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惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学(理科)试题


惠州市 2013-2014 学年第一学期期末考试 高二数学(理科)试题
说明:1、全卷满分 150 分,时间 120 分钟。 2、答卷前,考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号,填写在答题卷上。 3、考试结束后,考生将答题卷交回。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的) 1.椭圆

/>
x2 y2 ? ? 1 的焦距等于( 100 36
B.16

) C.12 D.8

A.20

2.某企业为了监控产品质量,从产品流转均匀的生产线上每间隔 10 分钟抽取一个样本进 行检测,这种抽样方法是( A.抽签法 ) C.系统抽样法 D.分层抽样法 )

B.随机数表法

3.空间中,与向量 a ? (3, 0, 4) 同向共线的单位向量 e 为( A. e ? (1, 0,1) C. e ? ( , 0, )

?

?

?

B. e ? (1, 0,1) 或 e ? (?1, 0, ?1) D. e ? ( , 0, ) 或 e ? (? , 0, ? )

?

?

? 4 3 4 5 5 5 2 4.已知点 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 P 在该抛物线上,且点 P 的横坐标是 2 , 3 5 4 5 3 5
则 | PF | =( A.2 ) . B.3 C.4 D.5

?

?

5.已知事件 A 与事件 B 发生的概率分别为 P( A) 、 P( B) ,有下列命题: ①若 A 为必然事件,则 P( A) ? 1 . ②若 A 与 B 互斥,则 P( A) ? P( B) ? 1 .

③若 A 与 B 互斥,则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 其中真命题有( A.0 B.1
2

)个 C.2 D.3 )条件。
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6. “ a ? 0 ”是“方程 y ? ax 表示的曲线为抛物线”的(
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A.充分不必要 C.充要

B.必要不充分
开始

D.既不充分也不必要
输入 a

7.执行右边的程序框图,如果输入 a ? 5 , 那么输出 n ? ( A.2 8.已知椭圆 B.3 ). C.4 D.5

p ? 10 , q ? 1 , n ? 1

p?q


否 输出 n 结束

x2 y2 ? ? 1 (0 ? b ? 3) ,左右焦点分别为 F1 , 9 b2

p ? p?a

F2 , 过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点, 若 | AF2 | ? | BF2 |
的最大值为 8,则 b 的值是( A. 2 2 B. 2 ) C. 3 D. 6

q ? q?a
n ? n ?1

二、填空题:(本大题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填写在答卷相应位置上.) 9.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 9 4

. .

10.样本 ?2 , ?1 , 0 , 1 , 2 的方差为

11.已知 a ? (1,5, ?2) , b ? (m, 2, m ? 2) ,若 a ? b ,则 m 的值为 12.命题“ ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

?

?

?

?

. .

y ? 0.9 x ? 0.2 (单位:亿 13.某城市近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 ?

元) ,预计今年该城市居民年收入为 20 亿元,则年支出估计是 14.如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内 (含正方体表面)任取一点 M , 则 AA1 ? AM ? 1 的概率 p ? .

亿元.

D1 A1

C1

M D

B1

C

A

B

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三、解答题:(本大题共 6 题,满分 80.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 某社团组织 20 名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,志愿者中,年龄在 20 至 40 岁的有 12 人,年龄大于 40 岁的有 8 人. (1)在志愿者中用分层抽样方法随机抽取 5 名,年龄大于 40 岁的应该抽取几名? (2)上述抽取的 5 名志愿者中任取 2 名,求取出的 2 人中恰有 1 人年龄大于 40 岁的 概率.

16. (本小题满分 12 分) 已知 ?2 ? x ? 2 , ?2 ? y ? 2 ,点 P 的坐标为 ( x, y ) . (1)求当 x, y ? R 时,点 P 满足 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 的概率;
2 2

(2)求当 x, y ? Z 时,点 P 满足 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 的概率.
2 2

17. (本小题满分 14 分) 设命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;
2 2

命题 q :实数 x 满足 x ? 5 x ? 6 ? 0 ;
2

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ,直线 l: y ? x?2 与圆 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0 )的 离 心 率 为 2 a b 3

x 2 ? y 2 ? b 2相切.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 的交点为 A, B ,求弦长 | AB | .

