侧面上除点 P 外任取 3 点,有 4C5种取法; 3 第 2 类,在两个对角面上除点 P 外任取 3 点,有 2C4种取法; 1 第 3 类,过点 P 的四条棱中,每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有 4C2种取法. 3 3 1 所以,满足题意的不同取法共有 4C5+2C4+4C2=56 种. 二、填空题 2 7. 解析:从 1,2,3,4 中任取两个数的组合个数为 C 4 = 6 ,满足一个数是另一个数两倍的组合为 {1,2} , 2 1 {2,4 },故 P= = . 6 3 1 答案: 3 4 1 1 1 1 8.解析:先抽取 4 对老搭档运动员,再从每对老搭档运动员中各抽 1 人,故有 C5C2C2C2C2=80(种).[来源: ] 答案:80 4 1 3 2 4 1 3 2 9.解析:分两类,有 4 件次品的抽法为 C4C46(种);有三件次品的抽法有 C4C46(种),所以共有 C4C46+C4C46= 4186 种不同的抽法. 答案:4186 三、解答题 10.解:(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法数,就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数, 10?9 2 即 C10= =45(种). 2?1 2 2 (2)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C6种,从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C 4种,根据分步乘法计数原理, 6?5 4?3 2 2 共有选法 C6?C4= ? =90(种). 2?1 2?1
[来源:www.shulihua.net]

53

11.解:(1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本,这件事分三步完成. 4 第一步:从 9 本不同的书中,任取 4 本分给甲,有 C 9种方法; 3 第二步:从余下的 5 本书中,任取 3 本分给乙,有 C 5种方法; 2 第三步:把剩下的两本书给丙,有 C2种方法. 根据分步乘法计数原理知,共有不同的分法[来源:数理化网] 4 3 2 C9C5C2=1260(种). 所以甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本的分法共有 1260 种. (2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本,这件事分两步完成. 4 3 2 第一步:按 4 本、3 本、2 本分成三组,有 C9C5C2种方法; 第 二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A3种方法. 根据分步乘法计数原理知,共有不同的分法[来源:www.shulihua.net] 4 3 2 3 C9C5C2A3=7560(种). 所以一人得 4 本, 一人得 3 本,一人得 2 本的分法共有 7560(种). (3)用与(1)相同的方法求 解,得 3 3 3 C9C6C3=1680(种). 所以甲、乙、丙各得 3 本的分法共有 1680 种. 12.解:(1)可分三种情况处理: ①C1、C2、?、C6 这六个点任取三点可构成一个三角形; ②C1、C2、?、C6 中任取一点,D1、D2、D3、D4 中任取两点可构成一个三角形; ③C1、C2、?、C6 中任取两点,D1、D2、D3、D4 中任取一点可构成一个三角形. 3 1 2 2 1 ∴C6+C6C4+C6C4=116(个). 2 1 1 2 其中含 C1 点的三角形有 C5+C5?C4+C4=36(个). (2)构成一个四边形,需要四个点,且无三点共线,
3 1 2 2 ∴共有 C4 6+C6C6+C6C6=360(个).
3

1、B

2、B

3、C

4、C

1.3.2 排列组合(三) 5、B 6、A 7、C 8、C
6

7、解法一:先将 6 个人排成一列,有 A6 种排法,再把按位置分为 12,34,56,再分为三列。 但是每列原来有两种排法,现在加入“第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮”这一限制条件,每列 就只有一种排法了,因此,总排法数为
6 A6 =90 种.[来源: ] 2? 2? 2
2 2 C 62 ? C 4 ? C2 种选法,然后再把每二人作为一列,即有三列, 3 A3

解法二:每次选二个人(按矮至高排) ,有

将这三列 排列,有 A3 种排法,所以总排法数为
2 2 C 62 ? C 4 ? C2 3 2 2 2 ? A3 = C6 ? C 4 ? C 2 =90 种排法. 3 A3

3

9、21 10、1680 11、60 12、4 13、32 , 16 14、25,115 提示: (1)按式子 C 4 ? C 4 ? C 6 来计算。
0 3 1

54

(2)按式子 C 4 ? C 4 ? C6 ? C 4 ? C6 来计算。
0 3 1 2 2

15、126,

36,

105 ,

1260

16、24, 1, 144, 12, 提示: (3)本问题含有“均分问题” , 首先,从 4 个盒子中选出一个盒子当作空盒,有 C 4 种选法, 然后,再向其余 3 个盒子装球,由题意,3 个盒子分别装 2,1,1 个球,因此,装球的装法为
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 , 2 A2 2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 =144 种. 2 A2
1

所以总方法数为 C 4 ?
1

(4) C 4 ? C 3
1

1

首先,从 4 个盒子中选出一个盒子当作空盒,有 C 4 种选法, 然后,再将其余 3 个盒子装球,由题意,3 个盒子分别装 2,1,1 个球,只要选一个盒子装 2 个球, 另外的 2 个盒子一定是每个装一个球.有 C 3 种选法, 所以,总方法数为 C 4 ? C 3 =12 种.
1 1 1

1

二项式定理(一) 双基达标 1.解析 原式=(x-1+1)4=x4. 答案 A ?限时 20 分钟?

1?k n-k k k n-2k ? - 2.解析 Tk+1=Ck · x · n ? x? =Cn·(-1) ·x ,k∈{0,1,2,?,n}, 因为当 k+1=4 时,n-2k=3,所以 n=9. 答案 B 1 3?n k 4k-n 3.解析 二项式? ?x +x ? 的展开式的通项公式为 Tk+1=Cnx ,由通项公式可 知,当 n=4k(k∈N*)和 n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次 项,故选 D. 答案 D
2 9 4.解析 由 Tr+1=Cr 9( x )
-r

18-3r ?1? =Cr ,依题意需使 18-3r 为整数.故 18- 9x ? x?

r

3r≥0,r≤6,即 r=0,1,2,3,4,5,6 共 7 项. 答案 7
55

3r 9r 3(n-r) 5.解析 由 Tr+1=Cr x- =Cr nx nx3n- , 2 2 9r 令 3n- =0 知 2n=3r.又 Cr n=84,得 n=9. 2 答案 9 6.解 T5=C4 n(


x)

n-4 4

2x

-8

=16C4 nx

n-20 2 ,

n 2 2 4 T3=C2 2 x =4C2 n( x) nx


n-10 2 .

由题意知,

16C4 56 n = ,解得 n=10. 4C2 3 n
- -2k

10 k k Tk+1=Ck 2x 10( x)

=2kCk 10x

10-5k 2 ,

5k 令 5- =0,解得 k=2, 2
2 ∴展开式中的常数项为 C2 102 =180. 2 7.解析 (1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10 展开式中含 x5 的项的系数为:C5 10-C10=207,故选 D.

答案 D 8 . 解析 +?≈1.34. 答案 D 9.解析 法一 -C11 11, ∵除最后一项-1 外,其余各项都能被 9 整除,故余数为 9-1=8. 法二
5 1 4 4 233=230?23=645?8=8?(63+1)5=8?(C0 5?63 +C5?63 +?+C5 11 1 10 2 9 10 233=811=(9-1)11=C0 11?9 -C11?9 +C11?9 -?+C11?9 1 2 2 3 3 (1.05)6 = (1 + 0.05)6 = C 0 6 + C 6 ? 0.05 + C 6 ? 0.05 + C 6 ? 0.05 + ? = 1 + 0.3 + 0.037 5 + 0.002 5

5 4 3 2 ?63+C5 5)=8?(63 +5?63 +10?63 +10?63 +5?63)+8

∵括号内的各项都是 9 的倍数. ∴233 除以 9 所得的余数是 8. 答案 8
2 10.解析 (xcos θ+1)5 展开式中 x2 的系数为 C3 5cos θ.

?x+5? 展开式中 x3 的系数为5C1 . ? 4? 4 4
5 1 1 2 2 2 由题意可知 C3 . 5cos θ= C4,∴cos θ= ,∴cos θ=± 4 2 2 答案 ± 2 2

4

11.解 已知二项展开式的通项
56

n-k k n -k 5 2n- k. ?- 1 ? =(-1)k?1? ?1 2? Tk+1=Ck ? Ck n 2x nx 2 2 ? ? ? ? x ? ? 5 (1)因为第 9 项为常数项,即当 k=8 时,2n- k=0, 2 解得 n=10. 5 2 (2)令 2n- k=5,得 k= (2n-5)=6, 2 5 1?4 6 105 所以 x5 的系数为(-1)6? ?2? C10= 8 . 40-5k 5 (3)要使 2n- k,即 为整数,只需 k 为偶数,由于 k=0,1,2,3,?,9,10,故符合要求的有 6 2 2 项,分别为展开式的第 1,3,5,7,9,11 项.
1 2 12. (1)求和:a1C0 2-a2C2+a3C2, 1 2 3 a1C0 3-a2C3+a3C3-a4C3;

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明. 解
1 2 (1)a1C0 2-a2C2+a3C2

=a1-2a1q+a1q2 =a1(1-q)2,
1 2 3 2 3 3 a1C0 3-a2C3+a3C3-a4C3=a1-3a1q+3a1q -a1q =a1(1-q) .

