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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第5讲函数的解析式与定义域


? 第五讲

函数的解析式与定义域

回归课本 1.函数解析式的定义 函数的解析式就是用数学运算符号和等号把数和表示数的字母 连结而成的式子叫解析式 .解析式亦称“解 析表 达式”或“表达 式”,简称“式”. 函数的解析式是组成函数的三大部分之一,是函数重要组成部 分.函数的解析式可以是一个式子,也可以是多个式子,这时每一式 子对应的自变量分别在不同的范围内取值.如函数 的解析式就是由两个式子组成.
?x+1?x>0? ? y=? 2 ?x ?x≤0? ?

? ?

?

?

2.(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. (2)根据函数解析式求函数定义域的依据是①分式的分母不得为 0;②偶次方根的被开方数不得小于0;③对数函数的真数必须 大于0;④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1;⑤ 三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且x≠kπ+ ,k∈Z), 余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等. (3)已知f(x)的定义域为[a,b],求f[g(x)]的定义域,是指满足 a≤g(x)≤b的x的取值范围,已知f[g(x)]的定义域是[a,b]指的是 x∈[a,b]. (4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域:这类问题除要考 虑函数解析式有意义外,还应考虑使实际问题或几何问题有意 义.

?

? ? ? ?

(5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义 域是使各部分式子都有意义的实数集合. (6)求定义域的一般步骤: ①写出函数式有意义的不等式(组); ②解不等式(组); ③写出函数的定义域.

考点陪练 3x2 1.(2011· 安徽涡阳二中模拟)函数 f(x)= 2+lg(3x+1)的定义 1-x 域是( )
? 1 1? B.?- , ? ? 3 3?

? 1? A.?-∞,- ? 3? ?

1 C.(- ,1) 3
?1-x2>0, ? 解析:? ?3x+1>0, ?
?

1 D.(- ,+∞) 3

?-1<x<1, ? 1 ?? ∴x∈(- ,1). 1 3 x>- , ? 3 ?

答案:C

?

? ? ?

?

2.设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x≤1时,f(x)=(x +1)2-1,则x>1时, f(x)的解析式为( ) A.f(x)=(x+3)2-1 B.f(x)=(x-3)2-1 C.f(x)=(x-3)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1 解析:当x≤1时,f(x)=(x+1)2 -1的对称轴为x=-1,最小值 为-1,又y=f(x)关于x=1对称,故在x>1时,f(x)的对称轴为x =3且最小值为-1.故选B. 答案:B

3.已知 f(x)的定义域是[-2,2],则 f(x 2-1)的定义域是( A.[-1, 3] C.[- 3, 3] B.[0, 3] D.[-4,4]

)

解析: 由-2≤x2-1≤2?-1≤x 2≤3?0≤x 2≤3?- 3≤x≤ 3.
?

答案:C

4.函数 y= x?x-1?+ x的定义域为( A.{x|x≥0} C.{x|x≥1}∪{0}
?x?x-1?≥0, ? 解析:? ?x≥0, ?
?

)

B.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1}

?x∈{x|x≥1}∪{0}.

答案:C

5.若函数 y=f(x-1)的图象与函数 y=ln x+1 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(x)=( A.e2x C.e 2x
-1

) B.e 2x D.e2x
+2

+1

解析:由题意先求 f(x-1)的解析式,x=ln y+1?y=e2(x f(x-1)=e2(x
?
- 1)

- 1)

,即

,∴f(x)=e2x.

答案:B

? ? ?

?

?

类型一 求函数的解析式 解题准备:求函数的解析式一般有四种情况: 1.根据某实际问题需建立一种函数关系式,这种情况需引入合 适的变量,根据数学的有关知识找出函数关系式. 2.当题中给出函数特征,求函数解析式时,可用待定系数法, 如函数是二次函数,可设为f(x)=ax2 +bx+c(a≠0),其中a、b、 c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a、b、c的值 即可. 3.换元法求解析式,f[R(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往可设 R(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元来解.

4.解方程组法,已知 f(x)满足某个等式,这个等式除 f(x)是未知 量外,还出现其他未知量,如
?1? f(-x)、f? ?等,必须根据已知等式再构 ?x ?

造其他等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

?

[分析] 求复合函数的解析式一般用代入法,只需替换自变量x 的位置即可.
?x2,x≥0, ? 已知函数 f(x)=2x-1, g(x)=? ?-1,x<0. ?

【典例 1】

求 f[g(x)]

和 g[f(x)]的解析式.

[解析]

x≥0 时,g(x)=x2,f[g(x)]=2x2-1;

x<0 时,g(x)=-1, f[g(x)]=-2-1=-3,
?2x2-1,x≥0, ? ∴f[g(x)]= ? ? ?-3,x<0.

1 当 2x-1≥0,即 x≥ 时,g[f(x)]=(2x-1)2; 2 1 当 2x-1<0,即 x< 时,g[f(x)]=-1. 2 ??2x-1?2,x≥1 , ? 2 ∴g[f(x)]=? ?-1,x<1. 2 ?

?

?

[点评] 求解分段函数的有关问题,应注意“里”层函数的值域 充当“外”层函数的定义域,应分段写出函数的解析式. 分段函数是一个整体,必须分段处理,最后还要综合写成一个 函数表达式.

? ? ?