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知正方体 AC1 棱长为 2, E 、 F 、 G 分别是 CC1 、 BC 和 CD 的中点. (1)证明: A1G ? 面 EFD ; (2)求二面角 E ? DF ? C 的余弦值.

D1 A1 B1

C1

E
C

G

D A
20. (本小题满分 14 分) 已知动直线 l 与椭圆 C: ?

B

F

x2 3

y2 ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? 两不同点, 且△ OPQ 2

的面积 S ?OPQ =
2

6 ,其中 O 为坐标原点. 2
2 2 2

(1)证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M ,求 | OM | ? | PQ | 的最大值; (3)椭圆 C 上是否存在点 D、E、G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S ?OEG ? 若存在,判断△ DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

6 ? 2

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惠州市 2013-2014 学年第一学期期末考试 高二数学(理科)试题答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D

1. 【解析】由 c ?

a 2 ? b 2 ? 100 ? 36 ? 8 ,所以焦距为 16.∴选 B.

2. 【解析】因为间隔相同,所以是系统抽样法,∴选 C.

? ? a 1 ? 3 4 2 2 2 3. 【解析】 | a |? 3 ? 0 ? 4 ? 5 ,∴ e ? ? ? ? (3, 0, 4) ? ( , 0, ) ,∴选 C. 5 5 |a| 5
4. 【解析】抛物线 y ? 4 x 知
2

p p ? 1 , | PF |? xP ? ? 2 ? 1 ? 3 ,∴选 B. 2 2

5. 【解析】由概率的性质知①③为真命题,∴选 C. 6. 【解析】当且仅当 a ? 0 时,方程 y ? ax 表示的曲线为抛物线,∴选 A.
2

7. 【解析】 a ? 5 ,进入循环后各参数对应值变化如下表:

p

15 5 2

20 25 3

结束

q

n
∴选 B.

8. 【解析】∵|AF1|+|AF2|=6,|BF1|+|BF2|=6,∴△AF2B 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=12; 若|AB|最小时,|BF2|+|AF2|的最大,又当 AB⊥x 轴时,|AB|最小, 此时|AB|=

2b 2 2b 2 2b2 ? ? 8 ? b ? 6 .∴选 D. ,故 12 ? a 3 3

二、填空题:(本大题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分.) 9. y ? ?

2 x 3

10.2

11.6

12. ?x0 ? R, 2 x0 ? 1 ? 0.
2

13.18.2

14.

3 4

9. 【解析】

x2 y 2 x2 y 2 2 ?0? y ?? x. ? ? 1 的渐近线方程为 ? 9 4 3 9 4
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10. 【解析】 s ?
2

(?2 ? 0) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? (0 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 2. 5

11. 【解析】 a ? b ? (1,5, ?2) ? (m, 2, m ? 2) ? 0 ? m ? 10 ? 2m ? 4 ? 0 ? m ? 6 . 12. 【解析】全称命题的否定为特称命题. 13. 【解析】 ? y ? 0.9 ? 20 ? 0.2 ? 18.2 . 14. 【解析】以 A 为原点 AB 为 x 轴建立空间直角坐标系,则 AA1 ? ? 0, 0, 2 ? , 设 M ? x, y , z ? ,则 AM ? ? x, y , z ? ,则 AA1 ? AM ? 1 ? 2 ? z ? 1 ? z ?

?

?

????

???? ?

???? ???? ?

1 , 2

? 1? 2- ? ? 2 ? 2 VM ? 3 2? ? = = . 从而 p ? V正 2?2?2 4
三、解答题:(本大题共 6 题,满分 80.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 解:(1)若在志愿者中随机抽取 5 名,则抽取比例为 ∴年龄大于 40 岁的应该抽取 8 ?