(2)归纳概括的结论为: 若数列{an}是首项为 a1,公比为 q 的等比数列,则
1 2 3 n a1C0 n-a2Cn+a3Cn-a4Cn+?+(-1) an+1? n Cn n=a1(1-q) ,n 为正整数. 1 2 3 n n 证明:a1C0 n-a2Cn+a3Cn-a4Cn+?+(-1) an+1?Cn 1 2 2 3 3 n n n =a1C0 n-a1qCn+a1q Cn-a1q Cn+?+(-1) a1q Cn 0 2 2 3 3 n n n =a1[Cn -qC1 n+q Cn-q Cn+?+(-1) q Cn]

=a1(1-q)n.
二项式定理(二) n 1.解析 ∵只有第 5 项的二项式系数最大,∴ +1=5.∴n=8. 2 答案 D 2.解析 n-21 n-7?1? ? x+1? 展开式中的第 8 项为 C7 n( x) x? ? ?x? 为常数,即 2 =0, n 7

∴n=21.∴展开式中系数最大的项为第 11 项或第 12 项. 答案 D
57

3.解析 在展开式中令 x=-1 得 a0-a1+a2-a3+a4=44.故选 A. 答案 A

4.解析 令 x=1,得(1-2x)6 展开式中所有项的系数和为(1-2)6=1. 答案 1 5.解析 由 1,3,5,7,9,?,可知它们成等差数列, 所以 an=2n-1. 答案 2n-1 6.解 令 x=1,得 a0+a1+a2+?+an=2+22+23+?+2n= 2(2n-1) =254,∴2n=128,即 n=7. 2-1

综合提高(限时 25 分钟) 7.解析 (7a+b)10 展开式的二项式系数之和为 210,令 x=1,y=1,则由题意知, 4n=210,解得 n=5. 答案 A

8.解析 令 x=1,则(3-1)n=128=2n,∴n=7

? 3 x- 1 ? 7 2r r 7-r r r 7-r 即求? 3 2? 展开式中通项 Tr+1=C7·(3x) ·(x-3) ·(-1) =C73 ·x7 x? ?
5r 5r - ·(-1)r.令 7- =-3,得 r=6,即系数为 C6 7·3=21. 3 3 答案 C

9.解析 在(a-b)10 的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负, 且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第 6 项的二项式
5 5 5 5 系数最大,所以系数最小的项为 T6=C5 10a (-b) =-252a b .

答案 -252a5b5 10.解析 在(1-2x)2 012=a0+a1x+a2x2+?+a2 012x2 012 中,令 x=0,则 a0=1, 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+?+a2 012=(-1)2 012=1, 故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+?+(a0+a2 012) =2 011a0+a0+a1+a2+a3?+a2 012=2 012. 答案 2 012 11.解 (1)令 x=1 得 a0+a1+a2+?+a14=27. 令 x=0 得 a0=1, ∴a1+a2+?+a14=27-1. (2)由(1)得 a0+a1+a2+?+a14=27,
58



令 x=-1 得 a0-a1+a2-?-a13+a14=67, 由①-②得: 2(a1+a3+a5+?+a13)=27-67, ∴a1+a3+a5+?+a13= 27-67 . 2



12.解 (1)由题意可知:r=0,1,2,?,11,展开式共 11 项,
5 5 所以中间项为第 6 项:T6=C5 10(-x) =-252x .

(2)设(1-x)10=a0+a1x+a2x2+?+a10x10, 令 x=1,得 a0+a1+a2+?+a10=0, 令 x=0,得 a0=1, ∴a1+a2+?+a10=-1. (3)∵中间项 T6 的系数为负,
4 4 6 6 6 ∴系数最大的项为 T5 和 T7,T5=C4 10x =210x ,T7=C10x =210x .

第二章 2.1

随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布列(一) 双基达标 ?限时 20 分钟?

1.解析

掷一枚硬币,可能出现的结果是正面向上或反面向上,以一个标准如正面向上次数来描述一随机

试验,那么正面向上的次数就是随机变量 ξ,ξ 的 取值是 0,1,故选 A.而 B 中标准模糊不清,C 中掷硬币次数是 1,不是随机 变量,D 中对应的事件是必然事件.故选 A. 答案 A

2.解析 ①②④中的随机变量 ξ 可能取的值,我们都可以按一定次序一一列 出.因此它们都是离散型随机变量;③中的 ξ 可以取某一区间内的一切值, 无法一一列出,故不是离散型随机变量. 答案 C

3.解析 由于每枚骰子的点数均可能为 1,2,3,4,5,6,而 ξ=4=2?2=1?4, 故应选 D. 答案 D 4.解析 可能第一次就取得合格品,也可能取完次品后才取得合格品. 答案 0,1,2,3 5.解析 射击一次所中环数 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,?,10,故“ξ>7” 表示的试验结果为“该射手射击一次所中环数为 8 环或 9 环或 10 环”.
59

答案 射击一次所中环数为 8 环或 9 环或 10 环 6.解 设第一枚骰子掷出的点数为 x,第二枚骰子掷出的点数为 y,其中 x,y=1,2,3,4,5,6,依题意得

ξ=x-y. 则-5≤ξ≤5,且 ξ∈Z. 即 ξ 的值域为{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. 则 ξ>4?ξ =5,表示 x=6,y=1, 即第一枚骰子掷出 6 点,第二枚骰子掷出 1 点. 综合提高(限时 25 分钟) 7.解析 X 的所有可能值有 1?2,1?3,1?4,1?5,2?3,2?4,2?5,3?4, 3?5,4?5,共计 10 个. 答案 C

1 8.解析 解 ≥1 得其解集为{x|0<x≤1},∴ξ=1. x 答案 A

9.解析 依题意知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,故 ξ 的值域为{0,1,2, 3}. 答案 {0,1,2,3} 10.解析 由于随机变量 X 表示首次击中目标需要的射击次数,所以当 X=k 时, 表示前 k-1 次均未击中目标,第 k 次击中目标,故 X=4 表示的试验结果为 前 3 次未击中,第 4 次击中目标. 答案 前 3 次未击中目标,第 4 次击中目标 11.解 (1)ξ 的所有可能取值为 2,3,4,?,10.其中“ξ=4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大 号码为 4”.基本事件有如下三种:取出的两张卡片编号分别为 1 和 4,2 和 4,3 和 4. (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.其中“ξ=4”表示的试验结果为“5 次点球射进 4 个球”. 12.解 (1)ξ 可取 0,1,2,3,4,5.表示在 5 次罚球中分别罚中 0 次,1 次,2 次,3 次,4 次,5 次.

(2)η 可取 0,2,4,6,8,10.表示 5 次罚球后分别得 0 分,2 分,4 分,6 分,8 分,10 分.
2.1.2 离散型随机变量的分布列(二) 双基达标 ?限时 20 分钟?

1.解析 四个选项均符合“二维表”结构,但 C 选项中,P(X=1)<0 不符合 P(X=xi)≥0 的特点,也不符合 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 的特点.C 选 项不是分布列.
60

答案

C 1 3 1 1 + + +p=1,解得 p= . 10 10 10 2

2.解析 答案 D

2 3.解析 设 P(ξ=1)=p,则 P(ξ=0)=1-p.依题意知,p=2(1-p),解得 p= . 3 1 故 p(ξ=0)=1-p= . 3 答案 B 1 4.解析 由离散型随机变量的性质可知 2a+3a=1,解得 a= . 5 答案 1 5

1 5.解析 设命不中的概率为 p,则命中的概率为 3p,p+3p=1,p= . 4 P(X=1)是 1 次投篮中命中的概率,即投篮命中率. 答案 3 4

6.解 (1)X 的分布列为 X P C2 1 3 (2)∵P(X=0)= 2= ,∴X 的分布列为 C7 7 X 0 1 7 综合提高(限时 25 分钟) 7.解析 本题相当于最多取出 1 个白球的概率,也就是取到 1 个白球或没有取 到白球. 答案 B 1 1 ? c 8.解析 由题意 =c? - k(k+1) ?k k+1? 1 1 1 1 1 1 1? 因此 c? ?1-2+2-3+3-4+4-5?=1 1? 5 即 c? ?1-5?=1,∴c=4. 又 P(ξ≥2)=1-P(ξ<2)
61

0 3 7

0 4 7

1 6 7

P

=1-P(ξ=1) 1 5 1- ? =1- ? 2? 4? 3 = . 8 答案 C

9.解析 依题意知,ξ 的分布列为 ξ P 5 1 12 1 . 12 6 1 12 7 1 12 ? ? 16 1 12

由分布列知,P(ξ<x)=P(ξ=5)= 故 x∈(5,6]. 答案 (5,6]