探究:(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x). (2)已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x). (3)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试 求f(x)的表达式.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

解析:(1)令t=x-2,则x=t+2,t∈R 由已知有:f(t)=3(t+2)-5=3t+1 故f(x)=3x+1. (2)∵f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x 令1-cosx=t 则cosx=1-t ∵-1≤cosx≤1, ∴0≤1-cosx≤2,∴0≤t≤2 ∴f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t,(0≤t≤2) 故f(x)=-x2+2x,(0≤x≤2).

(3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0 知 c=0,f(x)=ax2+bx. 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1
?2a+b=b+1 ? 故有? ?a+b=1 ?

1 ?a=b= . 2

1 1 因此,f(x)= x2+ x. 2 2

?

?

[点评] ①已知f[g(x)]是关于x的函数,即f[g(x)]=F(x),求f(x)的 解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=φ(t);将x=φ(t)代入 f[g(x)]=F(x)中,求得f(t)的解析式;再用x替换t,便得f(x)的解 析式.注:换元后注意确定新元t的取值范围. ②利用待定系数求解析式时,主要寻求恒等关系解出等式中的 未知数.

类型二

求函数的定义域

解题准备:1.若 f(x)是整式,则 f(x)的定义域是 R. 2.若 f(x)是分式,则要求分母不为零. 3.若 2n f?x?(n∈N),则要求 f(x)≥0.

4.若 logaf(x)(a>0 且 a≠1),则要求 f(x)>0. 5.若 arcsinf(x)或 arccosf(x),则要求|f(x)|≤1. 6.若同时出现上述几种情况,则分别找出各自的定义域然后求 交集.

【典例 2】

求下列函数的定义域.

1 (1)y= + x2-1; 2-|x| (2)y= 25-x2 +lgcosx.

[解析]

?2-|x|≠0 ? (1)由 ? 2 ?x -1≥0 ?

?x≠± 2, ? ? 得 ?x≤-1或x≥1. ?

∴函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,+∞).
?25-x2≥0, ? (2)由 ? ? ?cosx>0.

?-5≤x≤5, ? 得? π π 2kπ- <x<2kπ+ ?k∈Z?. ? 2 2 ?
? ? 3 ? ? π π? ?3π ∴函数的定义域为?-5,- π?∪?- , ?∪? ,5?. 2 ? ? 2 2? ? 2 ? ?

?

[点评] 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题,在解不 等式组时要细心,取交集时可借助于数轴,并且要注意端点值 或边界值的取舍.

? ? ? ?

?

类型三 求抽象函数的定义域 解题准备:抽象函数的定义域 对于无解析式的函数的定义域问题,要注意如下几点: 1.f[g(x)]的定义域为[a,b],指的是x的取值范围为[a,b],而 不是g(x)在范围[a,b]内,如f(3x-1)的定义域为[1,2],指的是 f(3x-1)中的x的范围是1≤x≤2. 2.f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.

【典例 3】 (1)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求函数 f(2x 2)的定 义域. (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数 f(x)的定义域. (3)已知函数 f(x
2

?1? -1)的定义域为(2,5),求函数 f ? ?的定义域. ? x?

[解析 ] 1 0≤x ≤ . 2
2

(1) 因 为 f(x) 的 定 义 域 为 [0,1], 所 以 0≤2x2≤1, 即

2 2 解这个不等式,得- ≤x≤ . 2 2 2 2 即函数 f(2x )的定义域为[- , ]. 2 2
2

(2)因为函数 f(2x+1)的定义域为[1,2], 所以 1≤x≤2.即 3≤2x+1≤5. 所以,函数 f(x)的定义域为[3,5].

(3)因为函数 f(x2-1)的定义域为(2,5), 所以 2<x<5.即 3<x2-1<24. 所以,函数 f(x)的定义域为(3,24). 1 1 1 所以 3< <24,即 <x< . 24 3 x 因此,函数
?1? ?1 1? ? ? 的定义域为? , ? . f ? x? ? 24 3?

? ?

类型四 函数的建模应用 解题准备:由实际问题抽象出函数关系式,就是用函数知识解 决实际问题的基础.解这类题的一般步骤是:①设元;②列式; ③用x表示y;④考虑定义域(这个定义域必须使实际问题有意 义).

?

? ?

?

?

【典例4】 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂 单价为60元,该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量超过 100个时,每多订一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02 元,但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价恰为51元; (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x) 的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元? 如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润 =实际出厂单价-成本) [分析] 关键是利用条件建立函数模型解决.

[解析]

(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订

60-51 购量为 x0 个,则 x0=100+ =550,故一次订购 550 个时,每 0.02 个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,p=60;当 100<x<550 时,p=60-0.02(x- x 100)=62- ; 50 当 x≥550 时,p=51.

(3)设销售商一次订购量为 x 个时,工厂获利润为 L 元,则 L=(p -40)x 0<x≤100 ?20x ? x2 =?22x- 100<x<550,?其中x∈N?, 50 ? ?11x x≥550 当 x=500 时,L=6000;当 x=1000 时,L=11000.因此销售商一次 订购 500 个零件时,该厂获得利润是 6000 元,如果订购 1000 个,利 润是 11000 元.

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快速解题 技法 (青岛模拟)设函数f(n)=k(其中n∈N*),k是π的小数点后 的第n位数字,π=3.1415926535?,则 = ________. 快解:从表面上,进行100次求值较繁锁,故可通过内层的一组 求值探求规律. ∵f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,? ∴从此以后均为f(1)=1, 故原式的值为1. 答案:1



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