5 1 ? ?????????2 分 20 4
???????????4 分

1 ? 2 人. 4

(2)上述抽取的 5 名志愿者中,年龄在 20 至 40 岁的有 3 人,记为 1,2,3 年龄大于 40 岁的有 2 人,记为 4,5,?????????????????6 分 从中任取 2 名,所有可能的基本事件为:

(1, 2), (1,3),(1, 4),(1,5), (2,3),(2, 4),(2,5) (3, 4), (3,5), (4,5) ,共 10 种,?8 分
其中恰有 1 人年龄大于 40 岁的事件有

(1, 4), (1,5), (2, 4), (2,5) (3, 4), (3,5) ,共 6 种,????????????10 分
∴恰有 1 人年龄大于 40 岁的概率 P ? 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界) ,?????(1 分) 满足 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的点的区域为以 (2, 2) 为圆心,
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6 3 ? .?????????????12 分 10 5

2 为半径的圆面(含边界) .

????????(3 分) ??????????(5 分)

1 ? ? 22 ? 4 ? . ?所求的概率 P 1 ? 4? 4 16

(2)满足 x, y ? Z ,且 ?2 ? x ? 2 , ?2 ? y ? 2 的整点有 25 个 ????(8 分) 满足 x, y ? Z ,且 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的整点有 6 个,?????(11 分)

?所求的概率 P2 ?

6 . 25

????????????(12 分)

17. (本小题满分 14 分) 解 (1)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a) ? ( x ? a) ? 0 .???????????1 分
2 2

又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,???2 分 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 ,即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 3 ??4 分 由 x ? 5x ? 6 ? 0 得 2 ? x ? 3 .
2

所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .?????????????6 分 若 p ? q 为真,则 2 ? x ? 3 ,所以实数 x 的取值范围是 ? 2, 3 ? .?????8 分 (2) 设 A ? ? x | a ? x ? 3a? , B ? ? x | 2 ? x ? 3? ?????????????10 分

q 是 p 的充分不必要条件,则 B ? A ????????????????12 分
所以 ?

?0 ? a ? 2 ? 1 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 ?1, 2 ? .???14 分 ? 3a ? 3

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)又由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切得 b ?
2 2 2

|0?0?2| 12 ? 12

? 2 ,?2 分

由e ?

3 2 3 ? 1 ? 2 ? a ? 3 ,????????????? 4 分 得 3 a 3

x2 y2 ? ? 1 ???????????????????6 分 ∴椭圆方程为 3 2

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? x2 y 2 ?1 ? ? ? 2 x 2 ? 3( x ? 2) 2 ? 6 ? 0 ? 5x2 ? 12 x ? 6 ? 0 ????8 分 (2) ? 3 2 ? y ? x?2 ?

? ? 122 ? 4 ? 5 ? 6 ? 24 ,设交点 A, B 坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ???9 分
则 x1 ? x2 ? ?

12 6 , x1 ? x2 ? , ???????????????????11 分 5 5
2

从而 | AB |? 1 ? 1 ? ? ?

6 4 3 ? 12 ? ? ? 4? ? 5 5 ? 5?

2

所以弦长 | AB |?

4 3 ??????????????????????14 分 5

19. (本小题满分 14 分) 解:以 D 为原点建立如图空间直角坐标系,正方体棱长为 2, 则 D(0,0,0)、E(0,2,1)、F(1,2,0) 、 G(0,1,0) 、A1 (2,0,2) 、C(0,2,0),?? 2 分

z
D1 B1

???? ? ???? (1)则 A1G ? (?2,1, ?2) , DE ? (0, 2,1) , ???? DF ? (1, 2, 0) ?????????? 3 分 ???? ? ???? ∵ A1G ? DE ? (?2,1, ?2) ?(0, 2,1) ? 0 , ???? ? ???? ∴ A1G ? DE ?????????? 4 分 ???? ? ???? ∵ A1G ? DF ? (?2,1, ?2) ?(1, 2, 0) ? 0 , ???? ? ???? ∴ A1G ? DF ?????????? 5 分

C1

A1

E
C

G

A x

D B

F

y

又 DE ? DF ? D , DE ? 面DEF , DF ? 面DEF ?????? 6 分 ∴ A1G ? 面 EFD ??????????????????????7 分 (2)由(1)知 A1G ? (?2,1, ?2) 为面 EFD 的法向量,?????????? 8 分 ∵ CE ? 面 CFD , CE ? (0, 0,1) 为面 CFD 的法向量,?????? 9 分

???? ?