10.解析 由题中条件,知 2b=a+c,c=ab,再由分布列的性质,知 a+b+c 1 =1,且 a,b,c 都是非负数,由三个方程联立成方程组,可解得 a= ,b= 2 1 1 1 ,c= ,所以投中 3 分的概率是 . 3 6 6 答案 1 6

11.解 X=1,2,3, P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
2 C1 1 8C2 ; 3 = C10 15 1 C2 7 8C2 ; 3 = C10 15 0 C3 7 8C2 . 3 = C10 15

所以 X 的分布列为 X P 该考生及格的概率为 7 7 14 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)= + = . 15 15 15 12.解 (1)根据茎叶图,“高个子”有 12 人,“非高个子”有 18 人. 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 5 1 1 = ,所以选中的“高个子”有 12? =2 人,“非高个子” 30 6 6
62

1 1 15

2 7 15

3 7 15

1 有 18? =3 人. 6 - 用事件 A 表示“至少有 1 名‘高个子’被选中”,则它的对立事件 A 表示“没有‘高个子’被选中”, 则 P(A)=1- C2 3 7 3 =1- = . C2 10 10 5 7 . 10

因此,至少有 1 人是“高个子”的概率是

(2)依题意,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则
2 C3 14 C1 28 8 4C8 P(ξ=0)= 3 = ,P(ξ=1)= 3 = , C12 55 C12 55 1 C2 12 C3 1 4C8 4 P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3 = . C12 55 C12 55

因此,ξ 的分布列为: ξ P 0 14 55 1 28 55 2 12 55 3 1 55

2.2

二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 ?限时 20 分钟?

双基达标 1.解析 ∵P(B|A)= P(AB) ,而 P(A)≤1, P(A)

∴P(B|A)≥P(AB),∴A 错, 当 P(A)=1 时, P(AB)=P(B), P(B) ∴P(B|A)=P(B)= ,∴B 正确. P(A) 而 0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1, ∴C、D 错,故选 B. 答案 B 1 2 2 2.解析 P(AB)=P(B|A)· P(A)= ? = ,故选 C. 3 5 15 答案 C

3.解析 A=“数学不及格”,B=“语文不及格”, P(B|A)= P(AB) 0.03 = =0.2. P(A) 0.15
63

所以数学不及格时,该生语文也不及格的概率为 0.2.

答案

A

2 1 1 4.解析 P(A)= = ,P(AB)= , 4 2 4 故 P(B|A)= 答案 1 2 P(AB) 1 = . P(A) 2

5.解析 由条件概率的概念可知, P(A|B)= P(B|A)= 答案 6.解 2 3 P(AB) 0.12 2 = = , P(B) 0.18 3 P(AB) 0.12 3 = = . 0.2 5 P(A) 3 5

将产品编号为 1,2,3 号的看作一等品,4 号为二等品,以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第 i 号、

第 j 号产品,则试验的基本事件空间为 Ω = {(1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4) , (3 , 1) , (3 , 2) , (3 , 4) , (4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3)}, 基本事件 A 有 9 个基本事件,AB 有 6 个基本事件. ∴P(B|A)= n(AB) 6 2 = = . n(A) 9 3 综合提高(限时 25 分钟) 7.解析 记事件 A 表示“该动物活到 20 岁”,事件 B 表示“该动物活到 25 岁”,由于该动物只有活到 20 岁才有活到 25 岁的可能,故事件 A 包含事件 B,从而有 P(AB)=P(B)=0.4,所以现龄 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率为 P(B|A)= 答案 B 8.解析 由题意可知.
2 3 n(B)=C1 32 =12,n(AB)=A3=6.

P(AB) 0.4 = =0.5. P(A) 0.8

∴P(A|B)= 答案 C

n(AB) 6 1 = = . n(B) 12 2

9.解析 设事件 A 为“该元件的使用寿命超过 1 年”,B 为“该元件的使用寿 命超过 2 年”,则 P(A)=0.6,P(B)=0.3,因为 B?A,所以 P(AB)=0.3,于 是 P(B|A)= P(AB) 0.3 = =0.5. P(A) 0.6
64

答案 0.5 10.解析 记“在 100 个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件 A,记“从 100 个零件中任取一件取得合格品”为事件 B. 则 P(B|A)= n(AB) 35 = =0.875. n(A) 40

答案 0.875 11.解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A,第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节 目为事件 AB. (1)从 6 个节目中不放回的依次抽取 2 个的事件数为 n(Ω)=A2 6=30,
1 根据分步计数原理 n(A)=A1 4A5=20,

n(A) 20 2 于是 P(A)= = = . n(Ω ) 30 3 n(AB) 12 2 (2)因为 n(AB)=A2 = = . 4=12,于是 P(AB)= n(Ω) 30 5 2 P(AB) 5 3 (3)由(1)(2)可得,在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下,第 2 次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)= = = . P (A ) 2 5 3 12.(创新拓展)一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上 取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率. (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率. 解 - 设第 i 次按对密码为事件 Ai(i=1,2),则 A=A1∪( A 1A2)表示不超过 2 次就按对密码.

- (1)因为事件 A1 与事件 A 1A2 互斥,由概率的加法公式得 - P(A)=P(A1)+P( A 1A2) = 1 9?1 1 + = . 10 10?9 5

(2)用 B 表示最后一位按偶数的事件,则 - P(A|B)=P(A1|B)+P( A 1A2|B)

1 4?1 2 =5+ = . 5?4 5
2.2.2 事件的相互独立性 ?限时 20 分钟?

双基达标

1.解析 由相互独立事件的性质知,A、B、C 选项的两事件相互独立,而 A 与
65

- A 是对立事件,不是相互独立事件. 答案 D 2.解析 设“甲命中目标”为事件 A,“乙命中目标”为事件 B,依题意知, 8 4 7 P(A)= = ,P(B)= ,且 A 与 B 相互独立. 10 5 10 故他们都命中目标的概率为 4 7 14 P(AB)=P(A)P(B)= ? = . 5 10 25 答案 A

1 1 1 1 3.解析 该生三项均合格的概率为 ? ? = . 3 6 5 90 答案 B 1 2 4.解析 ∵P(A)= ,P(B)= , 2 3 - 1 - 1 ∴ P( A )= , P( B )= . 2 3 - - 1 1 1 ∴P(A B )=P(A)P( B )= ? = , 2 3 6 -- - - 1 1 1 P( A B )=P( A )P( B )= ? = , 2 3 6 答案 1 6 1 6 8 6 1 ? = , 12 12 3

5.解析 若都取到白球,P1= 若都取到红球,P2=

4 6 1 ? = , 12 12 6

1 1 1 则所求概率 P=P1+P2= + = . 3 6 2 答案 6.解 1 2 由于事件 A 为“抽得老 K”,事件 B 为“抽得红牌”,故抽得红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K,即

有可能抽到老 K,故事件 A,B 有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件,以下考虑他们 是否互为独立事件:抽到老 K 的概率为 P(A)= = 4 1 26 1 1 1 = ,抽到红牌的概率 P(B)= = ,故 P(A)P(B)= ? 52 13 52 2 13 2

1 2 1 ,事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”,亦即“抽得红桃老 K 或方块老 K”,故 P(A· B)= = , 26 52 26

从而有 P(A)· P(B)=P(AB),因此 A 与 B 互为独立事件. 综合提高(限时 25 分钟) 7.解析 设事件 A 表示“甲通过听力测试”,事件 B 表示“乙通过听力测试”.

66

1 1 依题意知,事件 A 和 B 相互独立,且 P(A)= ,P(B)= .记“有且只有一人通 2 3 过听力测试”为事件 C,则 - - - C= A- B ∪ A B ,且 A B 和 A B 互斥.

( ) ( )

- 故 P(C)=P A- B ∪ AB - - = P(A B )+ P( A B) - - =P(A)P( B )+P( A )P(B)

( ) ( )

1 1 1 1 1- ?+?1- ?? = ?? 3? ? 2? 3 2 ? 1 = . 2 答案 C

8.解析 设开关 a,b,c 闭合的事件分别为 A,B,C,则灯亮这一事件 E= - - ABC∪AB C ∪A B C,且 A,B,C 相互独立, - - ABC,AB C ,A B C 互斥,所以 - P(E)=P(ABC)∪ AB- C ∪ ABC - - =P(ABC)+P(AB C )+P(A B C) - - =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P( C )+P(A)P( B )P(C) 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1- ?+ ??1- ?? = . = ? ? + ? ?? 2? 2 ? 2? 2 8 2 2 2 2 2 ? 答案 B 25 35 45 35 9.解析 P= ? ? = . 60 60 60 192 答案 35 192

(

) (

)

10.解析 由于经过两道工序才能生产出一件产品,当两道工序都合格时才能生 产出正品,又由于两道工序相互独立,则该产品的正品率为(1-a)(1-b). 答案 (1-a)(1-b) 11.解 (1)∵P(甲连胜 4 场)=0.4?0.3?0.4?0.3=0.014 4. P(乙连胜 4 场)=0.6?0.5?0.6?0.5=0.09, ∴P(第 4 场结束比赛)=0.014 4+0.09=0.104 4. (2)第 5 场结束比赛即某队从第 2 场起连胜 4 场.
67

