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高中数学竞赛辅导(证明线性与非线性等式)


高中数学竞赛辅导(证明线性与非线性等式) 一、证明线段的线性等式 (1)利用“割”或“补”法 1. 四边形 ABCD 内接于圆, 另一圆的圆心 O 在边 AB 上, 且与其余三边相切, 求证: AD+BC=AB。

2.已知点 A、B、C、D 顺次在⊙O 上, AB ? BD ,BM⊥AC 于 M,证明:AM=DC+CM。

3. △ABC 是一个锐角三角形, ∠A 的内角平分线交△ABC 的外接圆 O 于点 A 1 , 点 D 是 A1 到 直线 AB 的射影,L、M 分别是 AC、AB 的中点,求证:A 1 D=OM+OL。

4.设∠A 是△ABC 中最小的内角,点 B 和 C 将这个三角形的外接圆分成两段弧,设 U 是 落在不含 A 的那段弧上且不等于 B 与 C 的一个点,线段 AB 和 AC 的垂直平分线交线段 AU 于 V 和 W,直线 BV 和 CW 相交于 T,证明:AU=TB+TC。
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5.如图,⊙O 1 与⊙O 2 相交于 A、B 点,连接 O 1 B 交⊙O 2 于异于 B 的一点 F,连接 O 2 B 交 ⊙O 1 于异于 B 的一点 E,过 B 作 MN∥EF 交 ⊙O 1 、⊙O 2 分别于点 M、N,求证:MN=AE+AF。

(2)利用托勒密定理(A、B、C、D 四点共圆 ? AB ? CD+BC ? DA=AC ? BD) 6.已知两圆内切于 T,△ABC 是大圆内接正三角形,过 A、B、C 作小圆的切线 AM、BN、 CP,且 M、N、P 为切点,求证:CP、AM、BN 三条线段中,一条线段等于另外两线段。

7.在△ABC 中,BC>AC>AB,外接圆为 ? ,三条内角平分线分别交 BC、CA 和 AB 于点 D、E、 F, 通过点 B 的直线平行于 EF 交圆 ? 于点 Q, 点 P 是在圆 ? 上, 且 QP∥AC, 求证: PC=PA+PB。

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(3)利用代数运算 8.某圆分别与凸四边形 ABCD 的 AB、BC 两边相切于 G、H 两点,与对角线 AC 相交于 E、F 两点,另一个圆过 E、F 两点,且分别与 DA、DC 的延长线相切,求证:AB+AD=CB+CD。

二、证明线段的非线性等式(理论依据:相似三角形性质,平行线截线段成比例定理, 圆幂定理,内外角平分线定理,塞瓦定理,梅涅劳斯定理,托勒密定理,勾股定理,正 余弦定理,面积公式) 9.设在△ABC 中,AB>AC,AT 平分∠A 且交 BC 于 T,在 BC 上有一点 S,使 BS=TC, 求证:AS 2 -AT 2 =(AB-AC) 2 。

10.菱形 ABCD 中,∠B=60 0 ,过点 D 的直线与 BA、BC 的延长线分别交于点 E、F,M 是 CE 和 AF 的交点,如图。求证:CA 2 =CM ? CE。

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11.设 ABCDEF 为凸六边形,如图,使得∠B+∠D+∠F=360 0 ,且

AB CD EF ? ? ? 1 ,证明: BC DE FA

BC AE FD ? ? ? 1。 CA EF DB

12.如图,⊙O 1 与⊙O 2 相交于 A、E 两点,⊙O 1 的一条弦 BC 与⊙O 2 相切于点 D,且 AD 与
EB AB 3 ? ⊙O 1 相切于点 A,求证: 。 EC AC 3

13. 如图, ⊙O 1 与⊙O 2 外切于点 M, 它们的两条外公切线的夹角为 60 0 。 连心线与如⊙O 1 、 ⊙O 2 分别交于 A、 B (异于 M) , 过 B 作直线交⊙O 1 于 C、 D 两点, 证明:AC ? AD ? 4 DM ? CM 。

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