??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ?2 2 A1G ? CE 设 A1G 与 CE 夹角为 ? ,则 cos ? ? ???? ? ? ??? 12 分 ? ??? ? ? 3 A1G ? CE 3 ?1
由图可知二面角 E ? DF ? C 的平面角为 ? ? ? ,
惠州市 2013-2014 学年第一学期期末考试高二(理科数学) 第 8 页 共 11 页

∴二面角 E ? DF ? C 的余弦值为 20. (本小题满分 14 分)

2 .?????????????? 14 分 3

解: (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称,所以 x2 ? x1 , y2 ? ? y1. 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,因此

x12 y12 ? ?1 3 2



又因为 S?OPQ ?

6 6 , 所以 | x1 | ? | y1 |? . 2 2



由①、②得 | x1 |?

6 2 2 ? 3, y12 ? y2 ? 2, ????? 2 分 ,| y1 |? 1. 此时 x12 ? x2 2

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 m ? 0 ,将其代入
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 2) ? 0 , 3 2
2 2

其中 ? ? 36k m ? 12(2 ? 3k )(m ? 2) ? 0, 即 3k ? 2 ? m ?(*)
2 2

6km 3(m2 ? 2) , x1 x2 ? , 又 x1 ? x2 ? ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 6 3k 2 ? 2 ? m2 , 所以 | PQ |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? 2 ? 3k 2
2 2 2

因为点 O 到直线 l 的距离为 d ?

|m| 1? k 2 ,

所以 S?OPQ

2 2 1 |m| 1 2 2 6 3k ? 2 ? m 1? k ? ? ? | PQ | ?d ? 2 2 2 ? 3k 2 1? k 2

6 | m | 3k 2 ? 2 ? m 2 ? 2 ? 3k 2
又 S?OPQ ?

6 , 整理得 3k 2 ? 2 ? 2m2 , 且符合(*)式, 2
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此时 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?
2 2 2

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2 ? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 2 2 2 2 2 y12 ? y2 ? (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3
综上所述, x1 ? x2 ? 3; y1 ? y2 ? 2, 结论成立。????????? 5 分
2 2 2 2

(2)解法一: (1)当直线 l 的斜率不存在时,由(I)知 | OM |?| x1 |?

6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 2

因此 | OM | ? | PQ |?

6 ? 2 ? 6. ??????????????? 6 分 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知

x1 ? x2 3k ? , 2 2m

y1 ? y2 x1 ? x2 3k 2 ?3k 2 ? 2m 2 ? ? k( )?m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ? y2 2 9 k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 ) ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m

1 1 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) 2 m m 1 1 3? 2 ? 2? 2 1 1 m ) 2 ? 25 . ? (3 ? 2 )(2 ? 2 ) ? ( m m m 2 4 5 1 1 所以 | OM | ? | PQ |? ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 时,等号成立. 2 m m 5 综合(1) (2)得 | OM | ? | PQ | 的最大值为 . ????????????? 9 分 2
所以 | OM | ? | PQ | ?
2 2

解法二:因为 4 | OM | ? | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2 2 2 2 2

2

2 2 ? 2[( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )]

? 10.
所以 2 | OM | ? | PQ |?

4 | OM |2 ? | PQ |2 10 ? ? 5. 2 5
第 10 页 共 11 页

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5 , 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 5 时等号成立。 2 5 因此 | OM | ? | PQ | 的最大值为 . ??????????????????? 9 分 2
即 | OM | ? | PQ |? (3)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ?

6 . ? 10 分 2

证明:假设存在 D(u, v), E ( x1 , y1 ), G ( x2 , y2 )满足S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? 由(I)得 u ? x1 ? 3, u ? x2 ? 3, x1 ? x2 ? 3;
2 2 2 2 2 2 2 2 v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

6 , 2

解得 u ? x1 ? x2 ?
2 2 2

3 2 2 ; v ? y12 ? y2 ? 1. 2
6 中选取, v, y1 , y2 只能从 ?1 中选取, 2
6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 2

所以 u, x1 , x2 只能从 ?

因此 D,E,G 只能在 ( ?

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 矛盾, 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. ??????? 14 分

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