只有丙队有可能; ∵P(甲胜第一场,丙连胜 4 场)=0.4?0.7?0.5?0.7?0.5=0.4?0.122 5, P(乙胜第一场,丙连胜 4 场)=0.6?0.5?0.7?0.5?0.7=0.6?0.122 5. ∴P(第 5 场结束比赛)=0.4?0.122 5+0.6?0.1225=0.122 5. 12 .解 记“甲理论考试合格”为事件 A1,“乙理论考试合格”为事件 A2,“丙理论考试合格”为事件

- A3,记 A i 为 Ai 的对立事件,i=1,2,3;记“甲上机考试合格”为事件 B1,“乙上机考试合格”为事件 B2, “丙上机考试合格”为事件 B3. (1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件 A,记“乙计算机考试获得合格证书”为事件 B,记“丙计算 机考试获得合格证书”为事件 C, 3 9 27 则 P(A)= ? = , 5 10 50 3 5 5 2 7 7 P(B)= ? = ,P(C)= ? = , 4 6 8 3 8 12 有 P(B)>P(C)>P(A), 故乙获得合格证书可能性最大. (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D. P(D)=P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)] =P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) =P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) 3 9 3 5 2 7 63 = ? ? ? ? ? = . 5 10 4 6 3 8 320

63 所以,这三人计算机考试都获得合格证书的概率是320.

2.2.3

独立重复试验与二项分布
双基达标 ?限时 20 分钟?

2 4 ?1? ?1-1? = 80 . 1.解析 P(ξ=2)=C2 6 3 ? ? ? 3? 243 答案 D 2.解析 由独立重复试验的定义知:在 5 次测量中恰好 2 次出现正误差的概率 12 13 5 是 P=C2 . 5·( ) ·( ) = 2 2 16 答案 A

3.解析 该生被选中包括“该生做对 4 道题”和“该生做对 5 道题”两种情

68

3?4 2 3?5 5 ? ? 形.故所求概率为 P=C4 ? ? + C ? 5 ?5? 5 5 ?5? .故应选 C. 答案 4. C

2 2 解析 P=C2 4(0.1) (1-0.1) =0.048 6.

答案 0.048 6 5.解析 在 n 次试验中,事件每次发生的概率都相等,故①正确;②中恰好击 中 3 次需要看哪 3 次击中,所以不正确;利用对立事件,③正确. 答案 ①③ 6.解 设 Ak 表示第 k 棵甲种大树成活,k=1,2,Bl 表示第 l 棵乙种大树成活,l=1,2, 5 4 则 A1,A2,B1,B2 相互独立,且 P(A1)=P(A2)= ,P(B1)=P(B2)= . 6 5 (1)至少有 1 棵成活的概率为 - - - - 1-P( A 1? A 2? B 1? B 2) - - - - =1-P( A 1)· P( A 2)· P( B 1)· P( B 2) 1?2?1?2 899 =1-? ?6? ?5? =900. (2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,所求概率为

?5??1? 1?4??1? 10? 8 = 80 = 4 . P =C 1 2 6 6 ?C 2 5 5 = ? ?? ? ? ?? ? 36 25 900 45
综合提高 (限时 25 分钟)

7.解析 成功率为 p,则不成功的概率为 1-p.前 7 次都未成功概率为(1-p)7, 后 3 次成功概率为 p3,故 C 正确. 答案 C

1 8.解析 质点每次只能向上或向右移动,且概率均为 ,所以移动 5 次可看成做 2 2 3 ?1? ?1? = 了 5 次独立重复试验.质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概率为 C2 5 2 ? ? ?2? 5 ?1? C2 5 2 . ? ? 答案 B 9.解析 ∵X~B(2,p),
k 2 k ∴P(X=k)=Ck ,k=0,1,2. 2p (1-p)


∴P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)
0 2 2 =1-C0 2p (1-p) =1-(1-p) .

69

5 ∴1-(1-p)2= , 9 1 结合 0≤p≤1,解之得 p= . 3 答案 1 3

10.解析 所有可能情形有:甲投中 1 次,乙投中 0 次;甲投中 2 次,乙投中 1 次或 0 次.
2 2 2 0 2 1 依题意有:C1 C0 2p(1-p)· 2(1-q) +C2p [C2(1-q) +C2q(1-q)]=

7 , 36

2 10 解得 q= 或 q= (舍去). 3 3 答案 2 3

11.解 (1)任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A,“该人参加过计算机培训”为事件 B,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以,该下岗人员没有参加过培训的概率是 -- - - P( A B )=P( A )· P( B )=(1-0.6)(1-0.75)=0.1. ∴该人参加过培训的概率为 1-0.1=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ξ 服从二项分布 B(3,0.9),P(ξ=k)=Ck 3 0.9k?0.13 k,k=0,1,2,3,


∴ξ 的分布列是 ξ P 0 0.001 1 0.027 2 0.243 3 0.729

12.解 记第 i 名学生选择的科目属于文学、艺术、竞赛分别为事件 Ai、Bi、Ci、i=1,2,3.由题意知 A1A2A3 相互独立,B1B2B3 相互独立,C1C2C3 相互独立,Ai、Bj、Ck(i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立, 1 1 1 且 P(Ai)= ,P(Bj)= ,P(Ck)= . 2 4 4 1 1 1 3 (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为:P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6? ? ? = . 2 4 4 16 1 3, ?,且 (2)设 3 名学生中选择的科目属于艺术的人数为 η,由已知,η~B? ? 4? ξ=3-η. 13 1 所以 P(ξ=0)=P(η=3)=C3 . 3( ) = 4 64 1?23 9 ? P(ξ=1)=p(η=2)=C2 3 4 ? ? 4=64,
70

1??3?2 27 ? P(ξ=2)=P(η=1)=C1 3 4 4 = ? ?? ? 64, 3 ?3? 27, P(ξ=3)=P(η=0)=C0 3 4 = ? ? 64 故 ξ 的分布列是 ξ 0 1 64 1 9 64 2 27 64 3 27 64

P

2.3.1
双基达标

离散型随机变量的均值
?限时 20 分钟?

1 3 1 1 1 1.解析 E(ξ)=-1? +0? +1? +2? = . 4 8 4 8 4 答案 D 2.解析 由题意可知,不发芽的种子数记为 Y 服从二项分布, 即 Y~B(1 000,0.1),∴E(Y)=1 000?0.1=100,所以 X 的数学期望 E(X)= 2?E(Y)=200. 答案 B 3.解析 ∵E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,∴E(X)=1. 答案 C

4.解析 x=1-(0.1+0.2+0.3+0.1)=0.3; P(1≤ξ<3)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.2+0.3=0.5; E(ξ)=0?0.1+1?0.2+2?0.3+3?0.3+4?0.1=2.1. 答案 0.3 0.5 2.1 6 3 = , 10 5

5.解析 每一次摸得红球的概率为

3 3 12 由 X~B(4, ),则 E(X)=4? = . 5 5 5 答案 12 5

6.解 (1)由分布列的性质可知 0.20+0.10+0.? 5+0.10+0.1 ?+0.20=1. 故 0.? 5+0.1 ?=0.40. 由于小数点后只有两位有效数字, 故 0.1 ?中?处应填 5,0.? 5 中的?的数字为 2.
71

即 P(X=3)=0.25,P(X=5)=0.15. (2)E(X)=1?0.20+2?0.10+3?0.25+4?0.1+5?0.15+6?0.20=3.50. (3)法一 由 E(η)=2E(X)-E(X)=E(X)得, E(η)=E(X)=3.50. 法二 由于 η=2X-E(X), 所以 η 的分布列如下: η P -1.5 0.20 0.5 0.10 2.5 0.25 4.5 0.10 6.5 0.15 8.5 0.20

∴E(η)=-1.5?0.20+0.5?0.10+2.5?0.25+4.5?0.10+6.5?0.15+ 8.5?0.20=3.50. 综合提高 (限时 25 分钟)

7.解析 P(X=0)=(1-0.9)?(1-0.85)=0.1?0.15=0.015; P(X=1)=0.9?(1-0.85)+0.85?(1-0.9)=0.22; P(X=2)=0.9?0.85=0.765. ∴E(X)=0?0.015+1?0.22+2?0.765=1.75. 答案 B 8.解析 由题意得 a+b+0.1+0.1=1,即 a+b=0.8 又 0?0.1+a+2b+3?0.1=1.6 ∴a+2b=1.3 ②-①得 b=0.5,∴a=0.3, ∴a-b=0.3-0.5=-0.2. 答案 C ② ①

1 1 1 9.解析 P(X=0)= ? = , 3 4 12 2 1 1 3 5 P(X=1)= ? + ? = , 3 4 3 4 12 1?5+2?6 17 2 3 6 P(X=2)= ? = ,E(X)= = . 3 4 12 12 12 答案 17 12

