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复数代数形式的四则运算(一)导学案


3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 【学习要求】 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题. 【学法指导】 复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算, 利用向量的加法来理解复数加法的几 何意义,数形结合. 创设情境: 实数可以进行加减运算 ,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数 ;多项式也有相应的加减 运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相 应的运算律. 知识要点: 1.复数加法与减法的运算法则 (1) 设 z1 = a + bi , z2 = c + di 是 任 意 两 个 复 数 , 则 z1 + z2 = ________________ , z1 - z2 = ________________. 注:任意两个复数的和是 (2)运算律:对任意 z1,z2,z3∈C,有 交换律:z1+z2=________, 结合律:(z1+z2)+z3=__________. 2.复数加减法的几何意义 如图:设复数 z1,z2 对应向量分别为 1,2,四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形,则与 z1+z2 对应的向量 是______,与 z1-z2 对应的向量是______.

(2- 2i)+(3+i)+(4+ 2i)+(5+2 i)-2 i(其中 i 为虚 数单位)等于(
3.

1

3

).

复数 z1=9+3i,z2=-5+2i,则 z1-z2=
4.

.

已知复数 z1=7-6i,z1+z2=-4+3i. (1)求 z2; (2)求 z1-2z2.

探究一 复数的加减法运算 例 1 计算: (1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); (2)1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).

基础学习交流: 1.

设 z1=3-4i,z2=-2+3i,则 z1-z2 在复平面内对应的点位 看作字母,类比多项式加减中的合并同类项. 跟踪训练 1 (1)计算 2i-[(3+2i)+3(-1+3i)]; 于( ). (2)计算(a+2bi)-(3a-4bi)-5i(a,b∈R);
2.

小结 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减做实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把 i

探究点二 复数加减法的几何意义 例 2 如图所示,平行四边形 OABC 的顶点 O, A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i.求: (1)表示的复数; (2)对角线表示的复数; (3)对角线表示的复数.

当堂检测: 1 1 1.复数 z1=2- i,z2= -2i,则 z1+z2 等于 2 2 A.0 3 5 B. + i 2 2 5 5 C. - i 2 2 ( 5 3 D. - i 2 2 )

2.若 z+3-2i=4+i,则 z 等于 ( ) A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i 3.在复平面内,O 是原点, , ,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为 ( A.2+8i B.-6-6i C.4-4i D.-4+2i 4.若|z-1|=|z+1|,则复数 z 对应的点在 ( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 5.

)

小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体现了数形结合思想在复数中的运用. 跟踪训练 2 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的 三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

在复平面内,A、B、C 分别对应复数 z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC,求 D 点对应的复数 z4 及 AD 的长.

探究点三 复数加减法的综合应用 例 3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.

课堂总结: 小结 (1)设出复数 z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为 x,y 满足的关 系式,利用方程思想求解,这是本章“复数问题实数化”思想的应用. (2)在复平面内,z1,z2 对应的点为 A,B,z1+z2 对应的点为 C,O 为坐标原点,则四边形 OACB ①为平行四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形 OACB 为菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为正方形. 跟踪训练 3 本例中,若条件变成|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2.求|z1-z2|.



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