10.解析 设所得两数之积为 ξ,则 ξ 的可能值为 0,1,2,4, 1 1 1 1 1 1 3 P(ξ=0)=2? ? +2? ? + ? = , 2 3 2 6 2 2 4

72

1 1 1 P(ξ=1)= ? = , 3 3 9 1 1 1 P(ξ=2)=2? ? = , 3 6 9 1 1 1 P(ξ=4)= ? = . 6 6 36 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 3 4 1 1 9 2 1 9 4 1 36

3 1 1 1 4 所以 E(ξ)=0? +1? +2? +4? = . 4 9 9 36 9 答案 4 9

1? 11.解 (1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的,因此 X~B? ?4,2?. 4 ?1? 1 , ∴P(X=0)=C0 4 2 = ? ? 16 4 ?1? 1 P(X=1)=C1 4 2 = , ? ? 4 1?4 3 ? P(X=2)=C2 4 2 = , ? ? 8 1?4 1 ? P(X=3)=C3 4 2 = , ? ? 4 4 ?1? 1 . P(X=4)=C4 4 2 = ? ? 16 其分布列为 X P 0 1 16 1 1 4 2 3 8 3 1 4 4 1 16

1 1 (2)∵X~B(4, ),∴E(X)=4? =2. 2 2 又由题意可知 Y=2 300-100X, ∴E(Y)=E(2 300-100X)=2 300-100E(X)=2 300-100?2=2 100(元). 即所求变量 Y 的数学期望为 2 100 元. 12. 解 (1)依题意得 η=2(ξ-4)+10,

即 η=2ξ +2,ξ≥15,ξ∈N; (2)E(ξ)=15?0.1+16?0.5+17?0.3+18?0.1=16.4.
73

∵η =2ξ+2,∴E(η)=E(2ξ+2)=2E(ξ)+2=34.8(元), 故所收费用 η 的数学期望为 34.8 元. (3)由 38=2ξ+2,解得 ξ=18, 故停车时间 t 转换的行车路程为 18-15=3 km, ∴3?5≤t<4?5,

即出租车在途中因故停车累计时间 t∈[15,20).

2.3.2

离散型随机变量的方差 ?限时 20 分钟?

双基达标

1 1 1 1 29 1.解析 E(ξ)=1? +2? +3? +4? = , 4 3 6 4 12 29 2 1 29 2 1 29 2 1 29 2 1 179 1- ? ? +?2- ? ? +?3- ? ? +?4- ? ? = D(ξ)=? ? 12? 4 ? 12? 3 ? 12? 6 ? 12? 4 144.故选 C. 答案 C

? ?np=2, 2.解析 由题意可得? ?npq=1.6, ?

解得 q=0.8,p=0.2,n=10. 答案 C

3.解析 随机变量 ξ 的分布列为:

ξ P ∴E(ξ)=0?(1-m)+1?m=m.

0 1- m

1 m

∴D(ξ)=(0-m)2?(1-m)+(1-m)2?m=m(1-m). ∴故选 D. 答案 D 4.解析 由离散型随机变量均值和方差的意义可知②、⑤正确;由 E(X)=

(xi-E(X))2·pi 可知①④正确,③错误. 答案 ①②④⑤
74

5.解析 均值仅体现了随机变量取值的平均大小,如果两个随机变量的均值相 等,还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化,方差大说明随机变量取 值较分散;方差小,说明取值较集中.故乙的质量较好. 答案 乙 6.解 由于离散型随机变量的分布列满足: (1)pi≥0(i=1,2,?);(2)p1+p2+?=1.

?2+(1-2q)+q =1, 故?0≤1-2q≤1, ?q ≤1.
2 2

1

解之得 q=1-

2 . 2

故 ξ 的分布列为: ξ P -1 1 2 0 2 -1 1 3 - 2 2

3 1 ? ∴E(ξ)=(-1)? +0?( 2-1)+1?? ?2- 2?=1- 2, 2 2 3 1 ? D(ξ)=[-1-(1- 2)]2? +(1- 2) ?( 2-1)+[1-(1- 2)]2?? ?2- 2?= 2-1. 2 综合提高 2? 7.解析 由题意可知 ξ~B? ?n,3?, 2 ∴ n=E(ξ)=24. 3 ∴n=36. (限时 25 分钟)

2 2 2 1- ?= ?36=8. 又 D(ξ)=n? ?? 3? 9 3 ? 答案 A

8.解析 X 取 0,1,2, 1 1 1 P(X=0)= ? = , 3 5 15 2 8 P(X=1)= ,P(X=2)= , 5 15 ∴E(X)= 答案 A 22 86 ,D(X)= . 15 225

9.解析 由分布列性质得 1 3? 1 p=1-? ?5+10?=2,
75

1 1 3 E(ξ)=0? +1? +x? =1.1,解得 x=2, 5 2 10 1 1 3 ∴D(ξ)=(0-1.1)2? +(1-1.1)2? +(2-1.1)2? =0.49. 5 2 10 答案 0.49 10.解析 记 ξ 表示该学生答对题的个数,η 表示该学生的得分,则 η=4ξ, 依题意知:ξ~B(25,0.8). 所以 E(ξ)=25?0.8=20, D(ξ)=25?0.8?0.2=4, 所以 E(η)=E(4ξ)=4E(ξ)=4?20=80, D(η)=D(4ξ)=42D(ξ)=16?4=64. 答案 80 64

11.解 (1)ξ 可能取值为 0,1,2,3,5, 44 44 P(ξ=0)= 5= , A5 120 C1 45 5?9 P(ξ=1)= 5 = , A5 120 C2 20 5?2 P(ξ=2)= 5 = , A5 120 C3 10 5 P(ξ=3)= 5= , A5 120 1 P(ξ=5)= , 120 ξ P 0 44 120 1 45 120 2 20 120 3 10 120 5 1 120

44 45 20 10 1 (2)E(ξ)=0? +1? +2? +3? +5 ? =1 120 120 120 120 120 44 20 10 1 D(ξ)=1? +0+1? +4? +16? =1. 120 120 120 120 12.解 (1)ξ 的可能取值为 0,1,2,ξ=0 表示没有取出次品, 故 P(ξ=0)=
3 C0 6 2C10 . 3 = C12 11

ξ =1 表示取出的 3 个产品中恰有 1 个次品, 所以 p(ξ=1)=
2 C1 9 2C10 . 3 = C12 22 1 C2 1 2C10 . 3 = C12 22

同理 P(ξ=2)=

所以,ξ 的分布列为
76

ξ

0 6 11

1 9 22

2 1 22

P 6 9 1 1 E ( ξ ) =0 ? + 1 ? + 2 ? = , 11 22 22 2

1 2 9 1 2 1 1 2 15 6 0- ? + ??1- ? + ??2- ? = . D(ξ)= ?? 2? 2? 2? 11 ? 22 ? 22 ? 44 (2)η 的取值可以是 1,2,3,且有 ξ+η=3. ∴P(η=1)=P(ξ=2)= P(η=2)=P(ξ=1)= P(η=3)=P(ξ=0)= 1 , 22

9 , 22 6 , 11

所以,η 的分布列为 η P 1 5 E(η)=E(3-ξ)=3-E(ξ)=3- = , 2 2 15 D(η)=D(3-ξ)=(-1)2?D(ξ)= . 44 1 1 22 2 9 22 3 6 11

2.4
双基达标

正态分布
?限时 20 分钟?

1.解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值 μ=10,方差 σ2=4,即 σ=2. 答案 B 2.解析 ∵X~N(2,4), ∴μ=2,σ2=4, 1 ? 1 ∴ D? ?2X?=4D(X)=1. 答案 A

3.解析 因测量值 ξ 为随机变量,又 ξ~N(10,0.04), 所以 μ=10,σ=0.2, 记 I=(μ-3σ,μ+3σ)=(9.4,10.6), 9.9∈I,9.3?I,故选 A. 答案 A
77

4.解析 由题意可知 X~N(5,4),且 μ=5,σ=2, ∴P(3<X≤7)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. 答案 0.682 6 5.解析 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于 正态曲线下方的面积相等,另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相 等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的,我们需要找出对称轴.由于正 态曲线关于直线 x=μ 对称,μ 的概率意义是期望,我们也就找到了正态分布 的数学期望了.因为区间(-3,-1)和区间(3,5)关于 x=1 对称(-1 的对称 点是 3,-3 的对称点是 5),所以正态分布的数学期望为 1. 答案 1 6.解 设农民工年均收入 ξ~N(μ,σ2),

结合图象可知 μ=8 000,σ=500. (1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为 P ( x) = = 1 500 2π (x-μ) 1 e- 2σ 2 2π σ e-
2

(x-8 000)2 ,x∈(-∞,+∞). 2?5002

(2)∵P(7 500<ξ≤8 500) =P(8 000-500<ξ≤8 000+500) =0.682 6. ∴P(8 000<ξ≤8 500) 1 = P(7 500<ξ≤8 500) 2 =0.341 3. 即农民工年均收入在 8 000~8 500 之间的人数占总体的 34.13%. 综合提高(限时 25 分钟) 7.解析 由题意 P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ>4)=0.16. 又 μ=2 P(ξ≤0)=P(ξ>4)=0.16. 答案 C

8.解析 由题意可知 μ=60.5,σ=2, 故 P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,从而属于正常情况的人数 是 1 000?0.682 6≈683.
78

答案 D 9.解析 P(-2<X<2)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4. 答案 0.954 4 10.解析 ∵X~N(50,102), ∴μ=50,σ=10. ∴P(30<X≤70)=P(50-20<X≤50+20)=0.954 4. 答案 0.954 4 11. (1)证明:因为 X~N(10,1),所以,正态曲线 φμ ,σ (x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19) 关于直线 x=10 对称, 所以?2φ

?1

μ ,σ

(x)dx=?19φ

?18

μ ,σ

(x)dx

即 P(1<X<2)=P(18<X<19). (2)解 因为 P(X≤2)+P(2<X≤10)+P(10<X<18)+P(X≥18)=1, P(X≤2)=P(X≥18)=a, P(2<X≤10)=P(10<X<18), 所以,2a+2P(10<X<18)=1, 1 -2 a 1 即 P(10<X<18)= = -a. 2 2 12.解 (1)设学生的得分为随机变量 X,X~N(70,102),则 μ=70,σ=10. 分数在 60~80 之间的学生的比例为 P(70-10<X≤70+10)=0.682 6, 所以不及格的学生的比例为 1 ?(1-0.682 6)=0.158 7, 2 即成绩不及格的学生占总人数的 15.87%. (2)成绩在 80~90 分内的学生的比例为 1 1 [P(70-2?10<X≤70+2?10)]- [P(70-10<X≤70+10)] 2 2 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2
79

即成绩在 80~90 分内的学生占总人数的 13.59%. 第三章 3.1 统计案例

回归分析的基本思想及其初步应用 双基达标 ?限时 20 分钟?

1.解析 显然①是错误的,而②中圆的周长与圆的半径的关系为:C=2πR,是 一种确定性的函数关系,故应选 C. 答案 C

2.解析 因为 b>0 时,两变量正相关,此时 r>0;b<0 时,两变量负相关, 此时 r<0. 答案 A

3.解析 相关指数 R2 能够刻画用回归模型拟合数据的效果,相关指数 R2 的值 越接近于 1,说明回归模型拟合数据的效果越好. 答案 A

^ ^ 4.解析 由 ei 恒为 0,知 yi=yi,即 yi-yi=0,

i=1

? ?yi-yi?2
n

n

^

故 R2=1-

=1-0=1.

i=1

- ? ?yi- y ?2

答案 1 5.解析 由斜率的估计值为 1.23,且回归直线一定经过样本点的中心(4,5),可 ^ 得y-5=1.23(x-4), ^ 即y=1.23x+0.08. 答案 ^ y=1.23x+0.08

- - 6.解 (1) x =6, y ≈79.86,中心点(6,79.86). (2)散点图如下:

^ (3)因为b=

i=1

? ?xi- x ??yi- y ?
- ? ?xi- x ?2
7

7





≈4.75,

i=1

80

^ - ^- ^ a= y -b x ≈51.36,所以y=4.75x+51.36. 综合提高 (限时 25 分钟) 7.解析 都过样本中心点(s,t),但斜率不确定. 答案 A

^ 8.解析 当 x=37 时,y=0.577?37-0.448=20.901≈20.90,由此估计:年龄 为 37 岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为 20.90%. 答案 C

- - - - 9.解析 由表格得( x , y )为(10,38),又( x , y )在回归直线 ^ ^ ^ ^ y=bx+a上,且b≈-2, ^ ^ ^ ∴38=-2?10+a,a=58,所以y=-2x+58, ^ 当 x=6 时,y=-2?6+58=46. 答案 46 ^ 10.解析 由已知可得,y=-1.818 2x+77.36,销量每增加 1 千箱,则单位成本 下降 1.818 2 元. 答案 1.818 2 11.解 由数值表可作散点图如右图.根据散点图可知 k 1 y 与 x 近似地呈反比例函数关系,设 y= ,令 t= , x x 则 y=kt,原数据变为: t y 4 16 2 12 1 5 0.5 2 0.25 1

由置换后的数值表作散点图如下:

由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系.列表如下: i 1 2 3 4 ti 4 2 1 0.5 yi 16 12 5 2
81

tiyi 64 24 5 1

t2 i 16 4 1 0.25

y2 i 256 144 25 4

5 ∑ - - 所以 t =1.55, y =7.2.

0.25 7.75

1 36

0.25 94.25

0.625 21.312 5

1 430

^ 所以b=

i=1

?tiyi-5 t y ?t 2 i -5 t
5

5

-- ^ - ^- =4.134 4,a= y -b t =0.8. -2

i=1

^ 所以y=4.134 4t+0.8. ^ 4.134 4 所以 y 与 x 的回归方程是y= +0.8. x 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 双基达标 ?限时 20 分钟?

1.解析 ∵a+21=73,∴a=52.又 b=a+8=52+8=60. 答案 C

2.解析 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系,故 A 错.在等高 条形图中仅能够找出频率,无法找出频数,故 B 错. 答案 C

3.解析 k 的值越大,X 和 Y 有关系的可能性就越大,也就意味着 X 与 Y 无关 系的可能性就越小. 答案 B 4.解析 因随机变量 K2 的观测值 k=4.013>3.841,因此,在犯错误的概率不 超过 0.05 的前提下,认为两个变量之间有关系. 答案 0.05 5.解析 k≈4.844>3.841,故判断出错的概率为 0.05. 答案 0.05 6.解 依题意,计算随机变量 K2 的观测值: k= 913??478?24-399?12?2 ≈6.233>5.024. 490?423?877?36

所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”. 综合提高(限时 25 分钟) 7.解析 k= 50??18?15-8?9?2 ≈5.059>5.024. 26?24?27?23

∵P(K2≥5.024)=0.025,∴犯错误的概率不超过 0.025. 答案 C

8.解析 k=5.024 对应的 0.025 是“X 和 Y 有关系”不合理的程度,因此两个 分类变量有关系的可信程度约为 97.5%. 答案 D
82

9.解析 列出 2?2 列联表: 发病 阳性家族史 阴性家族史 总计 所以随机变量 K 的观测值为 k= 366??16?240-17?93?2 ≈6.067>5.024, 109?257?33?333
2

不发病 93 240 333

总计 109 257 366

16 17 33

所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,认为糖尿病患者与遗传有关. 答案 0.975 10.解析 根据题中叙述可知 p 真,q 假, 因为 95%是两者有关系的概率,不是 患病的概率,r 为真,s 为假,故①④为真. 答案 ①④ 章末质量评估(一) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.解析 从 4 道选答题中选 2 道的选法为 C2 4,2 道必答题和 2 道选答题让 4 人 各答一题的方法为 A4 4,故选 C. 答案 C

2.解析 由题意知集合 Z 中的元素 1,2 必取,另外,从 3,4,5 中可以不取,
1 2 3 取 1 个,取 2 个,取 3 个,故共有 C0 3+C3+C3+C3=8(个).

答案 D
n 1 n 1 2 3.解析 T2=C1 (2b)1=C1 ·b,所以 2n=8,n=4,所以 C2 na n·2a n=C4=6.
- -

答案 D 4.解析 考查分步计数原理和排列数公式,在 1 号位汽车选择的种数为 C1 8,其
1 5 余位臵的排列数为 A5 9,故种数为 C8A9,选 C.

答案

C

5.解析 四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,每项冠军都有 3 种可能, 由分步乘法计数原理知共有 3?3?3?3=34 种. 答案 C
-r

r 2 n 6.解析 ∵Tr+1=Cn (x )

2n-3r ?-1? =(-1)rCr , nx ? x?

r

∴又常数项为 15,∴2n-3r=0,
83

2 即 r= n 时,(-1)rCr n=15,∴n=6.故选 D. 3 答案 D 7.解析 涂 A 共 4 种涂法,则 B 有 3 种涂法,C 有 2 种涂法,D 有 3 种涂法. ∴共有 4?3?2?3=72 种涂法. 答案 A

6 3 3 8.解析 (1-x)5 中 x3 的系数为-C3 5=-10,-(1-x) 中 x 的系数为-C6·

(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6 的展开式中 x3 的系数为 10. 答案 D 9.解析 在正方体中,6 个面和 6 个对角面上的四个点不能构成四面体. 答案 A

10.解析 分两类:甲、乙两个宿舍中一个住 4 人、另一个住 3 人或一个住 5 人、
2 2 2 另一个住 2 人,所以不同的分配方案共有 C3 7A2+C7A2=35?2+21?2=112

种. 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上)
4 11.解析 (间接法)共有 C4 7-C4=34 种不同的选法.

答案 34 12.解析 令 x=1,得(3+1)n=256,解得 n=4,(3x+1)4 的展开式中 x2 项的系
2 数为 C2 43 =54.

答案 54
1 2 1 2 3 13.解析 两老一新时,有 C1 3?C2A2=12 种排法;两新一老时,有 C2C3?A3=

36 种排法,即共有 48 种排法. 答案 48
6 1 5 6 6 14.解析 由(2x-1)6=C0 6(2x) +C6(2x) ·(-1)+?+C6(-1) ,

可知 x6,x5,?,x0 的系数正、负相间,且 |a0|+|a1|+?+|a6| =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6. 令 x=-1,有 a6x6+a5x5+?+a1x+a0 =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6 =(-3)6=36.
84

答案 36 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5 15.解 由题意设展开式中第 k+1 项系数是第 k 项系数的 2 倍,是第 k+2 项系数的 , 6 C ?2 =2Cn ?2 , ? ? n ∴? k 解得 n=7. 5 k+1 k k +1 ?Cn?2 =6Cn ?2 , ?
3 k k k -1 k-1

∴展开式中二项式系数最大的项是第 4 项和第 5

项,T4=C3 7(2

4 2 x) =280x2,T5=C4 7(2 x) =560x .

3

16.解 (1)法一 优先考虑特殊元素甲,让其选位置,此时务必注意甲是否参赛,因此需分两类: 第 1 类,甲不参赛有 A4 5种排法;
3 1 3 第 2 类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有 A1 2种排法;其余 5 人占 3 个位置有 A5种排法,故有 A2A5 1 3 种方案.所以有 A4 5+A2A5=240 种参赛方案.

法二 先着眼于整体,后局部剔除不合要求的参赛方案.首先,6 个人占 4 个位置有 A4 6种占法;其次,甲 跑第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有 2A3 5种.
3 所以有 A4 6-2A5=240 种参赛方案.

(2)显然第一、四棒为特殊位置,与之相伴的甲、乙则为特殊元素,这时特殊元素与特殊位置的个数相等, 对此我们仍从三方面进行思考,以在对比中积累经验. 法一 优先考虑特殊位置.
3 第 1 类,乙跑第一棒有 A1 1A5=60 种排法; 1 2 第 2 类,乙不跑第一棒有 A1 4A4A4=192 种排法.

故共有 60+192=252 种参赛方案. 法二 (间接法) 共有 A4 6=360 种参赛方案,其中不合要求的有:
1 2 ①甲跑第一棒,乙跑第四棒,有 A1 1A1A4=12 种排法; 1 2 ②甲跑第一棒,乙不跑第四棒,有 A1 1A4A4=48 种排法; 1 2 ③甲不跑第一棒,乙跑第四棒,有 A1 1A4A4=48 种排法.

综上知有 360-12-48-48=252 种参赛方案.
1 17.解 据题意可得 C1 m+Cn=11,

∴m+n=11,含 x3 的系数为
3 C3 m+Cn=

m(m-1)(m-2) n(n-1)(n-2) + 6 6



m3-3m2+2m+n3-3n2+2n 6
85

= =

(11-n)3-3(11-n)2+2(11-n)+n3-3n2+2n 6 27n2-297n+990 9? 11 2 231 = ?n- 2 ? ? + 8 . 6 2

∴当 m=5,n=6 或 m=6,n=5 时,x3 的系数最小为 30. 18.解 (1)分三步完成. 第一步:从 6 名男医生中选 3 名有 C3 6种方法; 第二步:从 4 名女医生中选 2 名有 C2 4种方法; 第三步:对选出的 5 人分配到 5 个地区有 A5 5种方法.
2 5 根据分步乘法计数原理,共有 N=C3 6C4A5=14 400(种).

(2)医生的选法有以下两类情况:
4 第一类:一组中女医生 1 人,男医生 4 人,另一组中女医生 3 人,男医生 2 人.共有 C1 4C6种不同的分法;

1 第二类:两组中人数都有女医生 2 人男医生 3 人.因为组与组之间无顺序,故共有 C2 C3种不同的分法. 2 4 6 1 2 3 4 因此,把 10 名医生分成两组,每组 5 人且每组都要有女医生的不同的分法共有 C1 4C6+ C4C6=120 种. 2 若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正副组长两人,则共有

=96 000 种不同方案. 19.解 (1)分步完成:第一步在四个偶数中取三个,可有 C3 4种情况; 第二步在五个奇数中取四个,可有 C4 5种情况;
3 4 7 第三步三个偶数,四个奇数进行排列,可有 A7 7种情况,所以符合题意的七位数有 C4C5A7=100 800 个. 4 5 3 (2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有 C3 4C5A5A3=14 400 个.

(3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有
4 3 4 2 C3 4C5A3A4A2=5 760 个. 4 3 3 (4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别插入 5 个空档,共有 A5 C4A5=

28 800 个. 章末质量评估(二) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1 1 1 1 2 3 14 7 1.解析 ∵E(X)=1? +2? +3? = + + = = . 6 3 2 6 3 2 6 3 7 13 ∴E(X+2)=E(X)+2= +2= . 3 3 答案 C

2.解析 供电网络中一天用电的单位个数服从 B(n,p),故所求为 np.
86

答案 B
3 2 3 5 3.解析 任意取球 5 次,取得白球 3 次的概率为 C3 5·0.5 ·(1-0.5) =C50.5 .

答案 D 1 4.解析 依分布列特点知 E(X)= (1+2+3+4+5+6+7)=4. 7 答案 D 5.解析 记“第一次摸出正品”为事件 A,“第二次摸到正品”为事件 B,则
1 C1 3 6C9 P(A)= 1 1= , C10C9 5 1 C1 1 6C5 P(AB)= 1 1= . C10C9 3

故 P(B|A)= 答案 D

P(AB) 5 = . P(A) 9

6. 解析 本题主要考查了正态分布及随机变量的 概率问题.由随机变量服从正态分布 N(0,1), 由标准正态分布图可得 P(-1<ξ<0) 1 1 = -P(ξ<-1)= -P(ξ>1) 2 2 1 = - p. 2 答案 D 7.解析 甲获胜有两种情况,一是甲以 2∶0 获胜,此时 p1=0.62=0.36;二是 甲以 2∶1 获胜,此时 p2=C1 2·0.6?0.4?0.6=0.288,故甲获胜的概率为 p1 +p2=0.648. 答案 D 8.解析 ∵X~N(110,52), ∴μ=110,σ=5, 57 又 =0.95≈P(μ-2σ<X≤μ+2σ) 60 =P(100<X≤120). 答案 C

- 9.解析 三颗骰子各掷一次,点数共有 6?6?6=216 种,事件 B 表示“三次 125 - 都没有出现 3 点”,共有 5?5?5=125 种,则 P(B)=1-P( B )=1- = 216 5?4?C1 91 5 3 ,P(AB)= = , 216 216 18 所以 P(A|B)= 答案 C P(AB) 60 = . P(B) 91

10.解析 由已知,得 3a+2b+0?c=2,得 3a+2b=2,
87

2 1 1 3a+2b? 1 所以 ab= ?3a?2b≤ ? = . 6 6? 2 ? 6 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 11.解析 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复 1? 试验,故 X~B? ?5,3?, 1?k ?2?5-k ? 即有 P(X=k)=Ck , 5 3 ? 3 ? ? ? ? k=0,1,2,3,4,5. 4 1 ?1? ?2? 10 . ∴P(X=4)=C4 5 3 ? 3 = ? ? ? ? 243 答案 10 243

12.解析 由题意知甲服从 X~B(5,p1), ∴E(X)=5p1=2.5 1 ∴p1= , 2 1 1 又∵ + =5. p1 p2 1 ∴p2= . 3 答案 1 1 2 3

13.解析 设事件 A 为“取出的两件中有废品”,事件 B 为“取出的两件都是 废品”,由题意,显然,A∩B=B, 而 P(A)=
1 2 C1 C2 10·C90+C10 10 ,P(B)= 2 , 2 C100 C100

2 P(B) C10 1 故 P(B|A)= = 2 = . 1 21 P(A) C10+C10·C1 90

答案

1 21

14.解析 设直线 l 的方程为 y=kx+1. 则原点到直线 l 的距离 d= 1 . k +1
2

当 k=0 时,d=1;当 k=± 1 当 k=± 2 2时,d= . 3

5 2 1 时,d= ;当 k=± 3时,d= ; 2 3 2

所以 ξ 的分布列为
88

ξ

1 3 2 7

1 2 2 7

2 3 2 7

1 1 7

P 1 2 1 2 2 2 1 4 E(ξ)= ? + ? + ? +1? = . 3 7 2 7 3 7 7 7 答案 4 7

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解 记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6. (1)这名同学得 300 分的概率为: - - P1=P(A1 A 2A3)+P( A 1A2A3) - - =P(A1)P( A 2)P(A3)+P( A 1)P(A2)P(A3) =0.8?0.3?0.6+0.2?0.7?0.6=0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为: P2=P1+P(A1A2A3)=P1+P(A1)P(A2)P(A3) =0.228+0.8?0.7?0.6=0.564. - 16.解 设第 i 次按对密码为事件 Ai(i=1,2),则 A=A1∪( A 1A2)表示不超过 2 次就按对密码. - (1) 因为事件 A1 与事件 A 1A2 互斥,由概率的加法公式得 9?1 1 1 - P(A)=P(A1)+P( A 1A2)= + = . 10 10?9 5 (2)用 B 表示最后一位按偶数的事件,则 1 4?1 2 - P(A|B)=P(A1|B)+P( A 1A2|B)= + = . 5 5?4 5 17.解 记 3 件元器件中有 X 件为不合格品. C3 27 18 (1)P=1-P(X=0)=1- 3 = ; C20 95 (2)X 的可能取值为:0、1、2、3, C3 28 16 P(X=0)= 3 = , C20 57
2 C1 8 4C16 P(X=1)= 3 = , C20 19 1 C2 8 4C16 P(X=2)= 3 = , C20 95

C3 1 4 P(X=3)= 3 = , C20 285 ∴X 的分布列如下: X 0 1 2 3

89

P

28 57

8 19

8 95

1 285

28 8 8 1 171 3 E(X)=0? +1? +2? +3? = = . 57 19 95 285 285 5 18.解 (1)设参赛学生的成绩为 X,因为 X~N(70,100),所以 μ=70,σ=10. 1 则 P(X≥90)=P(X≤50)= [1-P(50<X<90)] 2 1 1 = [1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]= ?(1-0.954 4) 2 2 =0.022 8, 12÷0.022 8≈526(人). 因此,此次参赛学生的总数约为 526 人. 1 (2)由 P(X≥80)=P(X≤60)= [1-P(60<X<80)] 2 1 1 = [1-P(μ-σ<X<μ+σ)]= ?(1-0.682 6) 2 2 =0.158 7,得 526?0.158 7≈83. 因此,此次竞赛成绩为优的学生约为 83 人. 19.解 (1)设“环保会徽”卡有 n 张,由 C2 1 n = ,得 n=6. C2 3 10 C2 2 4 = . C2 15 10

故“绿色环保标志”卡有 4 张.抽奖者获奖的概率为

2 2 ?k ?13?4-k ? 4, ?,ξ 的分布列为 P(ξ=k)=Ck (2)ξ~B? (k=0,1,2,3,4) 4 15 ? 15 ? 15? ? ? ? ? ξ 0 1 C1 4? 2 ? 15 13 3 2 2 ?2? C2 4 15 ? ? ? 3 3 ?2? C3 4 15 ? ? ? 4

P

4 ?13? ?15?

? ? ?15? ?

?13? ?15?

2

?13? ?15?

1

?2? ?15?

4

2 ? 104 2 8 2 ? ∴E(ξ)=4?15=15,D(ξ)=4?15? 1-15 =225.

?

章末质量评估(三) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.解析 任何一组观测值并不能都得到具有代表意义的回归直线方程. 答案 D 2.解析 因为身高与体重是两个具有相关关系的变量,所以要用回归分析来解 决. 答案 B 3.解析 -5 是斜率的估计值,说明 x 每增加一个单位,y 平均减少 5 个单位.
90

答案 B 4.解析 - 1+7+5+13+19 - - - x= =9,因为回归直线方程过点( x , y ),所以 y = 5

- 1.5? x +45=1.5?9+45=58.5. 答案 A

5.解析 回归模型只能进行预测,应选 C. 答案 C 100??48?12-38?2?2 ≈8.306>6.635,则 50?50?86?14

6.解析 随机变量 K2 的观测值 k=

认为“实验效果与教学措施有关”的概率为 0.99. 答案 A

7.解析 由散点图知,去掉 D 后,x 与 y 的相关性变强,且为正相关,所以 r 变大,R2 变大,残差平方和变小. 答案 B 7.675-1.562 ^ 8.解析 因为当y=7.675 时,x= ≈9.262, 0.66 所以 答案 7.675 ≈0.829≈83%. 9.262 A

9.解析 根据题意 y 与 x 呈正相关关系,由最小二乘法或计算器求得回归系数 ^ ^ a≈-0.857,b≈0.729, ^ 所以线性回归方程为y=0.729x-0.857. ^ 当y=10 时,得 x≈15. 答案 B 10.解析 代入公式得 K2 的观测值 k= 查表可得. 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 11.解析 由表中数据可知,男性不能自理的频率为 21 女性不能自理的频率为 , 500 23 21 ? 故 15 000?? ?500-500?=60(人). 答案 60 12.解析 由题中表可知,丁同学的相关系数最大且残差平方和最小,故丁同学 的试验结果体现 A,B 两变量有更强的线性相关性. 答案 丁
91

300??37?143-35?85?2 ≈4.514>3.841, 72?228?122?178

23 , 500

13.解析 由列联表数据,可求得随机变量 K2 的观测值 k= 81??10?16-40?15?2 ≈7.227>6.635. 25?56?50?31

因为 P(K2≥6.635)≈0.01, 所以“x 与 y 之间有关系”出错的概率仅为 0.01. 答案 0.01 14.解析 根据表格中的数据可求得 - 1 x = ?(18+13+10-1)=10, 4 - 1 y = ?(24+34+38+64)=40. 4 - ^- ^ ∴a= y -b x =40-(-2)?10=60,∴y=-2x+60, ^ 当 x=-5 时,y=-2?(-5)+60=70. 答案 70 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15.解 由已知数据列出 2?2 列联表. 晕机 男人 女人 总计 根据公式 k= 89??24?26-31?8? ≈3.689. 55?34?32?57
2

不晕机 31 26 57

总计 55 34 89

24 8 32

由于 k>2.706,我们有 90%的把握认为在本次飞机飞行中晕机与男女有关.尽管从这班飞行中男性晕机的 此例为 24 8 比女性晕机的比例 要高,但我们不能认为恶劣气候下飞行中男性比女性更容易晕机,因为这种 55 34

独立性检验的结果犯错误的概率为 10%,从而说明犯错误的可能性较大. 16.解 (1)由题意知,年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图如下图所示:

从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回 归方程刻画它们之间的关系.
10 - - (2) x =6, y =1.83, ?x2 i =406, i=1

92

i=1

? y2 i =35.13, ?xiyi=117.7,b≈0.172,a= y -b x =0.798,从而得到回归直线方程为 y=0.172x+0.798.
i=1

10

10

^

^



^-

^

^ 当 x=9 时,y=0.172?9+0.798=2.346(万元). 17.解 (1)x、y 的散点图如图所示

(2)表格如下 序号 1 2 3 4 5 ∑ - - 计算得 x =3, y =3.6, x 1 2 3 4 5 15 y 2 3 4 4 5 18 x2 1 4 9 16 25 55 xy 2 6 12 16 25 61

^ b=

i=1

?xiyi-5 x y
2 ?x2 i -5 x 5

5

-- = - 61-5?3?3.6 =0.7, 55-5?32

i=1

^ - ^- a= y -b x =3.6-0.7?3=1.5, ^ ^ ^ 所以y=bx+a=0.7x+1.5, ^ ∴当 x 为 10 时,y=8.5. 18.解 查表可知,要使在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系,则 k≥2.706,而 k= 65?[a?30+a?-?20-a??15-a?]2 60??65a-300?2 13??13a-60?2 = = . 20?45?15?50 20?45?15?50 60?90

由 k≥2.706 得 a≥7.19 或 a≤2.04. 又 a>5 且 15-a>5,a∈Z,即 a=8,9. 故 a 为 8 或 9 时,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系. 19.解 (1)如下图所示:

93

(2)由图看出,样本点呈条状分布,有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关 系. ^ ^ ^ 设回归方程为y=bx+a, - x =30.316,
5 - y =43.5, ?x2 i =5 090.256, i=1

-- - - x y =1 320.66, y 2=1 892.25, x 2=919.059 9,

i=1

?xiyi=6 737.322.
5

5

^ 则b=

i=1

?xiyi-5 x y
- x2 i -5 x 2 i=1

-- ≈0.29.

?

5

^ - ^- a= y -b x ≈34.705. ^ 故所求的线性回归方程为y=0.29x+34.705. ^ 当 x=56.7 时,y=0.29?56.7+34.705=51.148, 估计成熟期有效穗 51.148. ^ (3)由于 y=bx+a+e,可以算得 ei=yi-yi 分别为 e1=0.345,e2=0.776 8, e3=-0.505,e4=-2.219,e5=1.619. 残差平方和: ?e2 i =8.522 59.
i=1 5

5 - (4)总偏差平方和: ? (yi- y )2=50.18, i=1

回归平方和:50.18-8.522 59=41.657 41, R2= 41.657 41 41.657 41 = ≈0.830. 50.18 50.18

∴解释变量小麦基本苗数对总效应贡献了约 83%. 残差变量贡献了约 1-83%=17%.

94

95


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